Optimización de la Generación de Energía Eléctrica de un

Artículos científicos – Ingeniería Eléctrica
Optimización de la Generación de Energía Eléctrica de un
Sistema Hidrotérmico Vía Programación Geométrica
Arcenio Arce Peña
Facultad Politécnica, Universidad Nacional del Este
Avda. Monseñor Rodríguez c/ Los Sauces
Ciudad del Este, Paraguay
[email protected]
y
Roberto Quirino do Nascimento
Departamento de Estadística – UFPB
CEP 58075-420 João Pessoa
Paraiba, Brasil
Resumen
Un sistema hidrotérmico de gran envergadura generalmente tiene un número considerable de unidades
generadoras, cada una con sus propias características físicas y restricciones operativas. Es posible aprovechar la
infraestructura computacional de las redes de computadoras existentes para mejorar el desempeño de los
algoritmos, a fin de optimizar la generación de la potencia demandada, minimizando el recurso hídrico (caudal) a
ser turbinado con el menor costo posible.
Se presenta en este trabajo, un modelo de solución para el problema de optimización de un sistema hidrotérmico
basado en programación geométrica signomial. Esta metodología permite transformar el problema descrito, el
cual no es convexo, en un problema de programación geométrica signomial; a continuación, el problema es
solucionado a través de una secuencia de problemas posinomiales usando un método de puntos interiores, para
encontrar la estrategia óptima de generación de energía eléctrica.
Palabras-clave: Producción de energía , Sistemas Hidrotérmicos, Programación Geométrica.
1. Introducción
Un sistema hidrotérmico de generación de energía
eléctrica consiste en la generación de energía a
partir de dos fuentes: hidroeléctrica y
termoeléctrica. Puesto que el costo de energía
generada por una termoeléctrica es elevado, es
deseable producir la mayor cantidad posible de
energía proveniente de hidroeléctricas.
La planificación de un sistema hidrotérmico
permite determinar la cantidad de energía que será
producida durante un cierto período, de modo a
satisfacer la demanda existente con el menor costo
posible, en virtud del costo elevado de la energía
producida en las usinas térmicas. Una manera de
minimizar este costo es producir el máximo de
energía de origen hídrico.
En este trabajo se formula un problema de
optimización cuyo objetivo es producir la menor
cantidad de energía capaz de satisfacer las
demandas existentes en un determinado período
utilizando los menores niveles de agua posible
[1,2,3]. De esta forma, en los estudios de
planificación, el parque generador se compone por
usinas hidráulicas y térmicas, que están ligadas a
las áreas de consumo por líneas de transmisión.
La generación térmica, sea con combustible, sea
nuclear; complementa la atención del mercado en
horas de demanda máxima (pico) o en épocas
secas, cuando las reservas hidráulicas están en su
límite mínimo.
La generación térmica es completamente definida
por la capacidad instalada, considerando que
siempre existe combustible disponible. Por otro
lado, la generación hidráulica no queda definida
totalmente por las características físicas de las
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usinas; depende también de los caudales afluentes
al embalse.
El caudal futuro, evidentemente, no puede ser
determinado con certeza pues constituye un
proceso estocástico. Actualmente, a pesar de la
característica aleatoria de las afluencias, la
planificación de la generación del sector eléctrico
se realiza tomando como base conceptos
determinísticos. La solución determinística parte
del principio de que la cantidad máxima de energía
que un sistema dado podría producir en las peores
condiciones hidrológicas observadas en el pasado,
suministra una buena estimativa de su capacidad
energética en el futuro (Heinz y Vasconcellos:
1981) [9].
La probabilidad de ocurrencia en el futuro de una
secuencia de caudales peores de los que ya fueron
registrados son aceptables como riesgo inherente a
la planificación de la producción de energía.
Los
principales
modelos
matemáticos
desarrollados según criterios determinísticos son
de simulación, los cuales se clasifican en dos
grupos: modelos de simulación con varias usinas
interconectadas y modelos de simulación con usina
individualizada. En cada clase, los modelos pueden
diferir, dependiendo de la aproximación a la
realidad y de consideraciones en cuanto a las
reglas de operación y restricciones operativas de
las usinas.
En este trabajo se presenta un modelo matemático
de optimización de la producción de energía
eléctrica. Una herramienta de planificación
energética que posibilite una mejor visión para la
operación óptima de la producción de energía.
auxiliares. Al represar las aguas de los ríos en los
embalses, se controla la disponibilidad del agua
para la producción energética.
De modo que en los periodos de mucha afluencia
hídrica se procede al llenado del embalse, volumen
de agua que vuelve a ser usado en los periodos de
bajas afluencias.
Conforme con la capacidad de acumulación, los
embalses poseen capacidad de regular el caudal del
río por un mayor o menor periodo de tiempo. Así,
los embalses, dependiendo de su capacidad de
regulación, pueden ser clasificados en dos grupos:
de compensación y de acumulación. Los del primer
grupo tienen volumen suficiente solamente para la
regularización de descargas semanales o diarias.
Los embalses del segundo grupo son mayores en
tamaño y tienen capacidad para regular los
caudales de un mes, un año e incluso de varios
años.
Otro importante elemento de una usina
hidroeléctrica es el vertedero, que permite la
descarga directa de caudales afluentes, sin pasar
por la casa de fuerza, cuando éstos exceden la
capacidad de acumulación del embalse.
En la figura 1 se muestra la vista parcial de una
usina hidroeléctrica y se indican sus principales
componentes.
En el proceso de generación de energía eléctrica, la
energía potencial del agua almacenada en el
embalse es transformada en energía cinética y
energía de presión dinámica, por el paso del agua
por los conductos forzados.
En el modelo que se desarrolla, la usina es tratada
individualmente. Como el número de variables del
problema es grande, se adopta como técnica de
solución la programación no lineal, con el método
de Puntos Interiores para la Programación
Geométrica.
Al accionar la turbina, esta energía es convertida
en energía mecánica, la que es transmitida por el
eje al generador. El generador, a su vez, transforma
la energía mecánica en energía eléctrica, la cual
pasa por una subestación elevadora de tensión, y es
inyectada en el sistema de transmisión que la
transportará a los centros de consumo [7]
(Fortunato: 1990).
2. Representación de una Usina
Hidroeléctrica
3. Fundamentos de Programación
Geométrica
Una usina hidroeléctrica está compuesta,
básicamente, por una barrera formadora de un
embalse que represa un curso de agua; una toma de
agua y conductos forzados que llevan el agua del
embalse hasta la casa de fuerza, situada en un nivel
más bajo. En la casa de fuerza están instalados los
grupos turbina-generador y otros equipos
Programación geométrica es una de las ramas de la
Programación Matemática que puede ser vista
como un polinomio generalizado, que consiste en
una suma de términos donde cada término es un
producto de una constante positiva y de las
variables del modelo, elevadas a potencias
arbitrarias. La programación geométrica tiene su
origen en 1961 cuando (Zener: 1962, Duffin: 1962
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Artículos científicos – Ingeniería Eléctrica
y Nascimento:1996) [5, 6, 8], estudiaron el
problema de optimizar polinomios generalizados.
Con objetivo de determinar condiciones de
optimalidad y propiedades de las soluciones
óptimas, C. Zener y R.J. Duffin utilizaron
desigualdades en vez del enfoque clásico de las
condiciones de optimalidad de Karush-KuhnTucker.
Una de las desigualdades usadas en sus estudios
fue la clásica desigualdad entre las medias
aritmética y geométrica, dando origen a los
términos Programación Geométrica. (Peterson:
1963 y Nascimento: 1996) [6, 10, 8]. Un alumno
de Duffin, generalizó el problema de programación
geométrica con restricción; nace así esta nueva
rama de la optimización.
El Problema Primal de la Programación
Geométrica (GP) (Nascimento:1996) [8] consiste
en minimizar go(t) sujeto a:
y J[k] es dado por (3.4). Haciendo una
transformación de variación de la forma
es posible transformar el par primal dual de
programación geométrica en el siguiente problema:
minimizar xts sujeto a:
donde f(x) = - ln (u(x))
Se pueden escribir también las condiciones de
optimalidad para el problema de minimizar f(x)
-µΣln (u(xi)) sujeto a:
los exponentes aij, son constantes arbitrarias, los
coeficientes ci son positivos, las funciones gk son
llamadas posinomios, los términos
son llamados términos posinomiales, n0 es el
número de términos posinomiales en la función
objetivo, n es el número de términos posinomiales
existentes en el problema y las variables tj son
llamadas variables primales.
las cuales son dadas por:
Con esto resolver, el problema primal de
programación geométrica es equivalente a resolver
el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
El problema Dual de la Programación Geométrica
(GD) consiste en maximizar u(x) sujeto a:
Un algoritmo eficiente para resolver el sistema (I)
es presentado en (Nascimento: 1996) [8].
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Haciendo tj =exj se tiene la solución para el
problema principal.
condensando se tiene
El problema de la programación geométrica
signomial es un problema de la forma: minimizar
g0(t) sujeto a:
el cual es un posinomio con un único término,
luego la restricción gk(t) puede ser escrita como:
Problemas con esta formulación son más
frecuentes en la práctica, mas no poseen las
propiedades de convexidad existentes en el
problema posinomial.
Con esta técnica se puede transformar problemas
signomiales en problemas posignomiales y
resuelve secuencialmente (Nascimento: 1996) [8].
3.1-Condensación en Programación Geométrica
Signomial
Una importante desigualdad existente entre la
media aritmética y la media geométrica permite
transformar problemas signomiales en problemas
posinomiales.
El abordaje más común para resolver este
problema es la “condensación”, que consiste en
aproximar términos con varios posinomiales, así
3.2-Un Método de Puntos Interiores de
Penalidad de Barrera para Programación
Geométrica Signomial
En esta sección se presenta un algoritmo basado en
la filosofía de barrera (Fiaco & McCormick: 1968)
y Penalidad (Luenberger: 1984) [4] para resolver
el sistema compuesto por i), ii), iii), iv); será
utilizada la siguiente función de mérito:
Con estos, dados pesos i , podemos condensar
términos posinomiales cuyos coeficientes son
negativos.
Si
el parámetro λ será llamado parámetro de
penalidad y el parámetro µ será chamado
parámetro de barrera. Resultado: la función ϕ
satisface la siguiente desigualdad:
entonces
El algoritmo consiste en resolver aproximadamente
el siguiente problema:
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Artículos científicos – Ingeniería Eléctrica
y - libre
para cada µ > 0, haciendo λ tender a cero, se tiene
una solución para el problema dual de la
programación geométrica.
3.3-Un método de puntos interiores para
programación geométrica signomial basado en
condensación
El algoritmo 1 dado a continuación resuelve el
problema de programación geométrica posinomial:
Usando el método de aproximación dado en la
sección 3.1 presentaremos un método de puntos
interiores para resolver el problema de
programación geométrica signomial.
Algoritmo 2
Algoritmo 1
Dado un punto t0>0 y k=0
Dados x0 > 0, s0 > 0, y0 – libre
mientras
mientras
Paso:1 condensar las restricciones signomiales
usando t0 como un punto de referencia.
determinar
hacer
Paso: 2 usar el algoritmo 1 y resolver el problema
de
programación
geométrica
posinomial
k
encontrado en el paso 1, siendo t su solución.
Paso: 3 hacer t0 = tk
K = k+1
fin del mientras.
fin del mientras
Proposición 1: si ∆w=(∆x, ∆y, ∆s) es la única
solución del sistema:
La razón para tal formulación reside en el hecho de
que el problema de optimización de un sistema
hidroeléctrico puede ser formulado como un
problema de programación geométrica signomial
como se verá a seguir:
4. Modelo Propuesto para la Solución
del Problema de Optimización
4.1-Descripción del Problema
entonces
La proposición 1 da una dirección de bajada para
la función de mérito esto es, permite utilizar un
método de búsqueda lineal inexacta para resolver
aproximadamente el problema P1.
El objetivo de la operación de planificación óptima
de sistemas hidrotérmicos, es determinar metas
viables de generación (producción de energía
eléctrica) para la usina hidroeléctrica y
termoeléctrica, que minimicen el valor esperado
del costo de operación en el horizonte de
planificación.
En este trabajo se formula un modelo para el
problema de planificación óptima de un sistema
hidrotérmico cuyo objetivo es minimizar la
depleción del reservorio (reducción de agua del
reservorio), pero satisfaciendo el máximo de
demanda de energía en el período de planificación,
en términos más generales, este problema puede
ser formulado como un problema de decisiones
secuenciales, donde cada estadio t posee la
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siguiente forma general;
donde;
xi , ui,y qi son las variables del modelo;
x(t+1) es el volumen de agua almacenada en el
embalse en el mes t+1;
xt es el volumen de agua almacenada en el embalse
en el mes t;
u(t) es el caudal efluente, caudal total que sale del
embalse en el mes t;
q(t) es el caudal de agua turbinada en el mes t;
ecuación de energía generada:
y(t) es el caudal incremental afluente al embalse en
el mes t;
t identifica el estadio;
Dt es la demanda de energía en el mercado
consumidor en el mes t;
utilizando la ecuación anterior se tiene
H(xt, ut, qt) es la restricción para la generación de
energía en el mes t;
(2.628 yt )-1xt+1 + yt-1 ut - (2.628 yt )-1xt es la
restricción de la ecuación de balance del sistema en
el mes t;
ut-1qt es la restricción máxima del caudal turbinado
en el mes t;
xmax-1xt es la restricción máxima de volumen en el
embalse en el mes t;
xminxt-1 es la restricción mínima de volumen en el
embalse en el mes t;
umax-1ut restricción máxima del caudal total que
sale del embalse en el mes t;
Formular este problema como de programación
geométrica, utilizando las ecuaciones anteriores se
define el siguiente problema:
qminqt-1 restricción mínima del caudal turbinada en
el mes t;
5. Implementación Computacional
El problema de optimización de un sistema
hidrotérmico definido anteriormente es claramente
un problema signomial. Con el objetivo de resolver
este problema fueron implementados en el lenguaje
Matlab los algoritmos 1 y 2, y fueron usados los
datos referentes a la hidroeléctrica de FURNAS.
Los datos que siguen dan las características de esta
usina.
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Demanda de Energía:
5.1-Levantamiento y Análisis de los Datos del
Problema
Altura de caída entre el nivel superior del embalse
y el nivel de canal de salida h(t)
Polinomios Elevación(m)
Volumen (hm3);
nivel
superior
×
Polinomio altura del canal de salida (m) ×
efluencia (m3/s);
Afluencias:
Factor de conversión de unidad de caudal (m3/s) a
unidad de volumen (hm3).
θ = 2.628
Productibilidad específica
ρ = 0.008633 (MW/m3/s/m); ρ = 0.008633/2.628
(MW/m.hm3) (P/unidad de tiempo (mes)).
Horizonte de planificación
T=6;
Caudal de agua turbinada q(t)
qmin = 258.0 (m3/s); qmax = 1719 (m3/s);
Volumen de almacenamiento en el embalse x(t)
5.2-Resultados Obtenidos
Se presentan resultados para 6 meses de
planificación con demandas altas y afluencias altas,
medias, bajas, y 80% (MLT):
Demandas Altas y Afluencias Bajas
xmax =22950.0 (hm3); xmin =5733.0 (hm3);
Caudal efluente, caudal total que sale del embalse
umin = 258.0 (m3/s); umax = 1719.0 (m3/s);
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Resultados con Demandas Altas y Afluencias
Altas
Resultados con Demandas Altas y Afluencias
Medias
Resultados con demandas altas y afluencia 80%
(MLT)
El método de puntos interiores para la
programación geométrica implementado en este
trabajo toma en consideración una función que no
ha sido explorada en esta literatura, en tanto
permite una flexibilidad en el modelo de
planificación de un sistema hidrotérmico. El
algoritmo se mostró eficiente al resolver algunas
escenas, no obstante, puede ser mejorado para
contemplar una planificación de largo plazo. En
este trabajo no fue contemplada la versión
estocástica, la cual es un componente fundamental
de la planificación. El tiempo de ejecución de este
algoritmo se encuentra dentro de valores
aceptables del orden de minuto, corriendo en una
computadora personal actual.
Referencias Bibliográficas
[1] A Arce, “Um Modelo de optimização do
despacho de maquinas em usinas hidreletricas”
Tesis de mestrado, Facultad de Engenharia
Electrica e de Computação, Universidade
Estadual de Campinas, Brasil,1999.
[2] A. Arce, “Um modelo de otimização do
despacho
de
maquinas
em
usinas
hidroelectrica,” Tesis de Mestrado, Facultad de
Engenharia Electrica e de Computaçao,
Universidade Estadual de Campinas, Brasil,
1999.
[3] Arce, T. Ohishi, y S Soares, “Optimal dispatch
of generating units of Itaipu hydroelectric
plant,” IEEE Trans. On Power Systems, vol.
17, pg. 154-158, febero. 2002.
[4] Fiacco, A. V., Mcormick G. P. Nonlinear
programming:
Seqüencial
unconstrained
Minimization Techniques, John Wiley , Sons
New York, Reprinted in Classics in Applied
Mathematics Siam, Philadelfia, P A, 1990
[5] Duffin R. J., (1962) ``Dual Programs and
Minimal Cost'', SIAM Journal 10, 119.
[6] Duffin, R.J., Peterson, E.L. and Zener, C.,
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and Applications'', John Wiley & Sons, New
York, 1967.
[7] Fortunato, L.A M., Neto T.A. Albuquerque
J.C., et al “Introduçào ao planejamento da
expansão e operação de Sistemas de Produção
de energia Elétrica” Universidade federal
Fluminense, Niterói,1990
[8] Nascimento, R. Q. “Métodos de pontos
Interiores para Programação Geométrica “ Tese
de Doutorado COPPE - UFRJ 1996
[9] Vasconcellos, P, L. B, Otimização da Operação
de Reservatório Hidráulicos em cascata, Tese
de Mestrado, COPE -UFRJ, Rio de Janeiro,
1981.
[10]Fang, S.C., Peterson, E.L. and Rajasekara,
J.R., (1988), ``Controlled dual perturbations for
posinomial Programs'', European Journal of
Operation Research 35, 111--117.
En un trabajo futuro se pretende incluir en la
optimización a varias centrales hidroeléctricas
situadas sobre el lecho de un mismo río.
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