soluciones - Que es quiz?

Capítulo 10 / Sección 10.3
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SOLUCIONES
1. Determine si las siguientes sucesiones son geométricas:
a. 3,12, 21,30,
b. 1,1, 1,1, 1,
No es geométrica
Sí es geométrica
2 2 2
10, , ,
,
e.
d. 2,8,32,128,
3 45 675
Sí es geométrica
Sí es geométrica
c. 3, 9, 27, 81,
Sí es geométrica
 5
f. an    
 2
n
Sí es geométrica
2. Escriba los primeros cinco términos de la sucesión geométrica y determine una fórmula para a n .
a. a1  1, r  3 x
b. a1  6, r  
an  1(3 x) n 1
 1
an  6   
 2
a1  6
a1  1
a2   3 x
a3  9 x
2
1
c. a7  2  5 
2
Tenemos que
n 1
a2  3
a4  27 x 3
5
11
2
2(5)  a1r12
1
2

3
4

3
8

a1 
2
5
a2  2
a3  2 5
 6.
1
1
Como a1  3 y r  , entonces an  3  
2
2

1
S   3 
n 1  2 
n 1

3
1
1
2
6
2
5
a5  10 5
3
11/ 2
2(5) 2  a1r 6
a4  10
3. Demuestre que 3 
, a13  2  5 
Entonces r  5 2 y a1 
3
a3  
2
3
a4 
4
3
a5  
8
a5  81x 4
5/ 2
n 1
. Por tanto
1
2
.
82
10.3 Sucesiones Geométricas y Sumas Parciales
4. El número de bacterias en una cultura se triplica cada 6 horas. Si inicialmente habían 1,000 bacterias,
determine la cantidad de bacterias a las 30 horas y a las 600 horas.
Sea n el número de horas y a1  1000 . Como el número de bacterias se triplica cada seis horas
1
tenemos que 3000  1000r 5 , de donde r  35 .
 29 
 599 
Luego, a30  1000  3 5  y a600  1000  3 5  .
 


5. Dibuje un cuadrado de 1 pulgadas de lado. Uniendo los puntos medios se obtiene otro cuadrado
inscrito en el anterior. Repitiendo el proceso se obtiene una sucesión de infinitos cuadrados.
Compruebe que los valores de las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica
y calcule la suma de todas las áreas.
El primer cuadrado inscrito tiene la mitad del área del cuadrado original. Entonces, la sucesión del
1
1
1
área sería a1  1, a2  , a3  , a4  ,...
2
4
8
1
Luego, a1  1 y r  .
2
n 1
n 1
1
1
an  1    
2
2
1
S
2
1
1
2
6. Halle las siguientes sumas:
3
a.   
i1  5 
15
i
 
 1  3 15 
3
5 
 

5  1 3

5


3
  2.4988 
5
 1.49928
 1
b.  3   
 4
i 1


3
4
1  1


3
5
4

i
5
c.   
i 1  7 


5
7
1 5
5

2
7
i