Tema 4 - Determinantes

Tema 4 - Determinantes
 CONCEPTO
 PROPIEDADES
 CALCULO DE DETERMINANTES
 TEOREMA DE BENET-CAUCHY
 CALCULO DE RANGOS
 CALCULO DE ECUACIONES IMPLICITAS
 14 
CONCEPTO
Determinante de orden N, de la matriz cuadrada A  M n :
a11 a12 ...a1n
det (A) = |A| = a21 a22 ... a2n
=  sg ( i1 ... i n) a 1i · a 2 i ... an i
... ... ... ... ...
an1 an2 ... an n
PROPIEDADES
(1) Si cambiamos filas por columnas de un determinante su valor no varia. |A| = |At|
(2) Si hay alguna fila ó columna nula  det = 0
(3) Si hay alguna fila ó columna que sea C.L de otras  det = 0.
(En particular si A tiene dos filas ó dos columnas iguales  det = 0 )
(4) Si intercambiamos dos filas ó dos columnas el determinante cambia de signo.
(5) Si multiplicamos una fila ó una columna por un escalar , el determinante queda mult. por .
(6) Si a una fila ó columna le sumamos una C.L de otras el determinante no varia.
Teorema de Benet-Cauchy: Dadas A,B  Mn  det (A·B) = det A · det B
DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3
Determinante de orden 2, de la matriz cuadrada A  M n :
a11 a12
= a11 · a22 - a12 · a21
a21 a22
det (A) = |A| =
Determinante de orden 3, de la matriz cuadrada A  M n
a11 a12
a11 a12
det (A) = |A| =
=
a21 a22
a23
a31
a13
=
a11 a12
a21
a22
a32 a33
a23
a31
a13 a11 a12
a21 a22
a32 a33
=
a11 a12
a21
a31 a32
a22
a23
a31
a13
a21 a22
a32 a33
a31 a32
c b - a
a + b+ c
= a11 · a22 · a33
- a11 a23 a32
- a11 · a21 · a33
+
·a22· a31
a12 · a23 · a31
+
a13 ·a21· a32
-
a13
Esto último es lo que se conoce como regla de Sarrús.
METODOS REDUCTIVOS
Dada una matriz A = (a ij ) llamamos menor complementario del elemento aij y lo denotamos por cij al det
que resulta de eliminara la fila i y la columna j.
Llamamos adjunto del elemento ai j , y se representa por A ij a:
A i j = (-1) i + j · c i j
El calculo de determinantes por adjuntos consiste en el desarrollo de un determinante por una fila ó una
columna, de modo que:
a11 a12 ... a1 n
 15 
n
det (A) = |A| = a21 a22
c1n
... a2 n
=
a11· A11 + a12· A12 +...+ a1n· A1n = a11· (-1) 2 c11 +...+ a1n· (-1)1+
... ...
... ...
an1 an2 ... an n
DETERMINANTES Y RANGOS
- Si det A  0 el rango de A es el máximo. A  Mn  det A  0  rg A = n
- Si det A = 0 el rango de A no es el máximo. A  Mn  det A = 0  rg A  n
Llamamos menor de orden m de una matriz A  M n al determinante de una submatriz de orden m.
Si algun determinante de orden (n-1) fuera nulo el rango seria (n-1). ( Menor complementario ).
Podemos calcular el rango de una matriz del siguiente modo:
El rango de A será el mayor orden para el que existe un menor de A de dicho orden que es no nulo.
Ej.1
-1
1
1
-1
4
2
-1
3
-1
4
3
A=
-1 = 0
-4
-11 11
-4
5
-11
1
rg A  3
2
11
1
-1
-4
-1
3
1
= 0
-1
5 - 11
3
-1
-1
4
=0
2
5 -11 11
1 -1
= 3+2 =5
2
3
Una vez hechos todos los determinantes posibles de orden 3, todos nulos, se ha hecho un det
de orden 2 que resulta no nulo. Como el menor complementario no nulo encontrado es de orden 2 y no
hay tales de orden 3. El rango es 2.
Ej.A=
1
2
2 -1
-4
5
-1
4
3
-1 rg A  3
-11 11
2
1
2
-1
-1
3
= 10  0
- 4 5 - 11
Como el menor complementario no nulo de mayor orden encontrado es de orden 3. El rango es 3.
CALCULO DE EC. IMPLICITAS
Dado un sistema de vectores, se calculan sus ecuaciones implicitas resolviendo el determinante:
(Ej. vectores dim = 4)
x u1 v1
x u1 v1
y u2 v2 = Ecuacion 1
y u2 v2
=
Ecuacion 2
z u3
v3
t
u4 v4
El número de ec. Implicitas de un sev siempre será igual a
dim V - dim H
siendo V el ev y H el sev.
Ej.- H = < (1, 0, 1, 1) , (0, 3, 1, 1) , (1, 3, 2, 2) >
¿Base de H?
(1, 0, 1, 1)
(1, 0, 1, 1)
libre
Forman una base
(0, 3, 1, 1)  (0, 3, 1, 1)
libre
(1, 3, 2, 2)
(0, 3, 1, 1)
 16 
(x, y, z, t) =  (1, 0, 1, 1) +  (0, 3, 1, 1)
H = < (1, 0, 1, 1) , (0, 3, 1, 1) >
x
y
1
0
z
1
0
3
= 3z - 3x -y = 0
y
x
3
0
1
0
= 3t - 3x -y =
0
1
 17 
t
1
1