EXAMEN COMPLETO Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30

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SOCIALES / EXAMEN COMPLETO
EXAMEN COMPLETO
Instrucciones:
a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción
elegida.
c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le
corresponde.
d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.
e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos
necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
OPCIÓN A
Ejercicio 1
⎧ x+ y≤6
⎪3 x − 2 y ≤ 13
⎪
Sea el siguiente sistema de inecuaciones ⎨
.
⎪ x + 3 y ≥ −3
⎪⎩ x ≥ 0
a) (2 puntos) Dibuje el recinto cuyos puntos son las soluciones del sistema y
obtenga sus vértices.
b) (1 punto) Halle los puntos del recinto anterior en los que la función
F ( x, y ) = x − 2 y toma los valores máximo y mínimo, y determine estos.
Ejercicio 2
La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un
proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión:
T (t ) = 40t − 10t 2 , con 0 ≤ t ≤ 4
a) (1,5 puntos) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura
máxima que alcanza la pieza.
b) (1,5 puntos) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a
tener esa misma temperatura en algún otro instante?
Ejercicio 3
Parte 1
María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos
dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7, gana María; y
en cualquier otro caso hay empate.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que gane Laura. asociado al experimento.
b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que gane María.
Parte 2
Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las
pilas que fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza
3600. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza
del 95 % ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6, 392,2).
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a) (1 punto) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño
muestral utilizado.
b) (1 punto) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra
de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9 %?
OPCIÓN B
Ejercicio 1
⎛ 1 − 2⎞
⎜
⎟
⎛2 −1 0 ⎞
⎛ 2 1⎞
⎟⎟ , B = ⎜⎜
⎟⎟ y C = ⎜ 0
Sean las matrices A = ⎜⎜
2 ⎟
⎝ 0 2 − 1⎠
⎝ 1 2⎠
⎜− 2 0 ⎟
⎝
⎠
t
t
a) (2 puntos) Calcule la matriz P que verifica B · P − A = C (C , indica la
traspuesta de C).
b) (0,5 puntos) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse
el producto A · M · C.
c) (0,5 puntos) Determine la dimensión de la matriz N para que Ct · N sea una
matriz cuadrada.
Ejercicio 2
a) (1,5 puntos) Halle los valores de los parámetros a y b para que la función
f ( x) = x 3 + ax 2 + b tenga un extremo relativo en el punto (−2, 3).
b) (1,5 puntos) Halle la ecuación de la tangente a la curva y = x 3 − 4 x + 2 en su
punto de inflexión.
Ejercicio 3
Parte 1
Dados los sucesos aleatorios A y B, se sabe que:
3
1
a) P( B c ) =
y P ( A) = P( A / B) =
(Bc, indica el complementario del suceso B)
4
3
b) (0,75 puntos) Razone si los sucesos A y B son independientes.
c) (1,25 puntos) Calcule P ( A ∪ B)
Ejercicio 3. Parte 2
El peso de los paquete enviados por una determinada empresa de transportes se
distribuye según una ley Normal, con desviación típica de 0,9 kg. En un estudio
realizado con una muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuvieron los siguientes
pesos en kilos:
9,5
10
8,5
10,5
12,5
10,5
12,5
13
12
a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 99 %, para el peso medio de los
paquetes enviados por esa empresa.
b) (1 punto) ¿Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra, en el caso
de admitir un error máximo de 0,3 kg, con un nivel de confianza del 90 %?
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Solución de los ejercicios de la Opción A
Ejercicio 1
a) Representando cada una de las rectas asociadas a las inecuaciones se obtiene la
región sombreada en la siguiente figura.
(1): x + y = 6; (2): 3x − 2y = 13; (3): x + 3y = −3; (4): x = 0.
Donde:
Los vértices son las soluciones de los sistemas determinados por cada dos rectas. Estos
vértices son:
⎧ x+ y =6
⇒ Q = (5, 1);
Q: ⎨
⎩3x − 2 y = 13
⎧3x − 2 y = 13
⇒ R = (3, −2); S = (0, −1)
R: ⎨
⎩ x + 3 y = −3
P = (0, 6);
b) La función F ( x, y ) = x − 2 y toma los valores máximo y mínimo en alguno de los
vértices hallados. Evaluando dicha función en esos vértices se obtiene:
En P, F(0, 6) = −12
En Q, F(5, 1) = 3
En R, F(3, −2) = 7
En S, F(0, −1) = 2
Por tanto, el máximo de F(x, y) vale 7 y se obtiene en el vértice R = (3, −2). El mínimo,
que vale −12, se obtiene en el punto P = (0, 6).
Ejercicio 2
a) La función es una parábola con vértice hacía arriba, en el máximo.
El vértice se obtiene en la solución de T´(t) = 0.
T ´(t ) = 40 − 20t = 0 ⇒ t = 2.
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La temperatura máxima será T(2) = 40 · 2 − 10 · 22 = 40º C.
Otros puntos de la gráfica de esta función son:
(0, 0); (1, 30); (3, 30) y ( 4, 0).
Uniendo esos puntos, obtenemos la gráfica adjunta.
b) Para t = 1, como ya hemos dicho, T(1) = 30.
Los instantes en los que la temperatura vale 30 son las soluciones de la ecuación:
⎧t = 1
T (t ) = 40t − 10t 2 = 30 ⇒ 10t 2 − 40t + 30 = 0 ⇒ t 2 − 4t + 3 = 0 ⇒ ⎨
⎩t = 3
En los instantes t = 1 y t = 3 la temperatura será de 30º C.
Ejercicio 3
a) El espacio muestral está formado por 36 sucesos elementales:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), ( 1, 6), (2, 1), (2, 2); …(6, 5), (6, 6)}
Los dos dados salen con el mismo número en 6 casos: (1, 1), (2, 2) ,…, (6, 6). En estos
casos gana Laura
La suma de ambos es 7 en otros 6 casos: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) y (6, 1). En
estos casos gana María.
Por tanto:
a) P(gane Laura) =
6 1
=
36 6
b) P(gane María) =
6 1
=
36 6
NOTA: El juego es equitativo.
Ejercicio 4
a) El intervalo de confianza, para las muestras de tamaño muestral n de media x , es:
⎛
σ
σ ⎞
⎜⎜ x − Z α / 2
⎟⎟
, x + Zα / 2
n
n⎠
⎝
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donde σ es la desviación típica poblacional y Z α / 2 el valor correspondiente en la tabla
normal para una confianza de 1 − α.
Como este intervalo es simétrico respecto de la media, esta vendrá dada por su punto
372,6 + 392,2
medio: x =
= 382,4 m.
2
Por tanto, para x = 382,4, σ = 60 =
3600 , Z α / 2 = 1,96 y n desconocida se tendrá:
⎛
60
60
60 ⎞
⎜⎜ 382,4 − 1,96
⎟⎟ = (372,6, 392,2) ⇒ 1,96
= 9,8 .
, 382,4 + 1,96
n
n⎠
n
⎝
⇒
n = 12 ⇒ n = 144.
b) El error de estimación es E = Z α / 2
σ
n
.
Para el 86,9 % se tiene:
1 − α = 0,869 ⇒ α = 0,131 ⇒ α/2 = 0,0655 ⇒ 1 − α/2 = 0,9345 ⇒ Z α / 2 = 1,51.
Como n = 225 y σ = 60, entonces, el error pedido vale:
E = 1,51
60
225
= 6,04 .
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