020 S(t) = - t3 + 36t2 - 420t + 1596 11 ≤ t ≤ 15 El enunciado no

Curso ON LINE
020
Tema 10
Una cadena de televisión ha presentado un nuevo programa para la franja de las 11 a las 15
horas. El share o porcentaje de audiencia de la primera emisión vino dado por la siguiente
función, donde S(t) representa el share en el tiempo t, en horas. Para que el programa siga
emitiéndose el share ha tenido que alcanzar en algún momento el 30%.
S(t) = - t3 + 36t2 - 420t + 1596
11 ≤ t ≤ 15
(a) Indica cuándo creció el share y cuándo decreció. ¿El programa seguirá emitiéndose?.
(b) Dibuja la gráfica del share.
BH2
PAU
OVIEDO
Sept.
2004
S(t) = - t3 + 36t2 - 420t + 1596
11 ≤ t ≤ 15
El enunciado no está expresado correctamente; del contexto del problema deducimos un
cambio en la interpretación del valor de t.
t ≡ "horario en el que se está emitiendo el programa".
S(t) ≡ "Share o porcentaje de audiencia en cada momento".
RESOLUCIÓN apartado (a)
Vamos a estudiar el crecimiento de la función; para ello estudiaremos su derivada primera:
S(t) sea estrictamente creciente Æ S'(t) > 0 ; S(t) sea estrictamente decreciente Æ S'(t) < 0
S'(t) = - 3t2 + 72t - 420
11 ≤ t ≤ 15
Estudiamos el signo de dicha expresión para lo que factorizamos:
- 3t2 + 72t - 420 = 0
x1 = 10
;
x2 = 14
- 3 (x - 10) (x - 14)
Estos 2 valores determinan 3 intervalos en la recta real:
¿?
¿?
¿?
10
- 3 (x - 10) (x - 14)
14
S'(t)
ℜ
S(t)
x < 10
- · - · - Æ -
S'(t) < 0 Estrictamente decreciente
10 < x < 14
- · + · - Æ +
S'(t) > 0
x > 14
- · + · + Æ -
S'(t) < 0 Estrictamente decreciente
Estrictamente creciente
Para 11 ≤ t ≤ 15, la función será creciente a partir desde que se empieza a emitir a las 11, hasta las
14 horas, momento en el que empieza a decrecer, hasta que deja de emitirse a las 15 horas. Se supone
que alcanza un máximo a las 14 horas.
Veamos cuál es el valor que tiene a las 14 horas para ver si alcanza ese share del 30%.
S(t) = - t3 + 36t2 - 420t + 1596
S(14) = - 143 + 36·142 - 420·14 + 1596 = 28
El programa no se seguirá emitiendo ya que alcanza un share máximo del 28%.
RESOLUCIÓN apartado (b)
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