Guía 3 - Universidad de Talca

Universidad de Talca
Instituto de Matemática y Física
Campus Talca
Álgebra
Carrera: Agronomía
o
Guía N 3: Ecuaciones cuadráticas.
Resolver los ejercicios de la sección 2.3 del texto “Álgebra y trigonometría, con geometría analítica” de Swokowski y Cole, 12a edición
(la de internet). En la biblioteca está la 11a edición, también lo pueden usar como referencia.
Ejercicios a resolver: # 1 al 10, 15, 25, 26, 31 al 39, 43, 49 al 54, 57, 58, 61, 65, 71, 72.
91
2.3 Ecuaciones cuadráticas
2.3
Ejercicios
1 6x 2 ! x 2 12 5 0
3
4
3
22,
3 15x 2 2 12 5 28x 2 56 , 23
2
1
5
2
3
4
11
7
4
(b) x 2 2 6x ! d 9
10 (d) x 2 ! dx !
81
4
d5
9
Ejer. 27-30: Resuelva completando el cuadrado. (Nota: Vea
la exposición después del ejemplo 5 como ayuda para resolver los ejercicios 29 y 30.)
8 48x 2 ! 12x 2 90 5 0
27 x 2 ! 6x ! 7 5 0
3
5
22
5
4
2
10 4x 2 72x ! 324 5 0 9
28 x 2 2 8x ! 11 5 0
22
23
3
2
30 4x 2 ! 20x ! 13 5 0
5
22
25
23
Ejer. 31-44: Resuelva usando la fórmula cuadrática.
12
5x
3
26
! !25 2
x22
x
x 2 2x
13
5x
4
90
34
!
5 2
25
x23
x!3
x 29
1
31 6x 2 2 x 5 2 2 2 ,
1
7
37
1
4
3 2
2z
4
3
(b) x 5 29, x 5 3 Yes
No, 24 is not a solution of x 5 4.
(b) x 5 264, x 5 8 Yes
No, 25 is not a solution of x 5 5.
Ejer. 17-24: Resuelva la ecuación usando la ecuación cuadrática especial de la página 82.
13
19 25x 2 5 9
3
5
18 x 2 5 361
3
217
24
22
1
2
25 (a) x 2 ! 9x ! d
(c) x 2 ! dx ! 36
1
2
215
41 4x 2 ! 81 5 36x
9
2
38
5 2
3s
1
6
5x
5 21
43 2
x !9
No real solutions
40
54 s 5 12 gt 2 " v 0 t despeje t
t5
221
x22
x!1
5
3x ! 2 2x 2 3
3
2
1
2
(distancia que cae
un objeto)
2v 0 " 2v " 2gs
g
55 Velocidad de un gas Cuando un gas caliente sale de una
chimenea cilíndrica, su velocidad varía en toda una sección
circular de la chimenea, con el gas cerca del centro de la
sección transversal teniendo una mayor velocidad que el gas
cerca del perímetro. Este fenómeno puede ser descrito por
la fórmula
r
r0
1
4
44 7 x 2 ! 1 5 7 x
(b) ¿Cuándo regresará al suelo? After 4 sec
60 Distancia de frenado La distancia que un auto recorre entre
el momento en que el conductor toma la decisión de pisar el
freno y el tiempo en que el auto en realidad se detiene es la
distancia de frenado. Para un cierto auto que corre a v mi/h,
la distancia de frenado d (en pies) está dada por d 5 v "
(v2/20).
,
(a) Encuentre la distancia de frenado cuando v es 55 mi/h.
56 Densidad de la atmósfera Para altitudes h de hasta 10,000
metros, la densidad D de la atmósfera de la Tierra (en
kg/m3) se puede aproximar con la fórmula
61 Temperatura de agua hirviendo La temperatura T (en #C) a
la que el agua hierve está relacionada con la elevación h (en
metros sobre el nivel del mar) por la fórmula
D 5 1.225 2 s1.12 ! 1024dh " s3.24 ! 1029dh2.
No real solutions
h 5 1000s100 2 Td " 580s100 2 Td2
Aproxime la altitud si la densidad de la atmósfera es 0.74
kg/m3. 5076 m
57 Dimensiones de una lata Un fabricante de latas desea construir una lata cilíndrica circular recta de altura 20 centímetros y capacidad 3000 cm3 (vea la figura). Encuentre el
radio interior r de la lata. 2150 ! 6.9 cm
2
46 x ! 7x
x(x ! 7)
48 15x 2 ! 34x 2 16
(5x 2 2)(3x ! 8)
Ejercicio 57
50 2x 2 2 xy 5 3y 2 ! 1
(energía cinétrica) v 5
(a) ¿Cuándo estará la pelota a 48 pies sobre el suelo?
(b) Si un conductor decide frenar a 120 pies de un señalamiento de parada, ¿qué tan rápido puede ir el auto y todavía detenerse en el momento en que llegue al señalamiento?
para 95 $ T $ 100.
(a) ¿A qué elevación hierve el agua a una temperatura de
98#C?
(b) La altura del Monte Everest es aproximadamente 8840
metros. Estime la temperatura a la que el agua hierve
en la cima de esta montaña. (Sugerencia: Use la fórmula cuadrática con x 5 100 2 T.)
62 Ley de Coulomb Una partícula de carga 21 está colocada en
una recta de coordenadas en x 5 22 y una partícula de
carga 22 está colocada en x 5 2, como se ve en la figura.
Si una partícula de carga "1 está colocada en una posición
x entre 22 y 2, la ley de Coulomb en teoría eléctrica expresa
20 cm
1
51 K 5 2 mv 2 despeje v
59 Tiro de una pelota de beisbol Una pelota de beisbol es lanzada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de
64 ft/s. El número de pies s sobre el suelo después de t segundos está dado por la ecuación s 5 216t2" 64t.
donde Vmáx es la velocidad máxima del gas, r0 es el radio de
la chimenea y V es la velocidad del gas a una distancia r del
centro de la sección transversal circular. De esta fórmula,
despeje r. r 5 r 0 21 2 sV V max d
Ejer. 51-54: Despeje la variable especificada.
7
2
213
42 24x ! 9 5 216x 2
58 Construcción de una caja rectangular Consulte el ejemplo
12. Una caja sin tapa ha de construirse al cortar cuadrados
de 3 pulgadas de las esquinas de una lámina rectangular de
hojalata cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Una lámina
de qué medidas producirá una caja que tenga un volumen de
60 pulg3? 8 in. by 16 in.
After 1 sec and after 3 sec
2
0
" # $%
! 3s ! 1 5 0
1
10
(área superficial de un cilindro cerrado)
2 h" 2 h "2 A
2
V 5 V máx 1 2
Ejer. 49-50: Use la fórmula cuadrática para despejar (a) x
en términos de y y (b) y en términos de x.
49 4x 2 2 4xy ! 1 2 y 2 5 0
r5
213
2 43
(2x 2 3)(6x ! 1)
231
(d) x 2 ! dx ! 49
4
5
2
2 65
2109
(x ! 6)(x 2 5)
(b) x 2 2 8x ! d 16
12
gmM
F
36 3x 2 ! 5x ! 1 5 0
222
47 12x 2 2 16x 2 3
Ejer. 25-26: Determine el valor o valores de d que completen el cuadrado para la expresión.
81
4
1
3
5
10
!250
2
w2
w
45 x ! x 2 30
24 9sx 2 1d2 5 7
1 13 27
211
2 4z 2 1 5 0
2
7
4
22 sx ! 4d2 5 31
23 4sx ! 2d2 5 11
241
Ejer. 45-48: Use la fórmula cuadrática para factorizar las
expresiones.
19
20 16x 2 5 49
21 sx 2 3d2 5 17
39
2 23
3
35 2x2 2 3x 2 4 5 0
3
4
2
32 5x 2 ! 13x 5 6 23, 5
34 x 2 2 6x 2 3 5 0
22
22
Ejer. 15-16: Determine si las dos ecuaciones son equivalentes.
17 x 2 5 169
2
3
33 x 2 ! 4x ! 2 5 0
3x
1
24
1
14
!
5 2
2
x22
x!2
x 24 3
16 (a) x 2 5 25, x 5 5
&
2 2
25
4
29 4x 2 2 12x 2 11 5 0
2x
5
18
1
! 245 2
2
x!3
x
x ! 3x 2
15 (a) x 2 5 16, x 5 4
(ley de Newton de
gravitación)
53 A 5 2 rsr " hd despeje r
6 xs3x ! 10d 5 77 27, 113
22 ,
9 12x ! 60x ! 75 5 0
(c) x 2 ! dx ! 25
mM
despeje d
d2
4 15x 2 2 14 5 29x 2 52 , 73
7 75x 2 ! 35x 2 10 5 0
23 ,
169
4
26 (a) x 2 ! 13x ! d
2 4x 2 ! x 2 14 5 0
5 2xs4x ! 15d 5 27 2 29 ,
CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES
52 F 5 g
Ejer. 1-14: Resuelva la ecuación por factorización.
22 ,
92
2K
m
r
2.3 Ecuaciones cuadráticas
que la fuerza neta F que actúa sobre esta partícula está dada
por
F5
sx
2k
2d2
Ejercicio 67
2k
s2 2 xd2
A
P
para alguna constante k ! 0. Determine la posición en la
que la fuerza neta es cero.
B
Ejercicio 62
21
22
93
5 mi
1
x
22
2
63 Dimensiones de una banqueta Un terreno rectangular que
tiene dimensiones de 26 por 30 pies está rodeado por una
banqueta de ancho uniforme. Si el área de la banqueta es de
240 ft2, ¿cuál es su ancho?
64 Diseño de un cartel Una hoja de papel de 24 por 36 pulgadas se va a usar para un cartel, con el lado más corto en la
parte inferior. Los márgenes de los lados y la parte superior
van a tener el mismo ancho y el margen inferior va a tener
el doble de ancho que los otros márgenes. Encuentre el
ancho de los márgenes si el área impresa va a ser de 661.5
pulg2.
68 Expansión de una ciudad Los límites de una ciudad son de
forma circular con un diámetro de 10 millas. En la última
década, la ciudad ha crecido en superficie en aproximadamente 16p millas cuadradas (unas 50 mi2). Suponiendo que
la ciudad siempre tiene forma circular, encuentre el cambio
correspondiente en distancia del centro de la ciudad a su límite.
69 Distancia entre aviones Un avión que vuela al norte a 200
mi/h pasó sobre un punto en tierra a las 2:00 p.m. Otro
avión a la misma altitud pasó sobre el punto a las 2:30 p.m.,
volando al este a 400 mi/h (vea la figura).
(a) Si t denota el tiempo en horas después de las 2:30 p.m.,
exprese la distancia d entre los aviones en términos
de t.
(b) ¿A qué hora después de las 2:30 p.m. estaban los aviones a 500 millas entre sí?
Ejercicio 69
65 Instalación de una cerca en un jardín Un jardín cuadrado se
va a cultivar y luego a cerrar con una cerca. Si ésta cuesta
$1 por pie y el costo de preparar el suelo es de $0.50 por ft2,
determine el tamaño del jardín que pueda encerrarse a un
costo de $120.
CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES
71 Construcción de una caja para pizza Una caja para pizza,
con base cuadrada, se va a construir a partir de una hoja rectangular de cartón al cortar seis cuadrados de 1 pulgada de
las esquinas y las secciones medias y doblando los lados
(vea la figura). Si el área de la base debe ser de 144 pulg2,
¿de qué tamaño debe ser la pieza de cartón a usarse?
Ejercicio 71
1
1
1
1
(a) Encuentre el diámetro de la segunda pastilla para que
su área superficial sea igual a la de la primera pastilla.
1
Ejercicio 78
2 cm
1
1
1
0.5 cm
1
72 Construcción de marcos de alambre Dos marcos cuadrados
se van a construir de un alambre de 100 pulgadas de largo.
Si el área encerrada por un marco debe ser de la mitad del
área encerrada por el otro, encuentre las dimensiones de
cada marco. (No considere el grueso del alambre.)
73 Rapidez de navegar en canoa La rapidez de la corriente en
un arroyo es de 5 mi/h. A un hombre que viaja en canoa le
lleva 30 minutos más remar 1.2 millas corriente arriba que
remar la misma distancia corriente abajo. ¿Cuál es la rapidez del hombre en aguas en calma?
75 Descuento por cantidad Una compañía vende zapatos para
correr a un distribuidor en $40 el par si éste pide menos de
50 pares; si pide 50 pares o más (hasta 600), el precio por
par se reduce a un ritmo de $0.04 veces el número pedido.
¿Cuántos pares puede comprar el distribuidor por $8400?
70 Alcance de un radio de comunicaciones Dos topógrafos con
radios de comunicación salen del mismo punto a las 9:00
a.m., uno de ellos camina al sur a 4 mi/h y el otro al oeste a
3 mi/h. ¿Cuánto tiempo se pueden comunicar entre sí si
cada radio tiene un alcance máximo de 2 millas?
78 Dimensiones de una pastilla de vitaminas La rapidez a la
que una pastilla de vitamina C empieza a disolverse depende de su área superficial. Una marca de pastillas mide 2
centímetros de largo y tiene forma de cilindro con una semiesfera de 0.5 cm de diámetro unida en cada uno de sus
extremos, como se ve en la figura. Una segunda marca de
pastilla se va a fabricar en forma de cilindro circular recto
de 0.5 cm de altura.
(b) Encuentre el volumen de cada pastilla.
1
74 Altura de un acantilado Cuando una piedra se tira desde un
acantilado hacia el mar, recorre aproximadamente 16t2 pies
en t segundos. Si su caída en el agua se escucha 4 segundos
más tarde y la velocidad del sonido es de 1100 pies/s, aproxime la altura del acantilado.
66 Instalación de una cerca en un lugar Un agricultor piensa
poner cerca a un lugar rectangular, usando parte de su granero en un lado y cerca para los otros tres lados. Si el lado
paralelo al granero va a tener el doble de largo que un lado adyacente y el área del lugar va a ser de 128 ft2, ¿cuántos pies de cerca debe comprar?
67 Planeación de una autopista Los límites de una ciudad son
de forma circular de 5 millas de diámetro. Como se ve en la
figura, una carretera recta pasa por el centro de la ciudad de
A a B. El departamento de carreteras está pensando construir una autopista de 6 millas de largo del punto A al P en
las afueras y luego al B. Encuentre la distancia de A a P.
(Sugerencia: APB es un triángulo recto.)
94
76 Precio de un reproductor de CD Cuando una popular marca
de reproductores de CD tiene un precio de $300 por unidad,
una tienda vende 15 unidades por semana. No obstante,
cada vez que el precio se reduce en $10 las ventas aumentan en 2 por semana. ¿Qué precio de venta resultará en ingresos semanales de $7000?
77 Dimensiones de un barril de petróleo Se va a fabricar un
barril de petróleo, con forma de un cilindro circular recto
cerrado de 4 pies de altura, de modo que el área superficial
total sea de 10p ft2. Encuentre el diámetro del barril.
Ejer. 79-80: Durante una explosión nuclear se produce una
bola de fuego con volumen máximo V 0. Para temperaturas
abajo de 2000 K y dada una fuerza explosiva, el volumen V
de la bola de fuego t segundos después de la explosión se
puede estimar usando la fórmula dada. (Nótese que el kelvin se abrevia como K, no "K.) Aproxime t cuando V sea
95% de V 0.
0.0000281t 2 15.89 sec
79 V V 0 5 0.8197 0.007752t
(explosión de 20 kilotones)
80 V V 0 5 0.831 0.00598t 0.0000919t 2 15.98 sec
(explosión de 10 megatones)
Ejer. 81-82: Cuando se realizan cálculos en una calculadora,
la fórmula cuadrática no siempre dará resultados precisos
si b2 es grande en comparación con ac, porque una de las
raíces será cercana a cero y difícil de aproximar.
(a) Use la fórmula cuadrática para aproximar las raíces de
la ecuación dada.
(b) Para obtener una mejor aproximación para la raíz cercana a cero, racionalice el numerador para cambiar
x5
2b ! 2b2 2 4ac
2a
a
x5
2c
2b
2b2 2 4ac
y use la segunda fórmula.
81 x 2
4,500,000x 2 0.96 5 0
2.13 ! 1027
0; 24,500,000
82 x 2 2 73,000,000x
2.01 5 0
,
33 36 min
35 27
a ejercicios
impares
37 (a) 40.96Respuestas
F
(b) 6909
pies
39
37 F
41 22 & 3i
EJERCICIOS 2.3
47
3 4
6 2
9 3
2 1
,
3 2 ,
5 2 ,
7 2 ,
2 3
5 3
2 4
3 5
5
1
34
2
11 2
13 2
2
2
5
(b) Sí
(a) No, 24 no es una solución de x 5 4.
3
1
19 &
21 3 & 217
23 22 &
&13
211
5
2
81
(c) &12
(d) &7
(a)
(b) 16
4
3
1 2
& 25
23 & 22
29
31 2 ,
2
2 3
1
1
3
4
22 & 22
241
222
&
&
35
37
4
4
3
3
9
5
1
&
215
41
43 No hay soluciones reales
2
2
2
(x ! 6)(x 2 5)
47 (2x 2 3)(6x ! 1)
2
y & 22y 2 1
(a) x 5
(b) y 5 22x & 28x 2 ! 1
2
2K
2%h ! 2% 2h2 ! 2%A
v5
53 r 5
m
2%
r 5 r0 21 2 sV"Vmaxd
6.9 cm
57 2150"%
(a) Después de 1 s y después de 3 s
(b) Después de 4 s
(a) 4320 m
(b) 96.86 C
63 2 pies
12 pies por 12 pies
1
1
3!
214
4.9 mi o 3 2
214
1.1 mi
2
2
(a) d 5 100 220t 2 ! 4t ! 1
(b) 3:30 p.m.
14 pulg por 27 pulg
73 7 mi"h
75 300 pares
2 pies
79 15.89 s
(a) 0; 24,500,000
(b) 2.13 $ 1027
(a) s2d
(b) 47.65 F
1 2
51
9
57
15
17
25
27
33
39
45
49
51
55
59
61
65
67
69
71
77
81
83
!
EJERCICIOS 2.4
1 2 ! 4i
9 21 2 20i
(b) 1
3 18 2 3i
5 41 2 11i
11 224 2 7i
17 (a) i
34 40
! i
53 53
61
EJERCICIOS 2.5
1 215, 7
3 2
(b) 21
13 25
3
3
2 i
19
10
5
7 17 2 i
15 (a) 2i
1
2i
21
2
25
2
,2
3
5 No ha
1
5
26, 2 , 0
11 0, 25
2
2
1
262
21 6
17 &
19 6
2
5
27 21
29 2
31 3
33
4
1
37 & #70 & 10 229
39 &2
10
16
8
1
,
43
45 2
47 2
9
27 125
51 (a) 8
(b) &8
(c) No hay
(e) No hay solución
gT 2
1
2S 2 2 %
53 l 5
55 h 5
2
4%
%r
9 &
59 9.16 pies"sec
4
2
! i 27 2142 2 65i
5
5
44
95
21
!
i
i
29 22 2 14i
31 2
33
113 113
2
37 x 5 3, y 5 24
39 3 & 2i
35 x 5 4, y 5 21
23
59
5
1
&
255 i
2
2
5
5
2
5
23 i
25, &
49 , 2
2
2
2 2
3
&4, &4i
i
53 &2i, &
2
z ! w 5 sa ! bid ! sc ! did
sa ! cd ! sb ! ddi 5 s
sa 2 bid ! sc 2 did 5
z ? w 5 sa ! bid ? sc ! did
sac 2 bdd ! sad ! bcdi
sac 2 bdd 2 sad ! bcdi
ac 2 adi 2 bd 2 bci
asc 2 did 2 bisc 2 did
sa 2 bid ? sc 2 did 5 z ?
Si z 5 z, entonces a 2 bi 5 a !
o 2bi 5 0. Así, b 5 0 y z 5 a es
si z es real, entonces b 5 0 y por
z 5 a ! 0i 5 a 2 0i 5 a ! 0i 5
43
61 $4.00
6
65 53.4%
67 Hay dos posibles rutas, correspon
millas y x 2.2887 millas
69 (a) s2d
(b) 860 min
71
EJERCICIOS 2.6
1 (a) 22 # 2
(d) 1 #
7
3
(b) 211 # 27