7. Ecuaciones y sistemas de primer grado

Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
7. Ecuaciones y sistemas de primer grado
1. Ecuaciones
1.1. Ecuaciones de primer grado
1.2. Transposición de términos
2. Sistemas de ecuaciones lineales
2.1. Ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
2.2. Sistemas lineales
3. Resolución de problemas mediante
ecuaciones o sistemas.
4. Soluciones de los ejercicios de la
unidad
1. Ecuaciones
Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el
signo igual (=). Las igualdades algebraicas son de dos tipos:

Identidades. Igualdades que son ciertas para cualquier valor que se les dé a las
letras.

Ecuaciones. Igualdades que son ciertas sólo para algunos valores de las letras o
incógnitas.
Por ejemplo, la expresión
es una identidad. Si se sustituye
diferentes valores siempre se verifica la igualdad. Sin embargo, la expresión
es cierta para
. Se trata de una ecuación.
por
solo
Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a cada lado de
la igualdad. A la expresión de la izquierda se le suele denominar primer miembro y a la
expresión de la derecha segundo miembro. Por ejemplo
2x 7
primer miembro
4 x 11
segundo miembro
Cada sumando de una ecuación se llama término. Los términos que solo contienen
números, sin parte literal, se denominan términos independientes. Los números de los
términos que tienen parte literal se denominan coeficientes. Las letras son las incógnitas.
El grado de una ecuación es el máximo exponente con el que figura la incógnita una vez
reducidos los términos semejantes.
Ejemplos
es una ecuación de primer grado
es una ecuación de segundo grado pues si realizamos las
operaciones indicadas se obtiene:
Resolver una ecuación es encontrar los valores numéricos de la incógnita que verifican
la igualdad.
Ejemplo
Comprobar que x=6 es solución de la ecuación:
Si sustituimos
en la ecuación, se obtiene:
Como la ecuación se ha convertido en una igualdad, concluimos que
solución de la ecuación.
es
1
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
1.1 Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una expresión que se puede
reducir a la forma
, siendo
. La solución general de una ecuación de este
tipo es
.
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.
Ejemplo
Las ecuaciones
y
son equivalentes porque ambas tienen como solución
1.2 Transposición de términos
La transposición de términos es una técnica básica que permite manipular las
ecuaciones llevando los términos de un miembro a otro de la igualdad. La transposición de
términos se basa en el siguiente principio:
Al sumar, restar, multiplicar o dividir el mismo número en los dos miembros de una
ecuación se obtiene otra ecuación equivalente.
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de la incógnita x que
convierten la ecuación en una igualdad. Para resolver una ecuación de primer grado, es
necesario despejar la incógnita mediante una serie de pasos en los que se transforma la
ecuación en otra equivalente en la que está más próxima a ser despejada. Recordemos
algunas reglas:
Es decir,
pasa sumando
pasa restando
pasa dividiendo
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
2
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado

Para despejar x, restamos 2 en ambos miembros o lo que es lo mismo, pasamos el 2
del primer miembro restando al segundo:

Para despejar x, sumamos 5 en ambos miembros o lo que es lo mismo, pasamos el -5
del primer miembro sumando al segundo:

Para despejar x, dividimos entre 4, o sea, pasamos el 4, que está multiplicando en
el primer miembro, al segundo miembro dividiendo:

En este caso pasamos el 2 multiplicando al segundo miembro:
Veamos cómo proceder con ecuaciones que tienen un aspecto complicado. Por ejemplo:
Los pasos a seguir son:
1º) Quitar paréntesis, si los hay:
2º) Quitar denominadores, si los hay, multiplicando los dos miembros de la ecuación por
un múltiplo común de los denominadores, preferiblemente su mínimo común
múltiplo:
Multiplicamos por el
Efectuamos las operaciones indicadas:
3º) Trasponer los términos semejantes y reducir:
5º) Despejar , obteniendo la solución:
3
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
Ejercicios
7.1 Resuelve estas ecuaciones:
1)
;
2)
4)
;
5)
7)
;
8)
10)
;
13)
;
;
;
11)
;
;
14)
16)
17)
19)
20)
;
3)
6)
9)
12)
;
15)
;
;
;
18)
;
;
21)
2. Sistemas de ecuaciones lineales
2.1 Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Una ecuación lineal con dos incógnitas
e
es una igualdad algebraica de la forma
donde , y son números reales. Una solución es cada par de valores
la igualdad. En general, hay infinitas soluciones.
que verifican
Ejemplo
es una ecuación lineal. Esta ecuación tiene infinitas soluciones. Para obtener una
de ellas puedes ser de utilidad despejar una de las incógnitas, y por ejemplo
y dar
un valor arbitrario a x (por ejemplo x=1) obteniendo el correspondiente valor de y:
.
Por tanto, una solución es x=1; y=4 (1,4) . Otras soluciones:
-2
10
-1
8
0
6
1
4
2
2
3
0
Ejercicios
7.2 Comprueba si x=-1 e y=8 son soluciones de las siguientes ecuaciones:
a)
;
b) 7
;
c)
;
d)
7.3 Completa la siguiente tabla con soluciones de la ecuación
0
2
0
-1
-2
3
2.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales o de primer grado con dos incógnitas
e
es un
conjunto de dos ecuaciones en las que las incógnitas representan a los mismos valores en
ambas ecuaciones. Cuando dos ecuaciones forman un sistema, las ponemos de esta
forma:
Ejemplo:
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
4
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
Métodos de resolución algebraica de un sistema
Existen tres métodos algebraicos que permiten resolver estas ecuaciones:
Método de sustitución
Primero se despeja una incógnita en una de las
ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación,
obteniéndose una ecuación con una incógnita.
Una vez resuelta se calcula el valor de la otra
incógnita con la ecuación despejada inicialmente.
Despejamos y de la primera ecuación:
Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
Resolvemos la ecuación resultante:
Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para
obtener el valor de y:
Método de igualación
Se despeja la misma incógnita en ambas
ecuaciones y se iguala el resultado para obtener
una ecuación con una incógnita. Se resuelve ésta
y se calcula el valor de la otra incógnita
sustituyendo en una de las ecuaciones despejadas
inicialmente.
Igualamos:
. Resolvemos esta ecuación:
Sustituimos este valor en una de las ecuaciones que despejamos
inicialmente para obtener el valor de y:
Método de reducción
Se multiplican las dos
ecuaciones por los números
adecuados de forma que los
coeficientes de una de las
incógnitas sean iguales. Al
restarlas, se obtiene una
ecuación con una incógnita. Se
resuelve. El valor de la otra
incógnita puede obtenerse
también por reducción o
sustituyendo en una de las
ecuaciones del sistema.
Reducimos x:
Reducimos y:
5
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
Ejercicios
7.4 Resuelve por sustitución:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
c)
;
d)
;
c)
;
d)
7.5 Resuelve por igualación:
a)
;
b)
7.6 Resuelve por reducción:
a)
;
b)
7.7 Resuelve por el método que creas más adecuado:
a)
; b)
;
c)
6. Resolución de problemas con ecuaciones o sistemas
Para resolver problemas mediantes ecuaciones y sistemas conviene proceder de la
siguiente manera: 1º) Identificar las incógnitas y los datos en el enunciado del problema;
2º) Relacionar incógnitas y datos y expresarlos mediante una o dos ecuaciones; 3º)
Resolver la ecuación (o el sistema de ecuaciones); 4º) Comprobar la validez de las
soluciones de la ecuación en el contexto del problema.
Ejemplos
Calcular un número tal que su triple menos 2 sea igual a 13.
Sea x el número buscado. El planteamiento es:
El número buscado es 5
Un señor compra 6 kg de arroz y 5 kg de judías por 19€ en total. Su vecina adquirió 2 kg de arroz y 2
kg de judías por 7€. Calcula a qué precio han pagado el kilo de cada uno de los productos.
euros que cuesta un kilo de arroz
euros que cuesta un kilo de arroz
Con los datos del problema podemos plantear el siguiente sistema
que resolveremos,
en este caso por el método de reducción (aunque puede resolverse por cualquiera de los métodos
estudiados):
Despejamos x de la segunda ecuación del sistema inicial y sustituimos el valor de y:
Por tanto, el arroz cuesta 1,5 €/kg y las judías 2 €/kg
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
6
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
Ejercicios
7.8 La edad actual de Pedro es 60 años y la de su hija 24. ¿Hace cuántos años la edad de
Pedro era cuatro veces la de su hija?
7.9 Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 10.
7.10 Un comerciante dispone de dos tipos de té: uno de Ceilán a 5,20€ el kilogramo y otro
de la India a 6€ el kilogramo. Si quiere obtener 100 kg de té cuyo precio sea 6€, ¿cuántos
kilos ha de mezclar de cada tipo?
7.11 Luis ha leído 216 páginas de un libro en cuatro días. Cada día lee 12 páginas más que
el día anterior. ¿Cuántas páginas leyó el primer día?
7.12 Hace cinco años Juan tenía el triple de edad que Pablo y, dentro de un año, su edad
sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de ambos en la actualidad?
7.13 El perímetro de un triángulo isósceles es de 15 cm. Si duplicamos el lado desigual, se
obtiene un triángulo equilátero. ¿Cuánto miden los lados del triángulo inicial?
7.14 La cifra de las decenas de un número es el triple que la cifra de sus unidades; además
si se invierte el orden de las cifras de este número, el número de partida disminuye en 36
unidades. Halla ambos números. (Ayuda: Un número de dos cifras se escribe
)
7.15 Dos recipientes, A y B, contienen 20 l de agua entre los dos. Si de A sacamos 3 l y los
vertemos en B, en A queda la tercera parte de agua que ahora hay en B. ¿Cuántos litros de
agua había inicialmente en cada recipiente? Plantea un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas y resuélvelo por el método de sustitución.
7.16 Dos números pares consecutivos suman 324. ¿Cuáles son?
7.17 Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que fabrica, pero
pierde 2,5€ por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha
producido en una jornada, si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido una ganancia de
382€?
7.18 En las rebajas compré tres camisas y dos pantalones por 126€. El precio de un
pantalón era el doble que el de una camisa. ¿Cuál es el precio de cada cosa?
7.19 Un hortelano planta dos tercios de su huerta de tomates y un quinto de pimientos. Si
aún le quedan 400
sin cultivar, ¿cuál es la superficie total de la huerta?
7.20 Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga
que ancha y que el perímetro mide 210 metros.
7
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
4 Soluciones de los ejercicios de la unidad
7.1 Resuelve estas ecuaciones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
8
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
7.2 Comprueba si x=-1 e y=8 son soluciones de las siguientes ecuaciones:
a)
;
b) 7
;
c)
;
d)
;
7.3 Completa la siguiente tabla con soluciones de la ecuación
4
0
0
-2
2
-1
2
-1
-2
-3
10
3
7.4 Resuelve por sustitución:
a)
Despejamos y de la primera ecuación:
Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
Resolvemos la ecuación resultante:
Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para obtener el valor de y:
Solución:
.
b)
Despejamos y de la primera ecuación:
Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
Resolvemos la ecuación resultante:
Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para obtener el valor de y:
Solución:
.
9
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
c)
Despejamos x de la primera ecuación:
Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
Resolvemos la ecuación resultante:
Como se ve, se obtiene un resultado que es cierto siempre independientemente de los valores de las
incógnitas. Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones: cualquier par de valores que satisfaga una
de las ecuaciones. Estos sistemas se denominan compatibles indeterminados y gráficamente están
representados por dos rectas que se superponen.
Solución: Tiene infinitas soluciones que verifican la ecuación
. Por ejemplo (3,0), (1,1), (-1,4)...
d)
Despejamos y de la primera ecuación:
Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
Resolvemos la ecuación resultante:
Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para obtener el valor de y:
Solución:
.
7.5 Resuelve por igualación:
a)
Igualamos y resolvemos:
Sustituimos este valor en una de las ecuaciones que despejamos inicialmente para obtener el valor de x:
Solución:
.
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
10
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
b)
Igualamos y resolvemos:
Sustituimos este valor en una de las ecuaciones que despejamos inicialmente para obtener el valor de y:
Solución:
.
c)
Igualamos y resolvemos:
Sustituimos este valor en una de las ecuaciones que despejamos inicialmente para obtener el valor de y:
Solución:
.
d)
Igualamos y resolvemos:
Como se ve, se obtiene un resultado que es cierto siempre independientemente de los valores de las
incógnitas. Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones: cualquier par de valores que satisfaga una
de las ecuaciones. Estos sistemas se denominan compatibles indeterminados y gráficamente están
representados por dos rectas que se superponen.
Solución: Tiene infinitas soluciones que verifican la ecuación
. Por ejemplo (0,2), (5,0), ...
7.6 Resuelve por reducción:
a)
11
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
Reducimos x:
Reducimos y:
Solución:
.
b)
Reducimos x:
Reducimos y:
Solución:
.
c)
Reducimos x:
Reducimos y:
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
12
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
Solución:
.
d)
Reducimos x:
Reducimos y:
Solución:
.
7.7 Resuelve por el método que creas más adecuado:
a)
Resolvemos por reducción, multiplicando la primera ecuación por -1:
Sustituimos este valor en la primera ecuación para obtener el valor de x:
Solución:
.
b)
Despejamos x de la segunda ecuación:
Sustituimos este valor en la primera ecuación:
13
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para obtener el valor de x:
Solución:
.
c)
Despejamos x de la primera ecuación:
Sustituimos este valor en la 2ª ecuación:
Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para obtener el valor de x:
Solución:
.
7.8 La edad actual de Pedro es 60 años y la de su hija 24. ¿Hace cuántos años la edad de
Pedro era cuatro veces la de su hija?
x → número de años que hace que la edad de Pedro era cuatro veces la de su hija
Solución: hace 12 años la edad de Pedro (48 años) era cuatro veces la de la hija (12 años).
7.9 Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 10.
x → número
Solución: el número pedido es 2.
7.10 Un comerciante dispone de dos tipos de té: uno de Ceilán a 5,20€ el kilogramo y otro
de la India a 6€ el kilogramo. Si quiere obtener 100 kg de té cuyo precio sea 6€,
¿cuántos kilos ha de mezclar de cada tipo?
x → kilos de té de Ceilán en la mezcla
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
14
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
y → kilos de té de la India en la mezcla
Planteamos el sistema. La mezcla es de 100 kg:
La mezcla se vende a 6 euros el kilo:
Despejamos x de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
Sustituyendo este valor en la primera ecuación se obtiene el valor de x:
Solución: la mezcla se forma con 0 kg de té de Ceilán y 100 kg de té de la India.
7.11 Luis ha leído 216 páginas de un libro en cuatro días. Cada día lee 12 páginas más que
el día anterior. ¿Cuántas páginas leyó el primer día?
Llamamos x al número de páginas leídas el primer día.
El segundo día leyó x+12
El tercero x+24
El cuarto x+36
Como el total de páginas leídas es de 216:
Solución: El primer día leyó 36 páginas.
7.12 Hace cinco años Juan tenía el triple de edad que Pablo y, dentro de un año, su edad
sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de ambos en la actualidad?
Llamamos x a la edad que tiene Juan e y a la edad de Pablo e imponemos las condiciones del problema:
Igualando ambas expresiones:
Sustituyendo este valor en la primera ecuación:
15
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
Solución: La edad de Juan es de 23 años y la de Pablo 11.
7.13 El perímetro de un triángulo isósceles es de 15 cm. Si duplicamos el lado desigual, se
obtiene un triángulo equilátero. ¿Cuánto miden los lados del triángulo inicial?
Llamamos x a los lados iguales e y al lado desigual e imponemos las condiciones del problema:
Sustituimos el valor de x de la segunda ecuación en la primera:
Es decir:
Solución: Los lados del triángulo son: 6 cm, 6 cm y 3 cm respectivamente.
7.14 La cifra de las decenas de un número es el triple que la cifra de sus unidades; además
si se invierte el orden de las cifras de este número, el número de partida disminuye en 36
unidades. Halla ambos números. (Ayuda: Un número de dos cifras se escribe
)
Llamamos x a la cifra de las unidades e y la cifra de las decenas e imponemos las condiciones del problema:
Sustituimos el valor de y de la primera ecuación en la segunda:
Es decir,
Solución: El número es 62.
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
16
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
7.15 Dos recipientes, A y B, contienen 20 l de agua entre los dos. Si de A sacamos 3 l y los
vertemos en B, en A queda la tercera parte de agua que ahora hay en B. ¿Cuántos litros de
agua había inicialmente en cada recipiente? Plantea un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas y resuélvelo por el método de sustitución.
Llamamos x al número de litros del recipiente A e y al de B.
Despejamos x de la primera ecuación y lo sustituimos en la segunda:
Solución: El recipiente A contiene 12 litros de agua y el recipiente B 8 litros.
7.16 Dos números pares consecutivos suman 326. ¿Cuáles son?
Llamamos 2x a uno de los números pares. Su siguiente será 2x+2.
Solución: Los números son 2·81 y 2·81+2, es decir, 162 y 164.
7.17 Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que fabrica, pero
pierde 2,5€ por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha
producido en una jornada, si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido una ganancia de
382€?
Llamamos x al número de pares de calcetines válidos e y al de defectuosos.
Como fabrica 700 pares en total:
Aplicando las ganancias y las pérdidas:
Despejamos x de la primera ecuación:
Sustituimos en la segunda y resolvemos:
Por tanto,
Solución: El taller fabrica 656 pares de calcetines válidos y 44 defectuosos.
17
Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado
7.18 En las rebajas compré tres camisas y dos pantalones por 126€. El precio de un
pantalón era el doble que el de una camisa. ¿Cuál es el precio de cada cosa?
Llamamos x al precio de una camisa e y al precio de los pantalones.
3 camisas y dos pantalones costaron 126€:
Como el precio de un pantalón es el doble del de una camisa:
anterior:
. Sustituimos este valor en la ecuación
Solución: El precio de una camisa es de 18€ y el de unos pantalones 36€
7.19 Un hortelano planta dos tercios de su huerta de tomates y un quinto de pimientos. Si
aún le quedan 400
sin cultivar, ¿cuál es la superficie total de la huerta?
Llamamos x a la superficie total de la huerta:
Solución: La huerta es 3000
quedan 400
sin cultivar.
: 2000
los cultivó de tomates, 600
de pimientos y le
7.20 Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga
que ancha y que el perímetro mide 210 metros.
Llamamos x al ancho de la parcela. El largo será x+25.
El perímetro:
Solución: Las dimensiones de la parcela son 40x90
©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya
18