Document

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Asignatura: Cálculo II
Grado Ingeniería Mecánica
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio. CURSO 10 - 11
JUNIO – CURSO 10‐11 1
Aplicando transformadas de Laplace, hallar la función y (t ) que cumple la ecuación diferencial siguiente y ''(t )  5 y '(t )  6 y (t )  3 sen(t ) con las condiciones iniciales: y (0)  0, y '(0)  2 . SEPTIEMBRE – CURSO 10‐11 2
Utilizando razonadamente las propiedades de la transformada de Laplace y la tabla de transformadas, hallar la transformada de Laplace de la función definida así f  t  
e2 t  1
, comprobando previamente que existe. t
3
Aplicando transformadas de Laplace, hallar la función y (t ) que cumple la ecuación diferencial siguiente: y '''(t )  3 y ''  t   4 y '(t )  2 y (t )  0 con las condiciones iniciales: y (0)  1, y '(0)  0, y ''(0)  4 . CURSO 11 - 12
JUNIO – CURSO 11‐12 Pág.1
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ingeniería Mecánica
Asignatura: Cálculo II
3
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
La solución general de la e.d.o. y '' 2 y ' y  0 es de la forma, __ A) y  x   C1e x  C2 x  e x  e 2 x __ B) y  x   C1e x  C2 x  e x __ C) y  x   C1e x  C2 e  x __ D) Ninguna de las anteriores. 4
t
a) Hallar la transformada de Laplace de la función definida así 
0
e 2t  1
 dt , t
comprobando previamente que existe. b) Sabiendo que L  sen 3t   F ( s ) 
3
s 9
2
, convergente para s > 0. Aplicar las propiedades de la transformada de Laplace para calcular L t  sen 3t  . 5
Resolver la ecuación diferencial x ''(t )  4  x '(t )  3  x(t )  cos t , utilizando transformadas de Laplace y teniendo en cuenta las condiciones iniciales: x(0) = 1, x’(0) = 0. 6
Resolver la ecuación diferencial lineal siguiente: x  y ' 2 y  2 x , utilizando el método de variación de la constante.
SEPTIEMBRE – CURSO 11‐12 7
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (0,1) y cumple que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es el triple que la abscisa del punto de contacto. Pág.2
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ingeniería Mecánica
Asignatura: Cálculo II
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
8
Hallar la transformada de Laplace de la función
 0 si t  0

f (t )   2 si 0  t  5
 6 si t  5



,


utilizando las funciones de Heaviside para definir f (t ) y, posteriormente, la tabla de transformadas. 9
Resolver la ecuación diferencial x ''(t )  x '(t )  2 sen t , utilizando transformadas de Laplace y teniendo en cuenta las condiciones iniciales: x (0)  0 ,
x '(0)  1 . 10
Resolver la ecuación diferencial siguiente y '
2y
3
  x  1
1 x
CURSO 12 - 13
JUNIO – CURSO 12‐13 11
Utilizando la tabla de transformadas de Laplace y las propiedades de las transformadas, calculamos la transformada de Laplace de la función f (t ) 
1
t
 e4 t e indicamos los valores de s para los cuales dicha transformada es convergente, resultando: __
A)
F s 
__
B)
F s 
__
C)
F s 

s4

s
,

s4
convergente  s  4 .
,
convergente  s  4 .
,
convergente  s  4 .
Pág.3
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ingeniería Mecánica
Asignatura: Cálculo II
__
D)
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
Ninguna de las anteriores. 12
Utilizar transformadas de Laplace para resolver la ecuación diferencial lineal de orden 2 y coeficientes constantes, x ''(t )  2 x '(t )  5 x(t )  e 2 t teniendo en cuenta que cumple las condiciones iniciales siguientes: x(0) = 0, x’ (0) = 1. 13
Hallar la solución general de la ecuación diferencial siguiente: x
dy
 4 y  x6e x dx
13
Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal: 1  x  y '( x)  2 x y  1 xx
2
Solución:
y ( x) 
2
1
1
C
 log 1  x 2  
2
1 x
2
1  x2
SEPTIEMBRE – CURSO 12‐13 14
Hallar las funciones x(t) e y(t) que resuelven el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, utilizando obligatoriamente transformadas de Laplace  x '  t   y  t   1
con las siguientes condiciones iniciales: x(0) = y(0) = 0 
 y '(t )  4 x  0
Pág.4
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ingeniería Mecánica
Asignatura: Cálculo II
15
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
Comprobar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea y resolverla: dy y x
  dx x y
16
Sabiendo que la transformada de Laplace de la función f  t   t  sen t es F (s) 
2s
s
2

1
2
, señalar cuál de las siguientes funciones es la transformada de Laplace de la función g  t   t 2  sen t : __ A) G s 
6 s 2  2
__ B) G s 
6s 2  2
__ C) G s 
__
D)
Ninguna de las anteriores. ( s 2  1)3
( s 2  1)3
6s 2  2
( s 2  1) 4
17
Resolver la ecuación diferencial siguiente, aplicando el método general de resolución de ecuaciones diferenciales de orden n, lineales y de coeficientes constantes: y ''' 2 y '' 3 y ' 6 y  4 x CURSO 13 - 14
JUNIO – CURSO 13‐14 Pág.5
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ingeniería Mecánica
Asignatura: Cálculo II
18
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
 0 si t  0 


Dada la función f  t   2t  1 si 0  t  1 , se pide: 

 1 si t  1

a) Demostrar que cumple las condiciones suficientes para que exista su transformada de Laplace. b) Hallar la abscisa de convergencia de f (t ) . c) Expresar f (t ) utilizando las funciones salto o funciones de Heaviside U (t  c) . d) Hallar la transformada de Laplace de f (t ) utilizando las propiedades de la transformada de Laplace y la tabla de transformadas. 19
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, aplicando transformadas de Laplace 3


 x '  t   y '  t   x  t   y  t   1  t  
2

 , con las condiciones iniciales:  x 't   2 y 't   x t   2 y t   2 t 


x  0   0, y  0   0 Nota: Se recomienda simplificar al máximo los resultados antes de hallar las transformadas inversas de Laplace. 20
a) Hallar la solución general de la ecuación diferencial siguiente: 3x y 2
dy
 x3  y 3 dx
b) Obtener la solución particular de la ecuación diferencial anterior que verifica la condición inicial: y 1  2 . Pág.6
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Asignatura: Cálculo II
21
Grado Ingeniería Mecánica
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
Sea la función f(t) cuya gráfica se muestra en la figura. Se pide: a) Expresar la función f(t) utilizando la función de Heaviside o función salto
y hallar su transformada de Laplace.
b) Aplicando transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuación
siguiente, donde la función f(t) que aparece en el miembro de la derecha
es la función cuya transformada hemos calculado en el apartado a),
t
c)
y '(t )  2  y (t )  2   y ( x)  dx  f (t )
0
hallar la función y(t) que cumple dicha ecuación, teniendo en cuenta la
condición inicial y(0) = 1.
SEPTIEMBRE – CURSO 13‐14 22
 0 si t  0




 2 si t  2


Dada la función: f (t )   t si 0  t  2  . Se pide: a) Dibújala. b) Comprueba si f(t) verifica las condiciones suficientes para que exista su transformada de Laplace. c) c) Expresa f(t) en términos de las funciones salto o funciones de Heaviside U(t‐c) y halla su transformada de Laplace utilizando la tabla de transformadas. Pág.7
E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación
Grado Ingeniería Mecánica
Asignatura: Cálculo II
23
PRUEBAS DE EVALUACIÓN
Utilizando transformadas de Laplace, resuelve la siguiente ecuación diferencial lineal de orden 2 y coeficientes constantes: x ''(t )  2 x '(t )  5 x(t )  e  t , teniendo en cuenta que cumple las condiciones iniciales: x  0   0,
x '(0)  1 . 24
Obtén la solución general de la siguiente e.d.o. lineal de orden 2 y coeficientes constantes: y ''(x)  3 y '(x)  2 y (x)  e x 25
A partir de las transformadas de Laplace de las funciones f (t )  sen  t  , g (t )  e 2t sen  t  , que se recogen en la tabla de transformadas, aplicando las propiedades adecuadas, obtén la transformada de Laplace de las siguientes funciones: h(t )   U  t    sen  t  ; v(t )  t e 2t sen  t  , 26
Utilizando transformadas de Laplace, resuelve la siguiente ecuación diferencial lineal de orden 3 y coeficientes constantes: x '''(t )  x(t )  5 , teniendo x  0   0,
en cuenta x '(0)  0,
que cumple las condiciones iniciales: x ''(0)  0 . 27
Obtén la solución general de la siguiente e.d.o. lineal de orden 2 y coeficientes constantes: y ''(x)  4 y '(x)  4 y (x)  x 2 Pág.8