PROBLEMA 2

PROBLEMA 2
Una partícula que se mueve con un movimiento armónico simple recorre una distancia
total de 20 cm en cada ciclo, y su máxima aceleración es de 50 cm/s 2 . Encontrar: a) la
frecuencia angular y b) la máxima rapidez de la partícula.
SOLUCION;
El sistema de unidades utilizado en el problema es el correspondiente al C.G.S.
a)
Si el ciclo consta de 20cm. nos indica que la amplitud es la siguiente;
Amplitud (A)=1/4 ciclo
A=1/4 20 = 5cm.
Como la aceleración total es igual a a = ω2 A , despejando correctamente de esta
fórmula la frecuencia angular (w) obtenemos el siguiente resultado;
ω2 = a/A = 50/5 = 10 rad/s
ω = 3.16 rad/s
b)
Mediante la derivada respecto al tiempo de la ecuación de la posición de un
movimiento armónico simple (x= A cos(w.t+ ∝) ) obtenemos la ecuación de la
velocidad que es la siguiente;
v = A w sen(w.t + ∝) Como lo que nos piden es la velocidad máxima el seno
debe tener su valor máximo, es decir, uno.
v = A ω = 5 3.16 = 15.8 cm /s
PROBLEMA 4
Una partícula que cuelga sobre un resorte ideal tiene una frecuencia angular de
oscilación ω0 = 2 rad/s. El resorte se cuelga del techo de un elevador, y cuelga sin
movimiento (respecto al elevador) conforme el elevador desciende con una rapidez
constante de 1.5 m/s. El elevador se para repentinamente. a) ¿Con qué amplitud oscilará
la partícula? b) ¿Cuál es la ecuación del movimiento de la partícula? (escoger la
dirección hacia arriba positiva).
SOLUCIÓN
a) Por ser V cte el sistema está en en equilibrio
Vmax = A w Ë 1.5 = A 2 Ë A = 0’75 m
b) Como t = 0 seg. Ë desplazamiento = 0 (sen 0 = 0) Ë va a ser función seno
y = -A sen wt Ë
y = -0.75 sen 2t
y = 0’75 sen (2t+π)
y = 0’75 cos (2t+π/2)
(Cualquiera de las tres)
Sen_ = Cos (_+π/2)
Sen_ = -Sen (_+π)
______________________________________________________________________
PROBLEMA 6
r=
60
m
m
En el cuerpo de la figura calcular su volumen y la superficie
interior curvada.
.
60
80 mm
60
_________________________________________________
_____________________
SOLUCIÓN
Sabemos que según uno de los teoremas de Pappus Guldin, el área de la superficie de un
cuerpo de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la
distancia recorrida por el centro de gravedad de la curva cuando se engendra la
superficie, es decir,
S = L•2•π •Y
2•π •r
Sabemos que L es un cuarto de circunferencia: L =
4
Por otra parte, Y es la distancia entre el eje y el centro de masas del cuarto de
2• r
circunferencia:
Y=
+ 40
π
además sabemos que r = 60, por lo que al sustituir en la primera ecuación la superficie
será:
 2 • 60

2 • π • 60
• 2 •π • 
+ 40
 π

4
Así que el resultado es el siguiente:
S=
Sup=463.06 cm2
Para calcular el volumen usamos el segundo teorema de Pappus Guldin que dice: el
volumen de un cuerpo de revolución es igual al área plana generatriz multiplicada por la
distancia recorrida por el centro de gravedad del área cuando se engendra el cuerpo, es
decir,
V = 2 • π • y' •A
Teniendo en cuenta que:
y' = 40 + 46.6
A = 602 − 1 4 • π • 60 2
Sustituyendo en la ecuación correspondiente:
V = 602 − 1 4 • π • 602 • 2 •π • (40 + 46.6)
Por lo tanto el volumen será:
(
)
volumen=420.37 mm2
Nota: el valor 2r/π se pueden calcular aplicando Pappus
Guldin al cuerto de circunferencuia respecto al eje A.
Ver figura
A
2r/π
Por su parte, el valor y 46.6 se puede obtener
considerando la placa rayada como una cuadrada menos
un cuarto de circulo. A su vez, la posición del centro de
masas del cuarto de circulo se puede calcular por Pappus
Guldin respecto al eje A
PROBLEMA 8.4
Determinar el centro de gravedad de la placa
homogénea de la figura
46.6
40 mm
60
80 mm
60
y
y = a2/x
a
b
x
SOLUCION
Primero vamos a hallar el centro de gravedad del eje x:
Se coge un dx y se integra desde x = a hasta x = b. También se podría haber cogido un
dy, pero en este caso, habría que haber hecho la suma de dos integrales, porque sus
límites de integración no son continuos, por lo que sería más dificil.
a2 x
∫ xdx ∫ dy
b
xda
xdxdy
= ∫∫
=
X cm = ∫
∫ da
∫∫ dxdy
a
b
0
a x
a
0
2
∫ dx ∫ dy
b
∫ xdx
= ab
b
a2
x
2
a
∫ dx x
a
=
a2 ∫ dx
a
b
1
dx
x
a
a2 ∫
2
Se podría simplificar el a de numerador y denominador , pero como en el cálculo del
centro de gravedad en el eje y el denominador va a ser el mismo, se deja así para
después poder usarle. Seguimos con el cálculo:
[b − a]
[b − a ]
[b − a]
a
a
a
=
=
=
X
a [ln x ] a [ln b − ln a] a ln (b a )
2
cm
2
2
b
a
2
2
2
Vamos a hallar ahora el centro de gravedad para el eje y:
Procedemos de igual modo. Como vimos antes, el denominador es igual que el de la
expresión anterior, por lo tanto, le añadiremos al final:
yda
=
Y cm = ∫
da
∫
b
a2
a
0
∫ dx ∫ ydy
 2 x
y
∫ dx  2 
0
a 
b
x
=
a2
b1
a4
∫ 2 dx 2
x
=a
=
1 4 b −2
a ∫ x dx
2
a
=
a
1 41
1 4  1 1
1 4 1
b
−1
a


a  − 
a
x a 2  x
2
a b
2
−1
b
=
=
=
a 2 ln b a
[
]
( )
Cuando hay un –1 delante del corchete, se elimina intercambiando los límites de
integración. Al final se introduce el denominador, y ya se pueden simplificar ambas
expresiones