PROBLEMA 4 Calcular el momento de inercia de un paraboloide de

PROBLEMA 4
z
Calcular el momento de inercia de un paraboloide de
revolución de altura H y radio de la base R.
R
Parábola
H
y
x
SOLUCION
Colocamos el paraboloide de forma que su eje de giro coincida con el eje Z
Para calcular el momento de inercia respecto del eje Z, nos tenemos que acordar de la formula
general de una parábola :
2
2
y = K x que en nuestro caso será : z = K r siendo r la distancia al eje z
2
2
En la parte superior (base del paraboloide) H = K R ⇒ K = H / R
Suponemos que el paraboloide es la suma de discos de radio r y altura dz y de masa dm. Cada disco
2
tiene un momento de inercia dI = (1/2)dm r .
2
Ahora tenemos que hallar el valor del dm: dm = ρ dV = ρ π r dz
donde:
es la densidad y dv el volumen del disco.
El momento de inercia es la suma de los momentos de inercia de todos los discos:
I=
∫ 12 dm r 2 =
∫ 12
r 2dz r 2 =
H
∫ 12
r 4 dz
0
2
2
Donde r depende de z. Tal como vimos al principio, z = K r ⇒ r = z / K
2
2
2
4
2
4
2
Recordandeo que K = H / R ⇒ r = z R /H ⇒ r = z R /H
H
1
I= ∫
2
0
H
1
r 4 dz = ∫
2
0
z 2R4
1
2 dz = 2
H
El volumen de un paraboloide de revolución es
2
H
z3
H2  3 0
R4 H 2
1
2 ∫ z dz = 2
H 0
R4
=
1
6
R4H
2
V = (1/3) π R H y por lo tanto su masa es
m = ρ (1/3) π R H
Introduciendo este valor de la masa en la ecuación anterior de I, el momento de inercia de un
paraboloide de revolución es :
2
I = (1/3) mR
PROBLEMA 14
Dadas las masas de los cuerpos m1 y m2 y el coeficiente de rozamiento µ entre m1 y la superficie
horizontal, así como la masa de la polea mp de radio R, que puede considerarse como un disco
homogéneo, calcular la aceleración y las tensiones de las cuerdas en el sistema de la figura. Dar
valores cuando m1 = 4kg m2 = 2kg mp = 1kg R = 4cm y µ = 0.2.
SOLUCIÓN
N1
T1
T1
Fr
P1
T2
T2
P2
Tenemos que plantear una ecuación para la rotación y dos para el desplazamiento:
Ecuación de rotación:
T2R-T1R = Iα
T2R-T1R = (0.5) mpR2(aCM/R)
T2-T1 = (0.5)mpaCM
Ecuaciones de desplazamiento:
m2g - T2 = m2aCM
T1 - m1g = m1aCM
las tres ecuaciones son:
⇒
⇒
T2 - T1 = (0.5)mpaCM
m2g - T2 = m2aCM
T1- m1g = m1aCM
Despejando T2 y T1 en las ecuaciones 2º y 3ª respectivamente:
T2 = m2g - m2 aCM
T1 = µm1g + m1 aCM
Sumando las tres ecuaciones: m2g - µm1g = 0.5 mp aCM + m2aCM + m1aCM
Sacando factor comun a aCM y despejando:
aCM= ( m2g-µm1g) / ( 0.5 mp + m2+ m1 )
Dando los valores: m1 = 4kg m2 = 2kg mp = 1kg R = 4cm y µ = 0.2
Nos queda
aCM= = ( 2 9.81 – 0.2 4 9.81) / ( 0.5 1 + 2+ 4 ) ⇒
2
aCM = 1.81 m/s
Y sustituyendo este valor en las ecuaciones de la tensión:
T1 = 15.09 N
T2 = 16 N