Unidad 3: DETERMINANTES

Unidad 3: DETERMINANTES
3.1.- DETERMINANTES DE ORDEN DOS
Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número
que se obtienen operando de cierta forma con los elementos
de la matriz. Aprenderemos a obtenerlo a lo largo de la
unidad, para matrices de órdenes cada vez mayores.
Empezamos con las matrices de orden dos.
El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es
un número que se obtiene del siguiente modo:
a
A =  11
 a21
a12 
;
a22 
det A = a11 a22 − a21 a12
El determinante de A se designa, indistintamente, de las
siguientes formas:
det A ,
Ejemplo:
a
det  11
 a21
a12 
,
a22 
A,
a11
a12
a21
a22
7 4
= 7 ⋅ 11 − 4 ⋅ ( −5 ) = 77 + 20 = 97
−5 11
Ejercicio propuesto 1 (pág. 75)
Calcula el valor de estos determinantes:
a)
3 1
4 7
b)
1 11
3 33
c)
373 141
0
0
d)
7 0
0 −2
1
3.2.- DETERMINANTES DE ORDEN TRES
El determinante de una matriz
siguiente modo:
3 × 3 se obtiene del
a11
a12
a13
a21
a22
a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
a31
a32
a33
−a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
En cada producto hay un factor de cada fila y uno
de cada columna. Para comprobarlo, observamos que en
cada producto hay tres elementos. Los primeros
subíndices (filas) son, siempre, 1 2 3. Los segundos
subíndices son también 1 2 3, ordenados de diversas
formas.
Están todos los posibles productos con un factor de
cada fila y uno de cada columna, pues los subíndices
de las columnas son todas las permutaciones de 1, 2, 3.
Hay 3! = 6 .
La mitad de los sumandos tienen signo + , y la otra
mitad, signo − . Estos seis sumandos se recuerdan
fácilmente con la siguiente regla mnemotécnica, llamada
regla de Sarrus:
2
Ejercicio resuelto 1 (pág. 76)
Calcular los siguientes determinantes:
3 −2 5
7 −4 3
a) 1
7
3
b) 0
11
1
4
1
0
0
0
5
a)
3 −2 5
1
7
4
1
3 = 3 ⋅ 7 ⋅ 0  + ( −2 ) ⋅ 3 ⋅ 4  + 1 ⋅ 1 ⋅ 5  − 5 ⋅ 7 ⋅ 4  − 1 ⋅ ( −2 ) ⋅ 0  − 1 ⋅ 3 ⋅ 3 =
0
= 0 − 24 + 5 − 140 − 0 − 9 = −168
b)
7 −4 3
0
11
1 = 7 ⋅ 11 ⋅ 5 = 385
0
0
5
En las matrices triangulares, el único
sumando no nulo en el desarrollo de su
determinante es el de la diagonal
principal.
Ejercicio propuesto 2 (pág. 76)
Halla el valor de los siguientes determinantes:
0 4 −1
a) 1
10 47 59
2
1
b) 0
10
91
3 0
1
0
0
10
Propiedades
Las propiedades de los determinantes que enunciamos a
continuación se pueden demostrar fácilmente a partir de la
definición de determinante.
3
1. El determinante de una matriz es igual que el de su
traspuesta: A = At
2. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna)
de ceros, su determinante es cero.
3. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz
cuadrada, su determinante cambia de signo.
4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas
iguales, su determinante es cero.
5. Si multiplicamos por el mismo número todos los
elementos de una línea (fila o columna) de una matriz
cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese
número.
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas)
proporcionales, su determinante es cero.
a11
a12 + a'12
a13
a11
a12
a13
a11
a'12
a13
7. a21
a22 + a'22
a23 = a21
a22
a23 + a21
a'22
a23
a31
a32 + a'32
a33
a32
a33
a'32
a33
a31
a31
Esta descomposición es válida cualesquiera que sean la
fila o la columna en la que se hallen los sumandos.
8. Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación
lineal de las demás paralelas, su determinante no varía.
9. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal
de las demás paralelas, entonces su determinante es
cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero,
tiene una fila (y una columna) combinación lineal de las
demás.
4
10.
El determinante del producto de dos matrices es
igual al producto de sus determinantes: A ⋅ B = A ⋅ B
Ejercicio propuesto 3 (pág. 78)
Justifica sin desarrollar estas igualdades:
3 −1 7
a) 0
0
0 =0
1
11
4
4
1
7
b) 2
9
1
=0
−8 −2 −14
7
4
1
c) 2
9
7 =0
27 94 71
45 11 10
d) 4
1
1 =0
5
1
0
Ejercicio propuesto 4 (pág. 78)
Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da,
calcula el resto sin desarrollar:
x
y z
3x 3y 3z
5 0 3 =1
1
1
1
5x 5y 5z
b) 1
0
1
1
3
5
1
a) 5
0
3
1
1
1
x
c) 2x + 5
x +1
y
z
2y
2z + 3
y +1
z +1
5
3.3.- MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO
“Menor” de una matriz
Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los
elementos en que se cruzan forman una submatriz cuadrada
de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor
de orden r de la matriz inicial.
Por ejemplo:
 7 -5 -2 9

2 4 6 3
9 3 0 8

 5 1 −1 −2
3

6
2

0
Seleccionamos un menor de
orden 3. Su valor es:
−5 −2 3
4 6 6 = −72
1 −1 0
“Menor complementario” y “adjunto” de un elemento en
una matriz cuadrada
Si en una matriz cuadrada n × n destacamos un elemento, aij,
al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz
(n − 1 ) × (n − 1 ) . Su determinante es un menor de orden n − 1
que se llama menor complementario del elemento aij y se
designa por αij .
i+ j
( )
Se llama adjunto de aij al número Aij = −1
⋅ αij , es decir, al
menor complementario con su signo o con el signo cambiado,
según que i + j sea par o impar.
Ejercicio resuelto 1 (pág. 79)
Dada la matriz:
6
3

4
M=
4

0
11 

7
2

5 
7 −3
2 0
6 2
4 6
hallar:
a) Un menor de orden 2.
b) El menor complementario del
elemento a32 .
c) El adjunto del elemento a32 .
a) Seleccionamos, por ejemplo, las filas 1ª y 4ª y las
columnas 2ª y 4ª. El menor seleccionado es, pues:
3

4
4

0
b)
3

4
4

0
7 −3 11 

2 0 7
6 2 2

4 6 5
7 −3 11 

2 0 7
6 2 2

4 6 5
7 11
4
5
= −9
El menor complementario del
elemento a32 es:
α32
3 −3 11
= 4 0 7 = 198
0
3+ 2
( )
c) El adjunto de a32 es A32 = −1
6
5
⋅ α32 = −198 .
Ejercicio propuesto 2 (pág. 79)
0 2

2 −1
M=
1 1

4 6
4
3
2
5
6

5
3

7 
Halla el menor complementario y
el adjunto de los elementos a12 ,
a33 y a43 .
7
3.4.- DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS
ELEMENTOS DE UNA LÍNEA
Si los elementos de una fila o columna de una matriz
cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se
suman los resultados, se obtiene el determinante de la
matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está
desarrollado por los elementos de esa línea.
Por ejemplo, el desarrollo de un determinante de orden 3 por
los elementos de la segunda fila es:
A = a21A21 + a22A22 + a23A23
La eficacia del procedimiento mejora notablemente si en una
línea (fila o columna) “hacemos ceros” de forma similar a
como se hacía en el método de Gauss.
Ejemplo:
Vamos a calcular el siguiente determinante de orden 4 de
dos formas: desarrollándolo directamente por los elementos
de una línea y haciendo previamente ceros en esa misma
línea.
1) Desarrollando por la primera columna:
1
3
5 2
2
1
9 6
 3 5 2
 3 5 2




= 1 ⋅ −1 3 4 + 2 ⋅  − −1 3 4  + 3 ⋅  − 1 9 6  =
0 −1 3 4
 2 4 8


2 4 8


 −1 3 4 
3 2 4 8
1
9 6
= 1 ⋅ 92 + 2 ⋅ ( −84 ) + 3 ⋅ ( −28 ) = −160
2) Haciendo ceros en la primera columna:
8
1
3
5 2
1
2
1
9 6
0 −1 3 4
3 2 4 8
F2 ≡ ( −2)F1 + F2
F4 ≡ (−3)F1 + F4
3
0 −5
5
2
−1
2
0 −1 3 4
0 −7 −11 2
Si desarrollamos ahora por la primera columna resulta:
1
3
0 −5
5
2
−1
2
0 −1 3 4
0 −7 −11 2
−5
−1
2
= 1 ⋅ −1 3 4 = 1 ⋅ ( −160 ) = −160
−7 −11 2
Ejercicio propuesto 2 (pág.80)
Calcula los siguientes determinantes:
7 0 −3 4
a)
4 0
4
7
3 7
1 0
6
1
9
9
b)
3
1
1
4 −1 4
0 3
2 0
−1 3
2
0
5
2
3.5.- CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
En este apartado estudiaremos cómo encontrar la matriz
inversa mediante la utilización de los determinantes.
Empezaremos demostrando el siguiente resultado:
Si A es una matriz de orden n y adj(A) su matriz adjunta (es
decir, la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los
elementos de A), se verifica que:
(
A ⋅ adj ( A)
t
) (
)
t
= adj (A ) ⋅ A = A ⋅ I
En efecto, para una matriz A de orden 2 se tiene que:
9
(
A ⋅ adj (A )
)
t
a
=  11
 a21
a12   A11 A21   a11A11 + a12A12
⋅
=
a22   A12 A22   a21A11 + a22A12
 a11A11 + a12A12
a11 ( − a12 ) + a12 a11   A
=
=
 a21 a22 + a22 ( − a21 ) a21A21 + a22A22   0

 
a11A21 + a12A22 
=
a21A21 + a22A22 
0
 = A ⋅I

A
Para matrices de órdenes superiores se utilizaría el mismo
razonamiento.
Como ya se explicó en la unidad anterior, una matriz A tiene
inversa si existe una matriz A−1 tal que:
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
Ahora bien, como el determinante de un producto es igual al
producto de los determinantes y, además, el determinante
de la matriz identidad es igual a 1, se tiene que:
A ⋅ A−1 = A ⋅ A−1 
1
−1
−1
 ⇒ A ⋅ A = 1 ⇒ A = , si A ≠ 0
A
I =1

Una matriz A de orden n tiene inversa, A−1 , si, y sólo si,
A ≠ 0 . En cuyo caso,
1
A =
⋅ adj (A )
A
(
−1
)
t
Dem:
Partimos de la siguiente igualdad:
( adj (A) )
t
⋅A = A ⋅I
Multiplicando a la derecha de ambos miembros por la matriz
inversa A−1 :
10
(
)
t
adj ( A) ⋅ A ⋅ A−1 = A ⋅ I ⋅ A−1
Como A ⋅ A−1 = I e I ⋅ A−1 = A−1 , se tiene:
(
adj ( A)
)
t
= A ⋅ A−1 ⇒ A−1 =
1
⋅ adj ( A)
A
(
)
t
Las matrices que tienen inversa se llaman matrices
invertibles, o también, como dijimos en la unidad anterior,
singulares.
Recuerda:
• A−1 =
1
A
• ∃ A− 1 ⇔ A ≠ 0
• A−1 =
1
⋅ adj (A )
A
(
La expresión de la
especialmente sencilla:
a
A =  11
 a21
)
t
inversa
de
un
a12 
1  a22
1
⇒A =

a22 
A  − a21
matriz
2×2
es
− a12 

a11 
Quizá te convenga memorizarla.
11
Ejercicio resuelto 2 (pág.88)
Calcular la inversa de:
 1 0 −1 


A = 0 2 3 
 1 −1 1 


Calculemos primero su determinante para ver si, en efecto,
esta matriz tiene inversa:
1 0 −1
A = 0 2 3 = 2 + 2 + 3 = 7 ≠ 0 ⇒ ∃ A−1
1 −1 1
Calculemos ahora la matriz adjunta de A:
 2

 −1
 0
adj ( A) =  −
 −1

 0
 2

3
1
−
0 3
0
1
1
1
−1
1 −1
1
1
−1
3
−
1
−
1
1
1
−1
1
0
3
0
2 

−1 
 5 3 −2 

0

 = 1 2
1

−1  

  2 −3 2 
0 
2 
A continuación calculamos la traspuesta de la adjunta de A:
( adj (A) )
t
5 1 2


=  3 2 −3 
 −2 1 2 


Finalmente, multiplicamos la matriz anterior por
1
:
A
12
 5
 7
5 1 2 
1
3


A−1 =  3 2 −3  = 
 7
7

 −2 1 2   −2

 7

1
7
2
7
1
7
2 
7 
−3 
7 
2 
7 
Ejercicio: 25 pág. 96
3.6.- ECUACIONES MATRICIALES
En la unidad anterior ya vimos algún modelo de ecuación
matricial. Se trataba de la expresión de un sistema de
ecuaciones en forma matricial: A ⋅ X = C .
A era la matriz de coeficientes, X era la matriz de
incógnitas y C la matriz de los términos independientes.
La resolución de una ecuación matricial del tipo A ⋅ X = B ,
siendo A una matriz invertible, permite resolver otras
matrices que se reducen a ella. Recordemos cómo se resolvía
esta ecuación:
A⋅X = B
A−1 ⋅ (A ⋅ X ) = A−1 ⋅ B
(A
−1
)
⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B
I ⋅ X = A−1 ⋅ B
X = A−1 ⋅ B
Puesto que el producto de matrices no es conmutativo, a la
hora de multiplicar una matriz por otra conviene observar si
ha de hacerse por la derecha o por la izquierda.
Antes de empezar a operar con las matrices dadas conviene
despejar la matriz incógnita.
13
Suponiendo que las matrices que se utilizan como invertibles
lo son realmente, veamos cómo se despeja la matriz
incógnita X en algunas ecuaciones.
1) Ecuación XA + B = 2C
Pasando B al segundo miembro:
XA = 2C − B
Multiplicando por la derecha por A−1 :
XAA−1 = (2C − B ) A−1 ⇒ XI = (2C − B ) A−1 ⇒ X = (2C − B ) A−1
I
2) Ecuación AX + BX = C
Sacando factor común X:
(A + B ) X = C
−1
(A + B ) ( A + B ) X = (A + B )
−1
−1
(
)
(
)
Multiplicando por la izquierda por A + B
C ⇒ IX = A + B
−1
:
(
C ⇒ X = A+B
)
−1
C
I
3) Ecuación 2X + AX = B
Sacando factor común X:
(2I + A) X = B
(
Multiplicando por la izquierda por 2I + A
−1
(2I + A) (2I + A) X = (2I + A)
−1
)
−1
:
−1
−1
B ⇒ IX = (2I + A ) B ⇒ X = (2I + A) B
I
14
Ejercicio (Cuestión A del Bloque I del examen de la PAU de
junio de 2008)
1) Despeja la matriz X en la ecuación 2 ⋅ X − B = A ⋅ X
2) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que
 1 0 1


A =  2 1 0
 −1 3 1 


1)
 1 −2 


B =  −3 3 
 4 −3 


2X − B = AX
2X − AX = B
(2I − A) X = B
=C
CX = B ⇒ C −1CX = C −1B ⇒ IX = C −1B ⇒ X = C −1B
2) X = C −1B , por tanto, hemos de calcular en primer lugar C −1 ,
siendo C = 2I − A
2 0 0  1 0 1   1
0 −1 

 
 

C = 2I − A =  0 2 0  −  2 1 0  =  −2 1 0 
 0 0 2   −1 3 1   1 −3 1 

 
 

Calculemos primero el determinante de C para ver si, en
efecto, esta matriz tiene inversa:
1
0 −1
C = −2 1
0 = 1 − 6 + 1 = −6 ≠ 0 ⇒ ∃ C −1
1 −3 1
15
 1 0

 −3 1
 0 −1
adj ( C ) =  −
 −3 1

 0 −1
 1 0

( adj ( C ) )
t
−
−2 0
1 1
1 −1
1 1
−
1 −1
−2 0
−2 1 

1 −3 
 1 2 5

1 0


 = 3 2 3
−
1 −3  

 1 2 1
1 0 
−2 1 
1 3 1
1 3 1
1




=  2 2 2  ⇒ C −1 =
2
2
2


−
6
5 3 1 
5 3 1 




Finalmente, calculemos X:
 2

 1 3 1   1 −2 
 −4 4   3
1 
1 


  2
X = C −1B =
2
2
2
−
3
3
=
4
−
4

 −6 
 = − 3
−6 




 5 3 1   4 −3 
 0 −4  
 0

2
− 
3
2 
3 
2 

3 
Ejercicios: 31 y 34 pág. 96
16