BLOQUE I: TRIGONOMETRA

MATEMÁTICAS
DE LAS CIENCIAS DE LA
NATURALEZA Y DE LA
SALUD DE
1º de BACHILLERATO
I.E.S. “AMPARO SANZ” – ALBACETE
I.E.S. “Amparo Sanz” -Matemáticas de 1º de BCN- 1/27
BLOQUE I: TRIGONOMETRÍA
1) Pasa a grados, minutos y segundos y a radianes los siguientes ángulos:
a) 60’51°
b) 35’2°
c) 17’10°
d) 134’23°
2) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 16 h 30’? ¿Y a las 16 h 25’?
3) Un reloj marca las 16 horas, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que las agujas estén superpuestas?
4) i) Hallar los ángulos marcados con una letra.
a)
b)
c)
d)
e)
x
8
5
x
5
11
x
3
4
9
x
2
x
7
7
ii) Hallar las longitudes y los ángulos marcados con letras:
4
a)
b)
c)
y
d)
50º
x
6
23º
60º
x
10
40
40º
57º
10
41º
x
60º
x
5) Si tgα = 8 , hallar las restantes razones trigonométricas de α.
6) Si cos α =
5
, hallar las restantes razones trigonométricas de α.
3
7) Si cot g α = - 7 y α se encuentra en el segundo cuadrante, hallar las restantes razones
trigonométricas de α.
8) Calcular el valor de la siguiente expresión:
A= -cos30° +sen150° - tag225° + cos300° - cos(-120°).
9) Si tagα = 3 y
π
3π
< α< , calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
2
2
Pág 1
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1
y α es agudo, calcular:
4
a) tagα
b) sen(-α)
d) cos(90°-α)
e) sen(270°-α)
10) Sabiendo que sen α=
11) Si cos α=
c) tag(180°-α)
f) cos(90°+α)
2 3π
y
<α<2π , hallar las restantes razones trigonométricas de α.
3
2
12) Calcular las razones trigonométricas sabiendo que:
4
a) cosα= y 270° ≤ α ≤ 360°
5
3
b) sen α= y 90° ≤ α ≤ 180°
5
3
c) tagα= y 180 ≤ α ≤ 270°
7
d) cot agα=-2 y 90° ≤ α ≤ 180°
13) En una circunferencia de 16 m de radio, un arco mide 2 m. Hallar su ángulo central y la cuerda de dicho ángulo.
14) La base de un triángulo isósceles mide 20 cm, y el ángulo puesto 80°. Calcular los lados y el
área del triángulo.
15) Desde cierto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30° con la
horizontal. Si nos acercamos 75 m. hacia el pie de la torre ese ángulo mide 60°. Hallar la altura de la torre.
16) Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno
un ángulo de 60°. Suponiendo que el hilo está tirante, hallar la altura de la cometa.
17) Las puntas de la rama de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Hallar el ángulo
formado por las ramas del compás.
18) Si las dos ramas forman un ángulo de 60° y la rama tiene una longitud de 12 cm, hallar el
radio de la circunferencia que puede trazarse.
19) Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado al suelo. Si se apoya sobre una de
las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45° y si se apoya sobre la otra fachada forma un
ángulo de 30° con el suelo, Hallar la anchura de la calle. ¿Qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?
3
hallar tag(α+30°) y tag(45°-α)
4
21) Calcular:
a) tag15°
b) sen165°
20) Si tagα=
22) Sabiendo que tagα= 2, calcular el valor de sen4α.
Pág 2
c) cos345° (sin calculadora)
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23) Simplifica las siguientes expresiones:
5π
π
3π
7π
a) cos( − x) − sen( + x) + cos( − x) − sen( + x)
2
2
2
2
sen 2α cos α
:
b)
1-cosα 1+cosα
2sen α
sen 2α
c)
= cos αtag2α
cos α
e) sen3α = senα (3cos2 α- sen2α)
24) Encontrar el valor exacto de cos(7° 30’)
3
25) Si α es un ángulo del segundo cuadrante y tal que tagα= − , hallar la razones trigonométri4
α
cas de .
2
α
26) Si tag =t , expresa en función de t el seno y el coseno del ángulo α.
2
27) Si  α y β son dos ángulos del segundo cuadrante, tales que sen α=
3
5
y cosβ= −
, hallar el
5
13
valor de sen(α +β), cos(α +β ) y tag(α +β)
28) Determina las razones trigonométricas de 2 α en los siguientes casos:
1
b) tagα = 2 y 180°<α<270°
c) cosα = 0'6
a) senα =
3
29) Demostrar que si A, B y C son los ángulos de un triángulo, entonces:
tagA + tagB + tagC = tagA.tagB.tagC
30) Demuestra que si A + B + C =
π
, entonces:
2
tagA·tagB + tagB·tagC + tagC·tagA = 1
1
π
α
y <α <π hallar las razones trigonométricas de .
3
2
2
2+ 6
y que α es un ángulo agudo, calcula el coseno de 2α y deduce,
32) Sabiendo que cosα=
4
sin calculadora, el valor de α.
2 2
α
33) Si senα =
y α es del 2º cuadrante, calcular tag
2
3
2
34) Si cos2α = y α del primer cuadrante, cacular tagα.
3
35) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) 4senx + 2cos2x = 3
b) cos2x = cosx -1
c) sen2x = cos4x + 1
31) Si cos α = −
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d) tagx + 3cotagx = 4
e) senx + sen2x = 0
f) cos2x - 3senx = 3
h) cos2x = senx
i) senx = tagx
j) senx + cosx = 2
x
k) 6cos2 + cosx =1
2
2
l) sen x - 3cos2x =0
m) cos2x = 1 + 2senx
n) 6cos2x +cos2x = 1
ñ) sen2x = cosx
36) Resolver los siguientes triángulos:
a) a= 1792 m
b= 4231 m
c= 3164 m
b) a= 12 m
b= 8 m
A=150°
c) a= 72 m
c= 57
C= 75° 47’
d) c= 3’78 m
A= 105°
B= 38° 47’
e) a= 4 m
b= 3 m
c= 6 m
f) a= 8 m
B=30°
C= 105°
g) a= 40 cm
b= 60 cm
A= 42°
h) a= 60 cm
b= 40 cm
A= 42°
i) a= 10 m
b= 9 m
C= 70°
j) c= 12 m
A= 30°
B= 100°
37) Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que su ángulo de elevación es de 45°. Camina 50 m hacia el sur y observa que el ángulo de elevación es ahora de
30°. Hallar la altura de la antena.
38) Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 42°. ¿Bajo que ángulo se ve
colocándose a distancia doble? Y a distancia triple?.
39) En un triángulo ABC lo lados miden 24 m, 28 m y 36 m. Hallar la tangente del mayor de los
ángulos.
40) Hallar el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados miden 13 m, 14 m y
15 m.
41) Uno de los lados de un triángulo es doble que otro, y el ángulo comprendido por ellos vale
60°. Hallar los otros dos ángulos.
42) El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo mide 2 2 cm y dos de sus ángulos
son 30° y 45°. Resolver dicho triángulo.
43) Hallar el área del triángulo ABC sabiendo que a= 1 m , B= 30° y C= 45°.
44) Hallar los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 18 cm2 y dos de sus ángulos son
A= 30° y B= 45°.
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45) Dos individuos A Y B observan un globo que está situado en plano vertical que pasa por ellos
la distancia entre los dos individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los
observadores son de 46° y 52°, respectivamente. Hallar la altura del globo y la distancia a cada
observador.
46)En la siguiente figura, calcular la distancia
entre los puntos CD, sabiendo que los ángulos valen α1= 85º, α2= 30º, β1= 93º, β2= 40º
y la distancia AB es de 600 m.
α1
α2
β1
β2
47) Sean A y B dos puntos inaccesibles pero visibles ambos desde otros dos puntos accesibles C
n = 80°12 ' ;
y D, separados por la longitud de 73’2 m. Suponiendo que los ángulos ACD
n = 43°31' ; BDC
n = 32° y ADC
n = 23°14 ' . Determinar la distancia AB.
BCD
48) Un barco A pide socorro y las señales
son recibidas por dos estaciones de radio
B y C que distan entre sí 80 Km.. La recta que une B y C forma con la dirección
norte un ángulo de 48º. B recibe señales
con una dirección de 135º con el norte,
mientras que C las recibe con una dirección de 96º con el norte. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
A
96º
N
C
48º
B
Pág 5
135º
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BLOQUE II: GEOMETRÍA
1) Hallar la recta que pasa por cada par de puntos :
a) A(2,3), B(5,7)
b) A(0,5), B(-3,2)
2) Halla la recta que forma con el semieje OX positivo un ángulo de 120º y pasa por el punto
A(2,-2).
3) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,1) y tiene la misma pendiente que
la que pasa por los puntos B(2,1) y C(3,4).
4) Dada la recta 5x − 3y +7 = 0 , hallar la longitud de los segmentos que determina con los ejes
y el área del triángulo que determina con los ejes.
5) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(0,4) y tal que la tangente del ángulo
que forma dicha recta con el eje de abscisas sea 2.
6) Hallar a y b para que las rectas ax + 2y = 0, y = bx – 3 sean perpendiculares y la primera pase
por (2,1).
7) Las rectas ax – y – 4 = 0 , x – by –3 = 0 son perpendiculares y cortan al eje X en dos puntos
que distan 5 unidades. Hallar a y b.
8) Dado el triángulo de vértices A(0,0), B(4,2) y C(2,6), hallar:
a) Coordenadas de su circuncentro, R.
b) Coordenadas de su ortocentro, H
c) Coordenadas de su baricentro, G
d) Comprueba que R, H y G están alineados.
9) Los vértices de un triángulo son A(3,-2), B(5,1) y C(4,7), hallar las ecuaciones de sus lados,
sus ángulos y su área.
10) Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 2x–y+1 =0, 2x+y-13 =0 y 2x+5y-17=0.
Hallar las coordenadas de sus vértices y su área. Calcular también las coordenadas de los puntos medios de los lados y el área del triángulo que determinan esos puntos. ¿Qué relación hay
entre ambas áreas?
11) La recta 2x + 3y –6 = 0 determina con los ejes coordenados un segmento. Hallar su mediatriz.
12) Un triángulo isósceles tiene por base el segmento que une los puntos A(1,-2) y B(6,3). Si el
otro vértice está en la recta 3x – y +2 = 0. ¿cuáles son sus coordenadas?
13) Una recta corta a los ejes coordenados determinando con ellos un triángulo de área 24 cm2 y
de perímetro 24 cm. Hallar su ecuación.
14) Una recta incidente con (8,6) forma un triángulo de 96 cm2 con los ejes coordenados. Hallar
la ecuación de dicha recta.
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15) Dos vértices opuestos de un paralelogramo MNPQ son M(3,2) y P(4,6). Otro vértice es
N(6,5). Hallar las coordenadas de Q y el punto de intersección de sus diagonales.
16) Hallar la ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas de ecuaciones
3x-4y+1=0 y 5x +12y –7 =0
17) Dada la recta ax + by = 1, determina a y b sabiendo que la recta dada es perpendicular a la
recta 2x + 4y = 11 y que pasa por el punto P(1,1’5).
18) Determinar el área del paralelogramo OABC y las ecuaciones de los lados AB y BC sabiendo
que OA es la recta de ecuación x – 2y =0, OC tiene de ecuación 3x + y =0 y las coordenadas
de B son (3,5).
19) Por el punto A(2,6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del primer y segundo
cuadrante. Hallar:
a) Las ecuaciones de dichas rectas.
b) Las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la recta 3x – 13y –8 = 0 con
dichas rectas.
20) Dadas las rectas s: kx + (2k-1)y +3 =0 y r: (4k-7)x –(k+2)y – 8 =0, calcular K para que :
a) Sean paralelas.
b) Sean perpendiculares.
3
21) Dada la recta y= x + 2 y el punto P(-2,5), calcular:
5
a) Una recta paralela a r que pase por P.
b) Una recta perpendicular a r que pase por P.
1
22) Las rectas y= mx + 3 e y= − x+2 forman un ángulo de 45º. Calcular m.
3
23) Hallar las coordenadas de un punto que está en la recta 4x – 8y +7= 0 y equidista de los puntos A(2,1) y B(1,-3).
24) Dado el triángulo de vértices A(3,1), B(7,1) y C(2,-5), calcular:
a) Las ecuaciones de dos alturas y las coordenadas del ortocentro.
b) Las ecuaciones de dos medianas y las coordenadas del baricentro.
c) Las ecuaciones de dos mediatrices y las coordenadas del circuncentro.
d) Las ecuaciones de dos bisectrices y las coordenadas del incentro.
k
25) Las rectas 3x + 4y –5 =0 e y= − x –2 forman un ángulo cuyo seno es 3/5. Hallar k.
7
26) Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo ABC, sabiendo que:
- Las coordenadas del vértice A son (4,5)
- La recta AB es paralela a la recta 2x –y +7 =0
- La recta AC es perpendicular a la recta x – y – 5 =0
- La recta BC pasa por el punto P(12,6) y forma con la recta 3x – y – 2=0 un ángulo de 45º.
27) Hallar la ecuación de una recta paralela a la 6x +8y –15 =0 que diste 3 unidades del origen de
coordenadas.
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28) Calcular la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección de las rectas de ecuaciones x-3=0 y 2x + y – 5 =0 y forma un ángulo de 30º con la primera.
29) Hallar el área del triángulo de vértices A(2,1), B(6,3) y C(-1,4).
30) Hallar un punto C de la recta 2x +y +2 =0 de manera que con los puntos A(3,0) y B(1,3)
forme un triángulo rectángulo en A.
31) Hallar c para que la recta 2x – 5y +c =0 forme con los ejes de coordenadas un triángulo de 7
u2 de área.
32) Dos vértices de un triángulo son A(3,1) y B(6,4). El tercer vértice está en la recta 3x-y=0. El
área del triángulo es de 9 u2. Hallar el tercer vértice.
33) De un trapecio rectángulo se conocen dos vértices (1,1) y (2,1). Uno de sus lados está situado
sobre la recta x-y+1 =0. Hallar las coordenadas de los otros dos vértices.
34) Un rombo tiene un vértice en el punto P(6,1). Una diagonal está sobre la recta 2x+y-3=0. Su
área es de 20 u2. Hallar los vértices y la longitud de los lados.
35) Sobre una pradera llana hay dos montones de grano situados en los puntos A(3,1) y B(7,4).
Desde un hormiguero cercano, las hormigas han marcado sobre el suelo sendos caminos rectilíneos formando un ángulo recto, dirigidos a los montones de grano. ¿En qué punto se encuentra el hormiguero, si se sabe que está situado en la recta de ecuación y= x+1?
36) Dos lados de un cuadrado están sobre las rectas 5x + 8y –12 =0 y 10x + 16y – 17 =0, calcular
su área.
37) Calcular el área del cuadrilátero A(1,0), B(5,3), C(3,5) y D(-1,4).
38) Las rectas dadas por las ecuaciones 3x +4y – 12 =0 y 5x + 6y –30 =0 determinan con loe ejes
coordenados un cuadrilátero. Averiguar su perímetro y su área.
39) Se tiene un cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(3,0), B(1,4), C(-3,2) y D(-1,-2). Comprobar que es un paralelogramo y determinar su área.
40) Hallar el simétrico del punto P(3,0) respecto de la recta x – y +1 =0.
41) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(5,2) y forma con la recta 3x-2y-8=0 un ángulo
de:
a) 60º
b) 45º
c) 90º
d) 30º
42) Dadas las rectas r: 3x + 2y –8 =0 y s: Kx – y +5 =0, determinar K para que formen un ángulo
de 45º.
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BLOQUE III. NÚMEROS REALES.
1) Expresa las siguientes desigualdades como intervalos:
1
1
a) x > −
c) 2 ≤ x ≤ 3
d) x ≥ −1
b) − < x ≤ 2
3
2
2) Resolver las siguientes inecuaciones:
2x + 1
1
2
b) x + 4 ≥ 4x − 1
a) 3x − 5 ≤
c) 1 − x ≤ x +
2
3
3
2
3
x −1
x −x
x
≥0
e)
≥0
d)
≤0
f)
2−x
x +1
x+2
4x − 3 7x + 2
6x + 4
x +5
<
h)
− 2x + 3 >
i) 3x2 +40x < 8x –126
g)
5
2
5
3
3) Para qué números reales existen las siguientes raíces:
a)
x+3
b)
x +1
3− x
x2 − 4
e) 16 − x 2
2
x − 4x + 3
4) Resuelve las siguientes igualdades:
1
a) 2x − 3 = x + 1
b)
= 2+ x
x
2+ x
2 x
1
=4
e) − = − x
d)
3
3 2
2
5) Expresa como intervalo las soluciones de:
d)
a) 5x − 1 < 2
b) 2x + 4 ≥ 2
2+ x
>4
e) x 2 − 3x + 2 ≤ 4
1− x
6) Expresa sin valor absoluto las siguientes expresiones:
x +1
a) x − 1
b)
x
d)
d) x 3 − x
e) senx con 0 ≤ x ≤ 2π
Pág 9
c)
x2 +1
x2
f)
x 2 − 10x + 16
c) x 2 − 1 = 3
f) 1 +
1
− x = 3− x
2
c) 5x −
f)
3
≤4
5
x +1
<2
3
c) x 2 − 10x + 7
f)
x2 − 4
9 − x2
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BLOQUE IV: FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.
1) Hallar el domino de las siguientes funciones:
3x 3
1
b) f (x) = 5
a) f (x) = 2
4
2x − 5x + 2
x − x + x3 − x 2
2x + 1
3x − 2
e) f (x) = 2
d) f (x) =
2
x − 5x + 6
x −1
c) f (x) = 2x 2 − 5x + 2
f) f (x) = x 2 − 16
4 − x2
x 2 − 3x + 2
x2 +1
=
f
(x)
=
f
(x)
h)
i)
x 2 − 2x +1
x
x 2 − 4x + 4
2) En las siguientes funciones, hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas y estudiar su
simetría:
b) f(x)= x3+3x2-2
c) f(x)= -x4+2x2 –1
a) f(x)= 2x3-3x2
1
x2 −1
e) f (x) = 2
d) f (x) =
f) f (x) = 4 − x 2
x−2
x +1
x
2x − 3
, g(x) = x 2 − 5x y h(x) =
, calcular:
3) Dadas las funciones f (x) =
x−2
3x − 5
a) f D g
b) h D g
c) f D g D h
d) f-1
e) h-1
g) f (x) =
4) Dadas las funciones f (x) =
x +1
x
y g(x) =
, calcular:
x−2
x −1
a) f D g
b) g D f
c) f-1 y g-1
5) Dadas las funciones f(x)= x2 + 1 y g(x) =
2x + 1
, hallar:
2x − 1
a) f D g
b) g D f
d) g-1
6) Hallar la descomposición de las siguientes funciones en otras dos o más funciones:
x2
b) f (x) = x 4 + 3x 2
c) f(x)= x2 +2x +2
a) f (x) = 2
x +5
x3
1
e) f (x) = 2
f) f (x) = x 2 + 1
d) f (x) = 6
3
x − 5x
x
7) Comentar los elementos de las siguientes gráficas
Pág 10
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8) El gráfico siguiente muestra la evolución de la gripe en la zona de Cebolla (Toledo) en el año
1994. Coméntalo. Piensas que la gripe tiene algún tipo de tendencia?
Evolución de la gripe
Zona de Cebolla, 1994
70
60
50
40
30
20
10
0
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
9) Alvaro va cada tarde al instituto; pasa primero por la panadería y compra un bollo, luego se
detiene en la siguiente esquina a esperar a un compañero. Por fin, después de las clases, vuelve
a casa. Aquí tienes la gráfica de su recorrido.
a) ¿Qué recorrido hay de la casa al instituto? ¿Y a la panadería?
b) ¿Cuánto tarda en comprarse el bollo?
c) ¿¿Tiene que esperar mucho a su compañero?
d) ¿Cuánto duran las clases?
e) Si las clases comienzan a las cuatro de la tarde, ¿dónde estaba a las 3h 32 min, 3 h 36
min y a las 3 h 54 min?
f) ¿Lleva la misma velocidad a la ida que a la vuelta?
g) Estudia la velocidad de cada trayecto.
Distancia (m)
600
400
200
0
5
15
25
30
Tiempos (min)
Pág 12
150
160
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⎧− x 2 + 4
⎪
10) Dada la función f (x) = ⎨
3
⎪ 2x − 3
⎩
a)
b)
c)
d)
e)
f)
− 2 ≤ x <1
1 ≤ x < 4 , se pide:
x≥4
La imagen de los puntos 0, 2, 7 y –4
Su dominio
¿Algún punto tiene por imagen 1? ¿Cuál? ¿Y 4?
Representación gráfica
A la vista de la gráfica decir los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Representar gráficamente las funciones –f(x) y f (x)
g) Construir y representar las funciones f(x)+2 y f(x+1)
⎧
x
x ≤1
⎪⎪
3 1 < x < 3 , se pide:
11) Dada la función f (x) = ⎨
⎪ 2
x≥3
⎪⎩ x − 6x
a) Representación gráfica.
b) A la vista de la gráfica estudiar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos
relativos.
c) Obtener f-1(-3).
⎧ 4x 2 + 4 0 ≤ x ≤ 2
⎪
, se pide:
12) Dada la función f (x) = ⎨ 5
⎪− x + 25 2 < x ≤ 8
⎩ 2
a) Dominio de f.
b) Representación gráfica.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
13) Dibujar las siguientes funciones e indica todo lo que sepas de ellas:
a) Pase por (1,0). Tenga dos asíntotas verticales en x=-2 y x=0. Tenga una asíntota horizontal en y=1. Siempre crezca.
b) Tenga una asíntota vertical en x=1. tenga un máximo en x=0 y un mínimo en x=4.
c) Tenga dos asíntotas horizontales en y=2 e y =-2. Siempre decrezca.
d) Crezca hasta –3 y a partir de 4. Decrezca en el resto. Tenga una asíntota vertical en x=1.
e) Sea par. Tenga un máximo en x=-4 y un mínimo en x=1.
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BLOQUE V. FUNCIONES MÁS USUALES.
1) Imagina que deseas comprar un coche y que dudas, por motivos económicos, entre el modelo
de gasóleo o de gasolina. Las características de cada uno vienen recogidos en la siguiente tabla:
Gasóleo
Gasolina
Coste del coche
2.200.000
1.800.000
Litro
80 Ptas.
120 Ptas.
Consumo (100 Km.)
8 litros
7 litros
a) Escribe las funciones que dan el gasto total para x kilómetros.
b) ¿A partir de cuántos kilómetros te interesa más el de gasóleo?
c) Da una explicación gráfica a los apartados anteriores.
2) En un bloque de viviendas las ventanas son rectangulares y deben tener 2 m2 de luz. Si x es la
longitud del lado de la base, obtener el perímetro en función de x. ¿Cuál es el dominio?
3) Cada paso de una llamada telefónica cuesta 5 ptas y cada uno de ellos dura 1 minuto. Dibujar
la gráfica que indica el coste de una llamada de 5 minutos.
4) El número de hormigas con alas H(x) en millones, en una región, depende de la lluvia caída x,
en milímetros cúbicos. Si la función que relaciona una y otra variable es H(x)= 70x – 5x2, determina:
a) ¿Cuánto debe llover para que haya 75 millones de hormigas ?
b) ¿Cuántas hormigas hay si caen 200 mm3 de agua?
c) La cantidad de agua que hace máxima la población de hormigas.
5) Un puente está adornado por arcos parabólicos, cuya ecuación es f (x) = −
1 2
x +x.
40
a) ¿Qué altura tienen esos arcos a 5 m del comienzo del puente?
b) ¿Y a mitad del puente?
6) Suponiendo que el rendimiento r en % de un estudiante que realiza un examen de una hora
venga dado por r(t)= 300t(1-t) siendo 0≤ t ≤1 (tiempo en horas). Se pide:
a) Representar gráficamente la función r(t).
b) Indicar cuando aumenta o disminuye el rendimiento.
c) ¿Cuándo es máximo el rendimiento y cuál es?
7) La función f(x) representa la cotización de unos determinados valores en bolsa a lo largo de un
mes (30 días): f(x)= 0.2x2 – 8x + 100 (siendo x el número de días transcurridos de ese mes).
a) Dibujar la gráfica de esa función.
b) ¿En qué días del mes estuvieron bajando los valores, y en qué días estuvieron subiendo?
c) ¿Cuáles fueron esos valores máximos y mínimos?
2x − 1
como traslaciones de una función de proporcionalidad inverx +3
sa. Calcula sus asíntotas y puntos de corte con los ejes y represéntala gráficamente.
8) Expresa la función f (x) =
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x −1
como traslaciones de una función de proporcionalidad inver2x + 2
sa. Calcula sus asíntotas y puntos de corte con los ejes y represéntala gráficamente.
9) Expresa la función f (x) =
10) Calcula el dominio y representa gráficamente las siguientes funciones:
b) y = x + 1 − 4
c) y = 3 − x
a) y = x − 4
11) Calcula los puntos de corte y asíntotas de las siguientes funciones racionales:
2x 2 − 3x + 5
x 3 − 9x
x 2 − 3x + 2
=
y
c)
a) y =
b)
y
=
(x + 1) 2
3x 2 + 5
x2 − 4
12) En las siguientes funciones, indica los puntos de corte con los ejes, máximos y mínimos y
represéntalas gráficamente. ¿Cuál es su período?
π⎞
π⎞
⎛
⎛
a) y = sen ⎜ x + ⎟
b) y= cos2x
c) y = tag ⎜ x − ⎟
4⎠
2⎠
⎝
⎝
13) Calcula los puntos de corte y asíntotas de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:
a) y= ex+1
b) y= e-x – 2
c) y= 2x-3
d)y= ln(x-1)
e) y= lnx –1
f) y = ln x
14) ¿Cuánto tiempo debe estar prestado un capital de 250000 ptas al 7% para convertirse en
459615 ptas?
15) A qué rédito debe estar prestado un capital de 350000 ptas que en 6 años se ha convertido en
469033 ptas?
16) Se calcula que un bosque tiene 24000 m3 de madera y que aumenta un 3.5% al año.
a) ¿Cuánta madera tendrá al cabo de 12 años si sigue creciendo en estas condiciones?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse suponiendo que sigue ese ritmo de crecimiento?
17) La edad T medida en años de una ballena se obtiene, de manera aproximada, a partir de su
longitud L con la fórmula
63 − L
T = −25'7 ln
63
que es válida entre los 5 y los 40 años.
a) Se ha medido una ballena, y su longitud es 20’32 m. ¿Cuántos años tiene la ballena?
b) Han pasado 9 años desde que nació una ballena, ¿cuántos metros medirá?
18) Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo emitiendo radiaciones. La
rapidez de desintegración varía para cada sustancia y se mide usando su periodo de semidesintegración , que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial. Si se llama s al periodo de semidesintegración de una sustancia radiactiva medido en años y M(t) al
porcentaje de la masa que aun queda sin desintegrarse después de t años, la ley de desintegración radiactiva establece que
−
tln2
s
M(t)=100e
Los arqueólogos utilizan esta relación para determinar la edad de los fósiles. El carbono 14 tiene
un periodo de semidesintegración de 5730 años. ¿Qué porcentaje de la masa original quedará
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después de 20.000 años? ¿Cuántos años deberán transcurrir para que su masa quede reducida
al 10% de la masa original?
x
19) Si log5x = h, ¿cuánto vale log 5
?
25
1
20) Sabiendo que log 2 = 0’30, calcula log
.
250
21) Sabiendo que log8 2=A y que log8 3=B, hallar en función de A y B
a) log8 324
b) log8 63
1
22) Si loga 0’3= , hallar la base “a” y loga 0’09.
3
23) Hallar el exponente al que hay que elevar 7 para obtener
3
2401 .
24) Si log a + log b = 0, ¿qué relación hay entre a y b?
25) Calcula, utilizando la calculadora, los logaritmos en base 3 de los números 123, 7, 500.
26) Calcular log5 625 – log9 81 + log8 64.
27) Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3x −1 − 3x + 3x +1 = 189
b) 5x = 15
x −2
e) 5x + 5x −1 + 5x − 2 = 31
⎛1⎞
d) 3 + ⎜ ⎟ = 4
⎝3⎠
2
f) log 5 x + log 5 10 = log 5 x + log 5 100 − log 5 2
g) 32x −1 + 3x + 2 = 30
i) log(x − 53) + log(x − 5) = 2 + log(4 − x)
h) 2x +1 + 4x +1 = 12
j) log 2 + log(11 − x 2 ) = 2.log(5 − x)
x −1
c) 2 − 7.2 + 14.2 − 8 = 0
3x
2x
x
k) log 3x + 1 − log 2x − 3 = 1 − log 5
28) Resolver los siguientes sistemas:
⎧ log(x + 2y = log 50
a) ⎨
⎩log x + log y = 2 + log 2
⎧log(x − y) + log x = log 53
c) ⎨
14 x = 14 y.145
⎩
l) 2log x – log(x-16) = 2
log x + log y = log12
⎧
b) ⎨
⎩log 5x − log(y − 1) = 1
⎧⎪ 15.5x −1 − 6 y = 339
d) ⎨ x
y −1
⎪⎩3.5 + 2.6 = 807
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BLOQUE VI :LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.
x −1
. ¿Existe f(1)? Realiza una tabla como la siguiente, calculando
x −1
varios valores y deduce si al tomar x valores próximos a 1 (mayores o menores que 1) los valores de f(x) se aproximan a algún número.
x<1
f(x)
f(x)
x>1
0
1
2,41421356237
2
x+2
2) Sea la función f ( x) = 2
. ¿Existe f(-2)? Realiza una tabla de valores y deduce si cuando x
x −4
se aproxima a –2, los valores de f(x) se aproximan a algún valor.
1) Sea la función f (x) =
x −1
y x=1.
x −x
3) Realiza el mismo proceso de los dos ejercicios anteriores para la función f (x) =
4) Calcular los siguientes límites:
x2 − x − 6
1) lí m
x →−2
x2 − 4
x 2 − 6x + 8
2) lí m
x →3
x +3
x 3 − 2x 2 − 3x + 4
x →−2
x2 + x + 2
5) lí m
3x − 2 − 4x − 3
x −1
8) lím
4) lí m
x →1
2x 3 + 7
5x 4 + 8
x 3 + 4x 2 + 5x + 2
3) lí m
x →−1
x2 −1
6) lí m 3
x →3
x 4 − 81
x −3
x
1− x − 1+ x
9) lím
x →0 1 − x + 1
x →1
x →0
x
⎛ 3x 2 + 3 x + 2 ⎞
x+2⎞
x +9 −3
⎛ 2x
12)
−
10) lím
11) lím ⎜ 2
− 2
lím
⎜
⎟
⎟
x →1 x − 1
x →0
x →−5
x −1 ⎠
x + 16 − 4
⎝
⎝ x + 5 x − 25 ⎠
5) Calcular el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a ∞ :
2x 2 − 4 2x + 3
−3x 4 + 6x
−
a) f (x) = 2
b) f (x) =
c) f (x) = x 2 − 5 − x
2
x +1
x−2
x +1
2
x − 6x + 6
x4 −1
e) f (x) =
f)
=
f
(x)
d) f (x) = 2x 2 + 3x − 1 − 2x 2 + 1
x2 − 2
x3 −1
x5 −1
(1 + x) 2 − 1
g) f (x) = x + 2 − x − 2
h) fx) = 7
i) f (x) =
x −1
x2
7) lím
j) f (x) =
3 + 4x 2 5 − 3x
.
1 − 2x 5x 2 + 3
k) f (x) =
2x − 9x 2 + 2
7x + 2
x 3 + 2x − 1
5 − x 3 − 2x
−
n) f (x) =
2
3
x +1
6) Calcular los siguientes límites cuando x tiende a −∞ :
3x
a) f (x) = 2x 3 − 5x + 1
b) f (x) = x
2
m) f (x) =
d) f (x) =
3
x2 + x2
x 2 − 2x 2
e) f (x) =
Pág 17
x2 −1
x 2 + 7x
l) f (x) =
3
x2 + x
x +1
ñ) f (x) =
x2 − x + 8
x+3
c) f (x) =
x +1
x+2
f) f (x) =
x2 −1
x+4
I.E.S. Amparo Sanz-Matemáticas de 1º de BCN- 18/27
7) Calcular los siguientes límites cuando x tiende a ∞ :
a) f (x) = ( x 3 + 2 )
⎛ 1+ x2 ⎞
b) f (x) = ⎜
⎟
⎝ x +1 ⎠
−7x + 55
⎛ 2x 2 − 3x + 2 ⎞
d) f (x) = ⎜
⎟
x2 −1 ⎠
⎝
⎛ x +1 ⎞
g) f (x) = ⎜
⎟
⎝ x −5⎠
7
⎛ 3x + 5 ⎞
e) f (x) = ⎜
⎟
⎝ 5+ x ⎠
6x − 2
5x 4 + 3
⎛ 2x + 3x + 7 ⎞ x − 2
j) f (x) = ⎜
⎟
4
⎝ 2x − 2 ⎠
8) Calcular los siguientes límites:
1)
x →−1
3
2
4 + 9x 2
x2 −1
x →−1 x 2 − 2x − 3
4) lím
4x 2 + 2x
7) lím 3
x →0 x + 5x 2
(1 + x)3 − x 3
10) lím
x →0
x
13) lím
x →1
16) lím
x →1
x2 −1
x −1
19) lím ( x + 1)
(1 + x)3 − x 3
9) lím
x →0
2x 2
x
12) lím
x →0 1 + x − 1
x−2
x+2 −2
30) lím+
x →0
1+ x − x
x
18) lím ( x 2 − 3)
x2 −4
⎛ 3− x ⎞
21) lím ⎜
⎟
x →0 4 + x
⎝
⎠
2x
x →2
1
(x +1) 2
1
1
⎛ x ⎞ x −1
23) lím ⎜
⎟
x →1 2 − x
⎝
⎠
⎛ 1 ⎞ x −2
24) lím ⎜ 2
⎟
x →2 x − 4
⎝
⎠
1
⎛ x 2 + x + 1 ⎞ x −1
26) lím ⎜
⎟
x →1
⎝ x+2 ⎠
28) lím ⎡⎣log ( x 2 − 2x + 6 ) − log ( 2x 2 + 3x − 5 ) ⎤⎦
x →∞
x
1− x2
+ ln
1− x
x
3x
1
27) lím (1 + x + x 2 ) x
x →0
⎛ x +3⎞
29) lím x.ln ⎜
⎟
x →∞
⎝ x ⎠
⎡
31) lím+ ⎢ln
x →3 ⎣
Pág 18
2x 2 + 5x
4x 2 + 2x
x →0 x 3 + 5
x →0
x →−1
1− x
2x 3
6) lím
15) lím
2x 3 + x − 2
3x − 6
⎛ 5x − 4 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 + 5x ⎠
4x 2 + 2x
8) lím 3
x →0 x + 5x
(1 + x)3 − x 3
11) lím
x →0
3x 3
20) lím ( x − 1)
⎛ 1 − 3x + 2x 2 ⎞
25) lím ⎜
⎟
2
x →1
⎝ x −1 ⎠
l) f (x) =
3x −1
x3 − 8
3) lím 2
x → 2 x − 5x + 6
2
x +1
⎛ x3 −1 ⎞
i) f (x) = ⎜ 3
⎟
⎝ x + 2x ⎠
⎛ x
x2 +1 ⎞
2) lím ⎜
−
⎟
x →−2 x + 2
4 − x2 ⎠
⎝
3 ⎞
⎛ 1
5) lím ⎜
−
⎟
x →2 2 − x
8 − x3 ⎠
⎝
x →1
1
x +1
x
−6x 2 + 3
17) lím ( 4x 3 − 3)
x →−1
ln
⎛ x2 − 3 ⎞
f) f (x) = ⎜ 2
⎟
⎝ 2x + 4 ⎠
⎛ x − 6x ⎞ 3x 2 +5x
k) f (x) = ⎜ 3
⎟
⎝ x − 2x ⎠
x →2
⎛ x2 −1 ⎞
22) lím ⎜ 2
⎟
x →1 x − 3x + 2
⎝
⎠
x
3
14) lím
1+ x −1
2 − x −1
2
2x
⎛ x 3 + 3 ⎞ x +1
c) f (x) = ⎜ 2
⎟
⎝ x + 2x ⎠
⎛ x 2 − 2x + 1 ⎞
h) f (x) = ⎜ 2
⎟
⎝ x − 4x + 2 ⎠
4
( x + 1)
lím
x +5
x
(
)
x − 3 + ln
x ⎤
x − 3 ⎥⎦
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BLOQUE VII: CONTINUIDAD DE FUNCIONES.
1) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, clasificando las posibles discontinuidades:
⎧1 + x 2 x < 1
⎧ x −1 x < 2
⎧ x2 − 4
x<3
⎪
⎪
⎪
b) g(x) = ⎨ x − 2
x =1
c) h(x) = ⎨ 1 x = 2
a) f (x) = ⎨ 2
⎪1 + x x > 1
⎪
⎪ −3 x > 2
x=2
⎩ 2
⎩
⎩
x4 −1
x2 −1
x +1
g) l(x) = 2
x + x +1
d) i(x) =
x +x
2
2x 2 − 4
i) n(x) =
x− 2
f) k(x) =
e) j(x) = x
h) m(x) =
2) Hallar m y n para que la función f (x) =
x2 − 3
x 3 − 27
x 4 − 2x 2 + mx + n
tenga dos discontinuidades evitax 2 − 3x + 2
bles.
3) ¿Qué valores han de tener m y n para que la función f (x) =
3x 2 + mx + n
tenga dos discontix 2 + 3x − 4
nuidades evitables?
x 2 − 2x + n
4) Se sabe que f (x) = 3
es discontinua en x=2 y que la discontinuidad es evitable.
x + mx 2 − 14x
Hallar m y n, y clasificar todas las discontinuidades de f.
x 3 − 4mx + 4n
tenga una discontinuidad
5) Hallar el valor de m y n para que la función f (x) = 3
x − mx 2 + n
evitable en x=2 y clasificar todas sus discontinuidades.
⎧ 2+x −2
x≠2
⎪
6) Dada la función f (x) = ⎨ x − 2
hallar el valor de m para que sea continua en x=2.
⎪
m
x=2
⎩
⎧ x5 + x4
⎪
7) Hallar el valor de K para que la función f (x) = ⎨ Kx 4
⎪ −2
⎩
x≠0
sea continua en x=0.
x=0
⎧ (x + k)(x − 2
⎪ 2
8) Hallar el valor de K para que la función f (x) = ⎨ x − 5x + 6
⎩⎪ 6
x≠2
sea continua en x=2.
x=2
22
. ¿Hay varias soluciones?
3
Encontrar la forma general de todas las funciones racionales que sean discontinuas en los puntos dados.
(x + 3) 2 (x 2 + 2x − 8)
10) Hallar y clasificar los puntos de discontinuidad de la función f (x) =
.
(x + 4) 2 (2x 2 + 9x + 9)
9) Hallar una función racional que sea discontinua en –2, 0, 3 y
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I.E.S. Amparo Sanz-Matemáticas de 1º de BCN- 20/27
⎧x+2
x < −1
⎪ 2
11) Dada la función f (x) = ⎨ x
− 1 ≤ x < 1 se pide:
⎪ 2x + 1
x ≥1
⎩
a) Estudiar su continuidad.
b) Representación gráfica.
x
x <1
⎪⎧ e
sea continua en x=1.
12) Hallar el valor de a para que la función f (x) = ⎨ 2
⎪⎩(a + 2a)x + e 1 ≤ x
0 < x ≤1
⎧ ln x
13) Dada la función f (x) = ⎨ 2
determinar a y b para que sea continua y f(2)=3.
⎩ax + b 1 < x
⎧⎪
x2 + a
x≤0
14) Dada la función f (x) = ⎨ 2
se pide:
⎪⎩− x + (a − 1)x + 3 x > 0
a) Determinar el valor de a para que sea continua en x=0.
b) Para el valor calculado en el apartado anterior dibujar la gráfica de f(x).
15) El nivel de hemoglobina en la sangre debe estar entre 13 y 18 g/dl. Un laboratorio ha sacado
al mercado un medicamento que permite subir el nivel de hemoglobina en la sangre de forma
gradual, sin que haya riesgos para la salud. En la información que aparece en el medicamento
se lee que la función que relaciona el nivel de hemoglobina con los días transcurridos desde
que se empezó a tomar el medicamento es:
60x
f (x) = 13 + 2
x + 36
a) ¿Cuál es el nivel de hemoglobina al cabo de 10 días de tratamiento? ¿Y de 30 días?
b) ¿Qué pasaría si el medicamento se toma indefinidamente?
16) El gasto mensual en ocio de un cierto colectivo de familias viene dado por la expresión:
⎧0 '02x − 1 0 ≤ x ≤ 100
⎪
G(x) = ⎨ 30x
x > 100
⎪⎩ 2x + 2300
siendo x sus ingresos mensuales en miles de pesetas y G(x) también en miles de pesetas.
a) Estudia la discontinuidad del gasto. ¿El gasto de una familia en ocio es sensiblemente distinto si sus ingresos son “ligeramente” superiores a cien mil pesetas?
b) Justifica que ninguna familia de ese colectivo realiza un gasto en ocio superior a 15.000
Ptas.
17) Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad del producto cobra 5 ptas.
No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, decide disminuir el precio por unidad y por
cada x unidades cobra la siguiente cantidad:
5x
0 ≤ x ≤ 10
⎧⎪
C(x) = ⎨
2
x > 10
⎪⎩ ax + 500
a) Hallar “a” de forma que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades
que se compran.
b) ¿A cuánto tiende le precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades.
C(x)
)
(El precio de una unidad es
x
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BLOQUE VIII: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
1) Hallar la tasa de variación media dela función f(x)= x2+1 en los siguientes intervalos:
a) [0,3]
b) [3,5]
c) [-3,-1]
d) [-1,0]
2) Hallar, utilizando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se
indican:
x
b) f(x)= x3 en x=0
c) f (x) = 2
en x= -1
a) f(x)= x2-x-1 en x=2
x −1
3) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones del ejercicio anterior en los puntos indicados.
4) Hallar, utilizando la definición, la derivada de las siguientes funciones:
1
b) f (x) =
d) f (x) = x + 1 − 1
a) f(x)= x3
c) f (x) = x
x
5) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones del ejercicio anterior en los puntos que se indican respectivamente:
a) x=0
b) x=2
c) x=9
d) x=8
6) La función f (x) = x + 1 no tiene derivada en un punto. ¿Cuál es ese punto? Representar primero la gráfica de la función y, sobre ella, razonar la respuesta.
7) Hallar los puntos en los que y = x 2 − 5x + 6 no tiene derivada.
x <1
⎧ 0
8) Dada la función f (x) = ⎨
2
⎩(x − 1) x > 1
a) Calcular su dominio y dibujar su gráfica.
b) Definir f en x=1 para que sea continua en ese punto.
c) Dando a f(1) el valor del apartado anterior, ver si f es derivable en ese punto.
9) Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:
⎧ 2x x ≤ 2
⎧ x +1 x ≤ 0
b) f (x) = ⎨ 2
a) f (x) = ⎨ 2
⎩x + 2 x > 2
⎩− x + 1 x > 0
10) El perfil de una carretera viene dado en un tramo de montaña por la función f (x) = x . ¿Qué
señal de tráfico que indique la pendiente habrá que poner en x= 20, estando x en m?
11) Se ha trazado una recta tangente a la curva f(x)= x3, cuya pendiente es m=3 y pasa por el punto P(0,-2). Hallar el punto de tangencia.
12) La recta tangente a una curva en un punto puede cortar a la curva en otro punto. La tangente a
la curva f(x)= x3 en T(1,1) la corta en otro punto, ¿Cuál es?
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I.E.S. Amparo Sanz-Matemáticas de 1º de BCN- 22/27
13) Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
2
4
3
3
x 2 − 5x + 1
5) y =
x2 + 3
1) y = (3x − 2)(5x + 1)(7x + 2)
4) y =
2) y = x 7 − x 5 + x 3 − 7x 2 + 1
3x − 1
2x − 3
7) y = x 2 + 3x
10) y = 3
x 2 − 6x
3x + 1
13) y = x x +
1
x
2
x
−
3
x
35
x
2
12) y =
14) y = 3e x + x 2 − 1
15) y = 5e x + 2 cos x
20) y = ln
3
26) y =
x+3
2x − 1
(
31) y = log3 a + x + 2ax + x 2
tagx
x
37) y = a + x 2 − ln
1+ a + x2
x
x −4
(
ln(x 2 − a 2 ) 1 x − a
+ ln
2
2a x + a
x
35) y = x 2 − 4 − 2 ln x + x 2 − 4
2
(
x
x +3
2
44) y =
2
x
1
1
−
2x + 1 (2x + 1)3
30) y = x 5 e
−
33) y = ( x 2 )
)
1
x
x
1
36) y = ( ln x ) x
⎡
39) y = ln ⎢ln ⎛⎜ ln
x
⎣ ⎝
x
x⎠
⎝
43) y = x 4 + 3
)
32) y =
1
41) y = ⎛⎜1 + ⎞⎟
40) y = x 3x
27) y =
2
38) y = ( x )
− ex
3x
ln(x 2 + 3x)
x 5 + 2x 3
x3 + 1
24) y = log
3x
ln x
x
29) y = ln e x + e2x − 1
)
54 x
21) y =
1
3
3x 2 4 x − 2x x
18) y = e
+ 3x −1
1
x
28) y = log(3x 4 − 5x + 3)
34) y = x 5 log 5x −
2
23) y = + 2 ln x −
ln(x + 3x 5 )
(4x + 2)7
2x
x2 +1
11) y = 5 x 3 + 6x − 2
19) y = ln(x 2 + 3x − 1)
25) y =
(3x 2 + 1)(2x 2 + 4)
(x − 1) 2
9) y = 3
17) y = e2x +1 + e x
5x − 2
6) y =
8) y = 3 x 2 + 5x − 1
3e x
16) y =
2 − ex
22) y = ⎛⎜ 2 ⎞⎟
⎝ 4x − 1 ⎠
3) y = (x 2 − 5x)3
1 3
( ln x + 3ln 2 x − 5)
x
42) y =
2 − x ⎞⎤
⎟
x + 3 ⎠ ⎥⎦
(x + 2)9
(x − 3)7 (x + 8)11
45) y = e3x +1 x
46) y = ln(3x − 4)
47) y = e x senx + e x cos x
48) y = sen(7x + 3)
49) y = cos(x − 1)
50) y = sen x + 3
51) y = x 2senx + x cos x
52) y = sec(4x − 3)
53) y = 3 cos(x 2 − 3)
54) y = tag ⎛⎜ ln
55) y = cos ec(x + 3)
56) y = e
57) y = 4
2
2
e + ln(x + 1)
cos ecx
y = log ( sen7x )
58) y =
61)
x
2
2
sen3x
senx + cos x
senx − cos x
y = cos(eln 3x )
⎝
60) y =
62)
63)
tag(3x + 2)
cos(7x − 1)
65) y =
67) y = e7 x + sen3x
68) y = log
3xsenx
e 2x +1
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tagx
tagx − cot agx
xsenx
y = tag(x 2 − 3x ln x)
59) y =
64) y = cot ag(5x + 2)
x+2⎞
⎟
3x ⎠
66) y =
sen(x 2 + 3x)
(x 3 + 4)5
69) y = sen 3 2x + sen3x
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cos 2 (5x + 1)
1 + tag 2 x
71) y =
73) y = (senx − cos x)3
74) y = ln(sen3x)
75) y =
77) y = cos3 x − cos(x 3 )
78) y = ln(sen 3x )
80) y = arccos(x 2 − 1)
81) y =
83) y = xarctagx
84) y = x.e x .sen3x
86) y = arcsen(1 − e7 x )
87) y = 8
sen5x + cos 5x
⎞
76) y = ⎛⎜
⎟
⎝ sen5x − cos 5x ⎠
(1 + x 2 )arctagx
senx
85) y = arctag
1− x
1+ x
88) y = arcsen(1 − x) + 2x − x 2
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
x arcsen x
y=
+ ln 1 − x 2
2
1− x
89) y = a 2 − x 2 + a.arcsen
x
a
92) y = x a 2 − x 2 + a 2 arcsen
94)
95) y = sen 2 (sen 2 x)
2
98)
⎛ 1 ⎞ senx
y=⎜ ⎟
⎝x⎠
1
x
90) y = arctag
x
a
1− x
1+ x
93) y = ln arcsen x + arcsen ln x
96) y = 5x x 2sen 7 x
1
x
1− x
x − arcsenx
arctagx
arcsen
91) y = ln
97) y = arcsen
x + cos x
x − cox x
3
79) y = arcsen7x
82) y =
72) y =
x 3sen7x
ln x
70) y = 5cos3 (4x + 1).tagx
99) y = ln
1 + senx
1 − senx
14) Dada la curva de ecuación y = x , se pide:
a) Ángulo que forma el eje OX con la normal a la curva en el punto de abscisa x=4.
b) Punto de intersección de dicha normal con el eje OX.
15) Hallar los puntos donde la recta tangente a la curva de ecuación f (x) =
x3 x 2
+ − 2x es para3
2
lela al eje OX.
16) ¿En qué punto la normal a la curva de ecuación y= x2 –5x+6 es perpendicular a la recta de
ecuación x-y+4= 0?. Escribir la ecuación de la tangente en ese punto.
ex + 3
en el punto x=0.
17) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) =
7
18) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y= x3 –x en los puntos de intersección de la
misma con el eje de abscisas.
19) Hallar los ángulos que forman las rectas tangentes a las curvas de ecuación y= 2-x2 , y= x2 en
el punto de intersección de ambas situado en el primer cuadrante.
20) ¿En qué punto la tangente a la curva y =
1 2
x − 5x + 4 es paralela a la recta de ecuación
6
2x+3y-3=0?
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I.E.S. Amparo Sanz-Matemáticas de 1º de BCN- 24/27
21) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva definida implícitamente por la ecuación
x2+2y2=3 en el punto A(1,1).
22) Hallar el área del triángulo formado por la tangente a la curva de ecuación y= x2 –x +1 en el
punto (1,1), la normal en dicho punto y el eje de abscisas.
23) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se
indican:
x
x
en x=π
a) y = sen cos
2
2
b) y = 2x (x 2 + x + 1) en x=0
c) y = 2(x − 1) ln x + (x + 1)2x en x=1
d) y = ln x
e) y = arctag
en x=1
1
x
en x=
f) y = sen 5 5x en x =
3
π
10
24) Hallar algún punto en que la recta tangente a la curva f (x) =
a) es horizontal
4
x +x
2
b) es paralela a y= -3x+3
8
, hallar a y b para que su gráfica pase por el punto (-2,-6) y tenga en
x
dicho punto una tangente horizontal.
25) Dada f (x) = ax + b +
26) La parábola y= x2 +bx +c es tangente a la recta y= x en el punto (1,1). Hallar la ecuación de
la recta tangente a la parábola en el punto (2,f(2))
27) Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de ecuación f(x)= x3 +3x2 +x en los
puntos de intersección con la bisectriz del primer cuadrante.
28) ¿En qué puntos de la gráfica de la función f (x) =
triz del primer cuadrante? ¿Y a la del segundo?
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x2
− 7x su tangente es paralela a la bisec4
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BLOQUE IX: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1) Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos de las siguientes funciones:
x2
4
2
3
2
b) f(x)= x – 6x +9x –8
c) f (x) =
a) f(x)= x – 2x
x −1
2
x2
e) f (x) = e3x + 6x
f) f (x) = 2
d) f (x) = ln(x 2 + 1)
x −9
3
2
2) La función real f(x)= x + ax + b tiene un mínimo en el punto P(2,3). Hallar los números a y
b.
3) Hallar los coeficientes a, b, c y d de la función y= ax3 +bx2 +cx +d sabiendo que sus extremos
relativos son los puntos (0,4) y (2,0).
4) La función y= x3 +mx2 +nx +p pasa por (0,5), tiene un máximo en x= -1 y un mínimo en x= 3.
Hallar m, n y p.
5) La función y= x3 +mx2 +nx +p pasa por el punto (-1,0), tiene un mínimo en x=1 y un punto de
1
inflexión en x= − . Calcular m, n y p.
3
6) Encuentra un número tal que al restarle su cuadrado, la diferencia sea máxima.
7) Halla dos números tales que su suma sea 36 y su producto sea máximo.
8) Calcula las dimensiones que deben tener los lados de un terreno rectangular de 80 m. de perímetro si queremos que su área sea máxima.
9) Halla las dimensiones de un rectángulo de 64 m2 para que su perímetro sea mínimo.
10) Un ganadero quiere construir tres rediles rectangulares contiguos e iguales, para lo que dispone de 1.000 m. de cerca. ¿Qué dimensiones debe tener cada redil para que tengan área máxima?
11) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 800 ptas/m y la de los otros lados 100 ptas/m, halla el área del mayor campo que
puede cercarse con 288.000 ptas.
12) Recortando un cuadradito de cada esquina de un cartón rectangular de 6 y 8 cm. de lado, se
quiere construir una caja sin tapa. ¿Qué medida debe tener el lado del cuadrado para que el volumen de la caja sea máximo?
13) Halla el radio de la base y la altura del cono de 3 m. de generatriz y de volumen máximo.
14) De entre todos los conos de volumen igual a 18π m3 calcula el radio de la base y la altura del
que tiene mínima la generatriz.
15) Un alambre de un metro de longitud se divide en dos trozos y con ellos se construyen un cuadrado y un círculo. Calcula la longitud que ha de tener cada trozo para que la suma de las áreas
sea mínima.
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16) Calcula las dimensiones que debe tener un bote cilíndrico de hojalata cuyo volumen es de 8π
m3, si queremos que la hojalata empleada en su fabricación sea mínima. Considera los siguientes casos:
a) El bote tiene dos tapas.
b) El bote tiene únicamente una tapa inferior.
17) Se desea construir una caja rectangular cerrada de base cuadrada y volumen 27 dm3. Hallar
las dimensiones para que la superficie total de la caja sea mínima.
18) El propietario de un inmueble tiene alquilados los cuarenta pisos del mismo a 10.000 ptas el
mes cada uno. Por cada 1.000 ptas de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino que
se traslada a un piso más económico. ¿Cuál es el alquiler que más beneficio produce al propietario?
19) Estudiar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de las siguientes funciones:
2
ex
4
2
2
b) y = x − 4
c) y =
a) y= x – 6x
x
1
x
x3
e) y =
f) y = 2
d) y = x.e x
x +1
x −1
20) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y= 2x3 – 6x2 + 4 en su punto de inflexión.
21) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y= x3 – 6x2 + 9x -3 en su punto de inflexión.
22) El precio, en pesetas, que la acción de una empresa alcanza en el transcurso de una sesión de
Bolsa, viene dado por la función p(t)= 40t3 - 420t2 + 1200t + 200, en donde t es el tiempo en
horas a contar desde el inicio de la sesión. Supongamos que la sesión comienza a las 10 de la
mañana y finaliza 7 horas después. Se pide: (a) ¿Entre qué horas el precio de la acción sube?
(B) ¿Entre que horas el precio de la acción baja? (c) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza
un máximo relativo? ¿Cuál es este valor? (d) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza un valor mínimo relativo? ¿Cuál es este valor? (e) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza su valor más grande? ¿Cuál es ese valor?
23) Estudiar y representar las siguientes funciones:
1
1
2) f (x) = x 3 − 2x 2 − x + 2
3) f (x) = x 4 − x 2
1) f (x) = 3x 2 − 2x + 5
4
2
2
x
x −1
−6x
5) f (x) = 2
6) f (x) =
7) f (x) = 2
4) f (x) = x 4 − 6x 2
x −1
x
x +1
3
3
x
x
x
1
9) f (x) = 2
10) f (x) = 2
11) f (x) = 2
8) f (x) =
2
(x − 1)
x −1
X −4
x +1
1
4x
ln x
x
13) f (x) =
14) f (x) =
15) f (x) =
12) f (x) =
2
2
1− x
(x + 2)
x
ln x
16) f (x) = ln(x 2 − 2x)
17) f (x) = x.ln x
18) f (x) = e − x
20) f (x) = senx + cos x
Pág 26
2
19) f (x) =
ex
x