www.elmaestrodeciencias.es 1

TEMA 0 : PROBLEMAS DE REPASO 1
RESUMEN :2ºBACHILLERATO
1. Cálculo vectorial:
SOLUCIONADO
1.- Calcular el módulo del vector resultante de dos fuerzas de 9N y 12N, cuando forman un ángulo de: a) 30º (TC),
b)45º (TC), c)90º (TP)
ayb)Teorema del coseno.
A + B = A 2 + B 2 + 2·A·B·cos α
A + B = 9 2 +12 2 + 2·9·12·cos30 = 20, 3N
c) Teorema de Pitagoras.
A + B = A2 + B2
A + B = 9 2 +12 2 + 2·9·12·cos 45 = 19, 4N
A + B = 9 2 +12 2 = 15N
Sol: a)20,3N, b)19,43N, c)15N
2.- El vector resultante de dos vectores fuerza perpendiculares vale 10N. Si una de las fuerzas componentes mide 8N
¿Cuál es el valor de la otra componente?
Si perpendiculares: Teorema de Pitagoras.
A + B = A2 + B2
10 = 82 + B 2 →10 2 − 82 = B 2 → 100 − 64 = 6N
Sol: 6N
3.- Descomponer un vector fuerza de 100N en dos componentes rectangulares tales que sus módulos sean iguales.
Si perpendiculares: Teorema de Pitagoras.
A + B = A2 + B2
100
Sol: 70,7N
100 = A 2 + A 2 = 2·A 2 = A· 2 →
= A → 70, 7N = A
2
!
!
!
4.- Dado el vector A = 3·i + 2· j + 5·k ; a) Calcular su módulo: b )Calcular sus cosenos directores.
Sol: a)
b)
A = Ax 2 + Ay 2 + Az 2
ax
= cos·α
a
A = 32 + 2 2 + 52 = 6,16N
3
= cos·α = 0, 49
6,16
ay
= cos·β
a
2
= cos·α = 0, 33
6,16
az
= cos·γ
a
5
= cos·α = 0,81
6,16
5.- Dos vectores
!
! !
A = 3·i + 4· j + k
A = A 2x + Ay2 + Az2
y
Sol: a)6,16N b) 0,49
!
!
!
B = 4·i − 5· j + 8·k Deducir si son perpendiculares.
A = 32x + 4 2y +12z = 26
ax ·bx + ay ·by + az ·bz
= cos·α = 0
a ·b
B = B 2x + By2 + Bz2
6.- Calcula los módulos y los cosenos directores de los vectores:
b)
!
!
! !
!
!
A = 3·i + 4· j + k ; B = 4·i − 5· j + 8·k
A = A 2x + Ay2 + Az2
A = 32x + 4 2y +12z = 26
B = B 2x + By2 + Bz2
B = 4 2x + (−5)2y + 82z = 105
Ax
= cos·α
A
Ay
= cos·β
A
Az
= cos·γ
A
3
= 0, 59 = cos·α
26
4
= 0, 79 = cos·β
26
1
= 0, 2 = cos·γ
26
Sol: a)5,1 10,25 b) 0,39
-0,49
B = 4 2x + (−5)2y + 82z = 105
3·4 + 4·(−5) +1·8 12 − 20 + 8
=
= 0 = cos·α
52, 25
26· 105
Sol: Si son perpendiculares el angulo es 90º y su coseno es cero.
Sol: a)
0,33 0,81
Bx
= cos·α
B
By
= cos·β
B
Bz
= cos·γ
B
4
= 0, 39 = cos·α
105
−5
= −0, 49 = cos·β
105
8
= 0, 78 = cos·γ
105
0,87
7.- Dados los vectores A(3,-2,0) y B(5,1,-2), deducir; a)Sus módulos, b)Su producto escalar, c) El ángulo que forman.
A = A 2x + Ay2 + Az2 = 32x + (−2)2y + 0 2z = 13
Dep. FYQ
B = B 2x + By2 + Bz2 = 52x +12y + (−2)2z = 30
www.elmaestrodeciencias.es
I.E.S. TREVENQUE
1
TEMA 0 : PROBLEMAS DE REPASO 1
RESUMEN :2ºBACHILLERATO
!
!
!
!
!
!
!!
a·b = (a x ·i + a y · j + a z ·k )·(bx ·i + b y · j + bz ·k ) = a x ·bx + a y ·b y + a z ·bz
!!
a·b = 3·5 + (−2)·1+ 0·(−2) = 15 − 2 = 13N
ax ·bx + ay ·by + az ·bz
= cos·α
a ·b
3·5 + (−2)·1+ 0·(−2)
13
=
= 0, 658 = cos·α → α = 48,83º
19, 75
13· 30
Sol: 3,6N 5,48N, 13N, 48,83º
8.- Deducir el valor de “x” para que los vectores A(5,1,-2) y B(2,x,6), sean perpendiculares.
!
!
!
!
!
!
!!
a·b = (ax ·i + ay · j + az ·k )·(bx ·i + by · j + bz ·k ) = ax ·bx + ay ·by + az ·bz = 0
!!
a·b = 5·2 +1·x + (−2)·6 = 0 →10 + x −12 = 0 → x = 2
Sol: x=2
!
!
!
B = 2·i + 3· j − 6·k a)Calcula el producto escalar de ambos, b)
Calcular su producto vectorial, c) Comprobar que el producto vectorial es perpendicular a los vectores A y B.
!
!
!
!
!
!
!!
a·b = (a x ·i + a y · j + a z ·k )·(bx ·i + b y · j + bz ·k ) = a x ·bx + a y ·b y + a z ·bz
!!
a·b = ax ·bx + ay ·by + az ·bz = 3·2 + (−2)·3+ 4·(−6) = −24
" ! "
i
j k
!
!
!
! !
axb = ax ay az = ( ay ·bz − az ·by )·i + ( az ·bx − ax ·bz )· j + ( ax ·by − ay ·bx )·k
9.- Dados los vectores
bx
by
bz
"
i
!
j
"
k
!
!
!
A = 3·i − 2· j + 4·k
y
!
!
!
!
!
!
! !
axb = 3 −2 4 = ((−2)·(−6) − 4·3)·i + ( 4·2 − 3·(−6))· j + (3·3− (−2)·2 )·k = 0·i + 26· j +13·k
2 3 −6
!
"
!
!
"
"
! ! !
(axb)·a = 0 → (0·i + 26· j +13·k )·(3·i − 2· j + 4·k ) = 0 + 26·(−2) +13·4 = −52 + 52 = 0
!
"
!
!
"
"
! ! !
(axb)·b = 0 → (0·i + 26· j +13·k )·(2·i + 3· j − 6·k ) = 0 + 26·3+13·(−6) = 78 − 78 = 0
Sol: a)-24,
b)26j+13k
10.- Dados los vectores
!
! !
A = 2·i −· j + 3·k
y
!
!
!
B = −·i + 2· j + 5·k
a) Hallar los módulos de cada uno; b) Los vectores
unitarios; c)Su producto escalar,; d) Su producto vectorial.
A = A 2x + Ay2 + Az2
A = 2 2x + (−1)2y + 32z = 14 = 3, 74
B = B 2x + By2 + Bz2
B = (−1)2x + 2 2y + 52z = 30 = 5, 47
!
!
!
!
!
!
!
!
! !
!
!
Ax i + Ay j + Az k !
Bx i + By j + Bz k !
2 i −1 j + 3k !
−1i + 2 j + 5k !
=u
=v
=u
=v
A
B
14
30
!
!
!
!
!
!
!!
a·b = (ax ·i + ay · j + az ·k )·(bx ·i + by · j + bz ·k ) = ax ·bx + ay ·by + az ·bz = 2·(−1) + 3·2 + 3·5 = 19
" ! "
i
j k
!
!
!
! !
axb = ax ay az = ( ay ·bz − az ·by )·i + ( az ·bx − ax ·bz )· j + ( ax ·by − ay ·bx )·k =
bx
by
bz
"
"
"
"
" "
(−1·5 − 3·2)i + (3·(−1) − 2·5) j + (2·2 − (−1)·(−1))k = −11i −13 j + 3k
Sol: a)3,74
5,47
b) (2i-j+3k)/raíz de 14
y
(-i+2j+5k)/raíz de 30
11.- Halla un vector que sea perpendicular a los vectores
c) 19
d) -11i-13j+3k
!
!
!
!
!
!
A = 4·i + 3· j + 2·k y B = −3i + 2· j + 2·k
y tal que su
módulo sea igual a 6.
"
i
!
j
"
k
! !
axb = ax
ay
!
!
!
az = ( ay ·bz − az ·by )·i + ( az ·bx − ax ·bz )· j + ( ax ·by − ay ·bx )·k
bx
by
bz
Dep. FYQ
www.elmaestrodeciencias.es
I.E.S. TREVENQUE
2
TEMA 0 : PROBLEMAS DE REPASO 1
! !
C = axb =
RESUMEN :2ºBACHILLERATO
! "
j k
"
i
!
!
!
!
!
!
4 3 2 = ( 6 − 4)·i + (−6 − 8)· j + (8 + 9 )·k = 2·i −14· j +17·k
−3 2 2
buscamos el vector unitario y lo multiplicamos por 6
C = 2 2 + (−14)2 +172 = 489
!
!
!
!
!
!
2i
14 j
17k )
12 i
84 j 102 k )
D = 6·(
−
+
)=(
−
+
)
489
489
489
489
489
489
!
!
!
12 i
84 j 102 k )
−
+
)
Sol: (
489
489
489
!
!
!
!
! !
12.- Dados los vectores A = −·i + 3· j + 4·k y B = 6·i +· j − 3·k a) Hallar el vector suma; b) El producto vectorial y
c) El ángulo que forman.
" "
"
"
" "
!
!
!
! !
a + b = ( ax + bx )·i + ( ay + by )· j + ( az + bx )·k = (−1+ 6)i + (3+1) j + (4 − 3)k = 5i + 4 j + k
" ! "
i
j k
!
!
!
! !
axb = ax ay az = ( ay ·bz − az ·by )·i + ( az ·bx − ax ·bz )· j + ( ax ·by − ay ·bx )·k =
bx
by bz
"
"
"
"
"
"
= (3·(−3) − 4·1)i + (4·6 − (−1)·(−3)) j + ((−1)·1− 3·6)k = −13i + 21 j −19 k
A = A 2x + Ay2 + Az2
A = (−1)2x + 32y + 4 2z = 26 = 5,1
B = B 2x + By2 + Bz2
B = 6 2x +12y + (−3)2z = 46 = 6, 78
ax ·bx + ay ·by + az ·bz
= cos·α
a ·b
Sol: a) 5i+4j+k
(−1)·6 + 3·1+ 4·(−3)
−15
=
= −0, 43 = cos·α → α = 115, 7º
26· 46
26· 46
b) -13i+21j-19k
13.- Dados el vector
c) 115,7º
!
!
!
A = 4·i + 3· j + 6·k Calcular a) Su módulo; b)Los ángulos que forman con los ejes de
coordenadas; c) Su vector unitario, (versor).
Sol: a)
b)
c)
A = A 2x + Ay2 + Az2
A = 4 2x + 32y + 6 2z = 61 = 7,81
Ay
Ax
4
3
= cos·α =
= 0, 51
= cos·β =
= 0, 38
A
A
61
61
!
!
!
!
! !
Ax i + Ay j + Az k ! 4i + 3 j + 6 k
=u=
A
61
Sol: a) 7,81
b) 0,51
14.- Dados los vectores
0,38 0,77 c) u=(4i+3j+6k)/raiz61
!
!
!
!
!
!
A = 3·i + 4· j − 5·k y B = −·i + 2 j + 6·k
Az
6
= cos·γ =
= 0, 77
A
61
a)Calcula la longitud de cada uno. (Sus
módulos); b) El producto escalar de ambos, c) El ángulo formado por ambos; d) Cosenos directores del vector B; e) El
vector suma y el vector diferencia; f)El producto vectorial.
A = A 2x + Ay2 + Az2
A = 32x + 4 2y + (−5)2z = 50 = 7, 07
B = B 2x + By2 + Bz2
B = (−1)2x + 2 2y + 6 2z = 41 = 6, 40
!
!
!
!
!
!
!!
a·b = (ax ·i + ay · j + az ·k )·(bx ·i + by · j + bz ·k ) = ax ·bx + ay ·by + az ·bz = 3·(−1) + 4·2 + (−5)·6 = −25
ax ·bx + ay ·by + az ·bz
= cos·α
a ·b
Bx
−1
= cos·α =
= −0,16
B
41
3·(−1) + 4·2 + (−5)·6 = −25
−25
=
= −0, 55 = cos·α → α = 123, 5º
50· 41
50· 41
By
Bz
6
2
= cos·γ =
= 0, 94
= cos·β =
= 0, 31
B
B
41
41
"
"
"
" " "
!
!
!
! !
a + b = ( ax + bx )·i + ( ay + by )· j + ( az + bx )·k = (3+ (−1))i + (4 + 2) j + (−5 + 6)k = 2 i + 6 j + k
Dep. FYQ
www.elmaestrodeciencias.es
I.E.S. TREVENQUE
3
TEMA 0 : PROBLEMAS DE REPASO 1
"
"
" RESUMEN":2ºBACHILLERATO
" "
!
!
!
! !
a − b = ( ax − bx )·i + ( ay − by )· j + ( az − bx )·k = (3− (−1))i + (4 − 2) j + (−5 − 6)k = 4i + 2 j −11k
" ! "
i
j k
!
!
!
! !
axb = ax ay az = ( ay ·bz − az ·by )·i + ( az ·bx − ax ·bz )· j + ( ax ·by − ay ·bx )·k
! !
axb =
bx
by
bz
"
i
!
j
"
k
"
"
"
"
"
"
3 4 −5 = (4·6 − (−5)·2)i + ((−5)·(−1) − 3·6) j + (3·2 − 4·(−1))k = 34i −13 j +10 k
−1 2 6
Sol: a)7,07 6,40 b) -25 c) 123,5º d) -0,16
e) 2i+6j+k
! 0,31 0,94
!
!
!
!
!
15.- Dados los vectores A = −8·i + 3· j − 5·k y B = 2·i − 4 j − 2·k
!
!
!
calcular el valor de “by” B = 2·i + byj − 2·k para que lo sean.
Sol:
4i+2j-11k f) 34i-13j+10k
Calcula si son perpendiculares y si no lo fueran
!
!
!
!
!
!
!!
a·b = (ax ·i + ay · j + az ·k )·(bx ·i + by · j + bz ·k ) = ax ·bx + ay ·by + az ·bz = 0
(−8·2) + 3·(−4) + (−5)·(−2) = −16 −12 +10 = −18
(−8·2) + 3·by + (−5)·(−2) = 0 → −16 +10 = −3by → −6 = −3by →
6
= by = 2
3
(−8·2) + 3·2 + (−5)·(−2) = −16 + 6 +10 = 0
Es nulo si son perpendiculares
Sol: No lo son a·b= -18 ; by=2
16.- Halla el momento del vector
coordenadas.
Sol:
!
i
"
j
!
" " "
A = −7i + j + k
cuyo punto de aplicación es O(3,-5,2) respecto del origen de
!
k
! !
Oxa = ox
oy
!
!
!
oz = ( oy ·az − oz ·ay )·i + ( oz ·ax − ox ·az )· j + ( ox ·ay − oy ·ax )·k
ax
ay
az
! !
Oxa =
!
i
"
j
!
k
"
"
"
!
!
!
3 −5 2 = (−5·1− 2·1)·i + ( 2·(−7) − 3·1)· j + (3·1− (−5)·(−7))·k = −7i −17 j − 32 k
−7 1 1
Sol: -7i-17j-32k
17.-­‐ Dados los vectores A(1,2,0) y B(2,1,1) calcular el ángulo que forman y un vector perpendicular a ambos de longitud 2. A = A 2x + Ay2 + Az2
A = 12x + 2 2y + 0 2z = 5 = 2, 24
B = B 2x + By2 + Bz2
B = 2 2x +12y +12z = 6 = 2, 45 ax ·bx + ay ·by + az ·bz
1·2 + 2·1+ 0·1
= cos·α =
= cos·α = 0, 73
a ·b
5· 6
α = 43, 09º
!
i
! !
AxB = ax
ay
!
!
!
az = ( ay ·bz − az ·by )·i + ( az ·bx − ax ·bz )· j + ( ax ·by − ay ·bx )·k
bx
by
bz
Dep. FYQ
"
j
!
k
www.elmaestrodeciencias.es
I.E.S. TREVENQUE
4
TEMA 0 : PROBLEMAS DE REPASO 1
!
i
RESUMEN :2ºBACHILLERATO
" !
j k
! !
" " "
!
!
!
AxB = 1 2 0 = ( 2·1−1·0 )·i + ( 0·2 −1·1)· j + (1·1− 2·2 )·k = 2 i −1 j − 3k
2 1 1
C = 2 2x + (−1)2y + (−3)2z = 14 = 3, 74
buscamos el vector unitario
!
!
!
!
!
!
! !
! !
!
!
# 2 i −1 j + −3k & 4i − 2 j + −6 k
!
Cx i + Cy j + Cz k ! 2 i −1 j + −3k
=u=
→ vector _ buscado → D = 2·%
(=
C
14
14
14
$
'
y lo multiplicamos por 2
Sol: 43,09º
(4i-2j-6k)/raiz de 14
!
18.-­‐ Dados los vectores coplanarios (mismo plano) A = 3i
!
!
!
− j y B = i − 2 j Calcular su producto vectorial P=AxB y comprobar que el nuevo vector ”P” es perpendicular al vector A y al vector B. Sol: "
i
!
j
"
k
! !
axb = ax
ay
!
!
!
az = ( ay ·bz − az ·by )·i + ( az ·bx − ax ·bz )· j + ( ax ·by − ay ·bx )·k bx
by
bz
!
i
!
k
"
j
"
!
!
!
! " "
p = axb = 3 −1 0 = ( ay ·0 − 0·by )·i + ( 0·bx − ax ·0 )· j + (3·(−2) − (−1)·1)·k = −5k
1 −2 0
Para comprobar que son perpendiculares se hace su producto escalar y debe salir cero. A·∙P = 0 y B·∙P = 0 !
!
!
!
!
!
!!
a·b = (ax ·i + ay · j + az ·k )·(bx ·i + by · j + bz ·k ) = ax ·bx + ay ·by + az ·bz = 0
"
"
"
"
"
"
!"
p·a = ( px ·i + py · j + pz ·k )·(ax ·i + ay · j + az ·k )·= 0·3+ 0·(−1) + (−5)·0 = 0
"
"
"
"
"
"
!!
p·b = ( px ·i + py · j + pz ·k )·(bx ·i + by · j + bz ·k )·= 0·1+ 0·(−2) + (−5)·0 = 0
Sol: -5k Si son perpendiculares
19.- Los vectores A(6,0,0) y B(4,2,0) son lados de un paralelogramo. Calcular su área.
"
i
!
j
"
k
! !
axb = ax
ay
!
!
!
az = ( ay ·bz − az ·by )·i + ( az ·bx − ax ·bz )· j + ( ax ·by − ay ·bx )·k
bx
by
bz
!
i
" !
j k
"
!
!
!
! " "
c = axb = 6 0 0 = ( 0·0 − 0·by )·i + ( 0·bx − ax ·0 )· j + ( 6·2 − 0·bx )·k = 12 k
4 2 0
c = 12 2x = 12m 2
**************************** otra forma*********************
Si sabemos los módulos
a = 6 2x = 6m
Tambien podemos calcularlo si aplicamos
y
b = 4 2 + 2 2 = 20
axb = a b senα
si previamente calculamos el ángulo mediante
ax ·bx + ay ·by + az ·bz
24 + 0 + 0
= cos·α =
= cos·α = 0,89 → α = 26, 57º
a ·b
6· 20
axb = a b senα = 6· 20·sen26, 57 = 12m 2
Sol: 12 m
Dep. FYQ
2
www.elmaestrodeciencias.es
I.E.S. TREVENQUE
5
TEMA 0 : PROBLEMAS DE REPASO 1
RESUMEN :2ºBACHILLERATO
20.- Un barquero está remando, queriendo mantenerse perpendicular a la orilla del rio y cruzando con una velocidad
media de 36 km/h . ¿Con qué velocidad ha de impulsar la barca y en que dirección si el agua fluye con una velocidad
de 9km/h?.
El ángulo se calcula sabiendo que la tangente de alfa es = 9/36. Y alfa= arctg 9/36.
tgα =
9
= 0, 25 → α = 14, 04º
36
La velocidad de la barca debe ser la suma vectorial siguiente
Teorema del Coseno.
π
+ α ) → v 2 +18·v cos·(90 +14, 04) + 9 2 − 36 2 = 0
2
v 2 +18·v cos·(104, 04) −1215 = 0 → v 2 − 43, 67·v −1215 = 0
36 2 = v 2 + 9 2 + 2·9·v cos·(
v=
43, 67 ± 43, 672 − 4·1·(1215) 43, 67 ± 82, 26
=
= 62, 97km / h
2·1
2
Sol: v=62,97km/h
ángulo=14,04º
21.- Un objeto se mueve de forma, que su velocidad en cierto instante es de 120 m/s y forma un ángulo de 30º con la
horizontal. Calcula las componentes vertical y horizontal de la velocidad y expresa el vector velocidad en función de
sus componentes.
Sol:
v0 x =·v0 ·cos·α = 120·cos30 = 103, 92
v0 y = v0 ·sen·α = 120·sen30 = 60
!
!
!
v = v0 x ·i + v0 y · j = v0 ·cos·α ·i + v0 ·sen·α · j = 103, 92 i + 60 j
Sol: 103,92
60
103,92i+60j
22.- Indica de la siguiente lista, qué magnitudes son escalares y qué magnitudes son vectoriales: masa, peso, calor
específico, trabajo, potencia, energía, presión y velocidad.
Masa (e) , paso (v) , calor específico (e) , trabajo (e) , potencia (e) , energía (e) , presión (v) , velocidad (v).
23.- ¿Qué diferencia existe entre las potencias escalares y vectoriales de un vector?.
Sol: La misma diferencia que hay entre un vector y un escalar.
El módulo es una potencia escalar de un vector.
La dirección y el sentido son potencias vectoriales.
24.- Si un vector tiene módulo constante, su derivada puede NO ser nula. Explícalo y cita algún ejemplo.
Sol: Al ser un vector, puede tener el modulo constante pero no su dirección.
Ejm el movimiento circular uniforme. Tiene el módulo constante pero la dirección variable.
CUESTIONES DE VERDADERO O FALSO (Cálculo vectorial)
1.- El momento de un vector con respecto a un punto tiene como módulo el producto del módulo del vector
por la distancia entre el origen del vector y el punto.
Sol: No, ya que el momento es otro vector, que es perpendicular al plano formado por los vectores que
forman el producto vectorial.
Su módulo será el producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman.
2.- Si tres vectores A,B y C son coplanarios (están en el mismo plano), el producto A·(BXC) es nulo.
Sol: (BxC) es un vector que es perpendicular al plano formado por los vectores B y C y también al vector A
por ser coplanarios, por lo tanto ese nuevo vector el perpendicular al vector A y su producto escalar es
cero.
3.- Dos vectores de módulos dado presentan un valor máximo para su producto escalar cuando son
paralelos.
Sol: Verdadero. Ya que el coseno del ángulo cero es uno.
4.- Cuando dos vectores son opuestos su producto vectorial es nulo.
Sol: Verdadero ya que el seno de 180 es cero.
5.- El producto escalar de dos vectores es conmutativo.
Sol: Verdadero
6.- El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por la proyección ortogonal del
otro sobre él.
Sol: Verdadero
7.- La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es siempre igual a 1.
Sol: Verdadero
8.- Cuando multiplicamos un vector por un número, su módulo queda multiplicado por dicho número.
Sol: verdadero.
9.- Si un punto se traslada paralelamente a un vector, el momento del vector con respecto a dicho punto no
cambia.
Sol: Verdadero.
10.- El momento de un vector con respecto a un eje paralelo al vector es siempre nulo.
Sol: Falso ya que el seno de 90 es uno
Dep. FYQ
www.elmaestrodeciencias.es
I.E.S. TREVENQUE
6
TEMA 0 : PROBLEMAS DE REPASO 1
RESUMEN :2ºBACHILLERATO
11.- El momento de un vector con respecto a un eje coplanario al vector es siempre nulo.
Sol: Falso.
12.- Para dos vectores dados, el módulo de su suma es siempre mayor que el módulo de su diferencia.
Sol: Falso, depende del ángulo que formen.
Dep. FYQ
www.elmaestrodeciencias.es
I.E.S. TREVENQUE
7