Cónicas - OCW UPM
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Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: a) 11x 2 + 14y2 − 4xy + 40x + 20y + 45 = 0 b) x 2 − 8xy + y2 − 4x − 4y + 1 = 0 c) x 2 − 4xy + 4y2 − 2x + 8y = 0 d) 4x2 + y2 − 4xy + 2x + 4y − 10 = 0 2.- Hallar la ecuación de la cónica 3 1 ( 0, 0 ) , ( 2, 0 ) , ( 0, −2 ) , ⎛⎜ , ⎞⎟ y ⎝2 4⎠ que pasa por los puntos ⎛ 3 −3 ⎞ ⎜ , ⎟. ⎝2 4 ⎠ 3.- Hallar el centro y las asíntotas de la cónica: 2 + x 2 + 2xy = 0 . 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: a) x 2 − 2axy + 2ay2 − 2x + 4ay = 0 b) ax2 − 2xy + ay2 − 2x + 2y + 3 = 0 5.- Hallar λ y μ sabiendo que las ecuaciones x 2 + λy2 = 1 , x ' y ' = μ , corresponden a una misma cónica expresada en dos sistemas de referencia ortonormales distintos. 6.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: x 2 + 2ay2 − 2axy − 2x + 4ay = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 2: Ecuación reducida Parámetro de la cónica Eje y vértice Foco y directriz Dibujo de la cónica. 7.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: a + 2x + 2y + ax2 + 2xy + ay2 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 0 Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica Centro, si procede Ejes y vértices Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1 Focos y directrices Asíntotas, si procede Dibujo de la cónica. Cónicas 8.- Dada la cónica 2x2-y2+4xy-x=0, se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas g) Vértices h) Dibujo de la cónica. 9.- Dada la cónica de ecuación: 9x2+6xy-22x+y2-34y+49=0. Se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Parámetro de la cónica. e) Vértice y eje. f) Foco y directriz. 10.-Dada la cónica x2 + y2 + kxy - 10x - 2y + 1 = 0, se pide: a) La ecuación matricial b) Ecuación de las Asíntotas y eje focal para el valor k = 2. c) Ecuación reducida para el valor k = 1 1 d) Hallar la excentricidad para el valor k = . 2 e) Clasificar según los valores del parámetro k ∈ ℜ f) Demostrar que la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera es e = 11.- Dada la cónica de ecuación: 1+2x+4y+3x2+4xy=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica d) Centro, si procede e) Ejes y Vértices f) Focos y directrices g) Asíntotas, si procede 2 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 2 Cónicas h) Dibujo de la cónica y de los elementos hallados en los apartados anteriores. 12.- Sea la cónica de ecuación: 2x2+y2+2√2xy+2y=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Excentricidad y Parámetro de la cónica d) Vértice, si procede e) Ejes f) Dibujo de la cónica 13.- Dada la cónica de ecuación 3x 2 − 8xy − 3y2 + 10x − 10y + 10 = 0 , se pide: a) b) c) d) e) f) Ecuación matricial. Clasificación. Ecuación reducida. Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica. Centro y Ejes. Asíntotas 14.- Dada la cónica de ecuación 2x2 − 2xy + 3y2 + 6x − 8y + 3 = 0 , se pide: a) b) c) d) e) f) g) Ecuación matricial. Clasificación. Ecuación reducida. Semiejes y Parámetro de la cónica. Centro. Ejes (indicando cuál es el eje focal). Vértices principales (sobre el eje focal). 15.- Dada la cónica de ecuación x2+2xy+2y2-2x-1=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Centro d) Ejes 16.- Dada la cónica de ecuación x2 – 2 y2 + 4 x + 1 = 0. Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3 c) d) e) f) Semiejes y excentricidad Cónicas Centro Ejes Asíntotas ⎛ 1 −1 − a ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 17.- Sea la cónica de ecuación: (1 x y ) ⎜ −1 a 1 ⎟ ⎜ x⎟ = 0 . ⎜ −a 1 a ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ a.- Clasificarla según los valores del parámetro real “a”. b.- Para a = 0, se pide: Clasificación Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica Centro Ejes Asíntotas 18.- a) Probar que sólo uno de los siguientes polinomios de segundo grado en x y en y representa una elipse 1. x2+4xy+y2=7 2. 2x+5y-3+x2+3xy+2y2=0 3. 9y2-24xy-40y+16x2-30x=5 4. 5y2+5x2-1-8xy+4x-2y=0 b) Hallar el centro, los ejes, los focos y las asíntotas de la cónica 2 y +4xy+x2-7=0. 19.- Clasificar la cónica 2xy+4x-1=0 y hallar su excentricidad, eje focal y focos. 20.- Dada la cónica x2 + y2 –2xy – 6x + 2y + 7 = 0, se pide: a) Las coordenadas del foco. b) La ecuación de la directriz. 21.- Dada la cónica de ecuación 36x2 + 29y2 + 24xy − 96x − 22y − 115 = 0 . Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, parámetro y excentricidad 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. d) Centro y ejes e) Directrices Cónicas 22.- Dada la cónica de ecuación: x 2 + 2xy + y2 − 2x − 10y + 9 = 0 . Se pide: a) Ecuación matricial b) Clasificación c) Ecuación reducida d) Excentricidad y parámetro de la cónica e) Vértice y eje f) Foco y directriz g) Gráfica de la cónica donde aparezcan los elementos que se calculan en los dos apartados anteriores. 23.- Sea la cónica de ecuación: 11x 2 + 17y2 − 6 3xy − 40 = 0 a) ¿Es el centro de la cónica el origen del sistema de referencia? ¿Son los ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos. b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: c) Hallar las ecuaciones de los ejes: d) Directrices. e) Focos. f) Vértices. 24.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: (a2 + 4)x 2 + 9y2 + 6axy − 4(a2 + 1)x − 12ay + 4a2 − 8 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 1: Ecuación reducida y área de la cónica. Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica. Centro, ejes, focos y vértices principales. Ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (0,2) y son tangentes a la cónica. Dibujo de la cónica. 25.- Dada la cónica de ecuación 8x 2 − 6 2xy + y2 − 36 2x + 14y + 49 = 0 . Se pide: a) Clasificar la cónica b) La ecuación reducida. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5 Cónicas c) La excentricidad. d) La ecuación del eje focal. e) Las ecuaciones de las asíntotas. 26.- Dada la cónica de ecuación x 2 + 2ay2 − 2axy − 2x + 4ay = 0 , se pide: a) Clasificar la cónica en función del parámetro “a”. b) Para a = -10, hallar b1) Ecuación reducida. b2) Centro, si procede. b3) Ejes, indicando cuál es el focal. b4) Asíntotas, si procede. b5) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores 27.- Dada la cónica de ecuación: x 2 + y2 + 2kxy + 2x + 1 = 0 , se pide: a) Clasificar la cónica en función del parámetro “k”. b) Para k = -1 b1) Ecuación reducida y parámetro de la cónica. b2) Vértice y eje de la cónica. b3) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores. 28.- Dada la cónica de ecuación: 2 + x2 + 2xy = 0 , se pide: a) Clasificarla b) Coordenadas del centro c) Asíntotas 29.- a) Determinar entre todas las cónicas de la familia x2 + xy + y2 +2x + y + 3 + λ(xy + y2 - 2x + y + 1) = 0 aquellas no degeneradas cuyos centros están sobre la recta x –y –2 = 0 b) Clasificar la cónica para λ=1. 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 2 2 Cónicas 30.- Dada la elipse: x +y -xy+x+y=0. Se pide: a) centro b) excentricidad y semiejes c) ejes de simetría d) ecuación de las rectas tangentes a la elipse y paralelas a la recta y = x 31. Dada la cónica de ecuación: 5x2 + 5y2 +2xy – 6x – 6y - 3 = 0, se pide: a) Ecuación reducida. b) Excentricidad. c) Centro. d) Ejes. 32.- Dadas las cónicas 3x² + 2xy + 3y² + 4x +1 = 0 4x² + y² – 4xy + 2x + 4y – 3 = 0 Se pide: a) Calcular los puntos de intersección de ambas cónicas. b) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por ambos puntos de intersección. c) Calcular los puntos de corte de la recta r con cada uno de los ejes focales de ambas cónicas. 33.- Hallar las coordenadas del centro, las ecuaciones de los ejes y las asíntotas de la hipérbola 6x 2 − 12xy + y2 + 3x + 2y − 13 = 0 . 34.- Escribir la ecuación reducida de la cónica x 2 + 3y2 − 2xy − 2x + 1 = 0 y determinar la excentricidad. 35.- Sea la cónica de ecuación: λx2 + λ y2 − 2xy + 2x + 2y + 1 = 0 . a.- Clasificarla según los valores del parámetro real “ λ ”. b.- Para λ = 0, se pide: Ecuación reducida Semiejes Excentricidad Centro Asíntotas 36.- a) Clasificar las siguientes cónicas: a1) 2 + x2 + 2xy = 0 a2) x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 8y = 0 a3) x2 + 2xy + 2 y2 - 2x – 1 = 0 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7 Cónicas b) Hallar los semiejes a y b, y las ecuaciones de los ejes de la elipse x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 4y = 0 Problemas propuestos. P1.- Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos (7, 1), (5, -3), (-1,-3), (-3,1) y (-3,-7). Calcular sus elementos característicos, la ecuación reducida y representar la cónica. P2.- Hallar la cónica que pasa por los puntos (1, 0), (3, 2) y (1, -4) y tal que e=0. P3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados, su centro es C(-2,1); el eje mayor es paralelo a OY, su longitud es 10 y la distancia focal 8. P4.- Dados los puntos A(3,4),B(-3,9), C(-3,-1), D(-9,4) y E(3/5,0). Calcular la ecuación de la cónica que pasa por dichos puntos. b) Hallar los ejes, vértices, focos y excentricidad de la cónica anterior. c) Ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente que pasa por E(3/5,0). d) Ecuaciones de las rectas que pasan por (9,9) y son tangentes a la elipse. P5.- Estudiar las siguientes cónicas: a) x 2 + y2 + 2xy + 6 2x − 2 2y − 14 = 0 b) x 2 + y2 + 2xy + x + y − 2 = 0 c) xy − x = 0 d) x 2 + 4y2 + 4xy − 2x − 4y + 1 = 0 e) 2x2 + 2y2 + x + 1 = 0 g) xy + x − y = 0 8 f) 3x 2 + 3y2 + 2xy − 6 2x − 10 2y + 10 = 0 h) 8x 2 + y2 − 6 2xy + 2x + 1 = 0 . Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: a) 11x 2 + 14y 2 − 4xy + 40x + 20y + 45 = 0 Solución: Clasificación ⎛ 45 20 10 ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 20 11 − 2 ⎟ , ⎜ 10 − 2 14 ⎟ ⎠ ⎝ (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⎧A 00 = 150 > 0 ⇒ Elipse ⎨ ⎩ A = −750 ≠ 0 ⇒ ELIPSE REAL Ecuación reducida λ1 x ''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 ⎛ 11 − 2 ⎞ ⎧λ 1 = 10 ⎟⎟ ⇒ ⎨ λ 1 y λ 2 valores propios de A c = ⎜⎜ , ya que se toma como λ 1 el valor ⎝ − 2 14 ⎠ ⎩λ 2 = 15 propio de menor valor absoluto. A k= = −5 A 00 10 x ' ' 2 +15 y' ' 2 −5 = 0 ⇒ x ' ' 2 y' ' 2 + =1 5 10 5 15 Semiejes 1 1 1 1 a2 = ⇒ a = , b2 = ⇒ b = 2 3 2 3 Excentricidad y parámetro de la cónica b2 2 1 1 2 2 = a = , b = ⇒ p= a 3 2 3 c2 = a 2 − b2 = c 3 1 1 ⇒c= ⇒ e= = a 3 6 6 Centro ⎧20 + 11x − 2y = 0 ⇒ C ( −2, −1) ⎨ ⎩10 − 2x + 14y = 0 Ejes ⎧Pasa por el centro C (− 2,−1) Eje focal x’’ ≡ ⎨ ⎩Es paralelo a los vectores propios asociados a λ 1 = 10 x ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 1 ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x − 2 y = 0 ⇒ y = x ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎝ y ⎠ ⎝ − 2 4 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ 1 Luego, x’’ ≡ y + 1 = (x + 2) . 2 ⎧Pasa por el centro C (− 2,−1) El eje no focal y’’ ≡ ⎨ ⎩Es perpendicular al eje focal (A c − λ1I)⎛⎜⎜ Por tanto, y’’ ≡ y + 1 = −2(x + 2 ) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9 Cónicas Vértices Se hallan interseccionando el eje focal con la circunferencia de centro el de la cónica y radio 1 a= : 2 ⎧ ⎛ 10 10 ⎞ 1 ⎧ A − 2, − 1⎟⎟ ⎪ ⎜ 1 ⎜ 5 10 ⎪⎪ y + 1 = 2 ( x + 2 ) ⎪ ⎝ ⎠ ⇒⎨ ⎨ 10 ⎞ ⎪ ⎛ 10 ⎪( x + 2 )2 + ( y + 1)2 = 1 A 2, − − − − 1⎟⎟ ⎜ 2 ⎪⎩ ⎪ ⎜ 5 2 10 ⎠ ⎩ ⎝ Los vértices secundarios se hallarían de manera análoga, interseccionando el eje no focal con la 1 . circunferencia de centro el de la cónica y radio b = 3 ⎧ ⎛ 15 15 ⎞ B − 2, − − 1⎟⎟ ⎪ ⎜ 1⎜ ⎧ y + 1 = −2 ( x + 2 ) 15 ⎪ ⎝ 15 ⎠ ⎪ ⎨ 1⇒ ⎨ 2 2 15 ⎞ ⎪ ⎛ 15 ⎪( x + 2 ) + ( y + 1) = 3 ⎩ ⎪B2 ⎜⎜ − 15 − 2, 15 − 1⎟⎟ ⎠ ⎩ ⎝ Focos Se hallan interseccionando el eje focal con la circunferencia de centro el de la cónica y radio c: 1 1 c2 = a 2 − b2 = ⇒ c = 6 6 1 ⎧ ⎪⎪ y + 1 = 2 ( x + 2 ) ⇒ ⎨ ⎪( x + 2 )2 + ( y + 1)2 = 1 ⎪⎩ 6 ⎧ ⎛ 30 30 ⎞ − 2, − 1⎟⎟ ⎪F1 ⎜⎜ 30 ⎪ ⎝ 15 ⎠ ⎨ 30 30 ⎞ ⎪ ⎛ ⎪F2 ⎜⎜ − 15 − 2, − 30 − 1⎟⎟ ⎠ ⎩ ⎝ Directrices Son rectas paralelas al eje no focal y’’ y tales que distan a2 del centro de la cónica: c dir ≡ y = −2 x + k ⇔ 2x + y − k = 0 − 4 −1− k a 2 6 30 30 d(C, dir ) = = = ⇒ 5+ k = ⇒k=± −5⇒ c 2 2 2 4 +1 ⎧ 30 +5= 0 ⎪dir1 ≡ 2x + y − ⎪ 2 ⎨ ⎪dir ≡ 2x + y + 30 + 5 = 0 ⎪⎩ 1 2 Dibujo de la cónica 10 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: b) x 2 − 8xy + y 2 − 4x − 4y + 1 = 0 Solución: Ecuación matricial X AX = O ⇔ (1 x t ⎛ 1 −2 −2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ y ) ⎜ −2 1 −4 ⎟⎜ x ⎟ = 0 ⎜ −2 −4 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Clasificación 1 −4 A 00 = = −15 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. −4 1 A = −55 ≠ 0 ⇒ Se trata de una HIPÉRBOLA . Ecuación reducida λ 1x''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 A 11 ⎧−3 = ; A c − λ I = λ 2 − 2λ - 15 = 0 ⇒ λ = ⎨ A 00 3 ⎩5 De acuerdo con el criterio expresado anteriormente, tomamos para λ 1 el valor propio de signo contrario a c, es decir, λ 1 = −3, λ 2 = 5 ;. Por tanto, la ecuación reducida queda: 11 x' ' 2 y' ' 2 −3x' ' 2 +5y'' 2 + = 0 ⇔ − = 1. 2 2 3 11 11 ( ) ( 15 3) Excentricidad y parámetro de la cónica 8 c 11 2 11 2 88 > 1 , ya que a 2 = e= = ,b = , c = a 2 + b2 = . 5 a 9 15 45 k= b 2 3 11 = p= a 15 Centro y ejes ⎧ −2 + x − 4 y = 0 Para calcular el centro, resolvemos el sistema ⎨ , obteniéndose el punto. ⎩ −2 − 4 x + y = 0 C = (-2/3, -2/3). Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ 1 + 3 −4 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ x − y = 0 ⇔ y = x . ⎜ ⎝ −4 1 + 3⎠ ⎝ y⎠ ⎝ 0⎠ 2 2 Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y + = x + ⇔ y = x . 3 3 El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: 2 2 4 y + = −( x + ) ⇔ y = − x − . 3 3 3 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 11 Cónicas Para calcular los vértices, interseccionamos el eje focal con la circunferencia de centro C y radio a: 2 2 2 2 11 ⎧ ⎪( x + ) + ( y + ) = 3 3 9 ⎨ ⎪⎩y = x obteniéndose los puntos V1 ( −4 + 22 −4 + 22 −4 − 22 −4 − 22 , ) y V2 ( , ). 6 6 6 6 Focos y directrices Los focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c: 2 2 2 2 88 ⎧ ⎪( x + ) + ( y + ) = 3 3 45 ⎨ ⎪⎩y = x 2 55 − 10 2 55 − 10 2 55 + 10 2 55 + 10 , ) y F2 (,). 15 15 15 15 a2 : Las directrices son rectas paralelas al eje no focal que distan del centro c Su ecuación ha de ser, por tanto, de la forma y = -x + k, determinando k de modo que 2 2 −8 ± 55 a2 55 − 3 − 3 − k . Resulta k = , luego, las directrices son las = = c 6 6 2 2 obteniéndose los puntos F1 ( rectas y = − x + −8 ± 55 . 6 Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación 1 + m 2 − 8m = 0 . Al resolver la ecuación anterior, se obtienen dos valores para m: m1 = 4 − 15 , m 2 = 4 + 15 . Las ecuaciones de las asíntotas son: 2 2 2 2 y + = (4 − 15 )( x + ) , y + = (4 + 15 )( x + ) . 3 3 3 3 Dibujo de la cónica x 12 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: c) x 2 − 4xy + 4y 2 − 2x + 8y = 0 Solución: Ecuación matricial X AX = O ⇔ (1 x t ⎛ 0 −1 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ y ) ⎜ −1 1 −2 ⎟ ⎜ x ⎟ = 0 . ⎜ 4 −2 4 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Clasificación 1 −2 = 0 ⇒ Cónica de tipo parabólico. A 00 = −2 4 A = −4 ≠ 0 ⇒ Se trata de una PARÁBOLA . Ecuación reducida es del tipo λ 2 y'' 2 +2 b1 x'' = 0 , siendo λ 2 = a11 + a 22 = 1 + 4 = 5 , −A 4 2 =± 5. a11 + a 22 5 5 Tomamos el signo de b1 contrario al de λ 2 , resultando la ecuación reducida: y b1 = ± =± 4 5 5 x '' = 0 ⇔ y ''2 = 4 x '' . 5 25 Parámetro de la cónica 5 p=2 25 Eje y vértice De todas las rectas que tienen por dirección la dada por los vectores propios de A c asociados al valor propio λ 2 , vamos a considerar la recta r que corta a la parábola en único punto. Dicho punto será el vértice V de la parábola. Los vectores propios asociados a λ 2 = 5 , son las soluciones del sistema: ⎛1 − 5 −2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ −4x − 2y = 0 ⇔ y = −2x ⎝ −2 4 − 5 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Por tanto, la pendiente de la recta r es -2, y tiene una ecuación de la forma: y = −2x + k . Hay que hallar k de forma que el discriminante Δ de la ecuación de segundo grado que se obtiene al interseccionar la parábola y la recta r, sea nulo: ⎧4x 2 + y 2 − 4xy + 2x + 4y − 10 = 0 ⇔ 25x 2 + (−20k + 18)x + ( 4k 2 + 8k ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩ y = −2x + k 81 Δ = (−20k + 18) 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ (4k 2 + 8k) = 0 ⇒ k= . 20 81 El vértice es ya la solución del sistema anterior para k= , es decir: 20 9801 99 99 81 9 ⎛ 99 9 ⎞ =0⇒ x = ⇒ y = −2 + = ⇒ V=⎜ , 25x 2 − 99x + ⎟. 100 50 50 20 100 ⎝ 50 100 ⎠ 5y ''2 − Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 13 Cónicas El eje es la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a r, es decir, tiene de pendiente 1/2. Su ecuación es, por tanto: 9 1⎛ 99 ⎞ = ⎜x − ⎟. y− 100 2 ⎝ 50 ⎠ Foco y directriz Para calcular el foco y la directriz, interseccionemos el eje con la circunferencia de p 5 : centro V y radio , siendo p el parámetro de la parábola, p = 2 2 25 9 1 99 1 ⎧ ⎧ 19 − = − y (x ) x= , y= ⎪⎪ 100 2 ⎪⎪ 10 50 20 ⇒⎨ . ⎨ 99 9 1 103 13 2 2 ⎪(x − ) + (y − ⎪ x= ) = , y= ⎪⎩ ⎪⎩ 50 50 100 125 100 ¿Cuál de los dos puntos anteriores es el foco y cuál pertenece a la directriz? Para averiguarlo, analicemos el discriminante de la ecuación del apartado anterior para k = 0: Δ = 18 > 0 . Por tanto, para k = 0, la correspondiente recta perpendicular al eje corta a la parábola en dos puntos, luego la cónica se dirige hacia la izquierda. ⎛ 19 1 ⎞ El foco es, entonces, el punto F ⎜ , ⎟ y la directriz es la recta perpendicular al eje ⎝ 10 20 ⎠ ⎛ 103 13 ⎞ , que pasa por el punto ⎜ ⎟ . Por consiguiente, la ecuación de la directriz es: ⎝ 50 100 ⎠ 13 103 ⎞ ⎛ = −2 ⎜ x − dir ≡ y − ⎟ . 100 50 ⎠ ⎝ Dibujo de la cónica 14 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: d) 4x 2 + y 2 − 4xy + 2x + 4y − 10 = 0 Solución: Ecuación matricial X AX = O ⇔ (1 x t 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ −10 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ y) ⎜ 1 4 −2 ⎟⎜ x ⎟ = 0 . ⎜ 2 −2 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Clasificación 4 −2 A 00 = = 0 ⇒ Cónica de tipo parabólico. −2 1 A = −25 ≠ 0 ⇒ Se trata de una PARÁBOLA . Ecuación reducida es del tipo λ 2 y'' 2 +2 b1 x'' = 0 , siendo λ 2 = a 11 + a 22 = 4 + 1 = 5 , −A 25 =± 5. a 11 + a 22 5 Tomamos el signo de b1 contrario al de λ 2 , resultando la ecuación reducida: y b1 = ± =± 5y' ' 2 −2 5 x ' ' = 0 ⇔ y' ' 2 = 2 5 x' ' . 5 Parámetro de la cónica 5 p= 5 Eje y vértice De todas las rectas que tienen por dirección la dada por los vectores propios de A c asociados al valor propio λ 2 , vamos a considerar la recta r que corta a la parábola en único punto. Dicho punto será el vértice V de la parábola. Los vectores propios asociados a λ 2 = 5 , son las soluciones del sistema: ⎛ 4 − 5 − 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ x + 2 y = 0 ⇔ y = − x 2 ⎝ − 2 1 − 5 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ 1 Por tanto, la pendiente de la recta r es − , y tiene una ecuación de la forma: 2 x y = − + k . 2 Hay que hallar k de forma que el discriminante Δ de la ecuación de segundo grado que se obtiene al interseccionar la parábola y la recta r, sea nulo: ⎧4 x 2 + y 2 − 4 xy + 2x + 4 y − 10 = 0 ⎪ ⇔ 25x 2 − 20kx + 4k 2 + 16k − 40 = 0 ⇒ ⎨ x ⎪y = − + k 2 ⎩ 5 Δ = 400k 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ (4k 2 + 16k − 40) = 0 ⇒ k = . 2 5 El vértice es ya la solución del sistema anterior para k = , es decir: 2 ( ) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 15 Cónicas 1 5 25x 2 − 50x + 25 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = − + = 2 ⇒ V = (1, 2) . 2 2 El eje es la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a r, es decir, tiene de pendiente 2. Su ecuación es, por tanto: y − 2 = 2( x − 1) ⇔ y = 2x . Foco y directriz Para calcular el foco y la directriz, interseccionemos el eje con la circunferencia de p 5 centro V y radio , siendo p el parámetro de la parábola, p = : 2 5 9 9 ⎧ x= , y= ⎧ y − 2 = 2(x − 1) ⎪ ⎪ ⎪ 5 10 . ⎨ 1 ⇒⎨ 2 2 11 11 − + − = ( x 1 ) ( y 2 ) ⎪x = , y = ⎪⎩ 20 ⎪⎩ 5 10 ¿Cuál de los dos puntos anteriores es el foco y cuál pertenece a la directriz? Para averiguarlo, analicemos el discriminante de la ecuación del apartado anterior para k = 0: Δ = −4 ⋅ 25(− 40 ) > 0 . Por tanto, para k = 0, la correspondiente recta perpendicular al eje corta a la parábola en dos puntos, luego la cónica se dirige hacia la izquierda. ⎛ 9 9⎞ El foco es, entonces, el punto F⎜ , ⎟ y la directriz es la recta perpendicular al eje que ⎝ 10 5 ⎠ ⎛ 11 11 ⎞ pasa por el punto ⎜ , ⎟ . Por consiguiente, la ecuación de la directriz es: ⎝ 10 5 ⎠ 11 ⎞ 11 1⎛ dir ≡ y − = − ⎜ x − ⎟ . 10 ⎠ 5 2⎝ Dibujo de la cónica 16 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 2.- Hallar la ecuación de la cónica 3 1 ( 0, 0 ) , ( 2, 0 ) , ( 0, −2 ) , ⎛⎜ , ⎞⎟ y ⎝2 4⎠ Solución: que pasa por los puntos ⎛ 3 −3 ⎞ ⎜ , ⎟. ⎝2 4 ⎠ x 2 + Ay 2 + Bxy + Cx + Dy + E = 0 ⎧(0,0) ∈ cónica ⇒ E = 0 ⎪(2,0) ∈ cónica ⇒ 4 + 2C + E = 0 ⎪ ⎪(0,−2) ∈ cónica ⇒ 4A − 2D + E = 0 ⎪ 1 3 3 9 1 ⎪⎛ 3 1 ⎞ ⎨⎜ , ⎟ ∈ cónica ⇒ + A + B + C + D + E = 0 4 2 8 4 16 ⎪⎝ 2 4 ⎠ ⎪⎛ 3 3 ⎞ 3 3 9 9 9 ⎪⎜ ,− ⎟ ∈ cónica ⇒ + A − B + C − D + E = 0 4 2 8 4 16 ⎪⎝ 2 4 ⎠ ⎪⎩ Resolviendo este sistema lineal de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, se obtiene: A = 4, B = -4, C = -2, D = 8 y E = 0 Resultando la ecuación de la cónica: x 2 + 4 y 2 − 4 xy − 2 x + 8y = 0 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 17 Cónicas 3.- Hallar el centro y las asíntotas de la cónica: 2 + x 2 + 2xy = 0 . Solución: 2 + x 2 + 2 xy = 0 ⎛ 2 0 0⎞ ⎟ ⎜ 1 1 = −1 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , A 00 = 1 0 ⎜ 0 1 0⎟ ⎠ ⎝ A = −2 ≠ 0 ⇒ Se trata de una hipérbola. Centro: ⎧x + y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ C ( 0, 0 ) ⎨ ⎩x = 0 Asíntotas: 1 2 y 1 + 1 + 2 = 0 ⇒ 1 + 2m = 0 ⇒ m = − ⇒ y = − x 2 2 x x 2 La otra asíntota pasa por C y tiene pendiente infinita: x = 0. x= 0 y = - (1/2)x 18 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: a) x 2 − 2axy + 2ay2 − 2x + 4ay = 0 Solución: ⎛ 0 − 1 2a ⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ − 1 1 − a ⎟ ⎜ 2a − a 2a ⎟ ⎠ ⎝ A = −2a = 0 ⇒ a = 0 A 00 = 1 −a ⎧a = 0 = a (2 − a ) = 0 ⇒ ⎨ − a 2a ⎩a = 2 a 0 2 Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎪⎧A 00 < 0 1) a < 0 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 ⎧A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico 2) a = 0 ⇒ ⎨ ⎩ A = 0 ⇒ Cónica degenerada ⎛ 0 −1 0⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ − 1 1 0 ⎟ ⇒ A 11 + A 22 = 0 + (−1) = −1 < 0 ⇒ RECTAS PARALELAS ⎜0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎧A 00 > 0 3) 0 < a < 2 ⇒ ⎨ ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? ≠ A 0 ⎩ (a 11 + a 22 ) A = (1 + 2a )(− 2a ) = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧A 00 = 0 4) a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ PARÁBOLA ⎩A ≠ 0 ⎧⎪A 00 < 0 5) a > 2 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 dos rectas paralelas parábola a hipérbola 0 elipse real 2 hipérbola Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 19 Cónicas 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: b) ax 2 − 2xy + ay2 − 2x + 2y + 3 = 0 Solución: ⎛ 3 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ b) La matriz de la cónica es A = ⎜ − 1 a − 1⎟ ⎜ 1 −1 a ⎟ ⎠ ⎝ ⎧1 a −1 ⎪ 2 = a 2 - 1 = 0 ⇒ a = ±1 A = 3a − 2a − 1 = 0 ⇒ a = ⎨ 1 ; A 00 = −1 a ⎪⎩− 3 a -1 1 -1/3 Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧A 00 > 0 ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? 1) a < −1 ⇒ ⎨ ≠ A 0 ⎩ (a 11 + a 22 ) A = (2a ) ⋅ + = − ⋅ + < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧⎪A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico 2) a = −1 ⇒ ⎨ ⇒ PARÁBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no degenerada ⎧A 00 < 0 1 3) − 1 < a < − ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ≠ A 0 3 ⎩ ⎧A 00 < 0 1 4) a = − ⇒ ⎨ ⇒ DOS RECTAS SECANTES = A 0 3 ⎩ 1 ⎪⎧A 00 < 0 5) − < a < 1 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA 3 ⎪⎩ A ≠ 0 ⎛ 3 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ 6) a = 1 ⇒ A = ⎜ − 1 1 − 1⎟ ⇒ A 11 + A 22 = 2 + 2 = 4 > 0 ⇒ RECTAS IMAGINAR. ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎠ ⎝ PARALELAS. ⎧A 00 > 0 7) a > 1 ⇒ ⎨ ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = (2a ) ⋅ + = + ⋅ + > 0 ⇒ ELIPSE IMAGINARIA dos rectas secantes parábola rectas imag. paralelas a elipse real 20 -1 hipérbola -1/3 hipérbola 1 elipse imag. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 5.- Hallar λ y μ sabiendo que las ecuaciones x 2 + λ y 2 = 1 , x ' y ' = μ , corresponden a una misma cónica expresada en dos sistemas de referencia ortonormales distintos. Solución: ⎛−1 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ x + λy = 1 ⇒ A 1 = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 λ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜− μ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ x ' y' = μ ⇒ B = ⎜ 0 0 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ 1 0⎟ ⎜ 0 2 ⎝ ⎠ Girando y trasladando los ejes se pasa de una ecuación a otra, luego: ⎛ −k 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ∃k ∈ R, k ≠ 0, tal que A = ⎜ 0 k 0 ⎟ , ya que la ecuación de una cónica en un ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 λk ⎠ sistema de referencia puede multiplicarse por un número distinto de cero. Teniendo en cuenta los invariantes en la ecuación de una cónica, se verifica: Tr (A c ) = Tr (B c ) ⇔ k + kλ = 0 ⇒ λ = −1 2 2 −k A = 0 0 0 0 1 k 0 = k 3 = B = μ ⇒ μ = 4k 3 4 0 −k 1 1 ⇒k=± 4 2 1 1 Para”+” se obtiene: μ = 4 = 8 2 1 1 Para”-” se obtiene: μ = − 4 = − 8 2 1 Por tanto, han de ser λ = −1 y μ = ± . 2 A 00 = k 2 λ = − k 2 = B 00 = − Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 21 Cónicas 6.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: a + 2x + 2y + ax 2 + 2xy + ay 2 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 2: Ecuación reducida Parámetro de la cónica Eje y vértice Foco y directriz Dibujo de la cónica. Solución: ⎛ 0 − 1 2a ⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ − 1 1 − a ⎟ ⎜ 2a − a 2a ⎟ ⎠ ⎝ A = −2a = 0 ⇒ a = 0 A 00 = 1 −a ⎧a = 0 = a (2 − a ) = 0 ⇒ ⎨ − a 2a ⎩a = 2 a 0 2 Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧⎪A 00 < 0 ⇒ HIPÉRBOLA 1) a < 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⎧A 00 > 0 2) 0 < a < 2 ⇒ ⎨ ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = (1 + 2a )(− 2a ) = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧⎪A 00 < 0 3) a > 2 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 ⎧A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico 4) a = 0 ⇒ ⎨ ⎩ A = 0 ⇒ Cónica degenerada ⎛ 0 −1 0⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ − 1 1 0 ⎟ ⇒ A 11 + A 22 = 0 + (−1) = −1 < 0 ⇒ RECTAS PARALELAS ⎜0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎧A 00 = 0 5) a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ PARÁBOLA ⎩A ≠ 0 22 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas dos rectas paralelas parábola a hipérbola 0 elipse real 2 hipérbola b) A la vista del apartado anterior, para a = 2, la cónica es una parábola cuya matriz asociada es: ⎛ 0 −1 4 ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ − 1 1 − 2 ⎟ con A 00 = 0 y A = −4 . ⎜ 4 −2 4 ⎟ ⎠ ⎝ Ecuación reducida λ 2 y``2 +2b1 x``= 0 ⎛ 1 − 2⎞ ⎟⎟ , y siendo λ 2 = a 11 + a 22 = 5 , ó bien λ 2 = valor propio no nulo de A c = ⎜⎜ ⎝− 2 4 ⎠ −A 4 2 5 b1 = ± =± =± . a 11 + a 22 5 5 Como b1 ha de tener signo contrario a λ 2 , se toma b1 = − reducida: 5 y``2 − 2 5 . Resultando la ecuación 5 4 5 x``= 0 , es decir: 5 y``2 = 4 5 x`` 25 Parámetro de la cónica 2p = 2 5 4 5 ⇒ p= 25 25 Eje y vértice El eje de la parábola x`` tiene la dirección de los vectores propios asociados al valor propio λ 1 = 0 de la matriz A c : ⎛ 1 − 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x − 2 y = 0 ⇒ y = x 2 ⎝ − 2 4 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Luego, el eje y``, perpendicular a x`` y que corta a la cónica en el vértice, tiene una ecuación de la forma: y`` ≡ y = −2 x + k Sustituimos esta expresión en la ecuación de la parábola, obteniéndose: 2 x 2 + 4(− 2 x + k ) − 24 x (− 2 x + k ) − 2 x + 8(− 2 x + k ) = 0 ⇒ 25x 2 − 2(9 + 10k )x + 4k (k + 2 ) = 0 cuyo discriminante Δ ha de ser nulo para que tenga solución única (la abscisa x del 81 2 vértice): Δ = 4(9 + 10k ) − 4 ⋅ 25 ⋅ 4k (k + 2 ) = 0 ⇔ −20k + 81 = 0 ⇒ k = 20 La abscisa del vértice es, entonces, la solución única de la ecuación 81 : 2(9 + 10k )x + 4k (k + 2 ) = 0 para k = 20 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 23 Cónicas 2500x 2 − 9900x + 9801 = 0 ⇒ x = Como el vértice ha de pertenecer al eje y`` ≡ y = −2x + 99 50 81 , su ordenada ha de ser: 20 99 81 9 + = 50 20 100 ⎛ 99 9 ⎞ El vértice es, por tanto, el punto V⎜ , ⎟. ⎝ 50 100 ⎠ y = −2 Y el eje de la parábola es la recta que pasa por el vértice y tiene de pendiente y− 1 : 2 9 1⎛ 99 ⎞ = ⎜x − ⎟ 100 2 ⎝ 50 ⎠ Foco y directriz p 5 = del vértice, interseccionamos el eje 2 25 p x`` con la circunferencia de centro V y radio : 2 ⎧ 9 1⎛ 99 ⎞ ⎪ y − 100 = 2 ⎜ x − 50 ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ 2 2 ⎪⎛ x − 99 ⎞ + ⎛ y − 9 ⎞ = ⎛⎜ 5 ⎞⎟ = 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 25 ⎟ ⎪⎜⎝ 50 ⎠ ⎝ 100 ⎠ 125 ⎝ ⎠ ⎩ ⎛ 19 1 ⎞ ⎛ 103 13 ⎞ , Resolviendo el sistema anterior se obtienen los dos puntos: ⎜ , ⎟ y ⎜ ⎟ ⎝ 10 20 ⎠ ⎝ 50 100 ⎠ ¿Cuál de ambos es el foco? Si se intersecciona la parábola con la recta paralela al eje y`` que pasa por el origen, se obtienen dos puntos de corte, ya que el discriminante Δ para k = 0 es positivo: 2 Δ = 4(9 + 10k ) − 4 ⋅ 25 ⋅ 4k (k + 2 ) = 4 ⋅ 81 = 324 > 0 Luego, la parábola se abre hacia la izquierda del vértice y el foco F es, de ambos puntos, el que tiene menor abscisa: ⎛ 19 1 ⎞ F⎜ , ⎟ . La directriz d es la recta que pasa por el otro punto y es paralela al eje y``: ⎝ 10 20 ⎠ 13 103 ⎞ ⎛ d ≡ y− = −2⎜ x − ⎟ 100 50 ⎠ ⎝ Dibujo de la cónica Como ambos se encuentran a una distancia dir V F 24 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. eje Cónicas 7.a) Clasificar la siguiente cónicas según los valores del parámetro “a”: a + 2x + 2y + ax 2 + 2xy + ay 2 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 0 Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica Centro, si procede Ejes y vértices Focos y directrices Asíntotas, si procede Dibujo de la cónica. Solución: ⎛ a 1 1⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ 1 a 1 ⎟ ⎜1 1 a ⎟ ⎠ ⎝ ⎧− 2 2 A = a 3 − 3a + 2 = (a + 2 )(a − 1) = 0 ⇒ a = ⎨ ⎩1 a 1 A 00 = = a 2 - 1 = 0 ⇒ a = ±1 1 a a -2 -1 1 Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧A 00 > 0 ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? 1) a < −2 ⇒ ⎨ ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = 2a (a + 2)(a − 1)2 = − ⋅ − > 0 ⇒ ELIPSE IMAGINARIA [ ] ⎧A 00 > 0 2) − 2 < a < −1 ⇒ ⎨ ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = 2a (a + 2)(a − 1)2 = − ⋅ + < 0 ⇒ ELIPSE REAL [ ] ⎧⎪A 00 < 0 3) −1 < a < 1 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎪⎩ A ≠ 0 ⎧A 00 > 0 4) 1 < a ⇒ ⎨ ⇒ Elipse ¿real ó imaginaria? A ≠ 0 ⎩ (a 11 + a 22 ) A = 2a (a + 2)(a − 1)2 = + ⋅ + > 0 ⇒ ELIPSE IMAGINARIA [ ] ⎧A 00 > 0 5) a = −2 ⇒ ⎨ ⇒ PUNTO ⎩A = 0 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 25 Cónicas ⎧A 00 = 0 ⇒ PARÁBOLA 6) a = -1 ⇒ ⎨ ⎩A ≠ 0 ⎧A 00 = 0 7) a = 1 ⇒ ⎨ ⇒ Parábola degenerada ⎩A = 0 ⎛1 1 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜1 1 1⎟ ⇒ A 11 + A 22 = 0 ⇒ RECTA DOBLE ⎜1 1 1⎟ ⎠ ⎝ Punto o rectas imaginarias parábola recta doble a elipse real elipse -2 imaginaria -1 hipérbola 1 elipse imaginaria b) x + y + xy = 0 Ecuación matricial X t AX = O ⇔ (1 x ⎛ ⎜0 ⎜ 1 y )⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎝2 1 2 0 1 2 Nota: También puede utilizarse 1⎞ ⎟ 2 ⎟⎛ 1 ⎞ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜x⎟ = 0 . 2 ⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ y ⎠ 0⎟ ⎠ ⎛ 0 1 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 0 1 ⎟ , llegando al mismo resultado. ⎜ 1 1 0⎟ ⎠ ⎝ Clasificación 1 0 2 = − 1 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. A 00 = 1 4 0 2 1 A = ≠ 0 ⇒ Se trata de una HIPÉRBOLA. 4 Ecuación reducida λ 1x''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 1 −λ A 1/ 4 2 = λ2 − 1 = 0 ⇒ λ = ± 1 k= = = −1 ; A c − λ I = 1 4 2 A 00 −1/ 4 −λ 2 26 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas De acuerdo con el criterio expresado anteriormente, tomamos para λ1 el valor propio de 1 1 signo contrario a k, es decir, λ 1 = , λ 2 = − . 2 2 Por tanto, la ecuación reducida queda: 1 2 1 2 x ' ' 2 y' ' 2 x ' ' − y ' ' −1 = 0 ⇔ − = 1 . Es una hipérbola equilátera. 2 2 2 2 Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica a 2 = 2 = b2 ⇒ a = b = 2 e = 2 , por ser hipérbola equilátera. b2 2 = = 2 p= a 2 Centro ⎧1 1 ⎪⎪ 2 + 2 y = 0 Para calcular el centro, resolvemos el sistema ⎨ ⇒ C ( −1, −1) . ⎪1 + 1 x = 0 ⎪⎩ 2 2 Ejes y vértices Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜− ⎜ 2 2 ⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ − x + y = 0 ⇔ y = x . ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ 2⎠ ⎝ 2 Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y + 1 = 1(x + 1) ⇔ y = x . El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: y + 1 = −1( x + 1) ⇔ y = − x − 2 . Para calcular los vértices, intersecamos el eje focal con la circunferencia de centro C y radio a=1: ⎧( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 2 ⎨ ⎩y = x obteniéndose los puntos V1 (0,0) y V2 (−2,−2) . Focos y directrices Los focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c: c2 = a 2 + b2 = 4 ⇒ c = 2 ⎧( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 4 ⎨ ⎩y = x obteniéndose los puntos F1 ( 2 - 1, 2 - 1) y F2 (- 2 - 1,- 2 - 1) . Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 27 Cónicas a2 : c Su ecuación ha de ser, por tanto, de la forma y = -x + n, es decir, x + y – n = 0, −1−1− n a2 =1= . Resulta n = −2 ± 2 , luego, las determinando n de modo que c 2 directrices son las rectas y = − x − 2 ± 2 . Las directrices son rectas paralelas al eje no focal que distan del centro Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación a 11 + 2a 12 m + a 22 m 2 = 0 ⇔ 0 + m + 0 = 0 ⇒ m = 0 . Una asíntota tiene, entonces, de ecuación: y = -1 La otra, pasa por el centro y es paralela al eje de ordenadas OY: x = -1 . Dibujo de la cónica x 28 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 2 2 8.- Dada la cónica 2x -y +4xy-x=0, se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas g) Vértices h) Dibujo de la cónica. Solución: 2 2 #1: 2·x - y + 4·x·y - x = 0 ⎡ 1 ⎤ ⎢ 0 - ⎯ 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ #2: A ≔ ⎢ 1 ⎥ ⎢ - ⎯ 2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 2 -1 ⎦ a) Calsificación: #3: DET(A) 1 #4: ⎯ 4 Cónica no degenerada #5: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) ⎡ 2 2 ⎤ #6: ⎢ ⎥ ⎣ 2 -1 ⎦ #7: A00 ≔ DET(Ac) #8: -6 Hipérbola b) Ecuación reducida: DET(A) #9: k ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A00 1 #10: - ⎯⎯ 24 #11: EIGENVALUES(Ac) #12: [-2, 3] #13: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -2) ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎯ ⎥ #14: ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ #15: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 3) ⎡ -2 ⎤ #16: ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 29 Cónicas Ecuación reducida: 2 2 1 #17: 3·x - 2·y - ⎯⎯ = 0 24 c) semiejes y excentricidad Parámetros: 2 #18: #19: - 2·y 1 - ⎯⎯ = 0 24 ⎛ 2 1 ⎞ SOLVE⎜- 2·y - ⎯⎯ = 0, y⎟ ⎝ 24 ⎠ √3·i √3·i y = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯⎯⎯⎯ 12 12 2 1 #21: 3·x - ⎯⎯ = 0 24 ⎛ 2 1 ⎞ #22: SOLVE⎜3·x - ⎯⎯ = 0, x⎟ ⎝ 24 ⎠ √2 √2 #23: x = - ⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯ 12 12 √3 #24: b ≔ ⎯⎯ 12 √2 #25: a ≔ ⎯⎯ 12 Semidistancia focal: 2 2 #26: c ≔ √(a + b ) c #27: e ≔ ⎯ a √10 #28: ⎯⎯⎯ 2 d) Centro: ⎛⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎞ ⎜⎢ - ⎯ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 0 ⎤ ⎟ #29: SOLVE⎜⎢ 2 ⎥·⎢ x ⎥ = ⎢ ⎥, [x, y]⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎟ ⎝⎣ 0 2 -1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎠ ⎡ 1 1 ⎤ #30: ⎢x = ⎯⎯ ∧ y = ⎯⎥ ⎣ 12 6 ⎦ Centro de la cónica:(1/12,1/6) e) Ejes Eje real o focal: 1 1 ⎛ 1 ⎞ #31: y - ⎯ = ⎯·⎜x - ⎯⎯⎟ 6 2 ⎝ 12 ⎠ Eje imaginario o no focal: #20: 30 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 1 ⎛ 1 ⎞ #32: y - ⎯ = - 2·⎜x - ⎯⎯⎟ 6 ⎝ 12 ⎠ f) Asíntotas ⎡ 1 ⎤ #33: [1, m]·Ac·⎢ ⎥ = 0 ⎣ m ⎦ ⎡ 2 ⎤ #34: ⎣ - m + 4·m + 2 = 0⎦ ⎡ 2 ⎤ #35: SOLVE(⎣ - m + 4·m + 2 = 0⎦, m, Real) #36: [m = 2 - √6, m = √6 + 2] 1 ⎛ 1 ⎞ #37: y - ⎯ = (2 - √6)·⎜x - ⎯⎯⎟ 6 ⎝ 12 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ #38: y - ⎯ = (2 + √6)·⎜x - ⎯⎯⎟ 6 ⎝ 12 ⎠ g) Vértices ⎛⎡ 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞2 2⎤ #39:SOLVE⎜⎢y - ⎯ = ⎯·⎜x - ⎯⎯⎟, ⎜y - ⎯⎟ + ⎜x - ⎯⎯⎟ = a ⎥, ⎝⎣ 6 2 ⎝ 12 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎦ ⎞ [x, y]⎟ ⎠ ⎡ √10 1 √10 1 1 √10 1 #40:⎢x = ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ ∧ y = ⎯⎯⎯ + ⎯, x = ⎯⎯ - ⎯⎯⎯ ∧ y = ⎯ ⎣ 30 12 60 6 12 30 6 √10 ⎤ ⎯⎯⎯⎥ 60 ⎦ h) Dibujo de la cónica Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 31 Cónicas 9.- Dada la cónica de ecuación: 9x2+6xy-22x+y2-34y+49=0. Se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Parámetro de la cónica. e) Vértice y Eje. f) Foco y directriz. Solución: 2 2 #1: 9·x + 6·x·y - 22·x + y - 34·y + 49 = 0 a) Ecuación matricial: ⎡ 49 -11 -17 ⎤ #2: A ≔ ⎢ -11 9 3 ⎥ ⎣ -17 3 1 ⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ #3: [1, x, y]·A·⎢ x ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ b) Clasificación: #4: DET(A) #5: -1600 #6: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) ⎡ 9 3 ⎤ #7: ⎢ ⎥ ⎣ 3 1 ⎦ #8: DET(Ac) #9: 0 Se trata de una parábola. c) Ecuación reducida: #10: EIGENVALUES(Ac) #11: [0, 10] #12: λ2 ≔ 10 ⎛ DET(A) ⎞ #13: b1 ≔ - √⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎝ 10 ⎠ #14: b1 ≔ - 4·√10 2 #15: λ2·y`` - 2·b1·x`` = 0 2 #16: 10·y`` - 8·√10·x`` = 0 2 4·√10 #17: y`` = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·x`` 5 d) Parámetro de la cónica: 4·√10 #18: 2·p = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 ⎛ 4·√10 ⎞ #19: SOLVE⎜2·p = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, p⎟ ⎝ 5 ⎠ 2·√10 #20: p = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 32 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas e) Vértice y eje: #21: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 10) ⎡⎡ @1 ⎤⎤ ⎢⎢@1, ⎯⎯⎯⎯⎥⎥ ⎣⎣ 3 ⎦⎦ La ecuación del eje y'' es entonces de la forma: 1 #23: y = ⎯⎯⎯·x + k 3 Interseccionamos la parábola con y'' y obligamos a que la solución sea única (será la abscisa del vértice): 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ #24:9·x + 6·x·⎜⎯⎯⎯·x + k⎟ - 22·x + ⎜⎯⎯⎯·x + k⎟ - 34·⎜⎯⎯⎯·x + k⎟ +49=0 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 2 100·x + 60·x·(k - 5) + 9·k - 306·k + 441 #25: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0 9 ⎛ 2 2 ⎞ ⎜ 100·x + 60·x·(k - 5) + 9·k - 306·k + 441 ⎟ #26: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0, x⎟ ⎝ 9 ⎠ 3·(2·√6·√(k - 1) - k + 5) #27: x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ x = 10 3·(2·√6·√(k - 1) + k - 5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 10 Para que ambas soluciones coincidan ha de ser K = 1. Otro método para obtener k es igualar a cero el discriminante de la ecuación de segundo grado anterior: 2 2 2 #28: 60 ·(k - 5) - 400·(9·k - 306·k + 441) = 0 2 2 2 #29: SOLVE(60 ·(k - 5) - 400·(9·k - 306·k + 441) = 0, k) #30: k = 1 2 2 100·x + 60·x·(1 - 5) + 9·1 - 306·1 + 441 #31: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0 9 2 4·(25·x - 60·x + 36) #32: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0 9 ⎛ 2 ⎞ ⎜ 4·(25·x - 60·x + 36) ⎟ #33: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0, x⎟ ⎝ 9 ⎠ 6 #34: x = ⎯⎯⎯ 5 1 6 #35: y = ⎯⎯⎯·⎯⎯⎯ + 1 3 5 7 #36: y = ⎯⎯⎯ 5 El vértice es pues el punto: #22: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 33 Cónicas ⎡ 6 7 ⎤ #37: ⎢⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦ La ecuación del eje es: 7 ⎛ 6 ⎞ #38: y - ⎯⎯⎯ = - 3·⎜x - ⎯⎯⎯⎟ 5 ⎝ 5 ⎠ f) Foco y directriz: Se intersecciona el eje focal con la circunferencia de centro en el vértice y radio p/2: ⎛⎡ 7 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 6 ⎞2 ⎛ 7 ⎞2 2 ⎤ #39: SOLVE⎜⎢y - ⎯⎯⎯ = - 3·⎜x - ⎯⎯⎯⎟, ⎜x - ⎯⎯⎯⎟ + ⎜y - ⎯⎯⎯⎟ = ⎯⎯⎯⎥, ⎝⎣ 5 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ ⎞ [x, y]⎟ ⎠ ⎡ 7 4 ⎤ #40: ⎢x = 1 ∧ y = 2, x = ⎯⎯⎯ ∧ y = ⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦ En la gráfica se observa que el punto (1,2) es el foco y el punto (7/5, 4/5) pertenece a la directriz, que tiene de ecuación: 4 1 ⎛ 7 ⎞ #41: y - ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯·⎜x - ⎯⎯⎯⎟ 5 3 ⎝ 5 ⎠ #42: [1, 2] 34 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 2 2 10.-Dada la cónica x + y + kxy - 10x - 2y + 1 = 0, se pide: a) La ecuación matricial b) Ecuación de las Asíntotas y Eje focal para el valor k = 2. c) Ecuación reducida para el valor k = 1 1 d) Hallar la excentricidad para el valor k = . 2 e) Clasificar según los valores del parámetro k ∈ ℜ f) Demostrar que la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera es e = 2 Solución: ⎛ 1 −5 − 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ a) (1 x y ) ⎜ −5 1 k ⎟ ⎜ x ⎟ = 0 . ⎜ −1 k 1 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ b) Si k = 2 entonces ⎛ 1 −5 −1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −5 1 2 ⎟ , A c = −3 , A = −9 la cónica es una hipérbola cuyo centro ⎜ −1 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎧−5 + x + 2y = 0 , es x = −1, y = 3 solución del sistema ⎨ ⎩ −1 + 2x + y = 0 Las pendientes de sus asíntotas, son las raíces del polinomio 1 + 4m + m 2 = 0 , por tanto, m = −2 ± 3 Los valores propios de Ac son las raíces de A c − λI 2 = ( λ − 3) (λ + 1) = 0 . El eje focal pasa por el centro y su pendiente es, la pendiente del vector propio asociado al valor propio λ = −1 , que resulta ser m = −1 ( ) Asíntotas (y − 3) = −2 ± 3 ( x + 1) . Eje focal (y − 3) = −1( x + 1) ⇒ y = − x + 2 . c) Si k = 1 ⇒ A = −16, A c = 0 y la cónica, resulta ser, una parábola cuya ecuación reducida es λ 2 ( y ') ± 2bx ' = 0 . 2 λ 2 = a11 + a 22 = 2 , b = − −A 2 = 2 2 . Ecuación reducida ( y ') − 2 2x ' = 0 . λ2 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 35 Cónicas ⎛ ⎜1 1 d) Si k = los valores propios de ⎜ 2 ⎜1 ⎜ ⎝2 a 2 = 2k , b 2 = 1⎞ 1 3 2 ⎟ son λ = y λ = por tanto ⎟ 2 2 1 ⎟⎟ ⎠ 2 2 k , ⇒ c = 2k − k y la excentricidad en este caso es: 3 3 e= 4 k 3 = 2 . 2k 6 e) A c = 1 − k 2 , A = −(k − 5) 2 , así pues el valor de k ∈ R lo descomponemos en los intervalos y valores siguientes: 1.- Si k < −1 ⇒ A c < 0, A < 0 son hipérbolas. 2.- Si k = −1 ⇒ A c = 0, A < 0 es una parábola. 3.- Si −1 < k < 1 ⇒ A c > 0, 4.- Si k = 1 ⇒ A c = 0, 5.- Si 1 < k < 5 ⇒ A c < 0, A < 0 y a11 > 0 son elipses. A < 0 es una parábola. A < 0 son hipérbolas. 6.- Si k = 5 ⇒ A c < 0, A = 0 son dos rectas secantes. 7.- Si 5 < k ⇒ A c < 0, A < 0 son hipérbolas. f) En una hipérbola equilátera se verifica que a=b y c2=a2+b2=2a2 y como la c excentricidad es e = = a 36 2a 2 = 2. a Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 11.- Dada la cónica de ecuación: 1+2x+4y+3x2+4xy=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica d) Centro, si procede e) Ejes y vértices f) Focos y directrices g) Asíntotas, si procede h) Dibujo de la cónica y de los elementos hallados en los apartados anteriores. Solución: a) Clasificación: ⎡ 1 1 2 ⎤ ⎢ ⎥ #1: A ≔ ⎢ 1 3 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 0 ⎦ #2: DET(A) #3: -8 #4: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) #5: A00 ≔ DET(Ac) #6: A00 ≔ -4 ES UNA HIPÉRBOLA DET(A)≠0; DET(Ac)<0 b) Ecuación reducida: DET(A) #7: k ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A00 #8: k ≔ 2 valores propios de Ac: #9: EIGENVALUES(Ac) #10: [-1, 4] Consideramos primero el negativo, para obtener como eje de abscisas 0X'' el eje focal λ1 = -1 (signo contrario a k) Ecuación reducida: 2 2 #11: - 1·x + 4·y + 2 = c) Semiejes 2 2 #12: - 1·x + 4·0 + 2 = 2 2 #13: SOLVE(- 1·x + 4·0 #14: 2 2 #15: - 1·0 + 4·y + 2 = 2 2 #16: SOLVE(- 1·0 + 4·y 0 0 + 2 = 0, x, Real) x = - √2 ∨ x = √2 0 + 2 = 0, y) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 37 Cónicas √2·i √2·i y = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯⎯⎯⎯ 2 2 #17: Semiejes:a=√2, b=√2/2 #18: a ≔ √2 √2 #19: b ≔ ⎯⎯ 2 Semidistancia focal: 2 2 #20: c ≔ √(a + b ) ⎛ 2 ⎛ √2 ⎞2⎞ #21: c ≔ √⎜√2 + ⎜⎯⎯⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ #22: Excentricidad: √10 c ≔ ⎯⎯⎯ 2 c e = ⎯ a #23: √5 e = ⎯ 2 Parámetro focal: 2 b #25: p = ⎯⎯ a #23: √2 p = ⎯⎯ 4 c) Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica: #26: a =√2, b = √2/2 e = c/a = √5/2 p = b^2 /a = (1/2)/√2 = √2/4 d) Centro C: #27: SOLVE([2 + 2·x + 0·y = 0, 1 + 3·x + 2·y = 0], [x, y]) #28: [x = -1 ∧ y = 1] e) Ejes: ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎯ ⎥ #29: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -1) = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ Eje focal: Pasa por el centro y es paralelo a este vector #30: y - 1 = - 2·(x + 1) ⎡ -2 ⎤ #31: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 4) = ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ Eje no focal: Pasa por el centro y es perpendicular al eje focal 38 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 1 #32: y - 1 = ⎯·(x + 1) 2 Vértices: Intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio a 2 2 #33: (y - 1) + (x + 1) = 2 ⎡ 2 2 ⎤ #34: SOLVE(⎣y - 1 = - 2·(x + 1), (y - 1) + (x + 1) = 2⎦, [x, y]) ⎡ √10 2·√10 √10 2·√10 ⎤ #35:⎢x = ⎯⎯⎯ - 1 ∧ y = 1 - ⎯⎯⎯⎯⎯, x = - ⎯⎯⎯ - 1 ∧ y = ⎯⎯⎯⎯⎯+1⎥ ⎣ 5 5 5 5 ⎦ f) Focos: Intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c ⎛⎡ 2 2 5 ⎤ ⎞ #36: SOLVE⎜⎢y - 1 = - 2·(x + 1), (y - 1) + (x + 1) = ⎯⎥, [x, y]⎟ ⎝⎣ 2 ⎦ ⎠ ⎡ √2 √2 ⎤ #37: ⎢x = ⎯⎯ - 1 ∧ y = 1 - √2, x = - ⎯⎯ - 1 ∧ y = √2 + 1⎥ ⎣ 2 2 ⎦ Directrices: Rectas paralelas al eje no focal que distan del centro 1 #38: y = ⎯·x + n 2 1 #39: ⎯·x - y + n = 0 2 1 #40: ⎯·(-1) - 1 + n = 0 2 ⎛ ⎮ 1 ⎮ ⎞ ⎜ ⎮⎯·(-1) - 1 + n⎮ ⎟ ⎜ ⎮ 2 ⎮ 2·√10 ⎟ #41: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯, n, Real⎟ ⎜ ⎛ 1 ⎞ 5 ⎟ ⎜ √⎜⎯ + 1⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠ 3 3 #42: n = ⎯ - √2 ∨ n = √2 + ⎯ 2 2 1 ⎛ 3 ⎞ #43: ⎯·x - y + ⎜√2 + ⎯⎟ = 0 2 ⎝ 2 ⎠ 1 ⎛ 3 ⎞ #44: ⎯·x - y + ⎜⎯ - √2⎟ = 0 2 ⎝ 2 ⎠ g) Asíntotas: Pasan por el centro y tienen de pendiente m tal que: #46: 3 + 4·m = 0 #47: SOLVE(3 + 4·m = 0, m, Real) 3 #48: m = - ⎯ 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 39 Cónicas ⎛ 3 ⎞ #49: y - 1 = ⎜- ⎯⎟·(x + 1) ⎝ 4 ⎠ La otra asíntota pasa por el centro y es paralela al eje de ordenadas #50: x = -1 h) Dibujo aproximado: 40 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 12.- Sea la cónica de ecuación: 2x2+y2+2√2xy+2y=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Excentricidad y Parámetro de la cónica d) Vértice, si procede e) Ejes f) Dibujo de la cónica Solución: 2 2 #1: 2·x + y + 2·√2·x·y + 2·y = 0 ⎡ 0 0 1 ⎤ ⎢ ⎥ #2: A ≔ ⎢ 0 2 √2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 √2 1 ⎦ Ecuación matricial ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ #3: [1, x, y]·A·⎢ x ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ a) Clasificación #4: DET(A) #5: Cónica no degenerada #6: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) #7: A00 ≔ DET(Ac) #8: Parábola b) Ecuación reducida #9: TRACE(Ac) #10: ⎛ DET(A) ⎞ #11: b1 ≔ √⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎝ TRACE(Ac) ⎠ #12: Ecuación reducida: 2 2·√6 #13: 3·y - ⎯⎯⎯⎯·x = 0 3 -2 0 3 √6 ⎯⎯ 3 c) Excentricidad y parámetro Excentricidad=1, por ser una parábola Parámetro:comparando con y^2=2px Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 41 Cónicas #14: b1 p ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ TRACE(Ac) √6 ⎯⎯ 9 #15: d) Vértice Nota: Interseccionar la cónica con una recta genérica perpendicular al eje focal, obligando a que haya un único punto de corte (que será el vértice). El eje de la cónica se determina conociendo su dirección y sabiendo que pasa por el vértice. Buscamos los vectores propios asociados a los valores propios 0 y 3: ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ #16: Ac·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎛ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎞ #17: SOLVE⎜Ac·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, y, Real⎟ ⎝ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎠ #18: [y = - √2·x] haz de rectas de pendiente m=1/‹2: x #19: y = ⎯⎯ + n √2 2 ⎛ x ⎞2 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ #20: 2·x + ⎜⎯⎯ + n⎟ + 2·√2·x·⎜⎯⎯ + n⎟ + 2·⎜⎯⎯ + n⎟ = 0 ⎝ √2 ⎠ ⎝ √2 ⎠ ⎝ √2 ⎠ ⎛ 2 ⎛ x ⎞2 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎞ #21:SOLVE⎜2·x + ⎜⎯⎯ + n⎟ + 2·√2·x·⎜⎯⎯ + n⎟ + 2·⎜⎯⎯ + n⎟ =0,x⎟ ⎝ ⎝ √2 ⎠ ⎝ √2 ⎠ ⎝ √2 ⎠ ⎠ √2·(√(1 - 12·n) - 3·n - 1) #22: x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ x = 9 √2·(√(1 - 12·n) + 3·n + 1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 9 #23: SOLVE(1 - 12·n, n, Real) 1 #24: n = ⎯⎯ 12 sustituyendo n por 1/12, para que el discriminante sea cero y tengamos solución única: 5·√2 #25: x = - ⎯⎯⎯⎯ 36 1 #26: y = - ⎯⎯ 18 vértice (-5‹2/36,-1/18) e) Eje focal eje de simetría: 1 ⎛ 5·√2 ⎞ #27: y + ⎯⎯ = - √2·⎜x + ⎯⎯⎯⎯⎟ 18 ⎝ 36 ⎠ 42 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. f) Grafica Cónicas Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 43 Cónicas 13.- Dada la cónica de ecuación 3x 2 − 8xy − 3y2 + 10x − 10y + 10 = 0 , se pide: a) b) c) d) e) f) Solución: Ecuación matricial. Clasificación. Ecuación reducida. Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica. Centro y Ejes. Asíntotas. 2 2 #1: 3·x - 8·x·y - 3·y + 10·x - 10·y + 10 = 0 a) Ecuación matricial: „ 1 † ¦ ¦ #2: [1, x, y]·A·¦ x ¦ = 0 ¦ ¦ … y ‡ Siendo A la matriz: „ 10 5 -5 † ¦ ¦ #3: A := ¦ 5 3 -4 ¦ ¦ ¦ … -5 -4 -3 ‡ b) Clasificación: #4: Ac := MINOR(A, 1, 1) „ 3 -4 † #5: ¦ ¦ … -4 -3 ‡ #6: DET(Ac) #7: -25 -25<0, luego es de tipo hiperbólico. #8: DET(A) #9: -50 -50”0, luego es una cónica no degenerada. Se trata, por tanto, de una hipérbola. c) Ecuación reducida: #10: EIGENVALUES(Ac) #11: [5, -5] DET(A) #12: ————————— DET(Ac) #13: 2 2 2 #14: - 5·x + 5·y + 2 = 0 2 2 x y ————— - ————— = 1 #15: 2 2 ——— ——— 5 5 44 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas d)Semiejes:Ambos son iguales (hipérbola equilátera)a: 2 ‚ #16: ‹¦———¦ 5 ƒ Excentricidad: #17: ‹2 por ser equilátera. Parámetro de la cónica b^2/a: 2 ——— 5 #18: ———————— 2 ‚ ‹¦———¦ 5 ƒ ‹10 #19: ————— 5 e)Centro y ejes: #20: SOLVE([5 + 3·x - 4·y = 0, -5 - 4·x - 3·y = 0],[x, y]) „ 7 1 † #21: ¦x = - ——— y = ———¦ … 5 5 ‡ #22: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -5) #23: [[@1, 2·@1]] Luego, el eje focal es: 1 7 ‚ #24: y - ——— = 2·¦x + ———¦ 5 5 ƒ El eje no focal: 1 1 7 ‚ #25: y - ——— = - ———·¦x + ———¦ 5 2 5 ƒ f)Asíntotas: 2 #26: 3 - 8·m - 3·m = 0 2 #27: SOLVE(3 - 8·m - 3·m = 0, m, Real) 1 #28: m = ——— m = -3 3 1 7 ‚ #29: y - ——— = - 3·¦x + ———¦ 5 5 ƒ 1 1 7 ‚ #30: y - ——— = ———·¦x + ———¦ 5 3 5 ƒ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 45 Cónicas 14.- Dada la cónica de ecuación 2x 2 − 2xy + 3y2 + 6x − 8y + 3 = 0 , se pide: a) b) c) d) e) f) g) Solución: Ecuación matricial. Clasificación. Ecuación reducida. Semiejes y Parámetro de la cónica. Centro. Ejes (indicando cuál es el eje focal). Vértices principales (sobre el eje focal). 2 #1: #2: 2 + 3·y - 2·x·y + 6·x - 8·y + 3 = 0 ⎡ 3 3 -4 ⎤ ⎢ ⎥ A ≔ ⎢ 3 2 -1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -4 -1 3 ⎦ 2·x a) Ecuación matricial: ⎡ 1 ⎢ #3: [[1, x, y]]·A·⎢ x ⎢ ⎣ y ⎤ ⎥ ⎥ = 0 ⎥ ⎦ b) Clasificación: #4: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) ⎡ 2 Ac ≔ ⎢ ⎣ -1 #5: #6: DET(Ac) Tipo elíptico #7: #8: DET(A) #9: #10: (2 + 3)·(-20) #11: ELIPSE REAL -1 ⎤ ⎥ 3 ⎦ 5 -20 -100 c) Ecuación reducida: #12: EIGENVALUES(Ac) ⎡ √5 5 5 √5 ⎤ ⎢⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ 2 2 2 2 ⎦ #13: #14: #15: #16: 46 DET(A) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ DET(Ac) -4 ⎛ 5 √5 ⎞ 2 ⎛ √5 5 ⎞ 2 ⎜⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎟·x`` + ⎜⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎟·y`` - 4 = 0 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas #17: #18: 2 2 x`` y`` ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 4 4 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 √5 √5 5 ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 2 2 2 2 2 ⎛ 5 √5 ⎞ 2 ⎛ √5 5 ⎞ x ·⎜⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎟ + y ·⎜⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎟ = 1 ⎝ 8 8 ⎠ ⎝ 8 8 ⎠ d) Semiejes y parámetro de la cónica: ⎛ 1 ⎞ a = √⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ #19: ⎜ 5 √5 ⎟ ⎜ ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ⎟ ⎝ 8 8 ⎠ ⎛ 1 ⎞ b = √⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ #20: ⎜ √5 5 ⎟ ⎜ ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ⎟ ⎝ 8 8 ⎠ 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ √5 5 2 ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ b 8 8 ⎛ 8·√5 ⎞ #21: p = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = √⎜4 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ A ⎛ 1 ⎞ ⎝ 5 ⎠ √⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎜ 5 √5 ⎟ ⎜ ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ⎟ ⎝ 8 8 ⎠ e) Centro: #22: SOLVE([3 + 2·x - y = 0, -4 - x + 3·y = 0], [x, y]) #23: [x = -1 ∧ y = 1] #24: [-1, 1] f) Ejes: ⎛ 5 √5 ⎞ EXACT_EIGENVECTOR⎜Ac, ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎡ √5 1 ⎤ ⎢ - ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ ⎥ #26: ⎢ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ Eje focal: 1 y - 1 = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·(x + 1) #27: √5 1 - ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ 2 2 #25: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 47 Cónicas (√5 - 1)·(x + 1) y - 1 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 #28: Eje no focal_ #29: ⎛ √5 1 ⎞ y - 1 = ⎜- ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎟·(x + 1) ⎝ 2 2 ⎠ g) Vértices sobre el eje focal: ⎛⎡ (√5 - 1)·(x + 1) 2 2 ⎤ ⎞ #30:SOLVE⎜⎢y-1 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 2x + 3·y - 2xy + 6x - 8y +3=0⎥,⎟ ⎝⎣ 2 ⎦ ⎠ ⎡ √5 2·√5 √5 2·√5 ⎤ #31: ⎢x = ⎯⎯⎯⎯ ∧ y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 1, x = - ⎯⎯⎯⎯ - 2 ∧ y = 1 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 5 5 ⎦ ⎡ √5 2·√5 ⎤ #32: ⎢⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 1⎥ ⎣ 5 5 ⎦ ⎡ √5 2·√5 ⎤ #33: ⎢- ⎯⎯⎯⎯ - 2, 1 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦ 48 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 15.- Dada la cónica de ecuación x2+2xy+2y2-2x-1=0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Centro d) Ejes Solución: ⎡ -1 -1 0 ⎤ ⎢ ⎥ #1: A ≔ ⎢ -1 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 1 2 ⎦ #2: DET(A) #3: -3 #4: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) #5: A00 ≔ DET(Ac) #6: A00 ≔ 1 a) ES UNA ELIPSE DET(A)≠0; DET(Ac)>0 #7: TRACE(Ac) = 3 Elipse real, pues la traza de Ac es de distinto signo que el determinante de A. DET(A) #8: k ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A00 #9: k ≔ -3 valores propios de Ac: #10: EIGENVALUES(Ac) ⎡ √5 3 3 √5 ⎤ #11: ⎢⎯⎯ + ⎯, ⎯ - ⎯⎯⎥ ⎣ 2 2 2 2 ⎦ Consideramos primero el menor, para obtener como eje de abs cisas 0X'' el eje focal b) Ecuación reducida: ⎛ 3 √5 ⎞ 2 ⎛ √5 3 ⎞ 2 #12: ⎜⎯ - ⎯⎯⎟·x + ⎜⎯⎯ + ⎯⎟·y - 3 = 0 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ #13: SOLVE([-1 + x + y = 0, x + 2·y = 0], [x, y]) #14: [x = 2 ∧ y = -1] c) Centro:(2,-1) d) Ejes ⎡ √5 1 ⎤ ⎛ 3 √5 ⎞ ⎢ ⎯⎯ + ⎯ ⎥ #15: EXACT_EIGENVECTOR⎜Ac, ⎯ - ⎯⎯⎟ = ⎢ 2 2 ⎥ ⎝ 2 2 ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ Eje focal ⎛ 1 √5 ⎞ #16: (y + 1) = (x – 2)·⎜⎯ - ⎯⎯⎟ ⎝ 2 2 ⎠ Eje no focal ⎛ √5 1 ⎞ #17: (y + 1) = (x – 2)·⎜⎯⎯ + ⎯⎟ ⎝ 2 2 ⎠ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 49 Cónicas 16.- Dada la cónica de ecuación x2 – 2 y2 + 4 x + 1 = 0. Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas Solución: 2 2 #1: x - 2·y + 4·x + 1 = 0 a) Clasificación: ⎡ 1 2 0 ⎢ #2: A ≔ ⎢ 2 1 0 ⎢ ⎣ 0 0 -2 #3: MINOR(A, 1, 1) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ 1 ⎢ ⎣ 0 #4: #5: ⎡ 1 Ac ≔ ⎢ ⎣ 0 DET(Ac) 0 ⎤ ⎥ -2 ⎦ #6: #7: Cónica de tipo hiperbólico. #8: DET(A) #9: Se trata de una HIPÉRBOLA. b) Ecuación reducida: 2 2 #10: λ ·x + λ ·y + k = 0 1 2 DET(A) #11: k ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ DET(Ac) #12: #13: EIGENVALUES(Ac) #14: 2 2 x - 2·y - 3 = 0, es decir: 2 2 x y ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 #15: 3 3 ⎯⎯⎯ 2 50 0 ⎤ ⎥ -2 ⎦ -2 6 -3 [1, -2] Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas c) Semiejes y excentricidad: #16: a = √3 ⎛ 3 ⎞ #17: b = √⎜⎯⎯⎯⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 3 #18: c = 3 + ⎯⎯⎯ 2 3 #19: c = ⎯⎯⎯⎯ √2 3 ⎯⎯⎯⎯ #20: √2 e = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ √3 #21: √6 e = ⎯⎯⎯⎯ 2 d) Centro: #22: SOLVE([2 + x = 0, - 2·y = 0], [x, y]) #23: [x = -2 ∧ y = 0] e) Ejes: #24: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 1) #25: [[@1, 0]] Eje focal: Pasa por C(-2,0) y es paralelo a (1,0) #26: y = 0 Eje no focal: Pasa por C(-2,0) y es perpendicular al eje focal #27: x = -2 f) Asíntotas: Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m tal que: 2 #28: 1 - 2·m = 0 2 #29: SOLVE(1 - 2·m = 0, m) √2 √2 #30: m = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ m = ⎯⎯⎯⎯ 2 2 Luego, su ecuación es: √2 #31: y - 0 = ⎯⎯⎯⎯·(x + 2) 2 √2 #32: y - 0 = - ⎯⎯⎯⎯·(x + 2) 2 NOTA 1: Para que los alumnos dispongan del estudio completo de la cónica, aunque en el examen no se piden, se añade a continuación el cálculo de vértices, focos, y directrices. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 51 Vértices: Cónicas ⎡ 2 2 ⎤ #33: SOLVE(⎣y = 0, (x + 2) + y = 3⎦, [x, y]) #34: [x = √3 - 2 ∧ y = 0, x = - √3 - 2 ∧ y = 0] Focos: ⎛⎡ 2 2 9 ⎤ ⎞ #35: SOLVE⎜⎢y = 0, (x + 2) + y = ⎯⎯⎯⎥, [x, y]⎟ ⎝⎣ 2 ⎦ ⎠ ⎡ 3·√2 3·√2 ⎤ #36: ⎢x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - 2 ∧ y = 0, x = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - 2 ∧ y = 0⎥ ⎣ 2 2 ⎦ Directrices: 2 A #37: ⎯⎯⎯⎯ = √2 c ⎡ 2 2 ⎤ #38: SOLVE(⎣y = 0, (x + 2) + y = 2⎦, [x, y]) #39: [x = √2 - 2 ∧ y = 0, x = - √2 - 2 ∧ y = 0] Son rectas paralelas al eje no focal que pasan por los punt os que se acaban de hallar. Tienen de ecuaciones: #40: x = √2 - 2 #41: x = - √2 - 2 Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente: 2 #42: 1 - 2·m = 0 2 #43: SOLVE(1 - 2·m = 0, m) √2 √2 #44: m = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ m = ⎯⎯⎯⎯ 2 2 NOTA 2: Como la ecuación de la cónica no tiene término en x.y, se podría haber realizado el estudio completando los cuadrados de la x y de la y, obteniéndose una ecuación reducida. 52 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas ⎛ 1 −1 − a ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 17.- Sea la cónica de ecuación: (1 x y ) ⎜ −1 a 1 ⎟ ⎜ x ⎟ = 0 . ⎜ −a 1 a ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ a.- Clasificarla según los valores del parámetro real “a”. b.- Para a = 0, se pide: Clasificación Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica Centro Ejes Asíntotas Solución: ⎛ 1 −1 − a ⎞ ⎜ ⎟ a.- A = ⎜ − 1 a 1 ⎟ ⎜− a 1 a ⎟⎠ ⎝ a 1 ⎧1 A 00 = = a2 −1 = 0 ⇒ a = ⎨ 1 a ⎩− 1 ⎧1 2 A = (a − 1) (− a − 1) = 0 ⇒ a = ⎨ ⎩− 1 Caso1 Caso 2 a -1 (− ∞,−1) + 0 A 00 A + Caso 3 (-1, 1) - Caso 4 1 0 Caso 5 (1, ∞ ) + - 0 - Hipérbola Recta doble Elipse real 0 Clasificación Elipse real Rectas Par. (a 11 + a 22 ) A = 2a (a − 1)2 (− a − 1) Caso 1: (a 11 + a 22 ) A = − ⋅ + < 0 ⇒ Elipse real 1 −a 1 −1 1 1 1 −1 + = + = −2 − 2 = −4 < 0 ⇒ −a a − 1 a a = −1 1 − 1 − 1 − 1 Rectas Paralelas 1 −1 1 −1 + Caso 4: A 11 + A 22 = = 0 ⇒ Recta doble a =1 − 1 1 −1 1 Caso 2: A 11 + A 22 = Caso 5: (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ Elipse real b.- Estamos en el caso 3, se trata de una hipérbola . Ecuación reducida: λ 1 x ' ' 2 + λ 2 y' ' 2 + k = 0 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 53 Cónicas ⎛ 1 − 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ ⇒ A c − λI = λ2 − 1 = 0 ⇒ λ = ±1 A = ⎜ − 1 0 1 ⎟ ⇒ A c = ⎜⎜ 1 0 ⎝ ⎠ ⎜ 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ A ⎧λ 1 = −1 (signo contrario a k) −1 k= = =1⇒ ⎨ A 00 − 1 ⎩λ 2 = 1 − x ' ' 2 + y' ' 2 +1 = 0 ⇔ x ' ' 2 − y' ' 2 = 1 Semiejes: a = b =1 , se trata de una hipérbola equilátera. Excentricidad: e = 2 b2 =1 Parámetro de la cónica: p = a ⎧ −1 + y = 0 Centro: ⎨ ⇒ C ( 0,1) ⎩x = 0 ⎛1 1⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x + y = 0 ⇒ y = − x Ejes: ⎜⎜ ⎝1 1⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Eje focal: y − 1 = − x Eje no focal: y − 1 = x Asíntotas: ⎧m = 0 ⇒ Pendiente: a 11 + a 22 m 2 + 2a 12 m = 0 ⇒ 0 + 2m = 0 ⇒ m = 0 ⇒ ⎨ 1 ⎩m 2 = ∞ ⎧x = 0 Ecuaciones: ⎨ ⎩y = 1 54 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 18.- a) Probar que sólo uno de los siguientes polinomios de segundo grado en x y en y representa una elipse. 1. x2+4xy+y2=7 2. 2x+5y-3+x2+3xy+2y2=0 3. 9y2-24xy-40y+16x2-30x=5 4. 5y2+5x2-1-8xy+4x-2y=0 b) Hallar el Centro, los Ejes, los Focos y las Asíntotas de la cónica y2+4xy+x2-7=0. Solución: a) ⎛ −7 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎧⎪ A = 21 ≠ 0 Hipérbola 1. A = ⎜ 0 1 2 ⎟ ⇒ ⎨ ⎜ 0 2 1 ⎟ ⎪⎩ A c = −3 < 0 ⎝ ⎠ ⎛ −5 −15 −20 ⎞ ⎜ ⎟ ⎧⎪ A = −15625 ≠ 0 Parábola 2. A = ⎜ −15 16 −12 ⎟ ⇒ ⎨ ⎜ −20 −12 9 ⎟ ⎪⎩ A c = 0 ⎝ ⎠ 5⎞ ⎛ ⎜ −3 1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎧A = 0 3⎟ ⎪ ⎜ 3. A = 1 1 Dos rectas secantes ⇒⎨ 1 ⎜ 2 ⎟ ⎪ Ac = − < 0 ⎜ ⎟ ⎩ 4 ⎜⎜ 5 3 2 ⎟⎟ ⎝2 2 ⎠ ⎛ −1 −1 2 ⎞ ⎧ A = −18 ≠ 0 ⎜ ⎟ ⎪ 4. A = ⎜ −1 5 −4 ⎟ ⇒ ⎨ A c = 91 > 0 ELIPSE REAL ⎜ 2 −4 5 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩signo(a11 + a 22 ) ≠ signo A ⎛ −7 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎧⎪ A = 21 ≠ 0 b) A = ⎜ 0 1 2 ⎟ ⇒ ⎨ Hipérbola = − < A 3 0 ⎜ 0 2 1 ⎟ ⎩⎪ c ⎝ ⎠ x + 2y = 0 ⎫ Centro ⎬ ⇒ C(0, 0) 2x + y = 0 ⎭ Ecuación característica de Ac: λ 2 − 2λ − 3 = 0 . Valores propios -1 y 3. k = A Ac = −7 x 2 y2 − =1 7 7 3 1 − 3 2 ⎛ ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ Pendiente del eje focal ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ y = x ⇒ m1 = 1 ⎝ 2 1 − 3⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Eje focal y = x Eje transverso y = -x Ecuación reducida 3x2-y2-7=0 ⇔ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 55 Cónicas Focos 7 28 De la ecuación reducida obtenemos que: a 2 = ; b 2 = 7 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 = 3 3 y=x ⎫ ⎛ 42 42 ⎞ ⎛ 42 42 ⎞ ⎪ F , , F , = = − − Y del sistema 2 ⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 28 ⎬ 1 2 ⎜ 3 ⎜ 3 ⎟⎠ 3 3 ⎟⎠ x + y2 = ⎪ ⎝ ⎝ 3⎭ Asíntotas ⎧y = 3 − 2 x ⎪ 2 1+4m+m =0 ⇒ m = −2 ± 3 ⇒ ⎨ ⎪y = − 3 − 2 x ⎩ ( 56 ( ) ) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 19.- Clasificar la cónica focal y Focos. Solución: ⎛ −1 ⎜ t X AX = O ⇔ (1 x y ) ⎜ 2 ⎜0 ⎝ Clasificación: A 00 = 2xy+4x-1=0 y hallar su excentricidad, Eje 2 0⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 1⎟⎜ x ⎟ = 0. 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ y ⎟⎠ 0 1 = −1 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. 1 0 A = 1 ≠ 0 ⇒ Se trata de una hipérbola. Ecuación reducida: λ 1 x'' 2 + λ 2 y'' 2 + c = 0 A ⎧−1 c= = −1 ; A c − λ I = λ 2 − 1 = 0 ⇒ λ = ⎨ A 00 ⎩1 Tomamos para λ 1 el valor propio de signo contrario a c, es decir, λ 1 = 1, λ 2 = −1 ;. Por tanto, la ecuación reducida queda: 1x ''2 − 1y ''2 − 1 = 0 ⇔ x ''2 − y ''2 = 1 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA c Excentricidad: e = = 2 > 1 , ya que a 2 = 1 , b 2 = −1 , c2 = a 2 - b 2 = 2 . a ⎧2 + y = 0 Para el centro, resolvemos el sistema ⎨ , obteniéndose el punto C=(0,-2) ⎩x = 0 Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ −x + y = 0 ⇔ y = x . ⎝ 1 −1 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y + 2 = x ⇔ y = x − 2 . El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: y + 2 = −x ⇔ y = −x − 2 . Focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y ⎧(x + 0) 2 + (y + 2) 2 = 2 radio c: ⎨ . Obteniéndose los puntos F1 ( − 1, −3) y F2 (1,-1) . ⎩y = x − 2 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 57 Cónicas 2 2 20.- Dada la cónica x + y –2xy – 6x + 2y + 7 = 0, se pide: a) Las coordenadas del foco. b) La ecuación de la directriz. Solución: Dada la cónica: 2 2 #1: x + y - 2·x·y - 6·x + 2·y + 7 = 0 ⎡ 7 -3 1 ⎤ ⎢ ⎥ #2: A ≔ ⎢ -3 1 -1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 -1 1 ⎦ Ecuación matricial ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ #3: [1, x, y]·A·⎢ x ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ #4: DET(A) #5: -4 Cónica no degenerada #6: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) ⎡ 1 -1 ⎤ #7: Ac ≔ ⎢ ⎥ ⎣ -1 1 ⎦ #8: A00 ≔ DET(Ac) #9: 0 Parábola #10: TRACE(Ac) #11: 2 ⎛ DET(A) ⎞ #12: b1 ≔ √⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎝ TRACE(Ac) ⎠ #13: b1 ≔ √2 Ecuación reducida: 2 #14: 2·y - 2·√2·x = 0 Parámetro:comparando con y^2=2px b1 #15: p ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ TRACE(Ac) #16: √2 p ≔ ⎯⎯ 2 Vértice: Buscamos los vectores propios asociados a los valores propios 0 y 2: ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ #17: Ac·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦ 58 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas ⎛ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎞ #18: SOLVE⎜Ac·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, y, Real⎟ ⎝ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎠ #19: y = x haz de rectas de pendiente m=-1: #20: y = -x + n 2 2 #21: 4·x - 4·x·(n + 2) + n + 2·n + 7 = 0 2 2 #22: 16·(n + 2) - 16·(n + 2·n + 7) = 0 2 2 #23: SOLVE(16·(n + 2) - 16·(n + 2·n + 7) = 0, n, Real) 3 #24: n = ⎯ 2 sustituyendo n por 3/2, para que el discriminante sea cero y tengamos solución única: ⎛ 2 49 ⎞ #25: SOLVE⎜4·x - 14·x + ⎯⎯ = 0, x, Real⎟ ⎝ 4 ⎠ 7 #26: x = ⎯ 4 1 #27: y = - ⎯ 4 vértice (7/4,-1/4) eje de simetría: 1 ⎛ 7 ⎞ #28: y + ⎯ = 1·⎜x - ⎯⎟ 4 ⎝ 4 ⎠ ⎛⎡ 1 ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 7 ⎞2 #29: SOLVE⎜⎢y + ⎯ = 1·⎜x - ⎯⎟, ⎜y + ⎯⎟ + 1·⎜x - ⎯⎟ = ⎝⎣ 4 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎛ p ⎞2⎤ ⎞ ⎜⎯⎟ ⎥, [x, y]⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎡ 3 1 ⎤ #30: ⎢x = 2 ∧ y = 0, x = ⎯ ∧ y = - ⎯⎥ ⎣ 2 2 ⎦ a) foco:F(2,0) b) directriz: 1 ⎛ 3 ⎞ #32: y + ⎯ = - 1·⎜x - ⎯⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 59 Grafica: 60 Cónicas Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 21.- Dada la cónica de ecuación 36x2 + 29y2 + 24xy − 96x − 22y − 115 = 0 . Se pide: a) b) c) d) e) Solución: Clasificación Ecuación reducida Semiejes, Parámetro y excentricidad Centro y Ejes Directrices 2 2 36·x + 29·y + 24·x·y - 96·x - 22·y - 115 = 0 ⎡ -115 -48 -11 ⎤ ⎢ ⎥ #2: A ≔ ⎢ -48 36 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -11 12 29 ⎦ #3: DET(A) #4: -162000 #5: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) #6: A00 ≔ DET(Ac) #7: A00 ≔ 900 ES UNA ELIPSE DET(A)≠0; DET(Ac)>0 ⎡ 36 12 ⎤ #8: TRACE ⎢ ⎥ ⎣ 12 29 ⎦ #9: 65 a) Elipse real, pues la traza de Ac es de distinto signo que el determinante de A. DET(A) #10: k ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A00 #11: k ≔ -180 valores propios de Ac: #12: EIGENVALUES(Ac) #13: [20, 45] Consideramos primero el menor, para obtener como eje de abs cisas 0X'' el eje focal b) Ecuación reducida: 2 2 #14: 20·x + 45·y - 180 = 0 2 2 #15: 20·x + 45·0 - 180 = 0 2 2 #16: SOLVE(20·x + 45·0 - 180 = 0, x, Real) #17: x = -3 ∨ x = 3 2 2 #18: 20·0 + 45·y - 180 = 0 2 2 #19: SOLVE(20·0 + 45·y - 180 = 0, y, Real) #20: y = -2 ∨ y = 2 #1: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 61 Cónicas c) Semiejes:a=3, b=2 #21: a ≔ 3 #22: b ≔ 2 Semidistancia focal: 2 2 #23: c ≔ √(a - b ) #24: Excentricidad: c #25: e = ⎯ a √5 #26: ⎯⎯ 3 Parámetro focal: 2 b #27: p = ⎯⎯ a 4 #28: ⎯ 3 #29: #30: ⎡ ⎢ DELETE_ELEMENT(A, 1)·⎢ ⎢ ⎣ SOLVE(36·x + 12·y = 48 #31: c ≔ √5 1 ⎤ ⎥ ⎡ 0 ⎤ x ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 0 ⎦ y ⎦ ∧ 12·x + 29·y = 11, [x, y], Real) 7 1 x = ⎯ ∧ y = - ⎯ 5 5 d) Centro(7/5,-1/5) #32: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 20) ⎡ 3 ⎤ ⎢ ⎯ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -1 ⎦ #33: #34: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 45) ⎡ 4 ⎢ - ⎯ ⎢ 3 ⎢ ⎣ -1 #35: Eje mayor: #36: ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 4 ⎛ 7 ⎞ y + ⎯ = - ⎯·⎜x - ⎯⎟ 5 3 ⎝ 5 ⎠ Eje menor: #37: 62 1 3 ⎛ 7 ⎞ y + ⎯ = ⎯·⎜x - ⎯⎟ 5 4 ⎝ 5 ⎠ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas e) ⎛⎡ ⎜⎢⎛ 1 ⎞2 ⎛ 7 ⎞2 #38: SOLVE⎜⎢⎜y + ⎯⎟ + ⎜x - ⎯⎟ = ⎝⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎤ ⎞ 7 ⎞⎥ ⎟ ⎯⎟⎥, [x, y]⎟ 5 ⎠⎦ ⎠ ⎡ 27·√5 7 36·√5 #39:⎢x = ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ ∧ y = - ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎣ 25 5 25 36·√5 1 ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎥ 25 5 ⎦ ⎛ 2 ⎞2 ⎜ a ⎟ 1 4 ⎛ ⎜⎯⎯⎟ , y + ⎯ = - ⎯·⎜x ⎝ c ⎠ 5 3 ⎝ 1 7 27·√5 - ⎯, x = ⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ ∧ y = 5 5 25 Directrices: #40: #41: 36·√5 1 3 ⎛ 27·√5 7 ⎞ y + ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ = ⎯·⎜x - ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎟ 25 5 4 ⎝ 25 5 ⎠ 36·√5 1 3 ⎛ 27·√5 7 ⎞ y - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ = ⎯·⎜x + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎟ 25 5 4 ⎝ 25 5 ⎠ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 63 Cónicas 22.- Dada la cónica de ecuación: x 2 + 2xy + y 2 − 2x − 10y + 9 = 0 . Se pide: a) Ecuación matricial b) Clasificación c) Ecuación reducida d) Excentricidad y Parámetro de la cónica e) Vértice y Eje f) Foco y directriz g) Gráfica de la cónica donde aparezcan los elementos que se calculan en los dos apartados anteriores. Solución: a) Ecuación matricial ⎛ 9 −1 −5 ⎞ ⎛ 1 ⎞ t (1 x y ) ⎜⎜ −1 1 1 ⎟⎟ ⎜⎜ x ⎟⎟ = 0 ⇔ X AX = 0 ⎜ −5 1 1 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ b) Clasificación 1 1 A 00 = A c = = 0 ⇒ Tipo parabólico 1 1 A = −16 ≠ 0 ⇒ PARÁBOLA c) Ecuación reducida 2b1 x ' '+λ 2 y' ' 2 = 0 ; valores propios de A c : λ 1 = 0, λ 2 = 2 (con la función EIGENVALUES (Ac)); b1 = ± −A a 11 + a 22 = ± 2 2 ; para que b1 sea de signo contrario a λ 2 , tomamos b1 = −2 2 . − 4 2 x ' '+2 y' ' 2 = 0 ⇔ y' ' 2 = 2 2 x ' ' d) Excentricidad y parámetro de la cónica e = 1 , por ser una parábola. 2p = 2 2 ⇒ p = 2 e) Eje y vértice Vectores propios de Ac asociados a λ2 = 2 : (1,1) (con la función Exact_EIGENVECTOR (Ac, 2)) ⇒ Eje y' ' ≡ y = x + n . Busquemos “n” para que la intersección de y’’ con la parábola sea un único punto: ⎧y = x + n ⇒ 4 x 2 + 4x (n − 3) + n 2 − 10n + 9 = 0 ⇒ ⎨ 2 2 ⎩x + y + 2 xy − 2 x − 10 y + 9 = 0 x= 64 − 4(n − 3) ± 16(n − 3) 2 − 16(n 2 − 10n + 9) 8 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas Discriminante = 0 = 16(n − 3) − 16(n 2 − 10n + 9) ⇒ n = 0 ⇒ Eje y' ' ≡ y = x 2 3 − 4(0 − 3) ± 0 3 = ; ordenada: y = x = n =0 8 2 2 Abscisa del vértice: x = ⎛3 3⎞ Luego, V = ⎜ , ⎟ . ⎝2 2⎠ El eje focal pasa por el vértice y es perpendicular a y’’: 3 3⎞ ⎛ Eje focal ≡ y - = −⎜ x − ⎟ ⇔ y = − x + 3 2 2⎠ ⎝ f) Foco y directriz ⎧ 3 3⎞ ⎛ ⎪Eje focal ≡ y - 2 = −⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎧x = 2 ⇒ y = 1 ⎪ ⇒⎨ ⎨ 2 2 ⎩x = 1 ⇒ y = 2 ⎪circunf . de centro V y radio p ≡ ⎛ x − 3 ⎞ + ⎛ y - 3 ⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎩ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 Observando el dibujo se obtiene que el foco es F = (1,2) y la directriz es la recta que pasa por el punto (2, 1) y es paralela a y’’: dir ≡ y - 1 = 1(x − 2) ⇔ y = x − 1 g) Gráfica de la cónica Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 65 Cónicas 23.- Sea la cónica de ecuación: 11x2 + 17y2 − 6 3xy − 40 = 0 a) ¿Es el Centro de la cónica el origen del sistema de referencia? ¿Son los Ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos. b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: c) Hallar las ecuaciones de los Ejes: d) Directrices. e) Focos. f) Vértices. Solución: a) ¿Es el centro de la cónica el origen del sistema de referencia? SI , ya que NO APARECEN TERMINOS EN X NI EN Y ¿Son los ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? NO , ya que APARECE TÉRMINO EN X.Y En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos: Llamando z, t a los ejes de la cónica, se ha de verificar que ⎧x = z cos α − t sen α ⎛ x ⎞ ⎛ COSα −SENα ⎞ ⎛ z ⎞ . ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , es decir, ⎨ ⎝ y ⎠ ⎝ SENα COSα ⎠ ⎝ t ⎠ ⎩ y = z sen α + t cos α Llevando estas expresiones a la ecuación de la cónica y simplificando, se obtiene (1) (−12 3 cos 2 α + 12sen α cos α + 6 3)zt + + (6 cos 2 α + 6 3 sen α cos α )(t 2 − z 2 ) + 17z 2 + 11t 2 − 40 = 0 Ha de ser 0 = coeficiente de zt = − 12 3 cos 2 α + 12 sen α cos α + 6 3 π π Resolviendo la ecuación anterior, se obtiene α = − ó y ya las ecuaciones del giro 3 6 son: ⎛ 3 1⎞ ⎜ ⎟ z − ⎛x⎞ ⎜ 2 2 ⎟⎛⎜ ⎞⎟ (2) ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎟⎜⎝ t ⎟⎠ ⎝y⎠ ⎜ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: Para ello, sustituimos, en la expresión (1), α por el valor que acabamos de obtener, y π π queda: 2x 2 + 5y 2 − 10 = 0; α = o bien 5x 2 + 2 y 2 − 10 = 0; α = − 6 3 c) Hallar las ecuaciones de los ejes. 66 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas π ; para ello escribimos 6 ⎛ 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ x' x ⎛ ⎞ ⎜ 2 2 ⎟⎛⎜ ⎞⎟ . , es decir, ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎟⎜⎝ y' ⎟⎠ ⎝y⎠ ⎜− 1 ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ Para obtener el eje focal hay que girar la recta y = 0 un ángulo ⎛ 3 1⎞ ⎜ ⎟ x − x ' ⎛ ⎞ ⎜ 2 2 ⎟⎛⎜ ⎞⎟ las ecuaciones del giro ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎟⎜⎝ y ⎟⎠ ⎝ y' ⎠ ⎜ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 Sustituyendo queda: 1 3 − x+ y = 0 . Análogamente, el eje no focal se obtiene girando la recta x=0 un 2 2 3 1 π x+ y=0 ángulo obteniéndose: 2 2 6 Dibujar los ejes: d) Las directrices se obtienen girando las rectas x = Obteniéndose: a2 5 =± c 3 3 1 5 3 1 5 x+ y= y x+ y=− 2 2 3 2 2 3 e) Los focos se obtendrán girando los puntos (c,0),(-c,0), es decir ⎛ ⎜ x ' ⎛ ⎞ ⎜ Para ello: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ y' ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 3 2 1 2 1⎞ ⎛ 3 ⎞ − ⎟⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟ y. 3 ⎟⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎛ ⎜ x ' ⎛ ⎞ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ y' ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 3 2 1 2 ⎛ 15 5 ⎞ ⎟, , f) Análogamente se obtienen los vértices: ⎜⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎛ 2 6⎞ ⎜⎜ ⎟ ,− 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ( )( 3,0 , − 3,0 ) 1⎞ ⎛ 3 ⎞ − ⎟⎛ − 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 2 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟. ⎜ 3⎟ 3 ⎟⎝ 0 ⎟⎠ ⎜ ⎜− ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎛ 15 5⎞ ⎛ 2 6⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ , ⎜⎜ − ⎟, ,− , 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎝ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 67 Cónicas 24.a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”: (a2 + 4)x 2 + 9y2 + 6axy − 4(a 2 + 1)x − 12ay + 4a 2 − 8 = 0 . b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = 1: Ecuación reducida y área de la cónica. Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica. Centro, Ejes, Focos y vértices principales. Ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (0,2) y son tangentes a la cónica. Dibujo de la cónica. Solución: a) Clasificación ⎛ 4a 2 − 8 − 2(a 2 + 1) − 6a ⎞ ⎜ ⎟ ⎧⎪A 00 = 36 > 0 A = ⎜ − 2(a 2 + 1) a2 + 4 3a ⎟ , ⎨ ⎪⎩ A = −324 ≠ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ 3a 9 ⎠ ⎝ − 6a (a11 + a22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⇒ Elipse b) Sea a=1 Ecuación reducida λ1x' '2 +λ 2 y ' '2 + γ = 0 ; ⎧⎪λ = 7 − 13 ⎛5 3 ⎞ ⎟⎟ ⇒ ⎨ 1 λ1 y λ 2 valores propios de A c = ⎜⎜ , ⎪⎩λ 2 = 7 + 13 ⎝3 9 ⎠ ya que se toma como λ 1 el valor propio de menor valor absoluto. γ= A A 00 = −9 (7 − 13 )x' ' 2 +(7 + 13 )y ' ' 2 −9 = 0 ⇒ x' ' 2 9 + 7 − 13 Semiejes a2 = 9 7 − 13 ⇒a= Área de la cónica S = abπ = 3 7 − 13 , b2 = 9 7 + 13 y' ' 2 9 =1 7 + 13 ⇒b = 3 7 + 13 3 π 2 Excentricidad y parámetro de la cónica a2 = 68 9 7 − 13 , b2 = 9 7 + 13 ⇒ p= b 2 2 26 − 5 2 = . a 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas c2 = a 2 − b2 = c 7 13 − 13 1 13 ⇒ e = = a 18 2 Centro ⎧−4 + 5x + 3y = 0 ⎛1 1⎞ ⇒ C ⎜ , ⎟. ⎨ ⎝2 2⎠ ⎩−6 + 3x + 9y = 0 Ejes ⎧ ⎛ 1 1⎞ ⎪Pasa por el centro C ⎜ , ⎟ Eje focal x’’ ≡ ⎨ ⎝ 2 2⎠ ⎪ ⎩Es paralelo a los vectores propios asociados a λ 1 = 7 − 13 ⎞ 1 3 ⎛ 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ G ⎛ 13 + 2 e , 1 = ⇒ = − ⎜ ⎟⎟ ⇒ y − = − ⎜x− ⎟. f ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2⎠ 2 + 13 ⎝ ⎝ y⎠ ⎝0⎠ ⎝ 3 ⎠ ( A c − λ1I ) ⎜ ⎧ ⎛ 1 1⎞ ⎪Pasa por el centro C ⎜ , ⎟ El eje no focal y’’ ≡ ⎨ ⎝ 2 2⎠ ⎪Es perpendicular al eje focal ⎩ por tanto, y’’ ≡ y − 1⎞ 1 3 ⎛ =− ⎜x − ⎟ . 2⎠ 2 2 − 13 ⎝ Vértices principales Se hallan como la intersección del eje focal con la circunferencia de centro el origen y radio “a”: ⎧ ⎛ 26 − 3 338 + 78 13 26 + 1690 − 26 13 ⎞ 1 1⎞ ⎧ −3 ⎛ ⎪ ⎟ V1 ⎜ , ⎜x − ⎟ ⎜ ⎟ ⎪y − 2 = 52 52 ⎪ 2 2 + 13 ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ . ⇒⎨ ⎨ 2 2 9 ⎪ ⎛ 26 + 338 + 78 13 26 − 1690 − 26 13 ⎞ ⎪⎛ x − 1 ⎞ + ⎛ y − 1 ⎞ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎪V2 ⎜ ⎪⎩⎝⎜ 2⎠ ⎝ 2⎠ 7 − 13 ⎜ ⎟ 52 52 ⎪⎩ ⎝ ⎠ Focos Se hallan los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro el origen y radio c: c2 = a 2 − b2 = 13 2 ⎧ ⎛1 ⎧ −3 ⎛ 1 1⎞ ⎪F1 ⎜ + ⎜x − ⎟ ⎪y − 2 = ⎪⎪ ⎜⎝ 2 2 2 + 13 ⎝ ⎠ ⎪ ⇒⎨ ⎨ 2 2 ⎪ ⎛1 ⎪⎛ x − 1 ⎞ + ⎛ y − 1 ⎞ = 13 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪F2 ⎜ − ⎪⎩⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 ⎪⎩ ⎜⎝ 2 13 + 2 1 , − 4 2 13 + 2 1 , + 4 2 13 − 2 ⎞ ⎟ ⎟ 4 ⎠ 13 − 2 ⎞ ⎟ ⎟ 4 ⎠ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 69 Cónicas Haz de rectas que pasan por el punto (0,2) es y − 2 = mx . La intersección de la recta tangente con la elipse debe ser un único punto, y = 2 + mx debe tener solución por tanto, el sistema 5x 2 + 9y 2 + 6xy − 8x − 12y − 4 = 0 1 m=± única ⇒ (24m + 4)2 − 32(9m2 + 6m + 5) = 0 144(2m2 − 1) = 0 2 1 y = 2+ x 2 1 y = 2− 2x 70 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 25.- Dada la cónica de ecuación 8x2 − 6 2xy + y2 − 36 2x + 14y + 49 = 0 . Se pide: a) b) c) d) e) Clasificar la cónica La ecuación reducida. La excentricidad. La ecuación del Eje focal. Las ecuaciones de las Asíntotas. Solución: a) #1: ⎡ 49 ⎢ A ≔ ⎢ - 18·√2 ⎢ ⎣ 7 - 18·√2 8 7 ⎤ ⎥ - 3·√2 ⎥ ⎥ 1 ⎦ DET(A) = -18 - 3·√2 #2: #3: Ac ≔ MINOR(A, 1, 1) #4: A00 ≔ DET(Ac) #5: A00 = -10 ES UNA HIPÉRBOLA DET(A)≠0; DET(Ac)<0 b) #6: #7: DET(A) k ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A00 9 k = ⎯ 5 valores propios de Ac: #8: EIGENVALUES(Ac) = [-1, 10] Consideramos primero el NEGAtivo, para obtener como eje de abscisas 0X'' el eje focal Ecuación reducida: 2 2 9 #9: - 1·x + 10·y + ⎯ = 0 5 c) #10: #11: #12: #13: 9 2 ⎯ - x = 0 5 ⎛ 9 2 ⎞ SOLVE⎜⎯ - x = 0, x, Real⎟ ⎝ 5 ⎠ 3·√5 3·√5 x = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯⎯⎯ 5 5 2 9 10·y + ⎯ = 0 5 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 71 Cónicas #14: ⎛ 2 9 ⎞ SOLVE⎜10·y + ⎯ = 0, y⎟ ⎝ 5 ⎠ 3·√2·i 3·√2·i y = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 10 10 Semiejes:a=3√5, b=3√2/10 3·√5 #16: a ≔ ⎯⎯⎯⎯ 5 3·√2 #17: b ≔ ⎯⎯⎯⎯ 10 Semidistancia focal: 2 2 #18: c ≔ √(a + b ) 3√22 #19: c = ⎯⎯⎯ 10 Excentricidad: c ·√11O #20: e = ⎯ = ⎯⎯⎯⎯ a 10 #15: d) Primeramente hallamos el centro de ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ #21: DELETE_ELEMENT(A, 1)·⎢ x ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ la hipérbola: ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎡ 1 ⎤ - 3·√2 ⎤ ⎢ ⎥ #22: ⎥·⎢ x ⎥ - 3·√2 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ ⎛ ⎡ 1 ⎤ ⎜⎡ - 18·√2 8 - 3·√2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 0 #23: SOLVE⎜⎢ ⎥·⎢ x ⎥ = ⎢ ⎜⎣ 7 - 3·√2 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎝ ⎣ y ⎦ 3·√2 26 #24: x = ⎯⎯⎯⎯ ∧ y = - ⎯⎯ 10 5 A continuación la pendiente del eje focal: ⎡ ⎢ #25: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -1) = ⎢ ⎢ ⎣ 1 3·√2 ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ #26: √2 2 ⎯⎯ 3 ⎡ - 18·√2 ⎢ ⎣ 7 72 8 ⎡ 0 ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎞ ⎤ ⎟ ⎥, [x, y], Real⎟ ⎦ ⎟ ⎠ √2 ⎤ ⎯⎯ ⎥ 3 ⎥ ⎥ -1 ⎦ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas Eje focal #27: 26 3·√2 ⎛ 3·√2 ⎞ y + ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯·⎜x - ⎯⎯⎯⎯⎟ 5 2 ⎝ 10 ⎠ e) #28: #29: #30: #31: ⎛ ⎡ 1 ⎤ ⎞ SOLVE⎜[1, m]·Ac·⎢ ⎥ = [0], m, Real⎟ ⎝ ⎣ m ⎦ ⎠ m = 3·√2 - √10 ∨ m = √10 + 3·√2 26 ⎛ 3·√2 ⎞ y + ⎯⎯ = (3·√2 - √10)·⎜x - ⎯⎯⎯⎯⎟ 5 ⎝ 10 ⎠ 26 ⎛ 3·√2 ⎞ y + ⎯⎯ = (√10 + 3·√2)·⎜x - ⎯⎯⎯⎯⎟ 5 ⎝ 10 ⎠ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 73 Cónicas 26.- Dada la cónica de ecuación x 2 + 2ay2 − 2axy − 2x + 4ay = 0 , se pide: a) Clasificar la cónica en función del parámetro “a”. b) Para a = -10, hallar b1) Ecuación reducida. b2) Centro, si procede. b3) Ejes, indicando cuál es el focal. b4) Asíntotas, si procede. b5) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores Solución: ⎛ 0 − 1 2a ⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ − 1 1 − a ⎟ ⎜ 2a − a 2a ⎟ ⎠ ⎝ A = −2a = 0 ⇒ a = 0 A 00 = 1 −a ⎧0 = a (2 − a ) = 0 ⇒ a = ⎨ − a 2a ⎩2 a 0 2 Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧A 00 < 0 1) a < 0 ⇒ ⎨ ⇒ HIPÉRBOLA ⎩A ≠ 0 ⎧A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico 2) a = 0 ⇒ ⎨ ⎩ A = 0 ⇒ parábola deg enerada A 11 + A 22 = −4a 2 − 1 < 0 ⇒ RECTAS PARALELAS ⎧A 00 > 0 3) 0 < a < 2 ⇒ ⎨ ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧A 00 = 0 4) a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ PARÁBOLA ≠ A 0 ⎩ 74 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas ⎧A 00 < 0 ⇒ HIPÉRBOLA 5) a > 2 ⇒ ⎨ ⎩A ≠ 0 rectas paralela a hipérbola 0 parábola elipse real 2 Hipérbola b) x 2 − 20 y 2 + 20 xy − 2 x − 40 y = 0 − 1 − 20 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ A = ⎜ −1 1 10 ⎟ . ⎜ − 20 10 − 20 ⎟ ⎠ ⎝ Clasificación (ya sabemos que es una hipérbola: a = -10 < 0) 1 10 = −120 < 0 ⇒ Cónica de tipo hiperbólico. A 00 = 10 − 20 A = 20 ≠ 0 ⇒ Se trata de una HIPÉRBOLA. b1) Ecuación reducid λ 1 x'' 2 + λ 2 y'' 2 + c = 0 A 1− λ 10 ⎧− 24 20 1 = λ 2 + 19λ − 120 = 0 ⇒ λ = ⎨ = = − ; Ac − λ I = c= 10 − 20 − λ A 00 − 120 6 ⎩5 Tomamos para λ 1 el valor propio de signo contrario a c, es decir, λ 1 = 5, λ 2 = −24 ;. Por tanto, la ecuación reducida queda: 5x ''2 − 24y ''2 − 1 x ''2 y ''2 =0⇔ − =1 . 1 1 6 30 144 b2) Centro ⎧−1 + x + 10y = 0 ⎛ 11 1 ⎞ Para calcular el centro, resolvemos el sistema ⎨ ⇒ C⎜ ,− ⎟ . ⎝ 16 12 ⎠ ⎩−20 + 10x − 20y = 0 b3) Ejes Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ − 4 10 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ −4 x + 10 y = 0 ⇔ y = x . 5 ⎝ 10 − 25 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ 1 2⎛ 11 ⎞ = ⎜x − ⎟ . 12 5 ⎝ 6⎠ El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: 1 5⎛ 11 ⎞ y+ = − ⎜x − ⎟ . 12 2⎝ 6⎠ Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y + Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 75 Cónicas b4) Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación ⎧1 30 ⎪ + ⎪ 2 10 a 11 + 2a 12 m + a 22 m 2 = 0 ⇔ 1 + 20m − 20m 2 = 0 ⇒ m = ⎨ . ⎪ 1 − 30 ⎪⎩ 2 10 Las asíntotas tienen, por tanto, de ecuación: y + 1 1 30 ⎛ 11 ⎞ =( ± )⎜ x − ⎟ 12 2 10 ⎝ 6⎠ b5) Dibujo de la cónica 76 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 27.- Dada la cónica de ecuación: x 2 + y 2 + 2kxy + 2x + 1 = 0 , se pide: a) Clasificar la cónica en función del parámetro “k”. b) Para k = -1 b1) Ecuación reducida y Parámetro de la cónica. b2) Vértice y Eje de la cónica. b3) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores. Solución: ⎛1 1 0⎞ ⎟ ⎜ a) La matriz de la cónica es A = ⎜ 1 1 k ⎟ ⎜0 k 1⎟ ⎠ ⎝ 2 A = −k = 0 ⇒ k = 0 A 00 = A c = 1 k = 1 − k 2 = 0 ⇒ k = ±1 k 1 k -1 0 1 Estudiemos las diferentes posibilidades: ⎧⎪ A 00 < 0 ⇒ Tipo hiperbólico ⇒ HIPÉRBOLA 1) k < −1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no deg enerada ⎪⎧A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico ⇒ PARÁBOLA 2) k = −1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no degenerada ⎧A 00 > 0 3) − 1 < k < 0 ⇒ ⎨ ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧⎪A 00 > 0 ⇒ Tipo elíptico ⇒ UN PUNTO 4) k = 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A = 0 ⇒ deg enerada ⎧A 00 > 0 5) 0 < k < 1 ⇒ ⎨ ⇒ elipse ¿real ó imaginaria? ⎩A ≠ 0 (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL ⎧⎪ A 00 = 0 ⇒ Tipo parabólico ⇒ PARÁBOLA 6) k = 1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no degenerada ⎪⎧ A 00 < 0 ⇒ Tipo hiperbólico ⇒ HIPÉRBOLA 7) k > 1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ A ≠ 0 ⇒ no deg enerada Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 77 Cónicas parábola punto parábola k hipérbola -1 elipse real 0 elipse real 1 hipérbola b) x 2 + y 2 − 2 xy + 2 x + 1 = 0 0⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 1 − 1⎟ . ⎜0 −1 1 ⎟ ⎠ ⎝ Ya sabemos que se trata de una PARÁBOLA por el apartado anterior. A = −1 , A 00 = 0 b1) Ecuación reducida λ 2 y' ' 2 +2b1 x ' ' = 0 Ac − λ I = b1 = ± 1− λ −1 ⎧0 = λ 1 =0⇒λ=⎨ −1 1− λ ⎩2 = λ 2 -A a 11 + a 22 =± 1 2 =± 2 2 Se toma b1 de signo contrario a λ 2 ; es decir, b1 = − 2 y' ' 2 − 2 x ' ' = 0 ⇒ y' ' 2 = 2 . 2 2 x' ' . 2 Parámetro de la cónica 2p = 2 2 ⇒p= 2 4 b2) Vértice y eje de la parábola El eje de la parábola x`` tiene la dirección de los vectores propios asociados al valor propio λ 1 = 0 de la matriz A c : ⎛ 1 − 1⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x − y = 0 ⇒ y = x ⎝ − 1 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠ Luego, el eje y``, perpendicular a x`` y que corta a la cónica en el vértice, tiene una ecuación de la forma: y`` ≡ y = − x + n Sustituimos esta expresión en la ecuación de la parábola, obteniéndose: 2 x 2 + (− x + n ) − 2x (− x + n ) + 2x + 1 = 0 78 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas + 2(1 − 2n )x + n 2 + 1 = 0 ⇒ 4x cuyo discriminante Δ ha de ser nulo para que tenga solución única (la abscisa x del vértice): 3 2 Δ = 4(1 − 2n ) − 4 ⋅ 4 n 2 + 1 = 0 ⇔ −4n − 3 = 0 ⇒ n = − 4 La abscisa del vértice es, entonces, la solución única de la ecuación 3 4x 2 + 2(1 − 2n )x + n 2 + 1 = 0 para n = − : 4 25 5 =0⇒x =− 4 x 2 + 5x + 16 8 3 Como el vértice ha de pertenecer al eje y`` ≡ y = − x − , su ordenada ha de ser: 4 5 3 1 y= − =− 8 4 8 ⎛ 5 1⎞ El vértice es, por tanto, el punto V⎜ − ,− ⎟ . ⎝ 8 8⎠ Y el eje de la parábola es la recta que pasa por el vértice y tiene de pendiente 1: 1 ⎛ 5⎞ y + = 1⎜ x + ⎟ 8 ⎝ 8⎠ b3) Dibujo de la cónica 2 ( ) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 79 Cónicas NOTA: Foco y directriz no se piden. Se añaden aquí para tener un estudio más completo de la cónica por si algún alumno emplea esta solución como material de estudio: Foco y directriz Como ambos se encuentran a una distancia p 2 = del vértice, intersecamos el eje x`` 2 8 p : 2 ⎧ 1 ⎛ 5⎞ ⎪ y + 8 = 1⎜ x + 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ 2 2 ⎪⎛ x + 5 ⎞ + ⎛ y + 1 ⎞ = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎪⎜⎝ 8 8 32 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ Resolviendo el sistema anterior se obtienen los dos puntos: ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎜ − ,0 ⎟ y ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 4⎠ ¿Cuál de ambos es el foco? Si se interseca la parábola con la recta paralela al eje y`` que pasa por el origen, no se obtienen puntos de corte, ya que el discriminante Δ para n = 0 es negativo: 2 Δ = 4(1 − 2n ) − 4 ⋅ 4 n 2 + 1 = −12 < 0 Luego, la parábola se abre hacia la izquierda del vértice y el foco F es, de ambos puntos, el que tiene menor abscisa: ⎛ 3 1⎞ F⎜ − ,− ⎟ ⎝ 4 4⎠ con la circunferencia de centro V y radio ( ) La directriz d es la recta que pasa por el otro punto y es paralela al eje y``: 1⎞ ⎛ d ≡ y − 0 = −⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝ 80 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 28.- Dada la cónica de ecuación: 2 + x2 + 2xy = 0 , se pide: a) Clasificarla b) Coordenadas del Centro c) Asíntotas Solución: a) Clasificación ⎡ 2 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ #1: A ≔ DET ⎢ 0 1 1 ⎥ = -2 ⎢ ⎥ ⎣ 0 1 0 ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ #2: A00 ≔ DET ⎢ ⎥ = -1 <0 ⎣ 1 0 ⎦ Hipérbola b) Centro ⎛ ⎜⎡ 0 SOLVE⎜⎢ ⎜⎣ 0 ⎝ ⎡ 1 ⎤ ⎞ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 0 ⎤ ⎟ #3: ⎥·⎢ x ⎥ = ⎢ ⎥, [x, y], Real⎟ 1 0 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎟ ⎣ y ⎦ ⎠ #4: x = 0 ∧ y = 0 El origen de coordenadas (0,0) 1 c) Asíntotas ⎛ ⎡ 1 #5: SOLVE⎜[1, m]·⎢ ⎝ ⎣ 1 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎞ ⎥·⎢ ⎥ = [0], m, Real⎟ 0 ⎦ ⎣ m ⎦ ⎠ 1 #6: m = - ⎯ 2 Rectas que pasan por el centro de la cónica: x #7: y = - ⎯ 2 #8: x = 0 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 81 Cónicas 29.- a) Determinar entre todas las cónica de la familia x2 + xy + y2 +2x + y + 3 + λ(xy + y2 - 2x + y + 1) = 0 aquellas no degeneradas cuyos Centros están sobre la recta x –y –2 = 0 b) Clasificar la cónica para λ=1. Solución a) x2 + (1+ λ) y2 + (1 + λ) xy + 2(1 - λ)x + (1 + λ)y +3 + λ = 0 Matriz de la familia de cónicas es: ⎡ ⎢ 3 + λ 1 - λ ⎢ ⎢ ⎢ #1: A = ⎢ 1 - λ 1 ⎢ ⎢ ⎢ 1 + λ 1 + λ ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎣ 2 2 1 + λ ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥ 2 ⎥ ⎥ 1 + λ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥ 1 + λ ⎥ ⎦ Cálculo del centro: #4: #5: ⎛⎡ ⎜⎢ 1 - λ ⎜⎢ SOLVE⎜⎢ ⎜⎢ λ + 1 ⎜⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎝⎣ 2 1 λ + 1 ⎯⎯⎯⎯⎯ 2 λ + 1 ⎤ ⎞ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⎟ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 0 ⎤ ⎟ ⎥·⎢ x ⎥ = ⎢ ⎥, [x, y], Real⎟ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎟ λ + 1 ⎥ ⎣ y ⎦ ⎟ ⎦ ⎠ 12 2·λ x = - ⎯⎯⎯⎯⎯ - 5 ∧ y = ⎯⎯⎯⎯⎯ λ - 3 λ - 3 Sustituimos las coordenadas del centro en la ecuación de la recta: x - y - 2 = 0. #6: #7: #8: 18 - ⎯⎯⎯⎯⎯ - 9 = 0 λ - 3 ⎛ 18 ⎞ SOLVE ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯ - 9 = 0, λ⎟ ⎝ λ - 3 ⎠ λ = 1 Por tanto, la cónica cuyo centro está sobre la recta x-y-2 = 0 es la que se obtiene para λ=1, es decir, la cónica: x2 +2y2 + 2xy + 2y + 4 = 0 82 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas b) Clasificar la cónica para λ=1 ⎡ 4 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 1 #9: 0 1 1 1 ⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ 2 ⎦ No degeneradas, debe cumplir que su det(A) ≠ 0 ⎡ 4 ⎢ DET ⎢ 0 ⎢ ⎣ 1 #10: 0 1 1 1 ⎤ ⎥ 1 ⎥ = 3 ⎥ 2 ⎦ Cónicas con centro: C≠ 0 ⎡ 1 DET ⎢ ⎣ 1 #11: 1 ⎤ ⎥ = 1 2 ⎦ Cónicas tipo elíptico: A00 >0 ⎡ 1 1 ⎤ TRACE ⎢ ⎥ = 3 ⎣ 1 2 ⎦ Traza(Ac)>0, es decir de igual signo con respecto a A00, luego una ELIPSE IMAGINARIA #12: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 83 Cónicas 2 2 30.- Dada la elipse: x +y -xy+x+y=0. Se pide: a) centro b) excentricidad y semiejes c) ejes de simetría d) ecuación de las rectas tangentes a la elipse y paralelas a la recta y = x Solución ⎧2x − y + 1 = 0 a) El centro se obtiene como solución del sistema ⎨ es decir C=(-1,-1) ⎩2y − x + 1 = 0 ⎛ ⎜ 1 b) Llamando A c = ⎜ ⎜− 1 ⎜ ⎝ 2 1⎞ − ⎟ 2 , menor (1,1) de la matriz de la cónica, los valores propios ⎟ 1 ⎟⎟ ⎠ 1 3 de A c son (ordenados de forma creciente por su valor absoluto λ1 = y λ2 = 2 2 ⎛ ⎜0 ⎜ 1 Si A es la matriz de la cónica A = ⎜ ⎜2 ⎜ ⎜⎜ 1 ⎝2 1 ⎞ 2 ⎟ ⎟ 3 1⎟ − entonces A = − ⎟ 4 2 ⎟ 1 ⎟⎟ ⎠ 1 2 1 − 1 2 3 − A Y llamando k = = 4 = −1 3 Ac 4 La ecuación reducida de la cónica es λ1x 2 + λ 2 y 2 + k = 0 ⇒ 1 2 1 2 x + y =1 2 2 3 ⎧semieje mayor a = 2 ⎪ De donde se deduce que los semiejes son: ⎨ 2 ⎪ semieje menor b = 3 ⎩ La excentricidad viene dada por e = 84 c a −b = = a a 2 2 2− 2 2 3 = 2 3 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas c) Los vectores propios de la matriz Ac asociados respectivamente a los valores propios ⎧λ → (−1, −1) son: ⎨ 1 que nos dan las pendientes m1=1 y m2=-1 de los ejes de simetría ⎩ λ 2 → (1, −1) focal y no focal. Imponiendo la condición de que pasen por el centro C=(-1,-1) las ecuaciones de los ejes eje focal y = x ⎧ son ⎨ ⎩eje no focal y = − x − 2 d) El apartado d) se puede resolver de dos formas. a. Método general. Se obliga a que la intersección de la cónica con la recta genérica de la dirección dada sea un punto doble. Esos puntos son los puntos de tangencia. y= x+n ⎧ Es decir, hay que resolver el sistema ⎨ 2 sustituyendo 2 ⎩ x + y + xy + x + y = 0 x 2 + ( x + n ) + x ( x + n ) + x + x + n = 0 ⇒ x 2 + (n + 2)x + n 2 + n = 0 2 −(n + 2) ± (n + 2) 2 − 4(n 2 + n) se impone que los puntos sean dobles con 2 4 (n + 2) 2 − 4(n 2 + n) = 4 − 3n 2 = 0 ⇒ n = ± 3 2 Las dos rectas tangentes buscadas son, por tanto, y = x ± 3 b. Si se observa el problema, resulta que se buscan dos rectas tangentes a la elipse, que son paralelas al eje focal, por tanto son dos rectas paralelas al eje focal y que cortan a la elipse en los vértices secundarios. Estos vértices se obtienen de la intersección del eje y = −x − 2 ⎧ se no focal con la elipse, es decir, de resolver el sistema ⎨ 2 2 ⎩ x + y + xy + x + y = 0 x= 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 obtienen los puntos ⎜ − 1, − 1⎟ y las rectas buscadas son − 1,− − 1⎟ y ⎜ − 3 ⎠ 3 3 ⎠ ⎝ ⎝ 3 las rectas de pendiente m=1 que pasan por estos vértices. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 85 Cónicas 31. Dada la cónica de ecuación: 5x2 + 5y2 +2xy – 6x – 6y - 3 = 0, se pide: a) Ecuación reducida. b) Excentricidad. c) Centro. d) Ejes. Solución: La ecuación matricial de la cónica es: ⎛ −3 − 3 − 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ X AX = 0 ⇔ (1 x y ) ⎜ −3 5 1 ⎟ ⎜ x ⎟ = 0 ⎜ −3 1 5 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Por tanto, A 00 = 24 > 0 ⇒ Cónica de tipo elíptico. A = −144 ≠ 0 ⇒ Es una elipse. t A (a 11 + a 22 ) = −144 (5 + 5) = −1440 < 0 ⇒ Es una elipse real. a) Ecuación reducida: λ 1x''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 ⎧4 A c − λ I = (5 − λ ) 2 − 1 = 0 ⇒ λ = ⎨ ⎩6 Tomamos para λ 1 el valor propio de menor valor absoluto, es decir, λ 1 = 4, λ 2 = 6 ; A k= = −6 . A 00 x'' 2 Por tanto, la ecuación reducida queda: −6 + 4 x'' +6y'' = 0 ⇔ + y'' 2 = 1 3 2 3 c 1/ 2 b) Excentricidad: e = = = <1, ya que: 3 a 3/ 2 1 3 a 2 = , b2 = 1 , c2 = a 2 - b2 = . 2 2 ⎧−3 + 5x + y = 0 c) Para calcular el centro, resolvemos el sistema ⎨ , obteniéndose el ⎩−3 + x + 5y = 0 punto: C = (1/2, 1/2) . d) Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: 1 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0⎞ ⎛5 − 4 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ x + y = 0 ⇔ y = −x . ⎜ 5 − 4⎠ ⎝ y⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 1 2 2 1 1⎞ ⎛ = − ⎜ x − ⎟ ⇔ y = −x + 1 . 2 2⎠ ⎝ El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: 1 1 y− = x− ⇔ y = x. 2 2 Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y − 86 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 32.- Dadas las cónicas 3x² + 2xy + 3y² + 4x +1 = 0 4x² + y² – 4xy + 2x + 4y – 3 = 0 Se pide: a) Calcular los puntos de intersección de ambas cónicas. b) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por ambos puntos de intersección. c) Calcular los puntos de corte de la recta r con cada uno de los ejes focales de ambas cónicas. Solución: a) La intersección de ambas cónicas da como solución los puntos (-0.4775, 0.4765) y (-1.0633, 0.0726) b) La recta que pasa por ambos puntos tiene como ecuación: y = 0.6895 x + 0.8057 c) Debemos obtener los ejes focales de cada cónica. ⎛3 1⎞ La primera cónica es una elipse y sus los valores propios de la matriz A c = ⎜ ⎟ ⎝ 1 3⎠ son λ1=2 y λ2=4 y la ecuación reducida es x2 y2 + =1 0.25 0.125 G G La dirección del eje focal viene dado por el autovalor λ1, ( A c − λI ) v = 0 es decir, es la dirección de la recta y = - x El centro de simetría de la elipse se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones 2 + 3x + y = 0; 0 + x + 3y = 0 Por tanto, el centro es el punto C = (-0.75 , 0.25) y el eje focal la recta y = - x - 0.5 La segunda cónica es una parábola pues la matriz Ac = tiene como determinante cero ⎛ 4 −2 ⎞ Los valores propios de la matriz A c = ⎜ ⎟ son λ1=0 y λ2=5 ⎝ −2 1 ⎠ La dirección del eje focal es la asociada a λ1=0 y viene dada por la G G ecuación ( A c − λI ) v = 0 ; y = 2x Las rectas perpendiculares al eje, por tanto, tendrán la forma y = - 0.5 x + k La Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 87 Cónicas intersección de esas rectas con la parábola viene dada por la solución del sistema de ecuaciones: 4x² + y² – 4xy + 2x + 4y - 3 = 0 y = - 0.5 x + k Resolviendo el sistema en x e y se obtienen los dos puntos de corte en función de k ( y = 0.2 ( 4k ± x = 0.4 k ± 3 − 4k ) 3 − 4k ) Para obtener el vértice se impone que ambos puntos sean el mismo, es decir, que k=0.75 Quedando el punto V (0.3 , 0.6) El eje focal de la parábola es la recta de pendiente m=2 que pasa por el vértice: y = 2 x La intersección de la recta r con el eje focal de la elipse es y = 0.6895 x + 0.8057 ; y = - x – 0.5 (-0.7729, 0.2729) La intersección de la recta r con el eje focal de la parábola es y = 0.6895 x + 0.8057; y = 2 x (0.6148, 1.2296) 88 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 33.- Hallar las coordenadas del centro, las ecuaciones de los ejes y las asíntotas de la hipérbola 6x 2 − 12xy + y2 + 3x + 2y − 13 = 0 . Solución: Centro ⎧3 ⎛1 1⎞ ⎪ + 6x − 6y = 0 Para calcular el centro, resolvemos el sistema ⎨ 2 ⇒ C⎜ , ⎟ . ⎝4 2⎠ ⎪⎩1 − 6x + y = 0 Ejes Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ 1 y λ 2 , respectivamente. Ac − λ I = 6 − λ −6 ⎧10 = λ 2 − 7λ − 30 = 0 ⇒ λ = ⎨ −6 1 − λ ⎩−3 A 1455 / 4 97 = =− A 00 8 −30 Tomamos para λ1 el valor propio de signo contrario a k, es decir, λ 1 = 10, λ 2 = −3 . k= Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema: ⎛ 6 − 10 −6 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ 2 ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ −4x − 6y = 0 ⇔ y = − x . − − 6 1 10 y 0 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2⎛ 1⎞ Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y − = − ⎜ x − ⎟ ⇔ 2x + 3y − 3 = 0 . 2 3⎝ 4⎠ El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: y− 1 3⎛ 1⎞ = ⎜ x − ⎟ ⇔ 12x − 8y + 1 = 0 . 2 2⎝ 4⎠ Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación a11 + 2a12 m + a 22 m 2 = 0 ⇔ 6 − 12m + m 2 = 0 ⇒ m = 6 ± 30 . 1 ( ) ⎛⎝ 3⎞ Una asíntota tiene, entonces, de ecuación: y − = 6 + 30 ⎜ x − ⎟ 2 4 1 ( ⎠ ) ⎛⎝ 3⎞ La otra, pasa por el centro y es: y − = 6 − 30 ⎜ x − ⎟ . 2 4 ⎠ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 89 Cónicas 34.Escribir la ecuación reducida de la 2 2 x + 3y − 2xy − 2x + 1 = 0 y determinar la excentricidad. cónica Clasificación ⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 1 −1⎟ , ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠ (a 11 + a 22 ) A ⎧⎪A 00 = 2 > 0 ⎨ ⎪⎩ A = −1 ≠ 0 ⇒ Elipse = + ⋅ − < 0 ⇒ ELIPSE REAL Ecuación reducida λ1 x ''2 + λ 2 y ''2 + k = 0 ⎛ 1 −1⎞ ⎧⎪λ1 = 2 − 2 , ya que se toma como λ 1 el ⎟⇒⎨ ⎝ −1 3 ⎠ ⎪⎩λ 2 = 2 + 2 λ 1 y λ 2 valores propios de A c = ⎜ valor propio de menor valor absoluto. A 1 k= =− A 00 2 ( ) ( ) 2 − 2 x '' 2 + 2 + 2 y '' 2 − 1 =0⇒ 2 ( x '' 2 1 2 2− 2 + ) ( y '' 2 1 2 2+ 2 =1 ) Excentricidad Ya que a 2 = ( 1 2 2− 2 ) , b2 = e= ( 1 2 2+ 2 c = a ( ) , c2 = a 2 - b2 = 2 2 1 2 2− 2 90 ( 2 ⇒ c= 2 2 . 2 ) = 2 2 2 − 2 <1 ) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 35.- Sea la cónica de ecuación: λ x2 + λ y2 − 2xy + 2x + 2y + 1 = 0 . a.- Clasificarla según los valores del parámetro real “ λ ”. b.- Para λ = 0, se pide: Ecuación reducida Semiejes Excentricidad Centro Asíntotas Solución: ⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ a.- A = 1 λ −1 ⎜ ⎟ ⎜1 −1 λ ⎟ ⎝ ⎠ λ −1 ⎧1 = λ2 − 1 = 0 ⇒ λ = ⎨ A 00 = −1 λ ⎩ −1 ⎧3 A = ( λ + 1) ( λ − 3) = 0 ⇒ λ = ⎨ ⎩−1 λ (− ∞,−1) Caso1 Caso 2 -1 Caso 3 (-1, 1) Caso 4 1 Caso 5 (1,3) Caso 6 3 Caso 7 A 00 + 0 - 0 + + + A + 0 - - - 0 + Cónica Elipse real Rectas Par. Hipérbola Recta doble Elipse real Punto Elipse imaginaria ( a11 + a 22 ) ( 3,∞ ) A = 2a ( a + 1) ( a − 3) Caso 1: (a 11 + a 22 ) A = − ⋅ + < 0 ⇒ Elipse real Caso 2: A11 + A 22 = 1 1 1 λ + 1 1 = 1 1 1 λ λ=−1 1 −1 + 1 1 1 −1 = −2 − 2 = − 4 < 0 ⇒ Rectas Paralelas Caso 3: Hipérbola 1 1 1 1 Caso 4: A11 + A 22 = + = 0 ⇒ Recta doble λ=1 1 1 1 1 Caso 5: (a 11 + a 22 ) A = + ⋅ − < 0 ⇒ Elipse real Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 91 Cónicas Caso 6: Un punto Caso 7: ( a11 + a 22 ) A = + ⋅ + > 0 ⇒ Elipse imaginaria b.- Estamos en el caso 3, se trata de una hipérbola. Ecuación reducida: λ 1 x ' ' 2 + λ 2 y' ' 2 + k = 0 ⎛1 1 1 ⎞ ⎛ 0 −1⎞ A = ⎜⎜1 0 −1⎟⎟ ⇒ A c = ⎜ ⇒ A c − λ I = λ 2 − 1 = 0 ⇒ λ = ±1 ⎟ ⎝ −1 0 ⎠ ⎜1 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ A ⎧λ = −1 (signo contrario a k) −3 k= = = 3⇒ ⎨ 1 A 00 −1 ⎩λ 2 = 1 x ''2 y''2 − x '' + y'' + 3 = 0 ⇔ − =1 3 3 2 2 Semiejes: a = b = 3 , se trata de una hipérbola equilátera. Excentricidad: e = 2 ⎧1 − y = 0 Centro: ⎨ ⇒ C (1,1) ⎩1 − x = 0 Asíntotas: ⎧m1 = 0 2 ⇒ Pendiente: a11 + a 22 m + 2a12 m = 0 ⇒ 0 − 2m = 0 ⇒ m = 0 ⇒ ⎨ ⎩m 2 = ∞ ⎧x = 1 ⎩y = 1 Ecuaciones: ⎨ 92 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas 36.- a) Clasificar las siguientes cónicas: a1) 2 + x2 + 2xy = 0 a2) x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 8y = 0 a3) x2 + 2xy + 2 y2 - 2x – 1 = 0 b) Hallar los semiejes a y b, y las ecuaciones de los ejes de la elipse x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 4y = 0 Solución: ⇒ a1) A= ⇒ la ecuación corresponde a una hipérbola ⇒ a2) A= ⇒ la ecuación corresponde a una parábola ⇒ a3) A= ⇒ la ecuación corresponde a una elipse real b) La ecuación reducida de la elipse, es de la forma λ1x2 + λ2y2 + k =0, y la ecuación de una elipse de centro en el origen es, a2 = obtiene que: , luego operando e identificando se −k −k y b2 = . λ1 λ2 Calculamos k y los autovalores de Ac ⇒k= A= = λ2 -3λ +1 =0 ⇒ Autovalores de Ac: a2= y b2= = = -2 = , luego, ⇒ a = 3+ 5 , b = 3− 5 Para el cálculo de las ecuaciones de los ejes necesitamos calcular el centro y las direcciones de los ejes: Centro: , resolviendo el sistema se obtiene. x= 0, y= -1 ⇒ C(0,-1) Direcciones de los ejes: , operando quedan dos ecuaciones proporcionales, siendo cualquiera de ellas la solución, por ejemplo, ⇒ Eje focal: y +1 = Eje secundario: y las ecuaciones de los ejes son: 5 −1 x 2 y +1 = − 2 x 5 −1 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 93 Cónicas SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS P1.- La ecuación de la hipérbola equilátera es (x − 2)2 − (y + 3)2 = 9 ; centro (2,-3); eje focal y = −3 , y eje no focal x=2; focos F(2 + 3 , - 3) y F' (2 − 3 , - 3) ; directrices x = 2+ 3 y x = 2 − 3 ; y de ecuación reducida 2 2 2 2 (x ') − (y') = 9 . P2.- Circunferencia (x − 5) + (y + 3) = 20 . 2 P3.- (X + 2)2 + (Y − 1)2 P4.- a) 9 25 =1 (X + 3)2 + (Y − 4)2 36 25 2 = 1 . b) eje mayor x = −3 ; eje menor y = 4 ; vértices A(-3,- 1), 25 ⎞ 11 ⎛ A’(-3,9), B(3,4), B’(-9,4); focos ⎜ − 3,4 ± . c) recta ⎟ ; y excentricidad e = 6 11 ⎠ ⎝ tangente 5x − 8y − 3 = 0 y recta normal 40x + 25y − 24 = 0 . d) y = 9 y 10 y − 9 = ( x − 9) . 9 P5.- a) b) c) 94 d) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Cónicas e) elipse imaginaria f) g) h) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 95
