ECUACIONES DE DIFERENCIAS - Universidad Nacional de Salta

ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Curso de posgrado MATEMÁTICA DISCRETA 2015 T. N. Hibbard - J. F. Yazlle - D. L. Alberto Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de Salta Cap. 6: ECUACIONES DE DIFERENCIAS Sucesiones definidas recursivamente ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ecuación de diferencias homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) Sucesiones definidas recursivamente ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ecuación de diferencias homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) a1 , . . . , ad : constantes numéricas fijas, con ad 6= 0, Sucesiones definidas recursivamente ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ecuación de diferencias homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) a1 , . . . , ad : constantes numéricas fijas, con ad 6= 0, una sucesión numérica finita {x0 , . . . , xd−1 } Sucesiones definidas recursivamente ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ecuación de diferencias homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) a1 , . . . , ad : constantes numéricas fijas, con ad 6= 0, una sucesión numérica finita {x0 , . . . , xd−1 } se puede extender a una sucesión infinita {xn }n∈N mediante la recurrencia Sucesiones definidas recursivamente ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ecuación de diferencias homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) a1 , . . . , ad : constantes numéricas fijas, con ad 6= 0, una sucesión numérica finita {x0 , . . . , xd−1 } se puede extender a una sucesión infinita {xn }n∈N mediante la recurrencia d X ∀n ≥ d, xn = aj xn−j = a1 xn−1 + · · · + ad xn−d j=1 Sucesiones definidas recursivamente ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuación de diferencias homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) a1 , . . . , ad : constantes numéricas fijas, con ad 6= 0, una sucesión numérica finita {x0 , . . . , xd−1 } se puede extender a una sucesión infinita {xn }n∈N mediante la recurrencia d X ∀n ≥ d, xn = aj xn−j = a1 xn−1 + · · · + ad xn−d j=1 Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución (Equivalentemente: ∀n ≥ d, Pd j=0 bj xn−j = 0) Sucesiones definidas recursivamente ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ecuación de diferencias homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) a1 , . . . , ad : constantes numéricas fijas, con ad 6= 0, una sucesión numérica finita {x0 , . . . , xd−1 } se puede extender a una sucesión infinita {xn }n∈N mediante la recurrencia d X ∀n ≥ d, xn = aj xn−j = a1 xn−1 + · · · + ad xn−d j=1 P (Equivalentemente: ∀n ≥ d, dj=0 bj xn−j = 0) Los valores x0 , . . . , xd−1 se llaman condiciones iniciales. Sucesiones definidas recursivamente ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ecuación de diferencias homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) a1 , . . . , ad : constantes numéricas fijas, con ad 6= 0, una sucesión numérica finita {x0 , . . . , xd−1 } se puede extender a una sucesión infinita {xn }n∈N mediante la recurrencia d X ∀n ≥ d, xn = aj xn−j = a1 xn−1 + · · · + ad xn−d j=1 P (Equivalentemente: ∀n ≥ d, dj=0 bj xn−j = 0) Los valores x0 , . . . , xd−1 se llaman condiciones iniciales. Objetivo Resolver la ecuación –encontrar una expresión para xn en función de n, evitando el cálculo recursivo. Ecuaciones homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución El polinomio caracterı́stico P Dada la recurrencia xn = dj=1 aj xn−j , Ecuaciones homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución El polinomio caracterı́stico P Dada la recurrencia xn = dj=1 aj xn−j , su polinomio caracterı́stico es Ecuaciones homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución El polinomio caracterı́stico P Dada la recurrencia xn = dj=1 aj xn−j , su polinomio caracterı́stico es λ(z) = z d − a1 z d−1 − · · · − ad Ecuaciones homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución El polinomio caracterı́stico P Dada la recurrencia xn = dj=1 aj xn−j , su polinomio caracterı́stico es λ(z) = z d − a1 z d−1 − · · · − ad Pd P ←→ λ(z) = dj=0 bj z d−j j=0 bj xn−j = 0 Ecuaciones homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución El polinomio caracterı́stico P Dada la recurrencia xn = dj=1 aj xn−j , su polinomio caracterı́stico es λ(z) = z d − a1 z d−1 − · · · − ad Pd P ←→ λ(z) = dj=0 bj z d−j j=0 bj xn−j = 0 Veremos que las raı́ces de λ(z) son claves para resolver la ecuación. Polinomios recı́procos ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Dado un polinomio cualquiera d X q(z) = cj z j = c0 + c1 z + · · · + cd z d , j=0 Polinomios recı́procos ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Dado un polinomio cualquiera d X q(z) = cj z j = c0 + c1 z + · · · + cd z d , j=0 su polinomio recı́proco se define como Polinomios recı́procos ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Dado un polinomio cualquiera d X q(z) = cj z j = c0 + c1 z + · · · + cd z d , j=0 su polinomio recı́proco se define como d X qrec (z) = cj z d−j = c0 z d + c1 z d−1 + · · · + cd j=0 Polinomios recı́procos ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Definición Dado un polinomio cualquiera d X q(z) = cj z j = c0 + c1 z + · · · + cd z d , j=0 su polinomio recı́proco se define como d X qrec (z) = cj z d−j = c0 z d + c1 z d−1 + · · · + cd Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución j=0 Se cumplen: 1 qrec (z) = z q z d Polinomios recı́procos ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Definición Dado un polinomio cualquiera d X q(z) = cj z j = c0 + c1 z + · · · + cd z d , j=0 su polinomio recı́proco se define como d X qrec (z) = cj z d−j = c0 z d + c1 z d−1 + · · · + cd Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución j=0 Se cumplen: 1 qrec (z) = z q z d (qrec )rec = q Polinomios recı́procos ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Definición Dado un polinomio cualquiera d X q(z) = cj z j = c0 + c1 z + · · · + cd z d , j=0 su polinomio recı́proco se define como d X qrec (z) = cj z d−j = c0 z d + c1 z d−1 + · · · + cd Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución j=0 Se cumplen: 1 qrec (z) = z q z d (qrec )rec = q (p · q)rec = prec · qrec Polinomios recı́procos ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Definición Dado un polinomio cualquiera d X q(z) = cj z j = c0 + c1 z + · · · + cd z d , j=0 su polinomio recı́proco se define como d X qrec (z) = cj z d−j = c0 z d + c1 z d−1 + · · · + cd Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución j=0 Se cumplen: 1 qrec (z) = z q z d (qrec )rec = q (p · q)rec = prec · qrec Luego, las raı́ces no nulas del polinomio recı́proco son los inversos de las raı́ces del polinomio. Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Dada la sucesión numérica {xn }n≥0 , Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Dada la sucesión numérica {xn }n≥0 , su función generadora es la función de variable compleja Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Dada la sucesión numérica {xn }n≥0 , su función generadora es la función de variable compleja X (z) = ∞ X n=0 xn z n Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Dada la sucesión numérica {xn }n≥0 , su función generadora es la función de variable compleja X (z) = ∞ X xn z n n=0 definida para todo complejo en el que la serie converge. Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución La estrategia para resolver recurrencias homogéneas Conocidos x0 , . . . , xd−1 Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución La estrategia para resolver recurrencias homogéneas P Conocidos x0 , . . . , xd−1 y sabiendo que xn = dj=1 aj xn−j para todo n ≥ d: Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución La estrategia para resolver recurrencias homogéneas P Conocidos x0 , . . . , xd−1 y sabiendo que xn = dj=1 aj xn−j para todo n ≥ d: 1 Encontrar una expresión algebraica para la función generadora X (z) de la sucesión {xn }n∈N . Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución La estrategia para resolver recurrencias homogéneas P Conocidos x0 , . . . , xd−1 y sabiendo que xn = dj=1 aj xn−j para todo n ≥ d: 1 Encontrar una expresión algebraica para la función generadora X (z) de la sucesión {xn }n∈N . 2 Obtener el desarrollo de MacLaurin de esa P en serie n. función: X (z) = ∞ u z n=0 n Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución La estrategia para resolver recurrencias homogéneas P Conocidos x0 , . . . , xd−1 y sabiendo que xn = dj=1 aj xn−j para todo n ≥ d: 1 Encontrar una expresión algebraica para la función generadora X (z) de la sucesión {xn }n∈N . 2 Obtener el desarrollo de MacLaurin de esa P en serie n. función: X (z) = ∞ u z n=0 n 3 Por unicidad de los desarrollos en serie, xn es el n–ésimo coeficiente de ese desarrollo: xn = un . Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema La función generadora de una sucesión definida recursivamente mediante una recurrencia de orden d con polinomio caracterı́stico λ(z) es una función racional: Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema La función generadora de una sucesión definida recursivamente mediante una recurrencia de orden d con polinomio caracterı́stico λ(z) es una función racional: X (z) = p(z) λrec (z) Funciones generadoras de sucesiones ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema La función generadora de una sucesión definida recursivamente mediante una recurrencia de orden d con polinomio caracterı́stico λ(z) es una función racional: X (z) = p(z) λrec (z) con p polinomio nulo o de grado menor que d, cuyos coeficientes dependen de los coeficientes de la recurrencia y de las condiciones iniciales. Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Sea la función racional X (z) = Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución s(z) q(z) Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Sea la función racional X (z) = Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución con s y q polinomios, s(z) q(z) Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Sea la función racional X (z) = Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución s(z) q(z) con s y q polinomios, q de grado d ≥ 1 Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Sea la función racional X (z) = Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución s(z) q(z) con s y q polinomios, q de grado d ≥ 1 y s de grado menor que d. Supongamos que q tiene k raı́ces distintas r1 , . . . , rk ∈ C (k ≤ d), Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Sea la función racional X (z) = Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución s(z) q(z) con s y q polinomios, q de grado d ≥ 1 y s de grado menor que d. Supongamos que q tiene k raı́ces distintas r1 , . . . , rk ∈ C (k ≤ d), con respectivas multiplicidades m1 , . . . , mk (m1 + · · · + mk = d). Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Sea la función racional X (z) = Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución s(z) q(z) con s y q polinomios, q de grado d ≥ 1 y s de grado menor que d. Supongamos que q tiene k raı́ces distintas r1 , . . . , rk ∈ C (k ≤ d), con respectivas multiplicidades m1 , . . . , mk (m1 + · · · + mk = d). Por el teorema de la descomposición en fracciones simples, existen coeficientes numéricos Aij , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ mi tales que Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Sea la función racional X (z) = Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución s(z) q(z) con s y q polinomios, q de grado d ≥ 1 y s de grado menor que d. Supongamos que q tiene k raı́ces distintas r1 , . . . , rk ∈ C (k ≤ d), con respectivas multiplicidades m1 , . . . , mk (m1 + · · · + mk = d). Por el teorema de la descomposición en fracciones simples, existen coeficientes numéricos Aij , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ mi tales que k m k m i i XX Aij Aij s(z) X X 1 = = j j j q(z) (z − ri ) (1 − zri−1 )j i=1 j=1 i=1 j=1 (−1) ri Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Haciendo ti = ri−1 para cada i ∈ {1, . . . , k} Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Haciendo ti = ri−1 para cada i ∈ {1, . . . , k} y recordando que n P j+n−1 1 = ∞ n=0 j−1 w , (1−w )j Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Haciendo ti = ri−1 para cada i ∈ {1, . . . , k} y recordando que n P j+n−1 1 = ∞ n=0 j−1 w , por manipulación algebraica se (1−w )j tiene:   m ∞ k i −1 X X X s(z)  = tin eij nj  z n q(z) n=0 i=1 j=0 Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Haciendo ti = ri−1 para cada i ∈ {1, . . . , k} y recordando que n P j+n−1 1 = ∞ n=0 j−1 w , por manipulación algebraica se (1−w )j tiene:   m ∞ k i −1 X X X s(z)  = tin eij nj  z n q(z) n=0 i=1 j=0 para ciertos coeficientes eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1 Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Haciendo ti = ri−1 para cada i ∈ {1, . . . , k} y recordando que n P j+n−1 1 = ∞ n=0 j−1 w , por manipulación algebraica se (1−w )j tiene:   m ∞ k i −1 X X X s(z)  = tin eij nj  z n q(z) n=0 i=1 j=0 para ciertos coeficientes eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1 (la cantidad de coeficientes es el grado del polinomio denominador). Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Haciendo ti = ri−1 para cada i ∈ {1, . . . , k} y recordando que n P j+n−1 1 = ∞ n=0 j−1 w , por manipulación algebraica se (1−w )j tiene:   m ∞ k i −1 X X X s(z)  = tin eij nj  z n q(z) n=0 i=1 j=0 para ciertos coeficientes eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1 (la cantidad de coeficientes es el grado del polinomio denominador). Por lo tanto, el n–ésimo coeficiente del desarrollo de s(z)/q(z) en serie de McLaurin es   m k i −1 X X  un = eij nj  tin i=1 j=0 Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Si Ecuaciones homogéneas con p y q de grados cualesquiera, Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución X (z) = p(z) q(z) Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Si p(z) q(z) con p y q de grados cualesquiera, sean c y s los polinomios cociente y resto de p dividido q: s(z) X (z) = c(z) + q(z) X (z) = Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Si p(z) q(z) con p y q de grados cualesquiera, sean c y s los polinomios cociente y resto de p dividido q: s(z) X (z) = c(z) + q(z) con s polinomio Pgnulo o nde grado menor que q. Sea g el grado de c: c(z) = n=0 cn z . X (z) = Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Si p(z) q(z) con p y q de grados cualesquiera, sean c y s los polinomios cociente y resto de p dividido q: s(z) X (z) = c(z) + q(z) con s polinomio Pgnulo o nde grado menor que q. Sea g el grado de c: c(z) = n=0 cn z . Siendo t1 , . . . tk los recı́procos de las raı́ces de q con multiplicidades respectivas m1 , . . . , mk , X (z) = Desarrollo en serie de McLaurin de funciones racionales ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Si p(z) q(z) con p y q de grados cualesquiera, sean c y s los polinomios cociente y resto de p dividido q: s(z) X (z) = c(z) + q(z) con s polinomio Pgnulo o nde grado menor que q. Sea g el grado de c: c(z) = n=0 cn z . Siendo t1 , . . . tk los recı́procos de las raı́ces de q con multiplicidades respectivas m1 , . . . , mk , el n–ésimo coeficiente del desarrollo de X (z) en serie de McLaurin es  P Pmi −1 j t n si n ≤ g  cn + k e n ij i=1 j=0 i un = Pk Pmi −1 j  tin si n > g i=1 j=0 eij n X (z) = para ciertos eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1. Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema P Si xn = dj=1 aj xn−j con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 , Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Teorema P Si xn = dj=1 aj xn−j con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 , Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución ∀n ∈ N, xn = k X  m i −1 X  i=1 j=0  eij nj  tin Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Teorema P Si xn = dj=1 aj xn−j con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 , Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución ∀n ∈ N, xn = k X  m i −1 X  i=1  eij nj  tin j=0 donde t1 , . . . , tk son las raı́ces del polinomio caracterı́stico de la recurrencia Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Teorema P Si xn = dj=1 aj xn−j con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 , Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución ∀n ∈ N, xn = k X  m i −1 X  i=1  eij nj  tin j=0 donde t1 , . . . , tk son las raı́ces del polinomio caracterı́stico de la recurrencia y m1 , . . . , mk sus respectivas multiplicidades, Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Teorema P Si xn = dj=1 aj xn−j con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 , Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución ∀n ∈ N, xn = k X  m i −1 X  i=1  eij nj  tin j=0 donde t1 , . . . , tk son las raı́ces del polinomio caracterı́stico de la recurrencia y m1 , . . . , mk sus respectivas multiplicidades, para ciertos coeficientes numéricos eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1. Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Teorema P Si xn = dj=1 aj xn−j con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 , Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución ∀n ∈ N, xn = k X  m i −1 X  i=1  eij nj  tin j=0 donde t1 , . . . , tk son las raı́ces del polinomio caracterı́stico de la recurrencia y m1 , . . . , mk sus respectivas multiplicidades, para ciertos coeficientes numéricos eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1. Observación Las constantes numéricas eij se pueden obtener resolviendo el sistema de d ecuaciones con d incógnitas que surge de considerar las condiciones iniciales. Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Observación Dados complejos t1 , . . . , tk y enteros positivos m1 , . . . , mk cualesquiera, Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Observación Dados complejos t1 , . . . , tk y enteros positivos m1 , . . . , mk cualesquiera, cualquier selección de números eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1 hace que la sucesión numérica definida por Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Observación Dados complejos t1 , . . . , tk y enteros positivos m1 , . . . , mk cualesquiera, cualquier selección de números eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1 hace que la sucesión numérica definida por   m k i −1 X X  ∀n ∈ N, xn = eij nj  tin i=1 j=0 Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Observación Dados complejos t1 , . . . , tk y enteros positivos m1 , . . . , mk cualesquiera, cualquier selección de números eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1 hace que la sucesión numérica definida por   m k i −1 X X  ∀n ∈ N, xn = eij nj  tin i=1 j=0 satisfaga una recurrencia homogénea cuyo polinomio caracterı́stico tiene raı́ces t1 , . . . , tk con multiplicidades respectivas m1 , . . . , mk . Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Observación Dados complejos t1 , . . . , tk y enteros positivos m1 , . . . , mk cualesquiera, cualquier selección de números eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1 hace que la sucesión numérica definida por   m k i −1 X X  ∀n ∈ N, xn = eij nj  tin i=1 j=0 satisfaga una recurrencia homogénea cuyo polinomio caracterı́stico tiene raı́ces t1 , . . . , tk con multiplicidades respectivas m1 , . . . , mk . P Pmi −1 j t n con los coeficientes e La expresión ki=1 e n ij ij i j=0 indeterminados Resolución de recurrencias lineales homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Observación Dados complejos t1 , . . . , tk y enteros positivos m1 , . . . , mk cualesquiera, cualquier selección de números eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1 hace que la sucesión numérica definida por   m k i −1 X X  ∀n ∈ N, xn = eij nj  tin i=1 j=0 satisfaga una recurrencia homogénea cuyo polinomio caracterı́stico tiene raı́ces t1 , . . . , tk con multiplicidades respectivas m1 , . . . , mk . P Pmi −1 j t n con los coeficientes e La expresión ki=1 e n ij ij i j=0 indeterminados se denomina solución general de esa recurrencia homogénea. Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Un sistema de m ecuaciones de diferencias homogéneas lineales de orden d ≥ 1 Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Definición Un sistema de m ecuaciones de diferencias homogéneas lineales de orden d ≥ 1 es una familia de expresiones Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Definición Un sistema de m ecuaciones de diferencias homogéneas lineales de orden d ≥ 1 es una familia de expresiones (1) xn (2) xn Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución (m) xn (1) (i) j=1 aij xn−j = Pm Pd = .. . Pm Pd = Pm Pd i=1 i=1 i=1 (2) (i) j=1 aij xn−j (m) (i) j=1 aij xn−j Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Definición Un sistema de m ecuaciones de diferencias homogéneas lineales de orden d ≥ 1 es una familia de expresiones (1) xn (2) xn Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución (m) xn (1) (i) j=1 aij xn−j = Pm Pd = .. . Pm Pd = Pm Pd i=1 i=1 i=1 (p) (2) (i) j=1 aij xn−j (m) (i) j=1 aij xn−j con coeficientes numéricos aij dados para cada p ∈ {1, . . . , m}, cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , d}. Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Definición Un sistema de m ecuaciones de diferencias homogéneas lineales de orden d ≥ 1 es una familia de expresiones (1) xn (2) xn Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución (m) xn (1) (i) j=1 aij xn−j = Pm Pd = .. . Pm Pd = Pm Pd i=1 i=1 i=1 (p) (2) (i) j=1 aij xn−j (m) (i) j=1 aij xn−j con coeficientes numéricos aij dados para cada p ∈ {1, . . . , m}, cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , d}. (p) Se suponen dados xn para cada p ∈ {1, . . . , m} y n ∈ {0, . . . , d − 1}. Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). Para cada q ∈ K y n ∈ N, Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). (q) Para cada q ∈ K y n ∈ N, sea Bn = {u ∈ Σn : δ ∗ (q, u) ∈ F }, Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). (q) n ∗ Para cada q ∈ K y n ∈ N, sea Bn = {u ∈ Σ : δ (q, u) ∈ F }, (q) (q) xn = Bn Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). (q) Para cada sea Bn = {u ∈ Σn : δ ∗ (q, u) ∈ F }, q ∈ K y n ∈ N, P (q) (q) (q) n xn = Bn y X (q) (z) = ∞ n=0 xn z . Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). (q) Para cada sea Bn = {u ∈ Σn : δ ∗ (q, u) ∈ F }, q ∈ K y n ∈ N, P (q) (q) (q) n xn = Bn y X (q) (z) = ∞ n=0 xn z . Para cada q ∈ K , se cumple: 1 (q) ε ∈ B0 ⇐⇒ q ∈ F , Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). (q) Para cada sea Bn = {u ∈ Σn : δ ∗ (q, u) ∈ F }, q ∈ K y n ∈ N, P (q) (q) (q) n xn = Bn y X (q) (z) = ∞ n=0 xn z . Para cada q ∈ K , se cumple: 0 si q ∈ /F (q) (q) 1 ε ∈ B ⇐⇒ q ∈ F , luego x0 = 0 1 si q ∈ F Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). (q) Para cada sea Bn = {u ∈ Σn : δ ∗ (q, u) ∈ F }, q ∈ K y n ∈ N, P (q) (q) (q) n xn = Bn y X (q) (z) = ∞ n=0 xn z . Para cada q ∈ K , se cumple: 0 si q ∈ /F (q) (q) 1 ε ∈ B ⇐⇒ q ∈ F , luego x0 = 0 1 si q ∈ F S (q) (δ(q,a)) 2 ∀n ≥ 1, B aBn−1 , n = a∈Σ Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). (q) Para cada sea Bn = {u ∈ Σn : δ ∗ (q, u) ∈ F }, q ∈ K y n ∈ N, P (q) (q) (q) n xn = Bn y X (q) (z) = ∞ n=0 xn z . Para cada q ∈ K , se cumple: 0 si q ∈ /F (q) (q) 1 ε ∈ B ⇐⇒ q ∈ F , luego x0 = 0 1 si q ∈ F S P (δ(q,a)) (q) (δ(q,a)) (q) 2 ∀n ≥ 1, B aBn−1 , luego xn = xn−1 . n = a∈Σ a∈Σ Sistemas de ecuaciones de diferencias homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Ejemplo Sea L un lenguaje regular. ¿Cuántas cadenas de largo n contiene, en función de n? Sea A = (K , Σ, δ, I, F ) un AFD tal que L = C (A). (q) Para cada sea Bn = {u ∈ Σn : δ ∗ (q, u) ∈ F }, q ∈ K y n ∈ N, P (q) (q) (q) n xn = Bn y X (q) (z) = ∞ n=0 xn z . Para cada q ∈ K , se cumple: 0 si q ∈ /F (q) (q) 1 ε ∈ B ⇐⇒ q ∈ F , luego x0 = 0 1 si q ∈ F S P (δ(q,a)) (q) (δ(q,a)) (q) 2 ∀n ≥ 1, B aBn−1 , luego xn = xn−1 . n = a∈Σ a∈Σ Aparece un sistema de |K | ecuaciones de recurrencia de orden (I) 1, siendo xn la solución del problema. Resolución de sistemas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Dados (1) xn (m) xn (1) (i) j=1 aij xn−j = .. . Pm Pd = Pm Pd i=1 i=1 (m) (i) j=1 aij xn−j Resolución de sistemas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Dados (1) xn (m) xn (1) (i) j=1 aij xn−j = .. . Pm Pd = Pm Pd i=1 i=1 (m) (i) j=1 aij xn−j consideramos la función generadora de cada sucesión: ∞ X (p) (p) X (z) = xn z n n=0 Resolución de sistemas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Dados (1) xn (m) xn (1) (i) j=1 aij xn−j = .. . Pm Pd = Pm Pd i=1 i=1 (m) (i) j=1 aij xn−j consideramos la función generadora de cada sucesión: ∞ X (p) (p) X (z) = xn z n n=0 Por manipulación algebraica, se obtiene una expresión para cada X (p) (z) de la forma Funciones generadoras Resolución X (p) (z) = hp (z) + m X d X (p) aij z j X (i) (z) i=1 j=1 con hp polinomio de grado menor que d. Resolución de sistemas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Dados (1) xn (m) xn (1) (i) j=1 aij xn−j = .. . Pm Pd = Pm Pd i=1 i=1 (m) (i) j=1 aij xn−j consideramos la función generadora de cada sucesión: ∞ X (p) (p) X (z) = xn z n n=0 Por manipulación algebraica, se obtiene una expresión para cada X (p) (z) de la forma Funciones generadoras Resolución X (p) (z) = hp (z) + m X d X (p) aij z j X (i) (z) i=1 j=1 con hp polinomio de grado menor que d. Se despeja cada X (p) (z) en términos de z, y se desarrolla en serie de McLaurin. Ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Ecuación de diferencias no homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) b0 , . . . , bd : constantes numéricas fijas, b0 6= 0 6= bd x0 , . . . , xd−1 : números (las condiciones iniciales) {fn }n∈N : sucesión numérica Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución ∀n ≥ d, d X j=0 bj xn−j = fn Ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Ecuación de diferencias no homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) b0 , . . . , bd : constantes numéricas fijas, b0 6= 0 6= bd x0 , . . . , xd−1 : números (las condiciones iniciales) {fn }n∈N : sucesión numérica Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución ∀n ≥ d, d X bj xn−j = fn j=0 (Recurrencia homogénea asociada: Pd j=0 bj yn−j = 0) Ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Ecuación de diferencias no homogénea (lineal, a coeficientes constantes) Dados d: entero positivo (el orden de la ecuación) b0 , . . . , bd : constantes numéricas fijas, b0 6= 0 6= bd x0 , . . . , xd−1 : números (las condiciones iniciales) {fn }n∈N : sucesión numérica Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución ∀n ≥ d, d X bj xn−j = fn j=0 (Recurrencia homogénea asociada: Pd j=0 bj yn−j = 0) Objetivo Encontrar una expresión para xn en función de n, evitando el cálculo recursivo. Funciones generadoras de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Dada la recurrencia lineal no homogénea Pd j=0 bj xn−j = fn , Funciones generadoras de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución P Dada la recurrencia lineal no homogénea dj=0 bj xn−j = fn , consideramos las funciones generadoras de {xn }n∈N y de {fn }n∈N : Funciones generadoras de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución P Dada la recurrencia lineal no homogénea dj=0 bj xn−j = fn , consideramos las funciones generadoras de {xn }n∈N y de {fn }n∈N : X (z) = ∞ X n=0 xn z n F (z) = ∞ X n=0 fn z n Funciones generadoras de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución P Dada la recurrencia lineal no homogénea dj=0 bj xn−j = fn , consideramos las funciones generadoras de {xn }n∈N y de {fn }n∈N : X (z) = ∞ X xn z n F (z) = n=0 ∞ X fn z n n=0 Por manipulación algebraica, se obtiene que h(z) − F (z) X (z) = Pd j j=0 bj z donde h es algún polinomio de grado menor que d. Funciones generadoras de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si F (z) es función racional con polinomio denominador q, entonces X (z) es también racional con expresión X (z) = para algún polinomio p. q(z) p(z) Pd j=0 bj z j Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema P Sea dj=0 bj xn−j = fn una recurrencia lineal no homogénea, Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema P Sea dj=0 bj xn−j = fn una recurrencia lineal no homogénea, y λ1 (z) el polinomio caracterı́stico de su recurrencia homogénea asociada. Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema P Sea dj=0 bj xn−j = fn una recurrencia lineal no homogénea, y λ1 (z) el polinomio caracterı́stico de su recurrencia homogénea asociada. Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z), Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema P Sea dj=0 bj xn−j = fn una recurrencia lineal no homogénea, y λ1 (z) el polinomio caracterı́stico de su recurrencia homogénea asociada. Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z), entonces   m k i −1 X X  xn = eij nj  tin i=1 j=0 Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema P Sea dj=0 bj xn−j = fn una recurrencia lineal no homogénea, y λ1 (z) el polinomio caracterı́stico de su recurrencia homogénea asociada. Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z), entonces   m k i −1 X X  xn = eij nj  tin i=1 j=0 donde t1 , . . . , tk son las raı́ces de λ1 (z)λ2 (z) con respectivas multiplicidades m1 , . . . , mk , para ciertos coeficientes numéricos eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1. Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema P Sea dj=0 bj xn−j = fn una recurrencia lineal no homogénea, y λ1 (z) el polinomio caracterı́stico de su recurrencia homogénea asociada. Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z), entonces   m k i −1 X X  xn = eij nj  tin i=1 j=0 donde t1 , . . . , tk son las raı́ces de λ1 (z)λ2 (z) con respectivas multiplicidades m1 , . . . , mk , para ciertos coeficientes numéricos eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1. Los eij se obtienen de considerar los valores x0 , . . . , xd+g −1 , siendo g el grado de λ2 (z) → sistema de (d + g ) × (d + g ). Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución SigamosP considerando la recurrencia no homogénea ∀n ≥ d, dj=0 bj xn−j = fn , con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 y polinomio caracterı́stico de la recurrencia homogénea asociada λ1 (z). Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución SigamosP considerando la recurrencia no homogénea ∀n ≥ d, dj=0 bj xn−j = fn , con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 y polinomio caracterı́stico de la recurrencia homogénea asociada λ1 (z). Observación Sean {hn }n∈N la solución general de la recurrencia homogénea asociada Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución SigamosP considerando la recurrencia no homogénea ∀n ≥ d, dj=0 bj xn−j = fn , con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 y polinomio caracterı́stico de la recurrencia homogénea asociada λ1 (z). Observación Sean {hn }n∈N la solución general de la recurrencia homogénea asociada y {pn }n∈N una sucesión Pd que cumple la recurrencia no homogénea, es decir, ∀n ≥ d, j=0 bj pn−j = fn . Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución SigamosP considerando la recurrencia no homogénea ∀n ≥ d, dj=0 bj xn−j = fn , con condiciones iniciales x0 , . . . , xd−1 y polinomio caracterı́stico de la recurrencia homogénea asociada λ1 (z). Observación Sean {hn }n∈N la solución general de la recurrencia homogénea asociada y {pn }n∈N una sucesión Pd que cumple la recurrencia no homogénea, es decir, ∀n ≥ d, j=0 bj pn−j = fn . Entonces, {hn + pn }n∈N también satisface la recurrencia no homogénea. Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema Si pn satisface la recurrencia no homogénea, entonces   m k i −1 X X  xn = eij nj  tin + pn i=1 j=0 Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema Si pn satisface la recurrencia no homogénea, entonces   m k i −1 X X  xn = eij nj  tin + pn i=1 j=0 donde t1 , . . . , tk son las raı́ces de λ1 (z) con respectivas multiplicidades m1 , . . . , mk , para ciertos coeficientes numéricos eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1. Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Teorema Si pn satisface la recurrencia no homogénea, entonces   m k i −1 X X  xn = eij nj  tin + pn i=1 j=0 donde t1 , . . . , tk son las raı́ces de λ1 (z) con respectivas multiplicidades m1 , . . . , mk , para ciertos coeficientes numéricos eij , 1 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ mi − 1. Los eij se obtienen de considerar los valores x0 , . . . , xd−1 → sistema de d × d. Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z) de grado g , Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z) de grado g , cuyas raı́ces son α1 , . . . , αl , con respectivas multiplicidades µ1 , . . . , µl , Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z) de grado g , cuyas raı́ces son α1 , . . . , αl , con respectivas multiplicidades µ1 , . . . , µl , y ninguna de ellas es raı́z de λ1 (z), Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z) de grado g , cuyas raı́ces son α1 , . . . , αl , con respectivas multiplicidades µ1 , . . . , µl , y ninguna de ellas es raı́z de λ1 (z), entonces existen coeficientes numéricos γij , 1 ≤ i ≤ l, 0 ≤ j ≤ µi − 1 Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z) de grado g , cuyas raı́ces son α1 , . . . , αl , con respectivas multiplicidades µ1 , . . . , µl , y ninguna de ellas es raı́z de λ1 (z), entonces existen coeficientes numéricos γij , 1 ≤ i ≤ l, 0 ≤ j ≤ µi − 1 tales que la sucesión {pn }n∈N definida por Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z) de grado g , cuyas raı́ces son α1 , . . . , αl , con respectivas multiplicidades µ1 , . . . , µl , y ninguna de ellas es raı́z de λ1 (z), entonces existen coeficientes numéricos γij , 1 ≤ i ≤ l, 0 ≤ j ≤ µi − 1 tales que la sucesión {pn }n∈N definida por   µX l i −1 X  pn = γij nj  αin i=1 j=0 Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z) de grado g , cuyas raı́ces son α1 , . . . , αl , con respectivas multiplicidades µ1 , . . . , µl , y ninguna de ellas es raı́z de λ1 (z), entonces existen coeficientes numéricos γij , 1 ≤ i ≤ l, 0 ≤ j ≤ µi − 1 tales que la sucesión {pn }n∈N definida por   µX l i −1 X  pn = γij nj  αin i=1 j=0 satisface la recurrencia no homogénea. Resolución de ecuaciones no homogéneas ECUACIONES DE DIFERENCIAS Ecuaciones homogéneas Funciones generadoras Desarrollo de funciones racionales Resolución Sistemas homogéneos Ejemplo Resolución Ecuaciones no homogéneas Funciones generadoras Resolución Proposición Si fn satisface una recurrencia homogénea con polinomio caracterı́stico λ2 (z) de grado g , cuyas raı́ces son α1 , . . . , αl , con respectivas multiplicidades µ1 , . . . , µl , y ninguna de ellas es raı́z de λ1 (z), entonces existen coeficientes numéricos γij , 1 ≤ i ≤ l, 0 ≤ j ≤ µi − 1 tales que la sucesión {pn }n∈N definida por   µX l i −1 X  pn = γij nj  αin i=1 j=0 satisface la recurrencia no homogénea. Los coeficientes γij se pueden obtener de sustituir pn en la recurrencia no homogénea y luego igualar los coeficientes de términos análogos en ambos miembros → sistema de g × g .

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