rotación - AlgebraUNQ

Motivación
• Dado que en una cónica cuyo eje está rotado,
no podemos obtener su ecuación canónica
(tampoco sus foco/s, vértice/s, etc), debemos
utilizar el siguiente método.
• La ecuación general de segundo grado
en donde B≠0
puede transformarse siempre en otra de la
forma :
¿Cómo?
• Rotando los ejes coordenados un ángulo θ
agudo positivo para que los nuevos ejes
coincidan con los ejes principales de la cónica.
• Observemos la figura siguiente y veamos
cómo podemos relacionar las coordenadas de
un punto P en el sistema OXY con las
coordenadas del mismo punto en el sistema
rotado O’X’Y’
Rotación de los ejes coordenados
Relación: OXY <–> O’X’Y’
• Viendo el gráfico anterior se deduce que:
• (1)
(2)
• Utilizando el seno y el coseno de la suma en
(1)
• Reemplazo desde (2) en la anterior:
Forma matricial
• El sistema puede expresarse en forma
matricial:
• Donde la matriz de los coeficientes, A, es la
matriz de rotación. A es una matriz ortogonal,
ya que At=A-1
• Por lo tanto, si quisiéramos ver cuál es el valor
de X’ e Y’ sería muy fácil hallar la inversa.
Transformación de la ecuación
• Reemplazando las ecuaciones de X e Y en la
ecuación general de segundo grado queda:
• Agrupando se obtiene una ecuación en
términos de X’ Y’ donde el término cruzado es
• Y utilizando las identidades trigonométricas:
• El término cruzado queda:
Elección del ángulo θ
• Podemos elegir el ángulo θ para que B’=0, es
decir para que desaparezca el término cruzado
que es a donde queríamos llegar.
• Por lo tanto B’=(C-A).sen(2 θ) +B.cos(2 θ )=0
• 
• Con 2θ en el primero o en el segundo
cuadrante
• Para ver en que cuadrante está 2 θ me fijo si
es positivo está en el primero y si es negativo
es porque el cos(2 θ ) es negativo, por lo tanto
está en el segundo cuadrante.
• Luego calculo el
• Y tenemos que
Determinación del tipo de cónica
• Interesa determinar qué tipo de cónica es sin
hacer la rotación de ejes.
• Puede demostrarse que la siguiente igualdad:
4AC-B2 = 4A‘C’-(B’)2
• Donde A’ B’ y C’ son los coeficientes de la
ecuación luego de la rotación de ejes.
• En conclusión, el término 4AC-B2 permanece
invariante ante la rotación.
Determinación del tipo de cónica
• Por lo tanto: si 4AC-B2
–es > 0 la cónica es tipo elipse
–es <0 la cónica es tipo hipérbola
– es =0 la cónica es tipo parábola