Dinámica Rotacional

RESUMEN:
En la práctica de dinámica rotacional trabajamos con un
cuerpo considerado rígido que por medio de una fuerza
tiene la tendencia de realizar un giro; el cuerpo fue un
disco y la fuerza ejercida la realizo una carga, la cual fue el
objeto de variación, con el medidor de frecuencias tomamos
las diferentes variaciones de estas. Para las sietes
diferentes masas tomamos tres columnas de datos de
variaciones de frecuencia y a partir de estos datos
calculamos un promedio para cada una de las masas; con
las formulas correspondientes calculamos el momento de
inercia, el torque y la aceleración angular experimentales,
las teóricas se las encuentran con las diferentes formulas
deducidas.
Después de tomar los datos correspondientes, y haber
calculado las diferentes variables procedemos a graficar en
un papel milimetrado el torque versus la aceleración
angular, encontramos su pendiente y el valor de esta debe
ser igual o parecerse al valor total de los momentos de
inercia.
Objetivo:
 Verificar experimentalmente el valor de la aceleración
angular de un objeto a partir de la ecuación
fundamental de dinámica rotacional τ = Iα donde I es
el momento de inercia, α la aceleración angular y τ el
torque o momento de fuerza.
INTRODUCCION:
Momento de inercia
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.
Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución
de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El
momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro;
pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un
sólido rígido.
Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:
Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de
las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje.
Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el
volumen del cuerpo.
Aceleración Angular
Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por
unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa α. Al igual que la velocidad angular, la
aceleración angular tiene carácter vectorial.
Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es a dimensional.
Aceleración angular. En el caso general, cuando el eje de rotación no mantienen una dirección
constante en el espacio, la aceleración angular no tiene la dirección del eje de rotación.
Definimos el vector aceleración angular, y lo representamos por , de modo que
Siendo el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotación. Si denominamos
por el vector asociado a dicho eje, de modo que sea
, podemos escribir
Resultando que, en general, el vector
no está localizado sobre el eje de rotación.
Momento de una fuerza
Momento de una fuerza, en física, medida del efecto de rotación causado por una fuerza. Es
igual a la magnitud de la fuerza multiplicada por la distancia al eje de rotación, medida
perpendicularmente a la dirección de la fuerza. En vez de describir la dinámica de rotación en
función de los momentos de las fuerzas, se puede hacer en función de pares de fuerzas. Un par
de fuerzas es un conjunto de dos fuerzas iguales y de sentido contrario aplicadas en puntos
distintos. El momento del par de fuerzas o torque se representa por un vector perpendicular al
plano del par, cuyo módulo es igual al producto de la intensidad común de las fuerzas por la
distancia entre sus rectas soporte, y cuyo sentido está ligado al sentido de rotación del par por
la 'regla del sacacorchos'.
Cuerpo rígido
Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de
fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un
cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que
esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que
actúan sobre de ellos.
Frecuencia
Frecuencia es una medida que se utiliza generalmente para indicar el número de repeticiones
de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad de tiempo. Para calcular la frecuencia
de un suceso. Según el SI (Sistema Internacional), la frecuencia se mide en hercios (Hz).
Velocidad angular
La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se la define como el ángulo
girado por unidad de tiempo y se la designa mediante la letra griega . Su unidad en el S.I. es el
radián por segundo (rad/s).
La introducción del concepto da importancia, por la simplificación que supone en la descripción
del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido
poseen la misma velocidad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una
velocidad tangencial que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la velocidad
angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo.
MATERIARES A UTILIZARSE:
o Compresor de 150 psi
o Equipos de dinámica rotacional:
 Discos
 Medidor de frecuencia base
o Arandelas
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Una fuerza aplicada a un cuerpo rígido puede provocar un giro o tendencia a girar en
relación a un eje.
Si el cuerpo es plano y la fuerza coplanar a él, la rotación puede darse alrededor de un
eje perpendicular al plano de la fuerza. La tendencia a rotar se mide con el torque 𝜏, que
es proporcional a la aceleración angular adquirida de acuerdo a la ecuación:
𝜏 = 𝐼𝛼
El torque se expresa de la forma escalar como el producto de 𝜏 = 𝑑𝐹 donde d es el
brazo de esta fuerza; esto es, la distancia perpendicular al eje de rotación a la línea de
acción de la fuerza.
Un disco metálico con una polea liviana incorporada descansa sobre otro que
permanecerá fijo durante el proceso. Una cuerda de peso despreciable se enrolla en la
polea y se fija a una carga que es un cilindro metálico. El cilindro se suspende pasando
por una polea especial que dispone de un sistema neumático que permite disminuir
considerablemente la fricciona, permitiéndose considerarla despreciable.
La tensión de la cuerda F establece un torque τ=Fr donde r es el radio de la polea; si se
1
considera el Momento de inercia del disco metálico solamente, se tiene que 𝐼 = 𝑀𝑅2
2
donde M es la masa del disco y R su radio. Adicionalmente para la masa suspendida se
tiene 𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎 donde a es la aceleración lineal.
Combinando estas expresiones y tomando en cuenta que m es mucho menor que M, se
tiene para la aceleración angular
Y como
Entonces
𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎
𝑇 = 𝑚𝑎 − 𝑚𝑔
∑ 𝜏 = 𝐼𝛼
𝑇𝑟 = 𝐼𝛼
𝑚𝑔𝑟 − 𝑚(𝛼𝑟)𝑟 = 𝐼𝛼
𝑚𝑔𝑟 = (𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑚𝑟 2 )𝛼
𝜏 = (𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑚𝑟 2 )𝛼
Con respecto a los discos tenemos la ecuación ampliada en donde:
T = Iα
Mgr3 – T2 r1r3 = Mα r3 r1+ I3
Sumamos las ecuaciones 1 y 2
Y tenemos que:
Mgr3-T2R3=MaR3+T3(a/r3)
Despejamos la aceleración y tenemos que:
a=(mgr3r1)/Mr3r1+(I1+I2)r3/r1+I3(r1/r3)
Siendo:
R2=(63.2±0.1)mm
R1=(12.5±0.1)mm
R3=(11.5±0.1)mm
Esta aceleración permanecerá constante durante la caída de la carga m y puede ser
verificada con mediciones realizadas sobre el disco.
Debido a que la masa m que cuelga es pequeña en comparación con la del disco se
puede despreciar para tener una relación aproximada
𝜏 = 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝛼
ACELERACIÓN ANGULAR DEL DISCO
El disco metálico tiene marcas alternadas en colores blanco y negro a lo largo de su
contorno
Un sensor en el borde del disco genera una señal cada vez que una franja oscura pasa
frente a él, la distancia entre las franjas oscuras es de 2mm. El contador digital muestra
la lectura correspondiente al número de señales que recibe por segundo, esta lectura se
muestra como un intervalo de dos segundos. Este dato permite establecer la frecuencia
de rotación como se indicara a continuación:
MEDICION DE FRECUENCIA Y VELOCIDAD ANGULAR
La frecuencia se define por 𝑓 = 𝑛⁄𝑡 donde n es el numero de vueltas en el tiempo t. el
numero de vueltas se puede obtener de la relación 𝑛 =
𝑆
2𝜋𝑅
siendo S la longitud de la
circunferencia que pasa frente al sensor ubicado en el borde del disco y R el radio de
disco. Si la distancia entre marcas es de 2mm, como se indico en la figura anterior, se
puede considerar la longitud S = 2mmN, donde N es el numero de pulsis por segundo
que indica el contador digital.
La velocidad angular se define por:
𝑛
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋( )
𝑡
𝑆
2𝑁
) = 2𝜋 (
)
𝜔 = 2𝜋 (
2𝜋𝑅𝑡
2𝜋𝑅𝑡
Tomando en cuenta las consideraciones hechas al inicio se tiene:
𝜔=
2𝑁
𝑅𝑡
Entonces: 𝛼
𝜔2− 𝜔1
2𝑁1
1 2𝑁2
= ∆𝜔
=
=
(
−
)
∆𝑡
2𝑆
2 𝑅
𝑅
𝛼
=
El tiempo t se lo considera en segundos.
𝑁2 − 𝑁1
𝑅
Procedimiento:
Comenzamos pesando en la balanza las cargas suspendidas m; es decir las siete
arandelas, esperamos a que el profesor encienda la bomba de aire y luego abrimos el
regulador de presión de la red de aire, hasta que el disco y la polea giren libremente. A
través de la polea enrollamos la cuerda y en el colgamos la masa m. Tomamos unas tres
lecturas consecutivas N del contador digital para cada masa m suspendida, y a partir de
estas elaboramos un promedio.
Diseño:
RESULTADOS:
m
N1
N2
α = N2-N1/R2
τ
M1=4.1
8
21
α1 = 205.7
τ 1=Iα1= 5.02*10-4
M2=8.4
52
78
α2=416.4
τ 2=Iα2= 1.029*10-3
M3=18.3
29
82
α3= 838.6
τ 3=iα3= 2.24*10-3
M4=29.1
166
249
α4= 1313.3
τ 4=Iα4= 3.56*10-3
M5=40.35
51
168
α5= 1851.3
τ 5=Iα5= 4.93*10-3
M6=51.85
79
228
α6= 2357.6
τ 6=Iα6= 5.35*10-3
M7=63.65
127
310
α7= 2895.6
τ 7=Iα7= 7.79*10-3
R2=(63.2±0.1)mm
R1=(12.5±0.1)mm
Para la grafica tenemos que:
m=
4.51∗10−3 −3.69∗10^−3
%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =
1390−1690
(2,7−2,733)∗10−3
2,7∗10−3
m = I = 2,733 ∗ 10−3 kg m2
%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 1,22%
Teórico
Experimental
𝜏 = 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝛼
𝜏 = 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝛼
𝑚𝑔𝑟
𝛼=𝐼
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
=
𝛼 = 56,43
(1,352)(9,8)(0,0115)𝑁𝑚
𝑚𝑔𝑟
𝛼=𝐼
2,7∗10−3 kg m2
𝑟𝑎𝑑
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
=
𝛼 = 55.75
𝑠2
%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =
∗ 100
(1,352)(9,8)(0,0115)𝑁𝑚
2,733∗10−3 kg m2
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
(55.75 − 56.43)
∗ 100
56.43
%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 1,21%
Discusión:
En esta práctica realizamos la toma de datos con un contador digital con
lo que esperamos una práctica con un bajo porcentaje de error.
Los datos tomados sirvieron para encontrar la aceleración angular del
sistema y a partir de estos calculamos también el torque ejercido en el
sistema, estas variables nos sirvieron para realizar la grafica
correspondiente en donde tuvimos en dibujar en un papel milimetrado (por
la relación directa entre estos dos) el torque ejercido versus la aceleración
angular del sistema en este grafica la pendiente nos salió un valor muy
aproximado al momento de inercia total del sistema
Porque:
𝜏 = 𝐼𝛼
y = mx entonces m = I
También tuvimos que encontrar la aceleración angular del sistema
mediante las formulas ya mostradas anteriormente; con estos resultados
encontramos los respectivos porcentajes de error en donde confirmamos lo
anteriormente dicho porque este fue muy bajo y pudimos comprobar la que
práctica estuvo bien realizada, por trabajar con aparatos de gran
precisión.
Conclusión:
 Pudimos verificar experimentalmente que existe una relación directa
entre el torque o momento de fuerza, el momento de inercia y la
aceleración angular porque a partir de la grafica de torque versus la
aceleración angular, la pendiente resulto ser el momento de inercia en
donde podemos decir que τ = Iα con lo que confirmamos la ecuación
fundamental de la dinámica rotacional.
Bibliografía:
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derechos.
Guía de laboratorio de Física A
http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_angular
http://html.rincondelvago.com/dinamica-rotacional.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_r%C3%ADgido
http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular