Guía No4: Números complejos.

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Universidad de Talca
Instituto de Matemática y Física
Campus Talca
2
2
2
Como el número 1 se denomina número real unitario y la ecuación dada
Álgebra
puede escribirse como x 3 5 1, a estas tres soluciones se les llama raíces cúo
Carrera:
Agronomía
N
4:
Números
complejos.
bicas de la unidad.
Guía
L
Sección B
En la sección 1.3 mencionamos que x 2 1 es irreducible sobre los números reales pero, si factorizamos sobre los números complejos, entonces
x 2 1 se
puede factorizar como
sigue:
Resolver los ejercicios de la sección 2.4 del texto “Álgebra
y trigonometría,
con geometría
analítica” de Swokowski y Cole, 12a edición.
1 5 sx
x2
idsx 2 id
Ejercicios a resolver: 1 al 22, 25, 26, 33, 34, 37, 38, 43 al 46, 51, 53.
2.4
Ejercicios
Ejer. 1-34: Escriba la expresión en la forma a
y b son números reales.
1 s5 2 2id
s23
6id
2 s25
bi, donde a
s4
7id
3 s7 2 6id 2 s211 2 3id
4 s23
8id 2 s2
5 s3
6 s22
6ids8 2 id
5ids2 2 7id
7 s1 2 3ids2
5id
9 s5 2 2id2
8 s8
10 s6
13 s3
4ids3 2 4id
14 s4
9ids4 2 9id
15 (a) i43
(b) i220
16 (a) i 92
(b) i233
17 (a) i73
(b) i246
18 (a) i66
(b) i255
21
4i
1 2 7i
6 2 2i
20
5
2 2 7i
22
2 9i
23 2 i
40 x 2 2 2x
26 5 0
41 x 2
13 5 0
42 x 2
8x
17 5 0
43 x 2 5x
20 5 0
44 x
2
3x
650
45 4x 2
350
46 23x 2
2
47 x 3
x
49 27x 3 5 sx
x2550
48 x 3 2 27 5 0
125 5 0
26
22
6i
3i
d
32
2236 2249
34
2216
5 2 22121
2225
1
2225
2216 2281
Ejer. 35-38: Encuentre los valores de x y y, donde x y y son
números reales.
sx
2ydi 5 x
53 4x 4
55 x 3
s3x
36 sx 2 yd
2i
3i 5 7
4yi
O t2
r o 4i
s tipos de ecuaciones
ydi2 .55 2x
25x 2
3x 2
yi
36 5 0
54 27x 4
21x 2
103
450
4x 5 0
56 8x 3 2 12x 2
2x 2 3 5 0
Ejer. 57-62: Verifique la propiedad.
57 z
w5z
w
59 z ? w 5 z ? w
58 z 2 w 5 z 2 w
60 z!w 5 z!w
61 z 5 z si y sólo si z es real.
5d3
62 z 2 5 s z d2
50 16x 4 5 sx 2 4d4
51 x 4 5 256
ds
2225 8 2 2236
2281
7 2 2264
38 8
13 5 0
4x
33
4
37 s2x 2 yd 2 16i 5 10
39 x 2 2 6x
23 2 2i
5 2i
28 s3 2 2id3
5id3
30 s 23
35 4
Ejer. 39-56: Encuentre las soluciones de la ecuación.
24
29 s 2 2 224 ds 3 2 2216 d
31
2
3
4 2 2i
25i
3id
7id2
12 is2 2 7id
2
25
9id
2ids7 2 3id
4id
19
24
2
27 s2
11 is3
2
6i
7i
23
52 x 4 5 81
2.5
Otros tipos de ecuaciones
Las ecuaciones consideradas en secciones previas son inadecuadas para muchos problemas. Por ejemplo, en aplicaciones a veces es necesario considerar
potencias x k con k ! 2. Algunas ecuaciones comprenden valores absolutos o
radicales. En esta sección damos ejemplos de ecuaciones de estos tipos que se
pueden resolver usando métodos elementales.
EJEMPLO 1
Resolver una ecuación que contenga un valor absoluto
Resuelva la ecuación x 2 5 5 3.
SOLUCIÓN
Si a y b son números reales con b ! 0, entonces a 5 b si y
81 (a) 0; 24,500,000
(b) 2.13 $ 1027
83 (a) s2d
(b) 47.65 F
Respuestas a ejercicios impares
(e) No hay solución
53 l 5
EJERCICIOS 2.4
1 2 ! 4i
EJERCICIOS SELECCIONADOS
6909 pies
47
2
3
9 3
5 2 ,
2 4
34
13 2
5
a solución de x 5 4.
1 3 & 217
(c) &12
57
(b) Sí
23 22 &
1
211
2
1 2
,
2 3
1
4
222
&
37
3
3
9
43 No hay soluciones reales
2
7 (2x 2 3)(6x ! 1)
21
(b) y 5 22x & 28x 2 ! 1
2%h ! 2% 2h2 ! 2%A
2%
d
6.9 cm
57 2150"%
después de 3 s
(b) Después de 4 s
96.86 C
63 2 pies
5
1
214
2
mi o 3 2
1.1 mi
! 4t ! 1
(b) 3:30 p.m.
73 7 mi"h
75 300 pares
(b) 2.13 $ 1027
5F
5 41 2 11i
4
7 17 2 i
13 25
4 2 7i
!
59
31 2
1
241
4
i
51
(d) &7
& 25
&
2 1
7 2 ,
3 5
15 (a) 2i
3
3
2 i
10
5
21
19
4
i
5
27 2142 2 65i
95
21
21
1
2i
2
13 25
11 224 2 7i
(b) 21
17 (a) i
34 40
! i
53 53
19
7 17 2 i
15 (a) 2i
3
3
2 i
10
5
21
1
2i
2
25
5
1
1
1
&
255 i
247 i
45 2 &
2
2
8
8
5
5
25
15
5
&
23 i
23 i
25, &
49 , 2
2
2
2 26
26
3
3
1
27 i
&4, &4i
i
53 &2i, &
55 0, 2 &
2
2
2
z ! w 5 sa ! bid ! sc ! did
sa ! cd ! sb ! ddi 5 sa ! cd 2 sb ! ddi
sa 2 bid ! sc 2 did 5 z ! w
z ? w 5 sa ! bid ? sc ! did
sac 2 bdd ! sad ! bcdi
sac 2 bdd 2 sad ! bcdi
ac 2 adi 2 bd 2 bci
asc 2 did 2 bisc 2 did
sa 2 bid ? sc 2 did 5 z ? w
Si z 5 z, entonces a 2 bi 5 a ! bi y por tanto 2 bi 5 bi,
o 2bi 5 0. Así, b 5 0 y z 5 a es real. Inversamente,
si z es real, entonces b 5 0 y por tanto
z 5 a ! 0i 5 a 2 0i 5 a ! 0i 5 z.
41 22 & 3i
39 37 F
5 41 2 11i
4
2
! i 27 2142 2 65i
5
5
44
95
21
!
i
i
29 22 2 14i
31 2
33
113 113
2
37 x 5 3, y 5 24
39 3 & 2i
35 x 5 4, y 5 21
23
61
43
EJERCICIOS 2.5
1 215, 7
55 h 5
59 9.16 pies"sec
3 18 2 3i
9 21 2 20i
(b) 1
gT 2
4% 2
3 2
2
,2
3
5 No hay solución
2
, 2
3
9
15
5
7 &
1
5
57
26, 2 , 0
13 2
11 0, 25
2
2
5
1
262
21 6
23 5, 7
25 23
17 &
19 6
2
5
27 21
29 2
31 3
33 0, 4
35 &3, &4
4
1
8
, 28
37 & #70 & 10 229
39 &2, &3
41
10
27
16
8
1
2
4
,
43
45 2
47 2 , 2
49 0, 4096
9
27 125
3
3
51 (a) 8
(b) &8
(c) No hay solución real
(d) 625
(e) No hay solución
gT 2
1
2S 2 2 % 2r 4
53 l 5
55 h 5
57 h
97% of L
4% 2
%r
432
10.3 cm
61 $4.00
63 2 3
59 9.16 pies"sec
%
65 53.4%
67 Hay dos posibles rutas, correspondientes a x
0.6743
millas y x 2.2887 millas
69 (a) s2d
(b) 860 min
71 3.7 $ 3.7 $ 1.8
9 &
!
EJERCICIOS 2.6
1 (a) 22 # 2
(b) 211 # 27
(c) 2
7
# 21
3
1
2S 2 2 %
%r
61 $4.00
6
65 53.4%
67 Hay dos posibles rutas, correspon
millas y x
69 (a) s2d
2.2887 millas
(b) 860 min
71
EJERCICIOS 2.6
1 (a) 22 # 2
(d) 1 #
7
3
(b) 211 # 27