Guía de Ejercicios Tercer Año de E. Tercer Año de E. M.M.

Autor: christian cortes, www.geocities.com/jc_cortes
Guía de Ejercicios
Tercer Año de E. M.
Materia: Teoría de la ecuación de Segundo grado
a. naturaleza de las raíces
b. Discriminante
c. Formación de la ecuación a partir de las raíces
a . Naturaleza de las raíces
Llamamos ∆ al discriminante de la ecuación de segundo grado y su valor es:
∆ = b² - 4ac
Sí ∆ < 0, entonces las raíces son no reales (imaginarias)
Sí ∆ = 0, entonces las raíces son reales e iguales
Sí ∆ > 0, entonces las raíces son reales y distintas.
Ejemplo resuelto 1:
Determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación:
3x² - 5x + 4 = 0
Solución:
∆ = (-5)² - 4(3)(4) = 25 - 48 = -23 < 0, luego las raíces son no reales
Ejemplo resuelto 2:
Para que valor de k, la ecuación 3x² - 6x + k = 0 tiene raíces iguales
Solución:
La condición para que la ecuación tenga raíces iguales es ∆ = 0, luego
(-6)² - 4(3)(k) = 0
36 - 12k = 0
-12k = -36
k=3
Ejemplo resuelto 3
Demuestre que las raíces de la ecuación x² - 2px + p² - q² + 2qr - r² son racionales.
Solución:
Para que las raíces de esta ecuación sean racionales, no basta que ∆ ≥ 0, ya que nos
podríamos encontrar que ∆ tuviera raíz cuadrada inexacta, con lo cual las raíces de la
ecuación no serían racionales. Por lo tanto lo que decide en último término la
racionalidad de las raíces es tener que ∆ sea un cuadrado perfecto y así tener raíz
cuadrada exacta. Probaremos entonces que ∆ es un cuadrado perfecto
(2p)² - 4(1)(p² - q² + 2qr - r²) =
4p² - 4p² + 4q² - 8qr + 4r² =
4q² - 8qr + 4r²
(2q - 2r)²
que es un cuadrado perfecto, luego las raíces son racionales.
b . Discriminante
El discriminante de la ecuación de segundo grado es la expresión b² - 4ac, según sea el signo
de este valor podemos afirmar si las raíces de la ecuación de segundo grado son:
i. reales e iguales ∆ = 0
ii. reales y distintas ∆ > 0
iii. no reales (imaginarias) ∆ < 0
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a . Formación de una ecuación de segundo grado a partir de sus raíces
La relación fundamental para formar la ecuación de segundo grado a partir de sus raíces es:
x² - (α + β )x + αβ = 0 , donde a y b son las raíces de la ecuación
Ejemplos resueltos:
1. Formar la ecuación dadas las raíces 3 y 5
reemplazando los valores
x² - (3 + 5)x + 15 = 0
x² - 8x + 15 = 0
2. Formar la ecuación dadas las raíces 3 + √2, 3 - √2
reemplazando
x² - (3 + √2 + 3 - √2)x + (3+ √2)(3 - √2) = 0
x² - 6x + 7 = 0
3. determinación de condiciones
Sí α y β son las raíces de la ecuación x²- mx + n = 0, hallar el valor de
a. α² + β²
Sabemos que α + β = -b/a, αβ = c/a
α² + β² = (α + β)² - 2αβ
(b/a)² - 2c/a
reemplazando los valores
m² - n
b. α = 2β
remplazando en las relaciones
2β + β = -b/a
2ββ = c/a
o bien
3β = -b/a
2β²=c/a
cambiando a sus valores
3β = m
2β ²= n
tenemos
β = m/3
β ²=n/3
de la primera
β ² = m²/9
β ² = n/3
entonces
m²/9 = n/3
es decir
3m² = 9n
Ejercicios propuestos:
Encontrar la naturaleza de las raíces
1. x² + x - 870 = 0
2. 8 + 6x = 5x²
3. ½x² = 14 - 3x²
4. x² + 7 = 4x
5. 2x = x² + 5
6. (x + 2)² = 4x + 15
7. si la ecuación x² + 2(1 + k)x + k² = 0 tiene raíces iguales cuál es el valor de k?
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8. Una raíz de 6x² - 13x + a = 0 es 1½. Encontrar el valor de a.
9. Una raíz de 6x² + ax -5 = 0 es 12/3. Encontrar el valor de a
10. Una raíz de ax² + x - 3 = 0 es -1½. Encontrar el valor de a
11. Muestre que x = 1 - b/a satisface la ecuación a(a + b)x² - b(a - b)x = (a - b)² , y hallar
el otro valor de x.
12. Pruebe que la ecuación 3mx² - (2m + 3n)x + 2n = 0 tiene raíces racionales.
13. Demuestre que las raíces de la ecuación a(x² - 1) = (b - c)x son siempre reales
14. Sin resolver la ecuación 3x² - 4k - 1 = 0. Encuentre la suma, la diferencia, el producto
y la suma de los cuadrados de las raíces.
15. Demuestre que las raíces de la ecuación a(x² - 1) = (b - c)x son siempre reales.
16. Formar la ecuación cuyas raíces son:
a. 3 + √5, 3 - √5 b) -2 + √3, -2 - √3 c) -a/5, -b/5
17. Si a y b son las raíces de la ecuación px² + qx + r = 0. Hallar el valor de:
a) α² + β²
f) α²/β + β²/α
b) (α - β)²
g) 1/α² + 1/β²
c) α²β + αβ²
h) α 3 + β 3
d) α 4 + β 4
i)(α+2/β)(β+2/α)
e) α5β² + α²β5
18. Si α y β son las raíces de la ecuación x² + ax + b = 0, y α², β² son las raíces de la
ecuación:
x² + Ax + B = probar que A = 2b - a², B = b²
19. Sí α y β son las raíces de la ecuación x² - ax + b = 0, encontrar la ecuación de segundo
grado cuyas raíces son:
a) α + 1, β + 1
f) α², β²
b) α - 2, β - 2
g) α + 2β , β + 2α
c) 3α , 3β
h) α /β², β /α²
d) α /4, β /4
i) α² + β , β² + α
e) √α , √β
j)α/2-2β,β/2-2α
20.Las raíces de la ecuación 5x² - 20x + 12 = 0 son α y β. Factorice la expresión α² + β² y
encuentre su valor numérico sin resolver la ecuación.
21. Las raíces de la ecuación x² + px + q = 0 ,son el doble de las raíces de x² - (b + c)x + bc
= 0. Expresar p y q en términos de b y c.
22.
Encontrar el valor de p y las raíces de la ecuación 2x² - 32x + p = 0 sabiendo que una
raíz es diez veces la otra.
23. Si α y β son las raíces de la ecuación ax² + bx - a = 0, demuestre que
(αa + b)(aβ + b) = -a²
24.
Sí x² + px + q = 0 y x² + mx + n = 0 tienen una raíz en común demuestre que esta raíz
es la raíz cuadrada de (pn - qm)(m-p)
25. Sí a y b son las raíces de la ecuación x² + px + q = 0, encontrar la condición para que:
a. α = β
b. α = β/2
c. α = 2β
d. α - β = 2
e. α + β = 7
f. 1/α + 1/β = 2
26. Demuestre que las raíces de la ecuación (a +b)x² - (a + b + c)x + c/2 = 0 son siempre
reales
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