Clave-114-6-V-2-00-2013 - Departamento de Matemática

Clave-114-6-V-2-00-2013
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO:
Matemática Intermedia 3
SEMESTRE:
Segundo Semestre de 2014
CÓDIGO DEL CURSO:
114
TIPO DE EXAMEN:
Segunda Retrasada
FECHA DE EXAMEN:
13 de enero de 2014
PERSONA QUE RESOLVIO
EL EXAMEN:
Cecilia Jimena García González
PERSONA QUE REVISÓ
EL EXAMEN:
Ing. Helen Ramírez
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
ESCUELA DE CIENCIAS
DEPTO. DE MATEMATICA
Matemática Intermedia III
Vespertina
13 de enero de 2014
SEGUNDA RETRASADA
Instrucciones: no se permite el uso de calculadora programable, celular ni formularios. Resuelva
detalladamente dejando constancia de su razonamiento.
Tema 1
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
b)
c)
(
)
(
)
Tema 2 (20 puntos)
Un depósito de 50 galones contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Para t=0, una solución
salina que contiene una libra de sal por galón se vierte en el tanque a razón de 4 gal/min. La
solución bien mezclada se bombea con una rapidez de 2 gal/min. Halle la cantidad de tiempo
necesaria para que se llene el tanque y la cantidad de sal en el tanque en el momento en que se
llena.
Tema 3 (20 puntos)
Un circuito RCL tiene una resistencia de 180 ohmios, una capacitancia de
faradios, inductancia
de 20 henrios y un voltaje aplicado de
. Suponiendo que no hay carga inicial en el
condensador sino una corriente inicial de 1 amperio para
cuando se aplica por primera vez el
voltaje, halle la carga resultante en el condensador.
Tema 4 (30 puntos)
Sea
a) Resuelva la ecuación diferencial
b) Utilice el método de Euler para aproximar los puntos entre [
c) Trace la gráfica de la curva solución del inciso a.
] con
( )
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ESCUELA DE CIENCIAS
DEPTO. DE MATEMATICA
SOLUCIÓN:
Tema 1
a)
Dividimos dentro de
toda la ecuación:
Hacemos una pequeña sustitución de la siguiente manera:
Entonces tenemos:
Buscamos nuestro factor de integración:
⁄
∫
⁄
⁄
∫
Resolviendo la integral obtenemos:
⁄
⁄
Despejando
obtenemos:
⁄
Restituyendo
obtenemos:
⁄
𝒚
𝟏
𝟏
𝒆
𝒙𝟐⁄
𝟐
b)
Procedemos a buscar las raíces de la siguiente manera:
√
Tenemos nuestra ecuación complementaria:
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Calculamos el wronskiano para encontrar la ecuación particular y usando las funciones de arriba obtenemos:
|
|
|
|
|
|
|
|
Obtenemos los siguientes valores:
Integramos y tenemos los siguientes valores:
(
)
Nuestra ecuación general queda de a siguiente manera:
𝒚𝑮
(
c)
)
𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙
(
𝒄𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙
)
Adecuamos la ecuación de la siguiente manera:
(
)
(
)
Derivamos respecto de x y tenemos:
Entonces tenemos:
(
(
)
)
(
(
)
)
Calculamos el factor de integración y tenemos:
∫
⁄
Resolvemos y tenemos:
(
)
(
)
𝐥𝐧(𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
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Integramos respecto de x e y, dependiendo del caso y tenemos:
∫
∫
∫
∫
| |
Eliminamos los repetidos y tenemos:
𝐥𝐧|𝒙|
𝒙𝒚
𝒚𝟐
𝒄
Tema 2
4gal/min
10 gal
50 gal.
10
2 gal/min
Sabemos que están entrando 4 gal/min e inicialmente había una solución con 1lb/gal.
Plantemos la ecuación y nos queda de la siguiente manera:
( )( )
Resolvemos la ecuación diferencial:
( )
( )
(
)
Salen 2 gal/min.
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Calculamos el tiempo en que el tanque se llenará y lo evaluamos en la ecuación que encontramos y tenemos que:
(
(
)
)
(
(
)
)
El tiempo para que se llene el
tanque es de 20 s, y la
cantidad de sal que se tiene
es de 48lbs.
Tema 3
Plantemos la ecuación:
Obtenemos las raíces de la ecuación anterior:
Planteamos nuestra ecuación complementaria:
Planteamos nuestra ecuación particular:
Operando encontramos que el valor de
De las condiciones iniciales ( )
Encontramos que el valor de
y
( )
y de
y el valor de
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La solución de la ecuación es la siguiente:
(
𝑞𝑔
𝑒
𝑡
𝑒
𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡)
Tema 4
Rescribimos la ecuación:
Resolvemos la ecuación:
Buscamos nuestro factor integrante.
∫
⁄
De las condiciones iniciales:
( )
Entonces tenemos que la ecuación diferencial es:
𝒚
𝟐
𝟐
𝒙
Utilizaremos el método de Euler para aproximar los puntos entre [1,1.6] con
(
Donde
(
)
;
)
Donde
( )
y
;
;
( )
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(
1
0
1.1
0.2
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
0.3636
0.5
0.6154
0.7143
0.8
Trazamos la gráfica de la curva de la función del inciso a.
X
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Y
0
0.1818
0.3333
0.4615
0.5714
0.6666
0.75
(
(
…
…
…
…
…
)
)
)