Problema 73
Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España
Resolver la ecuación en diferencias
Con las condiciones iniciales
Solución Problema 73
Utilizando la relación de recurrencia tenemos:
u n+3 =
un+ 2 − un+1
1 + un+ 2u n+1
u n+1 − u n
− un+1
1 + u n+1un
=
u − un
1 + n+1
u n+1
1 + un+1un
u n+1 − u n − u n+1 − (un+1 ) u n
1 + un+1un
2
1 + un un+1 + (un+1 ) − un un+1
1 + un+1un
2
=
− u n − (u n+1 ) u n
=
= −un
2
1 + (u n+1 )
2
O sea tenemos que u n +3 = − u n , ∀n ∈ Ν
*
(1)
Y como consecuencia: u n +6 = −u n +3 = u n , ∀n ∈ Ν
Como u 3 =
*
(2)
a −1
por la recurrencia entonces decimos en virtud de (1), (2) y las
1+ a
condiciones iniciales que la solución de la ecuación en diferencias es:
si n = 6k
1
a
si n = 6k + 1
a
−
1
si n = 6k + 2
un = a +1
cuando k es un número natural.
−
1
si
n
=
6
k
+
3
−a
si n = 6k + 4
a −1
si n = 6k + 5
−
a +1
Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de
Matemática
http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/
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