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Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
INTERPOLACIÓN
INTERPOLACIÓN
(Sobre
(Sobre polinomios)
polinomios)
Prof. Arturo Hidalgo López
Prof. Alfredo López Benito
Prof. Carlos Conde Lázaro
Marzo, 2007
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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Ingeniería de Minas
OBJETIVOS
OBJETIVOS
1º. Conocer el problema general de interpolación polinomial
2º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange a través de la
resolución de un sistema de ecuaciones
3º. Conocer y definir los polinomios de base de Lagrange del
espacio de polinomios de grado menor o igual que n asociados
a un soporte de (n+1) puntos distintos.
4º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange utilizando los
polinomios de base de Lagrange.
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Polinomios
Polinomios reales
reales de
de variable
variable real
real
La función x Æ 14 – 17·x + 5·x2
¿es un polinomio?
SI
La función x Æ sin(14) – 17·sin(x) + 5·x2 ¿es un polinomio?
NO
La función x Æ 1+ sin(x) –2·ln(x)·sin2(x) ¿es un polinomio?
NO
Son polinomios reales de variable real todas aquellas funciones
que se pueden expresar en la forma:
x Æ a0 ·1 + a1· x + a2· x2 + ….. + an· xn
donde:
a0, a1, …., an
son números reales
{1, x, x2, ……, xn} forman la base de los monomios
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Polinomios
Polinomios reales
reales
El conjunto de todos los polinomios de grado menor o
igual que n está formado por todos los polinomios de
la forma:
x Æ a0
+ a1· x + a2· x2 + ….. + an· xn
y se denota por Pn
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Polinomios
Polinomios reales
reales
Se pueden sumar polinomios de Pn:
x Æ a0
+ a1· x + a2· x2
+
x Æ b0
+ b1· x + b2· x2
+ ….. + an· xn
+ ….. + bn· xn
x Æ (a0+b0) +(a1+b1)·x+(a2+b2)·x2+….. +(an+bn)·xn
… y el resultado es otro polinomio de Pn
Se puede multiplicar un polinomio de Pn por un número real
x Æ a0
+ a1· x + a2· x2 + ….. + an· xn
α
x Æ (α·a0) +(α·a1)·x+(α·a2)·x2+….. +(α·an)·xn
… y el resultado es otro polinomio de Pn
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Polinomios
Polinomios reales
reales
El que
1º) la suma de polinomios de Pn sea otro polinomio de Pn
2º) la multiplicación de un polinomio de Pn por un número
real sea otro polinomio de Pn
se expresa diciendo que Pn tiene estructura de ESPACIO
VECTORIAL
Ejercicio propuesto:
¿EL conjunto formado por todos los polinomios de grado
IGUAL a n es también un espacio vectorial?
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Polinomios
Polinomios reales
reales
El que Pn sea un espacio vectorial tiene otras
consecuencias. La principal es que todo polinomio de Pn
puede expresarse de forma única y exclusiva en función
de cualquier BASE de Pn.
+ a1· x + a2· x2 + ….. + an· xn
x Æ a0
donde: a0, a1, …., an
son los COEFICIENTES
(números reales mediante los que se identifica el polinomio
en la BASE
{1, x, x2, ……, xn} )
Y una base no es más que un conjunto de (n+1) polinomios
de Pn escogidos de forma que cualquiera de ellos no pueda
obtenerse sumando los demás, ni aún en el caso de que
cada uno de ellos se multiplique por un número real.
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Polinomios
Polinomios reales
reales
La función x Æ 14 – 17·x + 5·x2
¿es un polinomio?
La función x Æ 2 + 3·(x-1) + 5·(x-1)·(x-3)
SI
¿es un polinomio?
2+3·(x-1)+5·(x-1)·(x-3) = 2+3·x-3 +5·(x2 -4·x + 3) =
= 14 – 17·x + 5·x2
SI
Y, ADEMÁS ES EL MISMO POLINOMIO.
Se está utilizando una base de P2 distinta a
la de los monomios
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Polinomios
Polinomios reales
reales
EJERCICIO
Dados (n+1) abscisas distintas {x0, x1, …., xn) demostrar
que:
{1, (x-x0), (x-x0)·(x-x1), …., (x-x0)·(x-x1)·…·(x-xn)}
son una base de Pn
PARA DEMOSTRARLO OBSERVEMOS QUE LOS (n+1)
POLINOMIOS SON DE Pn Y RECORDEMOS QUE ….
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Polinomios
Polinomios reales
reales
Un polinomio no nulo de grado 0 (es decir, x Æ a0 ≠0)
se representa por una recta horizontal que no corta al
eje de abscisas Æ Tiene 0 raíces
Un polinomio no nulo de grado ≤1 (es decir, x Æa0+a1·x)
se representa por una recta que a lo sumo corta al
eje de abscisas una vez Æ Tiene, a lo sumo, una raíz
Un polinomio no nulo de grado ≤2 se representa por una
parábola (o una recta si el coeficiente en x2 es nulo)
que a lo sumo corta al eje de abscisas dos veces
Æ Tiene, a lo sumo, dos raíces
Un polinomio no nulo de grado ≤m …………….
Æ Tiene, a lo sumo, m raíces
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Polinomios
Polinomios reales
reales
1 Æ No se anula en xm
Cualquier combinación de ellos se
NO será de grado (m+1) por lo que
(x-x0) Æ Se anula en x0 pero no xm
NO puede dar como resultado
(Grado 1)
……………………………
el polinomio p
(Grado 0)
(x-x0)·…·(x-xm-1) Æ Se anula en x0, …, xm-1, pero NO se anula en xm
(Grado m)
p: (x-x0)·…·(x-xm-1)·(x-xm) Æ Se se anula en x0, …, xm-1, xm
(Grado m+1)
(x-x0)·…·(x-xm-1)·(x-xm)·(x-xm+1) Æ Se se anula en
(Grado m+2) x0, …, xm-1, xm, xm+1
……………………………
(Grado n)
(x-x0)·…·(x-xn)Æ Se se anula en x0, …, xm-1, xm, xm+1, …,xn
Cualquier combinación de ellos se anula en x0, …, xm-1, xm y xm+1
por lo que NO puede dar como resultado el polinomio p
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Polinomios
Polinomios reales
reales
1 Æ No se anula en xm
Cualquier combinación de ellos
será de grado distinto a (m+1) por lo
(x-x0) Æ Se anula en x0 pero no xm
que NO puede dar como resultado
(Grado 1)
……………………………
el polinomio p
(Grado 0)
(x-x0)·…·(x-xm-1) Æ Se anula en x0, …, xm-1, pero NO se anula en xm
(Grado m)
p: (x-x0)·…·(x-xm-1)·(x-xm) Æ Se se anula en x0, …, xm-1, xm
(Grado m+1)
(x-x0)·…·(x-xm-1)·(x-xm)·(x-xm+1) Æ Se se anula en
(Grado m+2) x0, …, xm-1, xm, xm+1
……………………………
(Grado n)
(x-x0)·…·(x-xn)Æ Se se anula en x0, …, xm-1, xm, xm+1, …,xn
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Polinomios
Polinomios reales
reales
La función x Æ 14 – 17·x + 5·x2
¿es un polinomio?
La función x Æ 2 + 3·(x-1) + 5·(x-1)·(x-3)
SI
¿es un polinomio?
SI
La función x Æ 2·(x-3)·(x-4) + 8·(x-1)·(x-4) + 26·(x-1)·(x-3)
(1-3)·(1-4)
(3-1)·(3-4)
(4-1)·(4-3)
¿es un polinomio?
Y, ADEMÁS ES EL MISMO POLINOMIO.
SI
Se utiliza una base de P2 distinta a
las antes usadas
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Polinomios
Polinomios reales
reales
EJERCICIO
Dados (n+1) abscisas distintas {x0, x1, …., xn) demostrar
que los polinomios:
(
)
n
x − xj
(x − x 0 )·...·(x − xi−1 )·(x − xi+1 )·...·(x − xn )
Li (x) =
=∏
(xi − x 0 )·...·(xi − xi−1 )·(xi − xi+1 )·...·(xi − xn ) j=0 (xi − x j )
(0 ≤ i ≤ n)
j≠ i
son una base de Pn
Demostración:
Ejercicio propuesto
Pista: Comparar las raíces de los polinomios Li(x) y utilizar el hecho
de que un polinomio de grado n sólo puede tener n raíces
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