dy dx - WikiUASD

Unidad 2. Las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Sus
Soluciones
2.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables1
Definición. Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma
dy
 p ( x) q ( y )
dx
es separable o que tiene variables separables.
Método para resolver ecuaciones diferenciales separables
Para resolver la ecuación
dy
 p( x)q( y ) ~ (1)
dx
Multiplicamos la ec. (1) por h( y )dx y obtenemos:
h( y)dy  p( x)dx ~ (2)
1
q ( y)
Luego procedemos a int egrar la exp resión (2):
donde h( y) 
 h( y)dy   p( x)dx
H ( y )  P( x)  C ~ (3)
Hemos reunido las dos cons tan tes de int egración en un solo símbolo C. La última ecuación
proporciona una solución implícita de la ecuación diferencial.
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación diferencial por medio de separación de
variables.
dx  y  1 
y ln x


dy  x 
2
dx  y 2  2 y  1 
y ln x

 ~ (1)
dy 
x2

Multiplicamos la ec. (1) por dy:
 y2  2 y 1 
y ln xdx  
 dy ~ (2)
x2


1
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
Separamos las variables en la ec. (2):
 y2  2 y 1 
x 2 ln xdx  
 dy ~ (3)
y


Re alizamos las operaciones indicadas en la ec. (3):

1
x 2 ln xdx   y  2   dy ~ (4)
y

Integramos en ambos lados en (4):
dy
2
 x ln xdx   ydy  2 dy   y
x3
1 3 dx x 3
1 2
x3
x3
 x ln xdx  3 ln x  3  x x  3 ln x  3  x dx  3 ln x  9  C
dx
u  ln x  du 
x
x3
dv  x 2  v   x 2 dx 
3
3
3
2
x
x
y
2
ln x  
 2 y  ln y  C
3
9
2
2
2.2 Ecuaciones Exactas
Definición. Una expresión diferencial M ( x, y ) dx  N ( x, y ) dy es una diferencial
exacta en una región
R
del plano
función f ( x, y ) definida en
xy
si corresponde a la diferencial de alguna
R . Una ecuación diferencial de primer orden de la
forma
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial
exacta.
Teorema. Criterio de exactitud
Si las primeras derivadas parciales de M ( x, y ) y N ( x, y ) son continuas en un
rectángulo
R . Entonces
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
es una ecuación exacta en
R
sí y solo si la condición de compatibilidad
M ( x, y ) N ( x, y )
=
y
x
se cumple para toda ( x, y ) en R .
2
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
Método para resolver ecuaciones exactas
a. si M ( x, y ) dx  N ( x, y ) dy  0 es exacta, entonces
ecuación con respecto a
x
F
 M . Integre esta última
x
para obtener
F ( x, y )   M ( x, y )dx  g ( y ) ~ (1)
b. Para determinar g ( y ) , calcule la derivada parcial con respecto de
ambos lados de la ecuación (1) y sustituya N en vez de
podemos hallar
y
de
F
. Ahora
y
g '( y ) .
c. Integre g '( y ) para obtener g ( y ) salvo una constante numérica. Al sustituir
g ( y ) en la ecuación (1) se obtiene F ( x, y ) .
d. La solución de Mdx  Ndy  0 está dada en la manera explícita por
F ( x, y )  C .
(En forma alternativa, partiendo de
F
 N , la solución implícita se puede
y
determinar integrando primero respecto de
y ).
Ejemplo 2. Verifique si la ecuación dada es exacta, si es exacta halle su
solución.3
( x  y 3  y 2 senx)dx  (3 xy 2  2 ycox)dy ~ (1)
Primero escribimos la ecuación en la forma:
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
( x  y 3  y 2 senx)dx  (3xy 2  2 ycox)dy  0
M ( x, y )  x  y 3  y 2 senx y N ( x, y )  -3 xy 2 - 2 ycox
Hallamos
M
N
y
:
y
x
M
N
 3 y 2  2 ysenx y
 3 y 2  2 ysenx
y
x
La ecuación dada es exacta, porque
M N

y
x
Ahora calculamos F ( x, y ) :
F ( x, y )   M ( x, y )dx  g ( y )
F ( x, y )   ( x  y 3  y 2 senx )dx 
3
x2
 xy 3  y 2 cos x  g ( y ) ~ (2)
2
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez
Derivamos la expresión (2) respecto de y :
F ( x, y )
 3xy 2  2 y cos x  g '( y ) ~ (3)
y
Igualamos la exp resión (3) a N ( x, y ) :
3xy 2  2 y cos x  g '( y )  -3 xy 2 - 2 ycox
g '( y )  0 ~ (4)
Integramos (4) respecto de y:
 g '( y)   0dy
g ( y )  C ~ (5)
Sustituimos (5) en (2):
x2
F ( x, y )   xy 3  y 2 cos x  C
2
De ahí tenemos que:
xy 3  y 2 cos x 
x2
C
2
Ejemplo 3. Si la ecuación dada es exacta, halle su solución.
(tan x  senxseny ) dx  cox cos ydy  0 ~ (a )
M ( x, y )
N ( x, y )
  senx cos y ,
  senx cos y
y
x
La ecuación es exacta, se cumple que:
M ( x, y ) N ( x, y )

y
x
Integramos a N ( x, y ) respecto de y :
F ( x, y )   N ( x, y )dy  h( x )
F ( x, y )   cox cos ydy  cos xseny  h ( x ) ~ (b)
Derivamos (b) respecto de x y la igualamos a M ( x, y ):
F ( x, y )
  senxseny  h '( x )
x
tan x  senxseny   senxseny  h '( x )
h '( x )  tan x ~ (c )
Integramos (c ) :
 h '( x)   tan xdx
h ( x )   ln cos x  C ~ ( d )
Sustituimos (d) en (b):
cos xseny  ln cos x  C
2.3 Ecuaciones Lineales4
Definición. Una ecuación diferencial de primer orden es lineal cuando puede ser
expresada en la forma
dy
 a0 y  b(x) ~ (1)
dx
donde a1, a0 y b(x) sólo dependen de la var iable independiente x, no así de y.
a1(x)
Cuando b( x)  0 , se dice que la ecuación lineal (1) es homogénea; de lo
contrario, es no homogénea.
Forma estándar: Al dividir la ecuación (1) entre el coeficiente principal
a1 , se
obtiene una forma más útil, la forma estándar, de una ecuación lineal:
dy
 p ( x ) y  q ( x) ~ (2)
dx
Se busca una solución de (2) en un intervalo
coeficientes p y q son continuas.
I
para el cual ambas funciones
Propiedad. La ecuación (2) tiene la propiedad de que su solución es la suma de
las dos soluciones: y  yc  y p , donde
yc es una solución de la ecuación
homogénea afín
dy
 p ( x) y  0 ~ (3)
dx
y p es una solución particular de la ecuación no homogénea (2).
y
Ejemplo 4. Determine si las siguientes ecuaciones son lineales.
dy
 ysenx  x3  e x
dx
dy
3.
 y sec x  cos x
dx
1.
dy
 xy 2  tan x
dx
dy
4.
 (2 ln x) y  x
dx
2.
Las ecuaciones 1, 2 y 4 son lineales y la ecuación (3) es no lineal.
4
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
Método para resolver ecuaciones lineales.5
i.
Escriba la ecuación en la forma estándar
dy
 p( x) y  q ( x)
dx
ii.
Calcule el factor integrante
 ( x)  e 
iii.
 ( x) mediante la fórmula
p ( x ) dx
Multiplique la ecuación en la forma estándar por
que el lado izquierdo es precisamente
 ( x) y, recordando
d
  ( x) y  , obtenga
dx
d
  ( x ) y    ( x )q ( x )
dx
iv.
Integramos ambos lados de esta última ecuación.
Ejemplo 5. Resuelva la ecuación lineal dada.
dy
 y  x 2 senx
dx
Escribimos la ec. dada en la forma canónica, dividiendo entre x:
dy y
  xsenx ~ (a )
dx x
1
p( x)  
x
Calculamos el factor int egrante  ( x ) :
x
dx
 ( x)  e  x  e  ln x  eln x  x 1
Multiplicamos la ec. (a ) por  ( x ) y tenemos que :
d
( yx 1 )  x 1 ( x 2 senx)
dx
d
( yx 1 )  xsenx ~ (b)
dx

1
Multiplicamos la ec. (b ) por dx :
d ( yx  1 )  xsenxdx ~ ( c )
Integramos la ec. (c):
5
 d ( yx
1
yx  1 
 xsenxdx
)
 xsenxdx
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
 xsenxdx   x cos x   cos xdx   x cos x  senx  C
ux
du  dx
dv  senxdx
v   senxdx   cos x
Entonces ,
x 1 y   x cos x  senx  C
y   x 2 cos x  xsenx  Cx
2.4 Factores integrantes y ecuaciones no exactas
Factor integrante. Si la ecuación
M ( x, y )dx  N ( x, y ) dy  0 ~ (1)
no es exacta, pero la ecuación
 ( x, y ) M ( x, y )dx   ( x, y ) N ( x, y ) dy  0 ~ (2),
resultante de multiplicar la ecuación (1) por  ( x , y ) si es exacta, entonces
 ( x , y ) es un factor integrante de la ecuación (1).
Factores integrantes especiales

Teorema. Si M
y
 N
x
 N es continua y sólo depende de x , entonces
  M  N  
x  
 ( x )  exp    y
dx ~ (3)
 
 
N
 
 
es un factor integrante para la ecuación (1).

Si N
x
 M
y
 M es continua y sólo depende de y , entonces
  N  M  
y  
 ( y )  exp    x
dy ~ (4)
 
 
M
 
 
es un factor integrante de la ecuación (1).
El teorema anterior sugiere el siguiente procedimiento.
Método para determinar factores integrantes especiales6
Si M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 no es separable ni lineal, calcule
M
N
y
. Si
y
x
M N

, entonces la ecuación es exacta. Si no es exacta, considere
y
x
M y  N x
~ (5) .
N
Si (5) sólo depende de x , entonces un factor integrante está dado por la
fórmula (3). En caso contrario, considere
N x  M y
~ (6) .
M
Si (6) depende de
y , entonces
un factor integrante está dado por la fórmula
(9).
Ejemplo 6. Resuelva la ecuación diferencial dada
(2 y 2  3x )dx  2 xydy  0
Primero analizamos si la ecuación diferencial es exacta.
M ( x, y )  2 y 2  3 x, N ( x, y )  2 xy
M
N
 4y y
 4y
y
x
La ecuación no es exacta, porque
M N

y
x
Buscamos un factor integrante para convertir la ecuación en exacta:
M y  Nx
N

4y  2y 2y 1


2 xy
2 xy x
dx
 ( x)  e  x  eln x  x
Multiplicamos la ecuación dada por  ( x ) :
x  (2 y 2  3 x)dx  2 xydy  0 
(2 xy 2  3 x 2 )dx  2 x 2 ydy  0 ~ (a )
Investigamos si la ecuación (a) es exacta:
M
N
 4 xy y
 4 xy
y
x
6
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
La ec. (a) es exacta, porque
M N

y
x
F ( x, y )   M x  h( y )
F ( x, y )   (2 xy 2  3 x 2 )x  x 2 y 2  x3  h( y )
Derivamos F ( x, y ) respecto de y y la igualamos a N ( x, y ):
F ( x, y )
 2 x 2 y  h '( y )
y
F ( x, y )
 N ( x, y )
y
2 x 2 y  h '( y )  2 x 2 y
h '( y )  0 ~ (b)
Integramos la ec. (b):
 h '( y)   0dy  h( y )  C
Entonces, la solución viene dada por :
F ( x, y )  C
x 2 y 2  x3  C
2.5 Ecuaciones Homogéneas y Otras Sustituciones7
Procedimiento de sustitución
i.
ii.
iii.
iv.
Identifique el tipo de ecuación y determine la sustitución o
transformación adecuada.
Escriba la ecuación original en términos de las nuevas variables.
Resuelva la ecuación transformada.
Expresa la solución en términos de las variables originales.
Ecuación homogénea. Si el lado derecho de la ecuación
dy
 f ( x, y ) ~ (1)
dx
se puede expresar como una función que sólo depende del cociente
entonces decimos que la ecuación es homogénea.
7
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez
y
x
,
Otra versión: Una ecuación diferencial de primer orden en la forma
M ( x, y ) dx  N ( x, y ) dy  0
es homogénea si ambas funciones M y N son ecuaciones homogéneas del
mismo grado.
Un criterio para la homogeneidad de la ecuación (1) consiste en reemplazar
tx
por
ya
y
por
ty . Entonces (1) es homogénea si y sólo si
f (tx, ty )  f ( x, y )  t  0.
Para resolver una ecuación homogénea, utilizamos la sustitución:
Sea
v
y
~ (2)
x
Nuestra ecuación homogénea tiene ahora la forma
dy
 G (v) ~ (3),
dx
Y sólo debemos expresar
y
dy
en términos de x y v . Como v  , entonces
x
dx
y  vx ~ (4) . Sabemos que y y v son funciones continuas de
x , por lo que
podemos aplicar la regla del producto para derivar la ec. (4).
dy
dv
 v  x ~ (5)
dx
dx
Sustituyendo (5) en (3):
vx
dv
 G (v) ~ (6)
dx
Como podemos observar, la ec. (6) es separable y podemos obtener una
solución implícita
dv
 G (v)  v
dx
xdv   G (v)  v  dx
x
dv
dx

~ (7)
 G (v )  v  x
x
Ahora procedemos a integrar la expresión (7):
dv
dx

 G(v)  v   x .
Sólo necesitamos expresar la solución en términos de las variables originales
x e y.8
Ejemplo 7. Identifique si la ecuación dada es homogénea. Si lo es, halle la
solución.9
dy
 y 3  x 3 ~ (1)
dx
Analizamos si la ecuación es hom ogénea :
xy 2
Como podemos ver , cada tér min o es de grado 3, por tan to es hom ogénea,
ahora buscamos una sustitución adecuada.
y  vx ~ (2)
Derivamos la ec. (2) respecto de x :
dy
dv
 v  x ~ (3)
dx
dx
Sustituimos (2) y (3) en (1) :
dv 

x(vx )2  v  x   ( xv )3  x3
dx 

dv 

x 3v 2  v  x   x 3v 3  x 3
dx 

dv
x 3v 3  x 4 v 2
 x 3v 3  x 3
dx
dv
x 4v2
  x3 ~ (4)
dx
Separando var iables en (4) :
x3 dx
v dv   4
x
dx
v 2 dv   ~ (5)
x
Integramos la exp resión (5) :
dx
2
 v dv    x
v3
  ln x  C ~ (6)
3
2
8
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
De la ec. (2) :
y
v  ~ (7)
x
Sust . (7) en (6) :
y3
  ln x  C
3x3
Ecuaciones de la forma
dy
 G ( ax  by ) 10
dx
Cuando el lado derecho de la ecuación
dy
 f ( x, y ) se puede expresar como
dx
una función de la combinación ax  by , donde
a y b son constantes, es decir,
dy
 G (ax  by ),
dx
entonces la sustitución
z  ax  by
transforma la ecuación en una ecuación separable.
Ejemplo 8. Resuelva la ecuación diferencial dada.
dy
3x  2 y

dx 3 x  2 y  2
Sea z  3x  2 y ~ (1)
Derivamos la exp resión (1) respecto de x :
dz
dy
 32
~ (2)
dx
dx
dy
Despejamos a
de (2) :
dx
dy dz 3

 ~ (3)
dx 2dx 2
Sust. (1) y (3) en la ec. dada :
dz 3
z
 
~ (4)
2dx 2 z  2
10
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
Multiplicamos la ec. (4) por 2dx :
dz - 3dx 
2z
dx
z2
2z
dx  3dx
z2
 2 z  3z  6 
dz  
 dx
 z2 
dz 
 5z  6 
dz  
 dx ~ (5)
 z2 
Separamos var iables :
z2
dz  dx
5z  6
dz
4dz
 5   25z  30   dx
z 4
 ln(25 z  30)  x  C ~ (6)
5 25
Sust. (1) en (6) :
3x  2 y 4
 ln(75 x  50 y  30)  x  C
5
25
Ecuaciones con coeficientes lineales11
Hasta ahora solo hemos utilizado sustituciones de
y
para transformar la
ecuación original en una nueva ecuación que se puede resolver. En algunos
casos, tenemos que transformar x y y en nuevas variables. Éste caso se aplica
frecuentemente para ecuaciones
ecuaciones de la forma
con
coeficientes
lineales;
es
decir,
(a1 x  b1 y  c1 )dx  (a2 x  b2 y  c2 )dy  0 ~ (10),
donde las
ai ' s, bi ' s y c1 ' s
son constantes. Si
dy
 G ( ax  by ) ,
dx
z  ax  by .
puede escribir de la forma
mediante la sustitución
Si
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
la ecuación (10) se
que resolvimos en el caso anterior
c1  c2  0 , la ecuación (10) se transforma en
(a1 x  b1 y )dx  (a2 x  b2 y )dy  0,
11
a1b2  a2b1 ,
que puede escribirse en la forma
a1  b1
dy
a1 x  b1 y


dx a2 x  b2 y a2  b2
 y x  ~ (11).
yx
La ecuación (11) es homogénea, por lo que podemos resolverla haciendo las
sustituciones adecuadas.
Analicemos ahora la siguiente situación: si
a1b2  a2b1 , entonces buscamos una
traslación de ejes de la forma
x  u h y y  v k,
donde
h y k
son
constantes,
que
cambie
a1 x  b1 y  c1 por a1u  b1v
y
a2 x  b2 y  c2 por a2u  b2v . De acuerdo al conocimiento de álgebra elemental,
sabemos que tal transformación existe si el sistema de ecuaciones
a1h  b1k  c1  0 
 ~ (12),
a2h  b2 k  c2  0 
tiene solución única. Esto queda garantizado por la hipótesis
a1b2  a2b1 , que
geométricamente se interpreta que las dos rectas descritas por la expresión (12)
se intersectan. Si satisface (12), entonces las sustituciones x  u  h y y  v  k
transforma la ecuación (10) en la ecuación homogénea
dv   a1u  b1v   a1  b1  v u  ~ (13),
du a2u  b2v a2  b2  v 
u
que sabemos resolver.
Ejemplo 9. Resuelva la siguiente ecuación con coeficientes lineales constantes.
( x  y  2)dx  ( x  3 y  6) dy  0 ~ (1)
Analizamos si la ecuación (1) cumple con: a1b2  a2b1
a1  1, b1  1, a2  1 y b2  3
a1b2  (1)(3)  3 y a2b1  ( 1)(1)  1
a1b2  3  a2b1  1, entonces aplicamos la traslación de ejes: x  u  h, y  v  k ,
donde h y k satisfacen el sistema
h k 20
h  3k  6  0
R esolviendo el sistema de ecuaciones tenem os que:
h  -3 y k  1
Sustituyendo a h y k tenem os:
x  u  3, y  v  1 ~ (2)
D erivando las variables x y y respecto de u y v respectivam ente:
dx  du y dy  dv ~ (3)
Sustituyend o (2) y (3) en (1):
( u  3  v  1  2) du  (  u  3  3v  3  6) dv  0
(u  v ) du  (  u  3v ) dv  0
dv  u  v  1  v u ~ (4)
du u  3 v 1  3  v 
u
v
~ (5)  v  zu ~ (6)
u
D erivando (6) respecto de u :
Sea z 
dv
dz
 zu
~ (7 )
du
du
Sustituyendo (5) y (7) en (4):
dz 1  z
zu

~ (8)
du 1  3 z
M ultiplicam os (8) por du :
1 z
du
1  3z
R eagrupando térm inos sem ejantes:
zdu  udz 
1 z
du   udz
1  3z
3z2  1
du   udz ~ (9)
3z  1
S eparando variables en (9 ):
du
3z  1

dz
-u
3z2  1
du
3z  1

 2
dz
u
3z  1
zdu 
 ln u 
 ln u 
3z
dz
 3 z 2  1 dz   3 z 2  1
ln 3 z 2  1
2
3 arctan

 ln u  ln
3z2  1 
 ln u  ln
3 v

3z
C

3z
  C ~ (10)
3
3 arctan
3
S ustituyendo a z por su valor en (10):
 u
 u   C ~ (11)
3 v
3 arctan
2
1 
3
S ustituim os a u y v por su valor en (11):
2
ln x  3
 y 1 
3
 1 
 x3
3 arct an
3
 y 1 
3

 x3  C
Ecuaciones de Bernoulli
Definición. Una de primer orden que puede escribirse en la forma
dy
 P( x) y  Q( x) y n ~ (14),
dx
donde P( x) y Q( x) son continuas en el intervalo
( a, b ) y
n
un número real, es
una ecuación de Bernoulli.12
Si
n  0 o n  1 , la ecuación (14) es una ecuación lineal y podemos resolverla
como tal. Para otros valores de
n , la sustitución
v  y1n
transforma la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal, como podemos
observar.
Dividimos la ecuación (14) entre
y n
yn
se obtiene
dy  P( x) y1n  Q( x) ~ (15).
dx
Utilizar la sustitución
v  y1n ~ (16)
y aplicar la regla de la cadena, tenemos
que:
dv  (1  n) y  n dy ~ (17),
dx
dx
de la expresión (17) tenemos que:
y n dy  1 dv ~ (18)
dx (1  n) dx
Sustituyendo (16) y (18) en (15):
1 dv
 P( x )v  Q( x) ~ (19)
(1  n) dx
Multiplicamos la ec. (19) por (1  n ) y la ecuación se trasforma en lineal como
podemos observar.
dv  (1 n) P( x)v  (1 n)Q( x) ~ (20).
dx
12
Preparado por: Gil Sandro Gómez.
Ejemplo 10. Analice si la ecuación dada es de Bernoulli, en caso afirmativo halle
su solución.13
x2
dy  y 2  xy
dx
Dividimos la ecuación dada entre x 2 :
dy  y 2
dx x 2
dy  y 2
dx x 2

xy
x2

y
~ (1)
x
Reorganizando la ecuación (1):
dy  y   y 2
x2
dx x
~ (2)
Multiplicamos (2) por
y 2 dy  y
dx x
1

y 2 :
1
~ (3)
x2
v  y 1 ~ (4)
Si
Derivamos la expresión (4) respecto de
x:
dv   y 2 dy
dx
dx
dv  y 2 dy ~ (5)

dx
dx
Sustituyendo (4) y (5) en (3):
dv  v   1
dx x x 2
dv  v  1 ~ (6)
dx x x 2

Como podemos observar, la ecuación (6) es lineal y podemos resolverla
aplicando el procedimiento adecuado.
13
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
dx
FI  e x  eln x  x
 1
2
x
dx
vx  
x
vx   x 

dx

vx  ln x  C ~ (7)
Sustituyendo a v por su valor en (7) :
xy -1  ln x  C
i
i
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.