Ecuaciones Diferenciales. Curso 2012. Práctico 2 Ecuaciones

Ecuaciones Diferenciales.
Curso 2012.
Práctico 2
Ecuaciones diferenciales homogéneas.
Sea f : R → R. Las ecuaciones de la forma y ′ = f ( xy ), x 6= 0, son llamadas ecuaciones
homogéneas.
1. i) Mostrar que el cambio de variable z = y/x transforma ecuaciones homgéneas en
ecuaciones de variables separables.
ii) Resolver:
a) y 2 dx + x(x − y)dy = 0.
b)
dy
dx
=
y
x
− xy .
2. Comprobar que las siguientes ecuaciones son homogéneas y resolverlas.
a) (x2 − 2y 2 )dx + xydy = 0.
b) x2 y ′ = 3(x2 + y 2 ) tan−1
y
−x
c) xy ′ = y + 2xe
y
x
+ xy.
.
3. Resolver y verificar (x2 y 2 − 1)y ′ + 2xy 3 = 0. (Sugerencia: hacer el cambio de variable
dependiente y(x) = z α (x), donde el número real α se elegirá tal que la ecuación
resultante sea homogénea).
Ecuaciones reducibles a homogéneas.
Un caso es el de las ecuaciones diferenciales de la forma:
dy
ax + by + c
=f
.
dx
a1 x + b1 y + c1
(1)
Lo que impide ver a esta ecuación como una ecuación diferencial homogénea es la presencia
de términos independientes: c, c1 . El siguiente procedimiento permite convertir la ecuación
(1) en una ecuación homogénea.
Si consideramos las rectas
ax + by + c = 0
a1 x + b1 y + c1 = 0
(2)
podemos distinguir dos casos:
(a) Las rectas se cortan en el punto (x0 , y0 ) - esto ocurre cuando ab1 − a1 b 6= 0.
En este caso, si trasladamos el origen de coordenadas a ese punto, las rectas (2) se
convierten en rectas que pasan por el origen del nuevo sistema de coordenadas (los términos
independientes pasan a ser 0). Esto sugiere realizar el cambio de variables
X = x − x0
(b) Las rectas son paralelas
En este caso se tiene
Y = y − y0
a1
b1
=
=λ
a
b
1
con lo cual
f
ax + by + c
a1 x + b1 y + c1
=f
ax + by + c
λ(ax + by) + c1
= g(ax + by)
que se convierte en una ecuación a variables separables haciendo el cambio de variables:
u = ax + by. Qué ocurre si b = 0?
4. Resolver:
′
a) (2x + 4y + 3)y = 2y + x + 1.
b) (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0.
Ecuaciones exactas.1
Se llaman ası́ a las ecuaciones de la forma
N (x, y)dy + M (x, y)dx = 0,
(1)
donde M, N : Ω → R son funciones defnidas en un abierto conexo del plano (xy) que
derivan de un potencial V (x, y), esto es, M = Vx , N = Vy , donde V x, V y son las derivadas
parciales de V respecto de x e y respectivamente. De este modo, la ecuación (1) puede
escribirse como
Vy (x, y)dy + V x(x, y)dx = 0.
(2)
Por lo tanto, si y(x) es solución de (2), aplicando la regla de la cadena obtenemos :
d
V (x, y(x)) = 0.
dx
(3)
Por lo que y(x) también será solución de la ecuación algebraica
V (x, y(x)) = c.
(4)
Donde la constante c puede hallarse si conocemos una condición inicial (x0 , y0 ). Cómo
saber si una ecuación del tipo (1) es exacta?. Puede probarse que si la región es abierta y
simplemente conexa (”sin agujeros”), una condición necesaria y sufciente para que M, N
(de clase C 1 ) deriven de un potencial es My = Nx . Ilustraremos con un ejemplo como
hallar el potencial V .
Sea la ecuación
(x2 + 4y)dy + (2xy + 1)dx = 0
(5)
(aquı́, N (x, y) = x2 + 4y, M (x, y) = 2xy + 1). Como My = Nx , la ecuación es exacta.
Hallaremos el potencial V del cual derivan M y N . Como M = Vx , si integramos M
respecto a x, obtendremos V :
Z
V (x, y) = (2x + 1)dx + g(y) = x2 y + x + g(y)
Donde la función g(y) es la constante de integración respecto de x. Como ademas sabemos
′
que Vy (x, y) = N (x, y) = x2 + 4y, llegamos a que g (y) = 4y, de donde g(y) = 2y2 + k.
Entonces V (x, y) = x2 y + x + 2y 2 + k. Por tanto, las soluciones de (5) satisfacen x2 y + x +
2y 2 = c donde c es una constante arbitraria.
1
Estos ejemplos y definiciones han sido tomados del libro Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, de Djairo
Guedes de Figueiredo y Aloisio Freiria Neves.
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5. Determinar cuáles de las ecuaciones siguientes son exactas y resolver aquellas que lo
sean.
a) x + y2 dy + ydx = 0.
b) (y − x3 )dx + (x + y 3 )dy = 0.
c) 2x(1 + (x2 − y)1/2 )dx = (x2 − y)1/2 dy.
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Ejercicios complementarios.
6. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) (x2 − 3y 2 )dx + 2yxdy = 0.
b) x2 y ′ − 3xy − 2y 2 = 0.
dy
= y sin xy + x.
c) x sin( xy ) dx
d) xy ′ = 2x + 3y.
e) (x − y)dx − (x + y)dy = 0.
f ) xy ′ = (x2 + y 2 )1/2 .
g) x2 y ′ = y 2 + 2xy.
′
h) (3y − 7x + 3)y = 3y − 7x + 7.
7. Determinar cuáles de las ecuaciones siguientes son exactas y resolver aquellas que lo
sean.
a) (1 + y)dx + (1 − x)dy = 0.
b) (sin x sin y − xey )dy = (ey + cos x cos y)dx.
c) dx =
y
1−x2 y 2 dx
+
x
1−x2 y 2 dy.
d) (x log y + xy)dx + (y log x + xy)dy = 0.
e)
xdx
(x2 +y 2 )3/2
+
ydy
(x2 +y 2 )3/2
f ) 3x2 (1 + log y)dx +
= 0.
x3
y
− 2y dy = 0.
8. Hallar el valor de n para el cual cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y
resolverlas para ese valor de n.
a) (xy 2 + nx2 y)dx + (x3 + x2 y)dy = 0.
b) (x + ye2xy )dx + nxe2xy dy = 0.
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