Problema 112

Problema 112
Solución de Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, Mallorca, España.
a 3 + b3 + c3 = 0
reduce
3
3
3
3
(a + b + c ) = a + b + c + 3(a + b )(b + c )(c + a ) a la igualdad
La
la
condición
identidad
(a + b + c )3 = 3(a + b )(b + c )(c + a )
la cual implica a + b ≠ 0 , b + c ≠ 0 , c + a ≠ 0 y a + b + c ≠ 0 . (En efecto, si, p. e.,
a + b = 0 resultaría c 3 = 0 o, equivalentemente, c = 0 que es contrario a la
hipótesis).
A su vez,
a 3 + b 3 + c 3 = 0 ⇔ −a 3 = b 3 + c 3
(
= (b + c ) b 2 − bc + c 2
[
)
= (b + c ) (b − c ) + bc
2
]
y siendo, según se ha visto, b + c ≠ 0 , obtenemos
− a3
(b − c ) + bc =
,
b+c
2
− a3
− a 2 (a + b + c )
2
(b − c + a )(b − c − a ) + bc = (b − c ) − a + bc =
−a =
b+c
b+c
2
2
y, por sustitución,
(b − c )2 + bc
a
= ∑
=1 .
∑
cíclica (b − c + a )(b − c − a ) + bc
cíclica a + b + c
Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de
Matemática
http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/
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