Planos - Universidad de Guanajuato

Álgebra Lineal III: Planos y Lı́neas. Problemas Resueltos.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1
Introducción.
En estas notas, se presentan algunos ejemplos de representación de planos y lı́neas. Estos planos e
lı́neas son ejemplos de conjuntos solución de ecuaciones lineales en el espacio vectorial apropiado. Estas
notas hacen uso de dos operaciones vectoriales que, en un curso mas profundo y extento, serian parte
del Álgebra lineal. En estas notas, simplemente definiremos estas operaciones y las emplearemos para
nuestros ejemplos.
2
Definición de las operaciones.
Las operaciones que vamos a emplear son el producto vectorial y el producto escalar.
1. Definición: Producto Vectorial. Considere el espacio vectorial R3 ,1 de vectores en el espacio y
sean ~x = (x1 , x2 , x3 ), ~y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Considere la operación
× : R3 × R3 → R3
~x × ~y = ~z,
(1)
donde
¯
¯ î
¯
~z = (z1 , z2 , z3 ) = ~x × ~y = ¯¯ x1
¯ y1
ĵ
x2
y2
k̂
x3
y3
¯
¯
¯
¯ = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 )
¯
¯
Puede probarse que el producto vectorial satisface las siguientes propiedades ∀~x, ~y , ~z ∈ R3
• El producto es anticonmutativo
• El producto no es asociativo
~x × ~y = −~y × ~x.
~x × (~y × ~z) 6= (~x × ~y ) × ~z.
• El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores
~x × (~y + ~z) = (~x × ~y ) + (~x × ~z)
(~x + ~y ) × ~z = (~x × ~z) + (~y × ~z)
• La interpretación geométrica del producto vectorial ~x ×~y , se muestra en la figura 1 y representa
un vector perpendicular al plano formado por los vectores ~x y ~y , de magnitud igual a
| ~x × ~y |=| ~x || ~y | sen θ.
1 Es
donde | ~x | y | ~y | representan las magnitudes de los vectores ~x y ~y y θ es el angulo que forman
ambos vectores. Finalmente el sentido de ~x × ~y está dado por la regla de la mano derecha.
posible generalizar este producto vectorial a espacios de dimensión mayor que 3.
1
Figure 1: Interpretación geométrica del producto vectorial.
2. Definición: Producto Escalar. Considere el espacio vectorial R3 , de vectores en el espacio y
sean ~x = (x1 , x2 , x2 ), ~y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Considere la operación2
· : R3 × R3 → R
~x · ~y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
(2)
Puede probarse que el producto vectorial satisface las siguientes propiedades, ∀~x, ~y , ~z ∈ R3 , ∀λ ∈ R
• El producto es conmutativo o simétrico
~x · ~y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = ~y · ~x.
• El producto es homogeneo en la primera y segunda variable
(λ~x) · ~y = λ(~x · ~y )
~x · (λ ~y ) = λ(~x · ~y )
• El producto es aditivo en la primera y segunda variable
~x · (~y + ~z) = (~x · ~y ) + (~x · ~z)
(~x + ~y ) · ~z = (~x · ~z) + (~y · ~z)
• El significado geométrico del producto escalar está dado por
~x · ~y =| ~x | | ~y | cos θ
En particular dos vectores son perpendiculares si ~x · ~y = 0, es decir cuando cos θ = 0, es
decir si θ = ±90◦ . Por otro lado, la norma o longitud de un vector se define como
q
√
| ~x |= ~x · ~x = x21 + x22 + x23
En particular, un vector se denomina unitario si
| ~x |= 1
es decir si
x21 + x22 + x23 = 1.
En este caso, es común que el vector unitario se represente como x̂.
2 Es
posible generalizar este producto escalar a espacios de cualquier dimensión. Sin embargo, la operación no puede,
en sentido estricto, considerarse una operación, pues el resultado final no pertenece al mismo conjunto que uno de los
operandos, el nombre correcto es una forma simétrica bilineal.
2
Figure 2: Plano perpendicular al vector unitario û que pasa por el punto P .
3
Determinación de las ecuaciones de un plano.
En esta sección se presentarán diferentes alternativas para encontrar las ecuaciones de un plano.
3.1
Determinación de la ecuación de un plano, dado un punto del plano y
una normal al plano.
Considere el plano mostrado en la figura 2, perpendicular al vector unitario û = (ux , uy , uz ), que pasa
por el punto P cuyo vector de posición está dada por ~rP = (xP , yP , zP ), el objetivo es determinar la
ecuación del plano.
Sea Q un punto arbitrario del plano, cuyo vector de posición está dado por ~rQ = (xQ , yQ , zQ ), puesto
que todos los vectores que yacen en el plano son perpendiculares a û, la ecuación del plano está dada
por3
û · (~rQ − ~rP ) = 0
o desarrollando la ecuación
(ux , uy , uz ) · [(xQ , yQ , zQ ) − (xP , yP , zP )]
Ejemplo 1. Suponga que û =
por
( √13 , √13 , √13 ),
o
ux xQ + uy yQ + uz zQ = ux xP + uy yP + uz zP .
y ~rP = (3, 1, 2), entonces la ecuación del plano está dada
1
1
1
1
1
1
√ xQ + √ yQ + √ zQ = √ 3 + √ 1 + √ 2
o
3
3
3
3
3
3
El plano determinado en este ejemplo se muestra en la figura 3.
3.2
xQ + yQ + zQ = 6.
Determinación de la ecuación de un plano, dados tres puntos del plano.
Considere el plano mostrado en la figura 4, tal que 3 puntos P, Q y R yacen en el plano, los vectores coordenados de esos puntos respecto a un sistema coordenado seleccionado están dados por ~rP = (xP , yP , zP ),
~rQ = (xQ , yQ , zQ ), ~rR = (xR , yR , zR ), el objetivo es determinar la ecuación del plano.
3 No
es necesario que û sea un vector unitario.
3
Figure 3: Plano perpendicular al vector unitario ( √13 , √13 , √13 ) que pasa por el punto (3, 1, 2).
Figure 4: Plano determinado por tres puntos que yacen en el plano.
4
Figure 5: Plano que pasa por los puntos ~rP = (1, 2, 1), ~rQ = (−1, −1, −3), ~rR = (3, −2, 2).
Si se denominan ~rQ − ~rP y ~rR − ~rP los vectores de posición de los puntos Q y R, respecto del punto
P . Estos dos vectores yacen en el plano y su producto vectorial es perpendicular al plano. Sea M un
punto arbitrario del plano, tal que ~rM = (xM , yM , zM ), puesto que todos los vectores que yacen en el
plano son perpendiculares al producto vectorial la ecuación del plano está dada por
[(~rQ − ~rP ) × (~rR − ~rP )] · (~rM − ~rP ) = 0.
Ejemplo 2. Suponga que los vectores de posición de los puntos están dados por ~rP = (1, 2, 1),
~rQ = (−1, −1, −3), ~rR = (3, −2, 2).
Entonces el vector perpendicular al plano formado por esos tres puntos obtenido mediante el producto
vectorial está dado por
~v = (~rQ − ~rP ) × (~rR − ~rP ) = (−19, −6, 14).
Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por
~v · (~rM − ~rP ) = 0
o
(−19, −6, 14) · [(xM , yM , zM ) − (1, 2, 1)] = 0
Por lo tanto, la ecuación del plano está dada por
−19 xM − 6 yM + 14zM = −17.
El plano determinado en este ejemplo se muestra en la figura 5.
Ejemplos propuesto 1. Determine la ecuación del plano que es perpendiculat al vector ~v =
( 23 , − 23 , 31 ) y que pasa por el punto P de coordenadas (−5, 6, 2).
Ejemplo propuesto 2. Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos P , Q y R, cuyas
coordenadas son respectivamente, (0, 1, −1), (3, 5, −2) y (−1, 4, 7).
5