DETERMINANTES PARA LOS APUNTES

Determinantes
UNIDAD V
DETERMINANTES
4.1 Permutaciones
Son las diferentes formaciones que pueden obtenerse con los elementos de un conjunto dado,
en lo que entran todos los elementos del conjunto sin la repetición de alguno. Es decir, sea
S  1, 2,3,..., n el conjunto de los enteros desde 1 hasta n , ordenados en forma
ascendente; al arreglo
j1 , j2 , j3 ,..., jn de los elementos de S se denomina un permutación de
S.
Por ejemplo si
S  1,2,3,4 , entonces 4312 es una permutación de S . Esta permutación se
corresponde con la función f : S  S definida por:
f 1  4
f  2  3
f  3  1

f i   ji para 1  i  n .
f  4  2
Si observamos la definición tenemos que para colocar en la primera posición podemos tomar
cualquier de los
n
elementos del conjunto S ; para la segunda posición podemos tomar
cualquiera de los n  1 elementos restantes de S y así sucesivamente, hasta llegar a la
n  esima posición, la cual sólo puede ser ocupada por el elemento que resta. Por lo tanto la
totalidad de posibilidades viene dada por:
TOMAS NAVARRO
85
Determinantes
n   n  1   n  2 ,...,  2  1  n!
Al conjunto que contiene todas las permutaciones de S , lo representaremos por
Sn cuyo
número de elementos es igual al n ! .
Por ejemplo:
1) Si
S  1 entonces #  Sn   1!  1; luego tenemos que Sn  1
2) Si
S  1,2 entonces #  Sn   2!  2 ; luego tenemos que Sn  12,21 .
3) Si
S  1,2,3
entonces
#  Sn   3!  6 ;
luego
tenemos
que
Sn  123, 132, 213, 231, 312, 321
Inversión en una permutación:
Una permutación
j1 , j2 , j3 ,..., jn de S  1, 2,3,..., n tiene una inversión si un entero mayor
jr precede a uno menor js . Esta puede ser positiva o negativa dependiendo de que esta
tenga un número par o impar de inversiones total con relación a l permutación natural.
Por ejemplo en
S  1,2,3,4 la permutación 4312 es tipo impar o negativa, ya que el 4 está
antes de 3, antes de 1 y antes de 2; el 3 está antes de 1 y antes de 2.
Si n  2 podemos decir que
Sn tiene n ! 2 permutaciones pares y un número igual de
permutaciones impares.
Ejemplo 4.1:
Si tenemos como conjunto el formado por las letras de la palabra “AMOR” y
además consideramos que como se presentan en la palabra dada es el orden natural;
podemos determinar el número de inversiones que poseen las palabras “MORA” y “ROMA”
M O R A tiene tres inversiones por tanto es una permutación negativa.
R O M A tiene seis inversiones por tanto es una permutación positiva.
TOMAS NAVARRO
86
Determinantes
4.2 Determinante
Sea
An una matriz cuadrada de orden n , definimos un determinante como una función
operacional que asocia a cada matriz cuadrada un escalar que esta definido por una sumatoria
 n!
de
términos donde cada término es un producto de
 n  elementos representativos de
cada una de las filas y las columnas de la matriz sin repetir alguna y que tendrá un signo
positivo o negativo según sea par o impar el número de inversiones contenidas en cada
término. El determinante se denota por
det  A o A o por sus elementos encerrados entre
dos barras verticales.
a11
a21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
Es decir que el determinante de una matriz de orden n , se define
como
el
número
calculado
de
la
siguiente
suma:
A    a1 j1 a2 j2 ...anjn
la suma se toma sobre todas las
permutaciones de los segundos subíndices. A cada término se le
asigna el signo (+) si j1 , j2 , j3 ,..., jn es una permutación par de


1, 2,.....n , y el signo (-) si ella es una permutación impar.
4.2.1 Determinantes de orden uno y dos
Si
A   a11  es una matriz 1  1 , entonces S1 sólo tiene una permutación, la permutación
identidad, que es par y luego tenemos que
 a11
 a21
Si A  
det  A  A  a11 .
a12 
es una matriz 2  2 , entonces #  S2   2 tiene dos permutaciones, luego
a22 
el determinante tendría dos términos
a1_ a2 _ y a1_ a2 _ si llenamos los espacios en blanco
con todos los elementos posibles de
S2 ; estos son 12 y 21. como 12 es permutación par, el
término
a11 a22 tiene signo positivo    asociado; como 21 es una permutación impar, el
término
a12 a21 tiene signo negativo    asociado. Por lo tanto el determinante de A viene
dado por:
det  A  A  a11a22  a12 a21
TOMAS NAVARRO
87
Determinantes
A
Así, si
a11
a12
a21
a22
 a11a22  a12 a21
2 3
A
 entonces el A   25   3 4  10  12  22 .
4
5


Ejemplos 4.2:
a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos
det  24  24 ,
det  3  3 y det 3 x  5   3 x 5 .
b) Dados los determinantes de 2do orden tenemos que:
3 5
  31   5 2   3  10  7
2 1
2 3
  2  4    31  8  3  5
1 4
4.2.2 Determinantes de orden tres
 a11

Si A  a21

 a31
a12
a22
a32
a13 
a23  es una matriz 3  3 , entonces #  S2   6 tiene seis permutaciones,
a33 
luego el determinante tendría seis términos
a1_ a2 _ a3 _ , a1_ a2 _ a3 _ , a1_ a2 _ a3 _ , a1_ a2 _ a3 _ ,
a1_ a2 _ a3 _ , y a1_ a2 _ a3 _ , si llenamos los espacios en blanco con todos los elementos
posibles de
S3 ; estos son 123, 132, 213 , 231, 312 y 321 , donde 123, , 231, y 312 son
TOMAS NAVARRO
88
Determinantes
permutaciones pares, los términos

asociados; como
a11a22 a33 , a12 a23 a31 y a13 a21a32 tienen signos positivos
132, 213 y 321 son permutaciones impares, los términos
a11a23 a32 , a12 a21a33 y a13 a22 a31 tienen signos negativos

asociados. Por lo tanto el
determinante de A viene dado por:
det  A  A  a11a22 a33  a12 a23a31  a13 a21a32  a11a23 a32  a12 a21a33  a13 a22 a31
También podemos obtenerla aplicando la regla de Sarros. Es decir:
Consideremos una matriz de orden 3 arbitraria A3   aij  . El determinante de A se define
como sigue:
a11
det  A   a21
a31
a12
a13
a22
a32
a23  a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21a32  a13 a22 a31  a11a32 a23  a12 a21a33
a33
Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a
resolverlos:
Ejemplo 4.3:
1 2 3 


Sea A  2 1 3 evaluar del determinante de A .


 3 1 2 
TOMAS NAVARRO
89
Determinantes
det  A  A  11 2   233  3 21  131  222  313  6
4 .3 Propiedades de los determinantes
4.3.1 Los determinantes de una matriz y de su transpuesta son iguales; es decir,
A  AT .
Demostración:
Sean A   aij 
y
AT  bij  , donde bij  a ji para 1  i  n
y
1  j  n . Entonces,
tenemos que:
det  A    a1 j1 a2 j2 ...anjn
y
det  AT       b1 j1 b2 j2 ...bnjn      a j11 a j2 2 ...a jn n
Ahora podemos reordenar los factores en el término
a j11a j2 2 ...a jnn de modo que los subíndices
de las filas aparezcan en su orden natural. Es decir:
b1 j1 b2 j2 ...bnjn  a j11a j2 2 ...a jnn  a1k1 a2k2 ...ankn .
Se puede probar, a partir en las propiedades de las permutaciones analizadas en curso de
análisis anterior, que la permutación
k1k2 ...kn que determina el signo asociado con el término
a1k1 a2k2 ...ankn y la permutación j1 j2 ... jn que determina el signo asociado con a1 j1 a2 j2 ...anjn ,
son ambos impares o ambos pares. Por ejemplo:
b13b24b32b41  a31a42 a23 a14  a14 a23 a31a42
vemos que el número de inversiones en la permutación 4312 es 5 y el número de inversiones
en la permutación 3421 también es 5. Como los términos y los signos correspondientes
coinciden podemos concluir que A  A
T
TOMAS NAVARRO
.
90
Determinantes
2 3 1


T
Ejemplo 4.4: Si A  5 1 2 probar que A  A .


 1 3 2 
2 3 1
2 3 1 2 3
A 5 1 2  5 1 2 5 1
1 3 2
1 3 2 1 3
  2 1 2    3 2 1  1 5  3  111   2  2  3    3  5  2 
 4  6  15  1  12  30
 18
2 5 1


Tenemos que A  3 1 3 luego tenemos que:


1 2 2 
T
2 5 1
2 5 1 2 5
A  3 1 3  3 1 3 3 1
T
1 2 2
1 2 2 1 2
  2 1 2    5  31  1 3 2   111   2  3  2    5 3  2 
 4  15  6  1  12  30
 18
4.3.2 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al intercambiar dos filas o columnas de
A , entonces A   B .
Demostración:
Supongamos que B resulta de intercambiar las filas r y s de la matriz A , asumamos que
r  s . Entonces tenemos que brj  asj , bsj  arj y bij  aij para i  r  i  s . Luego,
B      b1 j1 b2 j2 ...brjr ...bsjs ...bnjn
     a1 j1 a2 j2 ...asjr ...arjs ...anjn
     a1 j1 a2 j2 ...arjs ...asjr ...anjn
TOMAS NAVARRO
91
Determinantes
La permutación j1 j2 ... js ... jr ... jn se obtiene de la permutación j1 j2 ... jr ... js ... jn mediante el
intercambio de dos números; el número de inversiones en la primera difiere en un número
impar de número de inversiones de la segunda. Esto significa que el signo de cada término del
determinante de B es el opuesto del signo del término correspondiente en el determinante de
A . Por lo tanto tenemos que A   B .
Para probar cuando se intercambie las columnas lo hacemos usando la propiedad 4.3.1.
4.3.3 Si dos filas o columnas son iguales, entonces el valor del determinante es igual a
cero. Es decir
A  0.
Demostración:
Supongamos que las filas
r y s de la matriz A son iguales. Si intercambiamos las filas r y s
B   A . Por otra parte tenemos que B  A
de A para obtener la matriz B ; resulta que
luego
B  A . Por lo tanto A   A de donde concluimos que A  0 .
4.3.4 Si una fila o columna de una matriz A es nula, entonces
A  0.
Demostración:
Supongamos que la r  esima fila de A es nula, esto significa que todos sus elementos son
ceros. Como cada término en la definición del determinante de A contiene un factor de la
r  esima fila, cada término en el determinante es igual a cero. Por lo tanto A  0 .
4.3.5 Si B se obtiene de A al multiplicar una fila o columna de A por un escalar h ,
entonces
B h A.
Demostración:
Supongamos que la r  esima fila de A   aij  se multiplica por h para obtener B   bij  .
Entonares
bij  aij si i  r y brj  harj . Si obtenemos el determinante de B resulta que:
B      b1 j1 b2 j2 ...brjr ...bnjn


     a1 j1 a 2 j ... harjr ...anjn
h
 a
1 j1
2
a 2 j ...arjr ...anjn
2
h A
TOMAS NAVARRO
92

Determinantes
4.3.6
Si B   bij  se obtiene de A   aij  sumando a cada elemento de la r  esima
fila o columna de A una constante h por el elemento correspondiente de la
s  esima fila o columna r  s de A , entonces B  A .
Demostración:
Si tenemos que
bij  aij para i  r y brj  arj  hasj donde r  s . Asumamos que r  s .
Entonces:
B      b1 j1 b2 j2 ...brjr ...bnjn


     a1 j1 a 2 j ... arjr  hasjr ...asjs ...anjn
  a
   a

2
      a a ... ha  ...a ...a 
  h      a a ...a ...a ...a 
1 j1
a 2 j ...arjr ...anjn 
1 j1
a 2 j ...arjr ...anjn
2
2
1 j1
1 j1
2 j2
2 j2
sjr
sjr
sjs
sjs
njn
njn
En le resultado anterior tenemos que el primer sumando es igual al determinante de A ;
mientras que el segundo sumando es igual a cero si aplicamos la propiedad 4.3.3. por lo tanto
concluimos que:
B  A.
4.3.7
Si una matriz
A   aij 
es triangular superior o inferior, entonces el
determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Es
decir
4.3.8
4.3.9
A  a11a22 a33 ...ann .
El determinante del producto de dos matrices es el producto de sus
determinantes, es decir, AB 
 A  B  .
Si A es no singular, entonces
A  0 y A1 
1
.
A
4.4 Menor complementario
Sea
A el determinante de una matriz de orden n  n . Se define al menor complementario
M pq como el determinante de la matriz de orden  n  1   n  1 que resulta de eliminar la
fila p y la columna q en la matriz.
TOMAS NAVARRO
93
Determinantes
Ejemplo 4.5 Sea:
 2 1 4 
A   0 1 5  hallar los menores M13 , M 21 y M32 .
 6 3 4 
Solución
M13 
0 1
 0  6  6
6 3
M 21 
1 4
 4  12  8
3 4
M 32 
2 4
 10  0  10
0 5
4.5 Adjunto o cofactor
Sea A una matriz de orden
n  n . El adjunto o cofactor pq del elemento a pq de A se define
como el menor complementario que resulta de eliminar la fila p y la columna q multiplicado
por un signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de la fila y la columna eliminada
respectivamente. Es decir, Apq   1
pq
M pq .
Ejemplo 4.6: Dada la matriz
 2 1 4 
A   0 1 5  , hallar todos sus cofactores.
 6 3 4 
Desarrollo:
A11   1
11
A13   1
M11 
13
1 5
 4  15  19
3 4
A12   1
M12  
0 1
 0  6  6
6 3
A21   1
M 21  
M13 
TOMAS NAVARRO
1 2
94
21
0 5
   0  30   30
6 4
1 4
   4  12   8
3 4
Determinantes
A22   1
2 2
A31   1
31
A33   1
M 22
2 4

 8  24  32
6 4
A23   1
1 4
 5  4  9
1 5
A32   1
M 31 
33
M 33 
2 3
M 23
3 2
2 1

   6  6  12
6 3
M 32  
2 4
  10  0  10
0 5
2 1
 20  2
0 1
4.6 Matriz de los cofactores
Es la matriz que resulta al sustituir cada elemento de una matriz dada por sus cofactores
correspondientes. Es decir, sea la matriz
 a11
a
 21
A   a31

 ...
 am1
... a1n 
... a2 n 
... a3n 

... ... 
... amn 
a12
a13
a22
a32
a23
a33
...
...
am 2
am 3
A12
A13
...
A22
A32
A23
A33
...
...
...
...
...
Am 2
Am3 ...
la matriz de los cofactores seria:
 A11
A
 21
A   A31

 ...
 Am1
A1n 
A2 n 
A3n 

... 
Amn 
4.7 Matriz adjunta A
Es la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores. Es decir, sea la matriz:
 a11
a
 21
A   a31

 ...
 am1
a12
a13
a22
a32
a23
a33
...
...
am 2
am 3
la matriz adjunta seria:
TOMAS NAVARRO
95
... a1n 
... a2 n 
... a3n 

... ... 
... amn 
Determinantes
 A11
A
 12
adj  A   A   A13

 ...
 A1n
A21
A31
...
A22
A23
A32
A33
...
...
...
...
...
A2 n
A3n
...
Am1 
Am 2 
Am3 

... 
Amn 
Ejemplo 4.7:
Hallar la matriz adjunta de:
 2 1 4 
A   0 1 5 
 6 3 4 
Según el ejemplo 4.6
 A11
adj  A   A   A12
 A13
A21
A22
A23
A31   19 8
9 
A32    30 32 10 
A33   6 12 2 
Teorema 4.1
Sea An   aij  una matriz cuadrada. Entonces, para 1  i  n ,
det  An   An  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain denominado desarrollo
del determinante con respecto a la i  esima fila. Y para 1  j  n ,
det  An   An  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj denominado desarrollo
del determinante con respecto a la j  esima columna.
Demostración:
Para la demostración usaremos una matriz de orden 3  3 para facilitar el entendimiento de la
misma. Si A3   aij  por definición tenemos que:
det  A3   a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a11a23a32  a12 a21a33  a13a22a31
Reagrupando los términos podemos escribirlo de la forma:
TOMAS NAVARRO
96
Determinantes
det  A3   a11 a22 a33  a11a23 a32  a12 a23 a31  a12 a21a33  a13 a21a32  a13 a22 a31
 a11  a22 a33  a23 a32   a12  a23 a31  a21a33   a13  a21a32  a22 a31 
luego podemos que:
A11   1
a22
a23
a32
a33
A12   1
a21
a23
a31
a33
A13   1
a21
a22
a31
a32
11
1 2
13
  a22 a33  a23 a32 
  a23 a31  a21 a33 
  a21 a32  a22 a31 
Sustituyendo estas tres expresiones en la anterior tenemos por tanto que:
det  A  A  a11 A11  a12 A12  a13 A13 que es el desarrollo del determinante
de
A3 con respecto a la primera fila. L.Q.Q.D.
Si la expresión la reagrupáramos como:
det  A  A  a13  a21a32  a22 a31   a23  a12 a31  a11a32   a33  a11a22  a12 a21 
Y podemos verificar fácilmente que es equivalente a:
det  A  A  a13 A13  a23 A23  a33 A33 que es el desarrollo del determinante
de
A3 con respecto a la tercera columna. L.Q.Q.D.
Ejemplo 4.8:
Hallar el determinante de la matriz
 2 1 4 
A   0 1 5  usando los elementos de una línea fila o
 6 3 4 
columna.
1ro. Usando la primera fila tenemos que:
TOMAS NAVARRO
97
Determinantes
2 1 4
5
5
1
11 1
1 2 0
13 0
A  0 1 5   2  1
  1 1
  4  1
3 4
6 4
6 3
6 3 4
  2  4  15    0  30    4  0  6   38  30  24  92
2do. Usando la segunda columna tenemos que:
2 1 4
5
4
4
1 2 0
2 2 2
3 2 2
A  0 1 5   1 1
 1 1
  3 1
6 4
6 4
0 5
6 3 4
  0  30    8  24    310  0   30  32  30  92
Ejemplo 4.9: Evaluar el siguiente determinante:
1 2 3 1
3 4 0 2
B 
1 1 2 3
0 2 4 2
4
B  1 1
11
1 1
31
0 2
2 3
1 2 3   3 1
2 4 2
2 1
1
1 2 3 
2 4 2
2 3 1
2 3 1
4 1
4 0 2   0  1
4 0 2
2
4 2
1 2
3
  16  0  8  8  0  48    38  18  4  4  24  6 
  0  16  12  0  16  24    0  0  6  8  0  8  36 
 48   3 36   12    0   48  108  12  72
Teorema 4.2
Si en un determinante se multiplican los elementos de una fila o columna por los cofactores
correspondientes a otra fila o columna, entonces la sumatoria será igual a cero. Es decir; si
A   aij  es una matriz de orden n  n , entonces:
ai1 Ak1  ai 2 Ak 2  ai 3 Ak 3  ...  ain Akn  0 para i  k
TOMAS NAVARRO
98
Determinantes
a1 j A1k  a2 j A2k  a3 j A3k  ...  anj Ank  0 para j  k
ó
Demostración de la primera expresión:
Consideremos la matriz B obtenida de la matriz A al reemplazar la k  esima fila de A por
su i  esima fila. Así, la matriz B tiene dos filas idénticas, la i  esima y la k  esima , por lo
tanto el determinante de B es igual a cero
B
 0  . Ahora desarrollamos el determinante de
B con respecto de su k  esima fila. Los elementos de la k  esima fila de B son
ai1 , ai 2 ,..., ain . Mientras que los cofactores de la k  esima fila son Ak1 , Ak 2 ,..., Akn . Así, que:
det  A  B  0  ai1 Ak1  ai 2 Ak 2  ...  ain Akn L.Q.Q.D.
Por ejemplo 4.10: sea
 2 1 4 
A   0 1 5 
 6 3 4 
Entonces según el ejemplo 4.6:
A21   1
21
A23   1
M 21  
2 3
1
4
3
4
M 23  
2 1
6
3
A22   1
   4  12   8
2 2
M 22 
2
4
6 4
 8  24  32
   6  6  12
Luego tenemos que:
a12 A21  a12 A22  a13 A23   28   1 32   4 12  16  32  48  0
lo mismo si hacemos:
a31 A21  a32 A22  a33 A23   68  3 32   4 12  48  96  48  0
Teorema 4.3
Sea A   aij  una matriz de orden
n  n , entonces A  Adj  A     Adj  A   A  det  A  I n .
Demostración:
Tenemos que:
TOMAS NAVARRO
99
 a11
a
A  Adj  A    A  A    21
 ...

 an1
a12
a22
...
an 2
... a1n   A11
... a2 n   A12
... ...   ...

... ann   A1n
A21
...
A22
...
...
...
A2 n
...
Determinantes
An1   d11 d12 ... d1n 
An 2   d 21 d 22 ... d 2 n 

...   ... ... ... ... 
 

Ann   d n1 d n 2 ... d nn 
n
Cada elemento
dij en la matriz producto A  Adj  A   viene definido por: dij   aik Akj .
k 1
Luego tenemos que:
ai1 Aj1  ai 2 Aj 2  ...  ain Ajn  det  A si i  j
0
si i  j
Esto significa que:
det  A
0

0
det  A
A  Adj  A   A  A   
 ...
...

0
 0


Por tanto A Adj  A   det  A  I n
...
0 

...
0 
 det  A I n
...
... 

... det  A 
L.Q.Q.D.
Ejemplo 4.11
Dada la matriz
 2 1 4 
A   0 1 5  , probar el teorema anterior.
 6 3 4 
Tenemos que:
9 
 2 1 4   19 8



A  Adj  A   0 1 5   30 32 10
6 3 4   6 12 2 
  38  30  24 

   0  30  30 
 114  90  24 
TOMAS NAVARRO
16  32  48  18  10  8 
 0  32  60   0  10  10  
 48  96  48  54  30  8
100
Determinantes
0 
 92 0
1 0 0 


A  Adj  A     0 92 0   92 0 1 0   91 I 3   det  A  I 3
 0
0 0 1 
0 92 


de donde A Adj  A   det  A  I 3
L.Q.Q.P.
Corolario 4.1
Si A es una matriz de orden
n  n y det  A  0 , entonces:
 A11
 det  A

 A12

1
A1 
Adj  A     det  A

det  A
 ...

 A1n
 det  A

An1 
A21
...
det  A
det  A 

An 2 
A22
...

det  A
det  A 
...
...
... 

A2 n
Ann 
...
det  A
det  A 
Demostración:


Según el teorema 4.3 tenemos que: A Adj  A   det  A  I n si
tenemos que multiplicando ambos miembros por
det  A  0 , entonces
1
resulta que:
det  A
1
1
 A  Adj  A  
 det  A det  A I n   I n luego
det  A 
A
1
Adj  A   I n multiplicando ambos miembros por A 1 resulta que:

det  A
A1 A
1
Adj  A   A1 I n

det  A

Por tanto
A1 
1
 Adj  A
det  A
L.Q.Q.D.
Ejemplo 4.12
Dada la matriz
TOMAS NAVARRO
101
1
Adj  A   A1

det  A
Determinantes
 2 1 4 
A   0 1 5  , hallar la inversa A 1 .
 6 3 4 
Tenemos que:
 19
 92

1
30
1
A 
Adj  A    


det  A 
92

 6
 92
8
92
32
92
12
92
9   19
92   92
 
10   30
 
92   92
 
2   6
92   92
8
92
32
92
12
92

9 
92 

10 
92 

2

92 
Teorema 4.4
Una matriz
An es no singular si y sólo si su determinante es diferente de cero, det  An   0 .
Demostración:
Como es una doble condicional lo demostraremos en ambos sentidos:
Si
det  An   0 , entonces según el corolario 4.1 obtenemos una expresión para A 1 , de modo
que A es no singular. Entonces
AA1  I n
Por la propiedad 4.3.8 tenemos que:
det  AA1   det  A  det  A1   det  I n   1
Luego podemos concluir que
det  A  0 L.Q.Q.D.
Si A es una matriz de orden
n  n , entonces las siguientes expresiones son equivalentes:
1.
A es no singular.
2.
AX   sólo tiene solución trivial.
3.
A es equivalente a I n .
4. El sistema lineal AX  B tiene una única solución para cada matriz B de orden
n 1 .
5.
det  A  0 .
TOMAS NAVARRO
102
Determinantes
Regla de Cramer
Es un método que nos sirve para resolver un sistema de
n ecuaciones con n incógnitas cuya
matriz de los coeficientes es no singular.
Teorema 4.5 (Regla de Cramer)
Sea
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2
..............................................
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
un sistema lineal de
n
ecuaciones con
n
incógnitas y sea A   aij  la matriz de los
coeficientes de modo que podamos escribir el sistema dado como AX  B , donde
 b1 
b 
B   2
 ... 
 
bn 
Si
det  A  0 , entonces el sistema tiene solución única.
x1 
det  A1 
det  A
, x2 
det  A2 
det  A
, x3 
det  A3 
det  A
, ... , xn 
Demostración:
Si
det  A  0 , entonces A es no singular. Por lo tanto,
 A11
 det  A

x
 1
 A12
x 

X   2   A1 B   det  A
 ... 
 ...
 

 xn 
 A1n
 det  A

An1 
A21
...
det  A 
det  A 
 b 
An 2   1 
A22
...
 b
det  A 
det  A   2 
 ... 
...
...
...   
 bn 
A2 n
Ann 
...
det  A 
det  A 
Esto significa que:
TOMAS NAVARRO
103
det  An 
det  A
Determinantes
xi 
A1i
A2i
A3i
Ani
b1 
b2 
b3  ... 
bn para 1  i  n
det  A
det  A
det  A
det  A
Ahora, sea
 a11

 a21
Ai  
 ...
 an1

a12
... a1 i 1
b1
a1i 1
a22
... a2 i 1
b2
a2 i 1
...
...
...
...
an 2
... an i 1
bn
an i 1
...
Si desarrollamos el determinante de
... a1n 

... a2 n 

... ... 
... ann 

Ai con respecto a la i  esima columna, vemos que:
det  Ai   b1 A1i  b2 A2i  ...  bn Ani
Por lo tanto,
xi 
det  Ai 
det  A 
para i  1, 2, 3, ... , n
Luego podemos decir que para aplicar la regla de Cramer seguiremos el siguiente
procedimiento:
Sea AX  B , donde A es de orden
1. Calculamos
n  n entonces:
det  A . Si det  A  0 , no se puede aplicar la regla de Cramer. Se
emplea el método de Gauss.
2. Si
det  A  0 , entonces para cada i tenemos que:
xi 
donde
det  Ai 
det  A 
Ai es la matriz obtenida de A al reemplazar la i  esima columna de A por
B (Los coeficientes de la incógnita xi por los términos independientes).
Ejemplo 4.13
Resuelva el siguiente sistema usando la regla de Cramer si es posible:
2 x  3 y  z  1
x  2y  z  4
2 x  y  z  3
TOMAS NAVARRO
104
Determinantes
Tenemos que:
2
3
1
A  1 2 1  4  6  1  4  3  2  2  0
2 1 1
Luego,
x
Ax
A

1
3
1
4
2
1
3 1
2
2
1
y
Ay
A

Az
A

1
4
2 3
3
2
1
 2  9  4  6  1  12 
2

4
2
2


6
3
2

8
4
2
 8  3  2  8  1  6 
2
1
4
2 1 3
2

1
1
2
2
1
z
1

12  1  24  4  8  9 
2
Ejemplo 4.14:
Calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
Calculamos el det (A):
Aplicando la regla de Cramer:
TOMAS NAVARRO
105
Determinantes
x
68
,
23
y
53
42
y z
23
23
TOMAS NAVARRO
106
Determinantes
Ejercicios Propuestos
I.- Evaluar el siguiente determinante:
a) Utilizando la primera fila.
b) A partir de la tercera columna.
c) Haciendo
a42  1 y todos los restantes elementos de la cuarta fila lo hacemos cero,
usando las propiedades.
2 5 5
5 2 7
A
4 3 6
3 2 2
3
3
5
4
II.- Evaluar los siguientes determinantes:
3
2
b) B 
3
2
0 0
1 1
0 1
4 8
5
3
7
0
c) C  0
4
6 5
3
1 3 e) E 
5
5 1
1
0 8
0 0
6 0
8 1
2 0
0
0
0
5
5
0
f) F 
0
2
6 1 5
a)
A8 3 2
9 1 4
3 4 1
0 1
d) D  0 0
0 0
0 0
2
4
0
0
5
6
2 0
2
6
3
7
5 3
0
1
0
3
2
3
1
4
1
2
7
0
III.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones usando la regla de Cramer:
a)
2x  y  z  6
b) 3x  2 y  3z  5
8 x  2 y  5 z  11
2 x  3 y  1
7 x  4 y  47
IV.- Determine el valor de " x " en cada caso:
a)
x5 1
4
2
1 2 3
 4 5 6
0 1 2
TOMAS NAVARRO
107
 w7
2y  z
2
4x  y
 3
x
3 z  5w  2
Determinantes
x
b)
d)
2
5 6 9 0
2 1 7
x
c)
1
1
3
2 5 7 0
0 x 1
x2
2
1
1
x3
1
1
2
x2
V.- Hallar inversa de cada matriz si la tiene, aplicando determinante:
a)
2 3 4
A   4 3 1 
 1 2 4 
1
0
b) B  
0

0
2
3
0
0
0
0
2
0
0
0 
1

3
1 3 2 4 
3 2 1 3

c) D  
1 0 1 2 


5 1 2 3 
TOMAS NAVARRO
108