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Tema 4.- Ecuaciones de Primer y Segundo Grado. Sistema de Ecuaciones
Identidades y Ecuaciones
Una igualdad algebraica está formada por 2 expresiones algebraicas o polinomios, separados por un igual (=)
Ecuación
Identidad
Cierta para algún valor de las letras
Cierta para cualquier valor de las letras
x+1=2
2(x + 1) = 2x + 2
Solución de una ecuación
Es el valor de la letra que hace que la igualdad se verifique
Resolver una ecuación es encontrar la solución ó soluciones
Ecuación Compatible
Ecuación Incompatible
Si tiene solución
No tiene solución
x+5=8
x2 = −1
Ecuaciones Equivalentes
Misma solución. Para obtener una ecuación equivalente a una dada:
x+1=4
x+5=8
Para conseguir una ecuación equivalente a otra dada:
•
•
(+) o (-) una misma expresión algebraica a los 2 miembros de la ecuación
(×) o (÷) por misma expresión algebraica a los 2 miembros de la ecuación
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma:
a∙x=b, siendo a y b números reales y a # 0. El mayor exponente de las x debe ser 1.
Si a # 0 siempre tiene solución y además es única, la solución es: x=-
1º
2º
3º
4º
b
a
Se eliminan los denominadores (m.c.m)
Se quitan los paréntesis
Agrupar los términos en x a la izquierda del igual y los números a la derecha.
Reducir términos semejantes.
Resolución de problemas
Para resolver un problema mediante una ecuación, hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del
enunciado y después resolver la ecuación planteada.
Bárbara Cánovas Conesa
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Matemáticas _ 3º ESO
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado con
es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma:
UNA INCÓGNITA
ax2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a ≠ 0
•
•
•
Coeficientes: a y b
Término independiente: c
Tipos:
Completa: b ≠ 0 y c ≠ 0
Incompleta : b = 0 ó c = 0
ax2 + bx+c= 0
-b± b –4ac
x=
→
2a
2
ax2 + c = 0
-b+ b –4ac
x1 =
2a
x1 =+
2
-b- b –4ac
2a
x2 =-
2
x2 =
ax2 + bx = 0
-c
a
x1 =0
x ax+b =0
b
x2 =-
a
-c
a
Suma y Producto de las raíces
Si x1 y x2 son las
RAÍCES
de una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, estas cumplen las siguientes
propiedades:
x1 + x2 =-
x1 ∙ x2 =
b
a
c
a
Discriminante (∆)
Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado completa, a la expresión:
∆=b -4ac
2
∆ > 0: 2 raíces reales distintas
∆ = 0: 2 raíces reales iguales
∆ < 0: no hay raíces reales
Ecuación (x - a) · (x - b) = 0
Para que un producto de varios factores sea cero, al menos uno de los factores ha de ser cero.
x-a · x-b =0 →
x–a=0 →
x–b=0 →
x1 =a
x2 =b
Ecuaciones Lineales
Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal. Una ecuación lineal con 2 incógnitas es una ecuación
que se puede expresar de la forma:
ax+by=c
x, y
incógnitas
a, b, c
coeficientes (números conocidos)
c
término independiente
Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene
INFINITAS SOLUCIONES
r
y si las representamos forman una recta
Una solución (de las infinitas) de una ecuación lineal con 2 incógnitas es un par de valores (xi, yi) que hacen cierta
la igualdad.
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Tema 4.- Ecuaciones de Primer y Segundo Grado.
Grado Sistema de Ecuaciones
S
Siistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de 2 ecuaciones lineales CON 2 incógnitas son 2 ecuaciones lineales de las que se busca una solución
común
ax+by=c
a'x+b'y=c'
Una solución del sistema es todo par de números que verifican
verifican las 2 ecuaciones a la vez
Número de Soluciones
Un sistema de ecuaciones, según el número de soluciones que tenga, se llama:
Sistema:
Compatible Determinado (SCD)
Compatible Indeterminado (SCI)
Incompatible (SI)
Una única solución
La representación gráfica del
sistema son dos rectas secantes
que se cortan en un punto (la
solución)
Infinitas soluciones
La representación gráfica del
sistema son dos rectas
coincidentes
Sin solución
La representación gráfica del
sistema son
s
dos rectas que son
paralelas
Métodos de resolución
Reducción
Consiste en encontrar otro sistema, con las mismas soluciones, que tenga los coeficientes de una misma incógnita
iguales o de signo contrario, para que al restar ó sumar las dos ecuaciones la incógnita desaparezca.
x–y=3
→
2x + 3y = 4
×2
E1
2x - 2y = 6
→
→
→ +
2x + 3y = 4
E2
→ y=2 →
x – 2 = 3 → x=5
Sustitución
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra.
x–y=3
x=3+y
x
x=5
→
→
→
→
→
2 3+y + 3y = 4
y=2
2x + 3y = 4
Igualación
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan
x=3
3+y
4+3y
x–y=3
4+3y →3+y=
→
2x + 3y = 4
2
x=
2
→ y=2 →
x =3
2 → x=5
Bárbara Cánovas Conesa
Matemáticas _ 3º ESO
Reglas Prácticas
Expresar las ecuaciones en la forma general ax + by = c
El método de sustitución es útil cuando:
•
Alguna de las incógnitas tiene como coeficiente 1 o -1
El método de reducción es útil cuando
•
Los coeficientes de una de las incógnitas son iguales o uno es múltiplo del otro
El método de igualación es útil cuando
•
los coeficientes de las incógnitas son distintos de 1 o -1 y no son ni múltiplos ni iguales
4
0
