www.clasesalacarta.com Tema 5.- Vectores Los Vectores y sus Operaciones Sentido: Orientación Módulo: Longitud B B A Final AB A B A Origen: punto de aplicación BA Dirección: recta que lo contiene Vectores Equipolentes Vectores fijos con el mismo módulo, misma dirección y mismo sentido. B A AB AB Suma de Vectores a + b = a1 +b1 ,a2 + b2 A B A A+B B A+B+C C Resta de Vectores a - b = a1 -b1 , a2 - b2 B-A A B Producto de un Número por un Vector k · a = k·a1 , k·a2 Módulo k·a = k · a Dirección La misma de a Sentido El de a si k > 0 El opuesto de a si k < 0 1 á á 2 Matemáticas _ B_ 1º Bach. Vector cero Vector Opuesto 0·a =0 -1 · a = -a Combinación Lineal de vectores Dados 2 vectores a y b y 2 números k y z, el vector k·a + z·b se dice que es combinación lineal de a y b . k·a + z·b = k a1 + z b1 , k a2 + z b2 Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos Esta combinación lineal es única Coordenadas de un Vector. Base Dos vectores a y b con distinta dirección y no nulos forman una base: cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos. Base OrtoGONAL Base OrtoNORMAL Vectores perpendiculares entre sí Vectores perpendiculares entre sí y de módulo 1 Coordenadas de un Vector respecto de una base w =a x + b y → w (a, b) B (x, y): base (a, b): coordenadas de w respecto de B Producto Escalar de un Vector a · b= a · b · cos (a, b) = k Propiedades 1.- El producto escalar del vector 0 por otro vector cualquiera es el nº 0: a=0 ó → a · b =0 b=0 2.- Si 2 vectores son perpendiculares, su producto escalar es 0: a ⊥ b→ a · b = 0 3.- El producto escalar de 2 vectores es igual al producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, con signo + o -, según si forman ángulo agudo u obtuso. Llamando a la proyección ortogonal de a 4.- Propiedad Conmutativa: a· b= b·a 5.- Propiedad Asociativa: n a· b = n·a ·b 6.- Propiedad Distributiva a b + c = a · b+ a · c 7.- Si B x + y es una base ortogonal: sobre b, a' : x·y= y· x=0 a' = a· b b 8.- Si B x + y es una base ortonormal: x·y= y· x=0 x·x=1 y·y=1 www.clasesalacarta.com 3 Tema 5.- Vectores Base Ortonormal Expresión Analítica Si las coordenadas de los vectores a y b respecto a una base ortonormal son a (a1 , a2 ) y b (b1 , b2 ), entonces el producto escalar a · b: a · b= a1 ·b1 + a2·b2 Módulo de un Vector Expresión Vectorial Expresión Cartesiana a = a·a a = a21 · a22 Ángulo de 2 vectores Expresión Vectorial cos a·b = Expresión Analítica a·b cos a·b = a · b a1 ·b1 + a2 ·b2 2 2 a21 + a22 · b1 + b2 Vector Ortogonal a Otro Un vector ortogonal a (x, y) es (-y, x) ó (y, -x): se cambian de orden y una de signo Vector Unitario a a1 ,a2 → Vector Unitario a1 a2 · a21 + a22 a21 + a22 Coordenadas del Vector que Une 2 Puntos A = a1 , a2 AB = b1 , b2 - a1 , a2 B = (b1 , b2 ) Condición para que 3 puntos estén Alineados A = a1, a2 B = b1, b2 C = c1 , c2 b1 - a1 b2 - a2 = c1 - b1 c2 - b2 Punto Medio de un Segmento M= a1 + b1 a2 + b2 , 2 2