Matemáticas - Condiciones - Parábola

Geometría
1. –
LAS CÓNICAS.
2. -
LA PARÁBOLA.
3. –
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA.
4. –
ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA.
5. -
ELIPSE.
6. -
ECUACIONES DE LA ELIPSE.
7. -
PROPIEDADES DE LA ELIPSE.
8. -
LA HIPÉRBOLA.
9. -
ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA.
10. -
ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA.
11. -
PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA.
1. -
CÓNICAS COMO LUGAR GEOMÉTRICO:
Una superficie cónica es la engendrada por una recta al girar en torno al eje que
la corta. La intersección de esta superficie con planos da lugar a unas curvas que se
conocen como secciones cónicas y que pueden ser de varios tipos:
circunferencia, elipse, hipérbola o parábola. Estas curvas pueden definirse también
como lugares geométricos (conjuntos de puntos que cumplen determinada propiedad)
y sus ecuaciones se obtienen entonces a partir de estas definiciones.
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
uno dado. Su ecuación, si C (a,b) es el centro y r el radio, será |CX|= r, es decir (x2
2
2
a) + (y-b) = r .
Es la elipse el conjunto de puntos fijos cuya suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.
2. -
LA PARÁBOLA:
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia a
un punto fijo del plano que no pertenece a la recta. El punto fijo se denomina foco y la
recta fija, directriz de la parábola.
El vértice de la parábola es el punto de esta línea más próxima a la directriz de
la parábola.
3. -
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA:
La ecuación de una parábola adopta su forma más simple cuando su vértice está
en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados.
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola. Tracemos por P el segmento PA
perpendicular a l. Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer la
condición: |FP|=|PA|, ahora bien, |FP|=
tendremos,
( x − p) 2 + y 2 = |X+P|.
( x − p) 2 + y 2 , pero como |PA| = |x+p|,
Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ultima ecuación y simplificando,
2
se obtiene y = 4px.
2
Si sumamos (x1-p) a ambos miembros de esta ecuación, obtenemos por la raíz
positiva:
( x1 − p) 2 + y = |x1+p|.
Si P>0, debe excluirse todos los valores negativos de x,y
y toda la curva se
encuentra a la derecha del eje y. Cómo no se excluye ningún valor positivo de x,y como
y no puede tomar todos los valores reales, se obtiene una curva abierta que se
extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X, en
este caso la parábola se abre hacia la derecha.
Análogamente, si P<0, todos los valores positivos de x debe excluirse en la
ecuación y toda la curva aparece a la izquierda del eje y, tal como puede observarse,
en este caso se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje Y, se
2
demuestra que la ecuación de la parábola es: x = 4py, en donde el foco es el punto
(0,p).
La parábola cumple rigurosamente simetría respecto al eje; En el eje de la
parábola se encuentra el foco y el vértice.
La ecuación de la parábola, en su forma más simple, está referida a los ejes de
coordenadas, siendo el vértice el punto 0 y el eje de la parábola, el eje de coordenadas.
Cuando la parábola no coincide en su dirección y situación con los ejes de
coordenadas, la fórmula general se modifica fácilmente para referirse en cualquier
posición del plano.
En un punto de la parábola sólo pasa una sola línea recta que se denomina
tangente.
4. -
ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA:
Cómo la ecuación de la parábola es de segundo grado, consideramos los tres
casos siguientes:
a) Tangente en un punto medio de contacto dado.
b) Tangente con una pendiente dada.
c) Tangente trazada desde un punto exterior.
a) TANGENTE EN UN PUNTO DE CONTACTO DADO:
2
Se determina la ecuación de la tangente a la parábola y =4px, en un punto
cualquiera P1(X1Y1) de la parábola, la ecuación de la tangente buscada es de la forma
y-y1= m(x-x1), en donde debe determinarse la pendiente m. Si el valor de Y obtenido
en la ecuación precedente se sustituye en la primera ecuación tendremos (y1+mx2
mx1) =4px.
Por la condición de tangencia, el discriminante de esta última ecuación debe
2
anularse y por la tanto se tiene x1m -y1m+p=0, de donde,
y1 + y12 − 4 px1
.
2 x1
m=
Conocida la pendiente de la tangente de una parábola dada es posible
conocer el punto único de contacto.
En una parábola la condición de tangencia viene dada por la fórmula (2mk2
2
2
4p) -4 k m =0 desde un punto exterior a una parábola se pueden trazar n rectas
tangentes.
b) TANGENTE CON UNA PENDIENTE DADA:
Consideremos el problema de determinar la ecuación de la tangente de
pendiente m a la parábola anterior. La ecuación buscada es del tipo y=mx +k, en
donde k es la constante cuyo valor debe determinarse. Si sustituimos el valor de Y en
2
la ecuación de la parábola se obtiene (mx+k) = 4px, es decir,
2
2
2
m x +(2mk-4p)x+k = 0, la condición de tangencia es
2
2
2
(2mk-4p) - 4k m =0, de donde K=p/m, sustituyendo este valor la ecuación buscada
Y=mx+p/m, m ⊄ 0. Esta ecuación nos permite deducir el siguiente resultado: La
tangente de pendiente m a la parábola y =4px tiene por ecuación Y=mx+p/m, m ⊄ 0.
2
La función cuadrática o trinomio de segundo grado se representa por una
parábola cuyo eje coincide o es paralelo con el eje de abscisas.
4. -
LA ELIPSE:
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de modo que la
suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una
constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
Se conoce como diámetro de la elipse a toda recta que une dos puntos de la
curva y que pasa por el centro.
Las rectas que unen los focos con un punto determinado de la elipse se
denominan radios vectores.
5. -
ECUACIONES DE LA ELIPSE:
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. El punto P debe satisfacer la
ecuación |FP|+|F´P|=2ª, siendo “a” una constante positiva mayor que “c”, ahora bien,
|FP|=
( x − c) 2 + y 2
de modo que la condición geométrica queda expresada
( x − c) 2 + y 2 + ( x + c) 2 + y 2 = 2a .
analíticamente por la ecuación
Para simplificar la ecuación anterior pasamos el segundo radical al segundo
miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes.
De este modo se obtiene cx+a =a ( x + c) + y
2
2
2
.
La suma de la distancia de los radios vectores en cualquier punto de la elipse es
constante.
La elipse guarda relación de simetría respecto de su eje mayor y menor.
La elipse no tiene asíntotas verticales ni horizontales.
La excentricidad de una elipse, que se representa por e en la razón r/a y
siempre es menor que 1:
a 2 − b2
.
a
e=c/a =
La ecuación de la elipse puede representarse de la siguiente manera:
2
2
ax +cy +dx+ey+f=0.
En cada punto de la elipse pasa una única tangente; La bisectriz del ángulo que
forman los dos radios vectores es perpendicular a la tangente de la elipse.
7. -
PROPIEDADES DE LA ELIPSE:
a)
2
2
2
2
2
2
La tangente a la elipse b x +a y =a b en cualquier punto P1 (x1 . y1) de
la curva tiene por ecuación:
b2 x1 x + a2 y1 y = a2 b2
b)
Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse b2 x2 + a2 y2 =
a2 b2 son:
y = mc ± a 2 m 2 + b 2
c)
La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del
ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
8. -
LA HIPÉRBOLA:
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que el
valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados
focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia
entre los focos.
En la hipérbola los radios vectores iguales que pueden trazarse en cada punto
desde los focos son dos.
9. -
ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA:
Por la definición de hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición:
|FP|-|F´P|= 2a
En donde a es una constante positiva y 2a < 2c.
La condición geométrica es equivalente a dos relaciones
|FP|-|F´P|= 2a
|FP|-|F´P|= -2a
La primera de estas relaciones se verifica cuando P está sobre la rama izquierda
de la hipérbola. La segunda relación se verifica cuando P está sobre la rama derecha.
Ahora bien,
|FP|=
|F´P|=
(x − c )2 + y 2
(x + c )2 + y 2
Las ecuaciones precedentes se reducen a:
(c2 – a2) x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2)
que puede escribirse de la forma:
x2/a2 – y2/b2 = 1
Despejando, resulta:
y=±
b 2
x − a2
a
Los radios vectores tienen su valor menor cuando coinciden con el eje focal. En
este caso los puntos son los vértices.
Los radios vectores aumentan de forma constante en cada punto de la hipérbola.
La hipérbola no es una línea cerrada y se extiende hasta el infinito.
La excentricidad de la hipérbola se define por la razón:
e=
c
a
Llamamos asíntotas a la recta que se acerca progresivamente a la hipérbola en
puntos de esa curva cada vez más alejado del vértice. Esta recta no llega a tener nunca
contacto aunque se acerque infinitesimalmente.
Una hipérbola se llama equilátera cuando los ejes transversos y conjugados son
de la misma longitud.
10. -
ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA:
Si en la ecuación de la hipérbola b2x2 – a2y2 = a2b2 Despejamos y se obtiene:
y=±
b 2
x − a2
a
Que puede escribirse del modo siguiente:
y=±
bx
1 − a2 / x2
a
Una forma particularmente útil de la ecuación de la hipérbola equilátera es:
xy= k. Puesto que la ecuación de una hipérbola es:
x2/a2 – y2/b2 =1
La hipérbola conjugada tiene por ecuación:
y2/b2 - x2/a2 = 1
Las asíntotas de una hipérbola son dos. En una hipérbola equilátera las asíntotas
son perpendiculares.
Se denominan hipérbolas conjugadas cuando ocurre que el eje transverso de
una es igual al eje conjugado de la otra.
11. -
PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA:
a) La ecuación de la tangente a la hipérbola b2x2 – a2y2 = a2b2 en cualquier
punto P1 (x1y1) de la curva es b2x1x-a2y1y = a2b2.
b) Las ecuaciones de la tangente a la hipérbola b2x2- a2y2=a2b2 de pendiente m
son:
y = mx ± a 2 m 2 − b 2 |m| > b/a
c) La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del
ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
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