Matemáticas a la medida de los niños

Matemáticas a la medida de los niños
Mery Poveda y Jorge Castaño,
Colegios “Fe y alegría”, Bogotá, D.C.
La experiencia y el trabajo de la maestra Mery Poveda
fue galardonado con el premio Compartir al maestro; ella fue
designada como maestra ilustre, por lo tanto estamos hablando
de una propuesta que ha tenido un impacto significativo en el
ámbito académico. Ella trabaja en el colegio Villa Amalia y ha
compartido su experiencia con muchas instituciones, que han
hecho acopio de la experiencia y la han adaptado y propuesto
en sus instituciones, como la institución Brazuelos, donde está
la maestra Haydeé Cardoso, y en la institución Quiba, donde
ejerce la maestra Luz Marina García; también se encuentra aquí
la maestra Alicia Bahamón, una persona muy importante para el
desarrollo que se ha dado en el colegio de Villa Amalia.
Mery Poveda
El proyecto hace parte de la propuesta “Descubra la matemática”, de Jorge Castaño, y en este momento se está desarrollando en varios colegios no sólo de Bogotá sino de todo país. En
la referencia que hacíamos yo trabajé con “Fe y alegría”, institución que en este momento lo desarrolla en sus diferentes sedes,
después se fueron uniendo otras, Quiba alta y Brazuelos.
La Sociedad Saberes y la escuela retomamos los materiales
que se han producido desde el proyecto “Descubra la matemática” y el programa de educación infantil de la Universidad Peda301
Competencias matemáticas
gógica Nacional, que a raíz de su vinculación con los practicantes
nos ha permitido empezar a generar unos espacios para encontrarnos, que son tan difíciles en la actual estructura educativa. El
proyecto se desarrolla en niños de preescolar y primaria.
Se busca transformar esa cultura alrededor de la enseñanza de las matemáticas que se ha venido desarrollando desde
hace mucho tiempo. No puede decirse, como tradicionalmente
se dice, sobre todo cuando pasan los niños de primaria a bachillerato, “es que los niños no piensan”, “es que los niños todo lo
olvidan”, ese no es un problema de olvido, es un problema de
entender qué significaría aprender, que significaría desarrollar
pensamiento matemático.
La idea de la propuesta es estructurar, aplicar y sistematizar un proceso de intervención pedagógica que dentro de un
ambiente cooperativo y lúdico respete la lógica y las propias
elaboraciones de los niños, y les ayude a desarrollar un pensamiento que les permita acceder a comprensiones cada vez más
elaboradas de los sistemas conceptuales básicos de las matemáticas, para interactuar en el mundo en que se encuentre. Y en
este sentido la propuesta busca el respeto por el niño, por su
forma de pensar, por su forma de hacer.
No se trata sólo de jugar por jugar, se trata de respetar
esa característica de los niños, porque el mundo de los niños
es distinto al mundo de los adultos, y eso se nos olvida. Se trata
de respetar la característica del juego e ir haciendo desarrollos
conceptuales cada vez más elaborados.
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Matemáticas a la medida de los niños
¿Qué tipo de experiencias significativas? Están las situaciones
de vida cotidiana escolar, pero también están las situaciones amplias en las que el conocimiento de matemáticas es sólo uno entre
muchos, y eso no es suficiente; no son suficientes los proyectos de
aula, es necesario trabajar con situaciones mucho más específicas y
focalizadas para acceder a un nivel de elaboración y formalización
cada vez más abstracto, y en ese sentido aparecen los juegos estructurados, pensados y diseñados con una intención de problematizar en un momento determinado lo que los niños están pensando,
para llevarlos a niveles más complejos. Además, no es suficiente
con estar en contacto directo con lo físico, con lo real, es necesario
tomar distancia de las acciones para ir cada vez formalizando el
pensamiento y creando realmente el lenguaje matemático.
En este contexto, se adquieren cada vez niveles de comprensión más complejos en relación con lo que se hace tradicionalmente, que es ese cuento de que adquiere un nivel y luego
lo olvida, y entonces por eso hay que hacer repaso. Y lo otro es
que a medida que el niño avanza enfrenta la comprensión no
sólo de la vida sino en general del mundo que lo rodea.
Pero lo más importante es cómo las nuevas relaciones
que se establecen con el conocimiento, con la evaluación, crea
distintos valores en relación con la manera como se definen las
relaciones en el aula. Está la alegría de trabajar en clase. Eso
de que le tienen miedo a las matemáticas, eso de que la matemática es difícil, empieza a desaparecer. Por otro lado, crece la
capacidad argumentativa, se afianza la creencia en la capacidad
y el saber propios.
303
Competencias matemáticas
PAOLA VALERO - Comentarista Experta
En primer lugar, me siento feliz de encontrarme con personas y experiencias que traten de romper con una tradición
acrítica de lo que puede ser la enseñanza de las matemáticas;
ese es un logro difícil de alcanzar cuando en nuestra formación
como maestros y en las visiones mismas de las matemáticas, en
la mayor parte de las aulas de matemáticas del mundo parece
haber un acuerdo entre personas que ni siquiera se conocen
sobre cómo es que se deben enseñar y cómo se deben aprender las matemáticas; incluso pareciera que en distintas partes
del mundo todos los estudiantes se hablaron para saber cómo
es que deben comportarse en una aula de matemáticas. Es impresionante ver que a pesar de contextos distintos, hay muchas
características de lo que se puede llamar una tradición en el aula
de matemáticas, y es evidente que ustedes han logrado romper
con algunos de los elementos de esa tradición.
Lo que yo observo es que hay una cantidad de interacciones que suceden en el aula en la relación entre el maestro; un
contenido matemático que se hace a través de una propuesta
didáctica determinada a través de todos los juegos y con todos
estos materiales, con unos instrumentos de trabajo determinados; y los niños. Es ese nodo básico de la red de las prácticas
de la educación matemática: la relación entre maestros, conocimiento y estudiantes en el aula, y en esta oportunidad con unas
herramientas especiales para generar toda esa interacción.
Pero esa interacción me parece que está cerrada, estamos trabajando algo, tenemos unos objetivos, definimos unos
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Matemáticas a la medida de los niños
logros de desarrollo de pensamiento matemático de los niños,
trabajamos dentro de ese contexto, dentro de ese triangulo
que lo podríamos llamar la triada didáctica básica, la relación
entre maestro, estudiantes y matemáticas, y los chicos salen
al patio de la escuela a jugar, pero ¿dónde se quedó el barrio?
Si pensamos que esa aula está cerrada y que dentro de ella
suceden muchas cosas y cosas maravillosas, pero, ¿qué es lo
que entra y lo que sale de esa aula? Esa es mi pregunta, que
sale desde la perspectiva de la educación matemática acrítica, es una preocupación sociocultural y política. Entonces,
¿cuál es esa relación entre lo que sucede en el aula, lo que
entra y lo que sale?
Otra cosa, si tomamos las relaciones dentro del aula, hay
algunas situaciones en las que los chicos trabajan en grupos y
entonces se da un nivel de interacción social, pero, ¿qué es lo
que sucede en esa interacción entre muchachos, entre los niños para aprender matemáticas?, o sea, ¿que están hablando?
¿Cómo hablan entre sí? ¿Qué tipos de interacciones se establecen? ¿Cuáles son las características de esa interacción?
Me encanta la idea de respetar al niño, de respetar su
mundo de juego, pero puede ser que ese respeto al niño lo
estemos tomando como un agente cognitivo, es decir, que ese
ser humano casi se convierte en una cabecita que piensa matemáticamente a través de estas actividades, pero no se tiene en
cuenta ese cuerpito y esas necesidades básicas que tienen. No
se sabe si tomaron desayuno, si los papas lo violentaron, y no
es por insistir en una cosa que no tenga significado sino es que
305
Competencias matemáticas
todos sabemos que en las aulas un niño que vive en el norte,
que tiene sus papitos y su familia estable, que tiene su desayuno,
actúa de una manera distinta al niño que no la tiene, y eso no
es por hacer politiquería sino por enfatizar en que podríamos
respetar a los niños como seres humanos completos, históricos
y sociales, y no sólo como cabecitas que pueden jugar y pensar
matemáticamente. Esas son algunas de las reflexiones que me
surgen de esta presentación.
Mery Poveda
Con el programa “Escuela, ciudad, escuela” y con toda la
política de bienestar dirigidas a los niños, las reflexiones que se
están dando son precisamente en ese sentido, o sea, relacionadas con que el derecho a la educación no es sólo a estar en la
escuela sino que es con relación a todas las condiciones. En este
momento, en Bogotá está el programa “Bogotá sin hambre”, que
está haciendo eso. Está también el proyecto relacionado con
la articulación entre preescolar y primaria, ambos apuntan a la
permanencia de los niños en la escuela; así que en ese sentido,
más allá de buscar divisiones artificiales, hay preocupación por
el bienestar de los niños y su permanencia en el sistema educativo, pensar que tiene que quedarse y que hay que sancionarlo
con la repetición del curso.
Es necesario desarrollar otro tipo de actividades más específicas que tienen que ver directamente con la formalización del
conocimiento matemático, porque ocurre con frecuencia que
por dar cuenta de los proyectos de aula, no se da una mirada
desde lo cotidiano.
306
Matemáticas a la medida de los niños
Por la manera como se ha dado el discurso en Bogotá,
se está discutiendo acerca de si la idea sería seguir trabajando
sobre la competencia y a lo mejor es más potente la idea de
comprensión, pues la competencia se está dirigiendo al saber
hacer y cuando se mira desde ahí, surge el peligro de que otra
vez regresemos a esa posición conductista en el que el hacer es
el que cuenta, la conducta que se ve.
307
Competencias matemáticas
Preguntas
?
¿Realmente se logra un impacto con esta propuesta con
esos cursos tan grandes en los que hay que tratar a 30 o
40 estudiantes? ¿Cómo son los procesos de evaluación
que se dan mediante esta propuesta? ¿Cuándo se da
evaluación?, ¿en los mismos momentos de las prácticas
o en un momento posterior?
En relación con los procesos de evaluación, cuando un
docente empieza a asumir un paradigma distinto del significado de la matemática, se cambia la manera de ver todo
y la evaluación también; en ese sentido, no se asume la
evaluación como medición sino en la vida misma, se hacen
procesos de valoración para tomar decisiones en el contexto
en el que se encuentra el estudiante; lo que significa que
los procesos no son de aplicar una prueba para hacer la
evaluación sino estar en continua interacción con los niños;
mirar lo que hacen, cómo lo hacen, qué tipo de preguntas
hacen y para ello, a veces, hay que apartarse un poquito de
las competencias.
Entonces no es la decisión de si el niño aprueba o no
la materia, eso no tiene sentido, lo que resulta necesario
es elevar y estructurar mejor el nivel de pensamiento en relación con ese niño, tendríamos que proponer que el niño
también haga sus propias valoraciones; esas decisiones son
parte del proceso de evaluación, porque la evaluación no es
calificación.
308
Matemáticas a la medida de los niños
?
¿Cuál es el trabajo previo con los niños más pequeños?
¿Realmente les afecta a los niños comenzar a realizar
sus estudios a los tres años de edad, e ir aprendiendo los
números del 1 al 20?
Cuando uno concibe la matemática y el aprendizaje de
manera distinta, se cambia incluso el pensamiento de cómo desarrollarlo. Si estamos con un grupo de niños que están interactuando todos los días con la realidad, tienen una serie de
preguntas, lo matemático está ahí, una cosa es que no esté altamente formalizado, pero está ahí o sea que es necesario trabajar
sobre esas estructuras que atraviesan y que son transversales en
muchas dimensiones y conceptos matemáticos que trabajamos
con los niños. Hay que empezar a hacer estudios que nos permitan definir exactamente cómo son esas génesis de desarrollos
conceptuales con los niños.
Y eso ligado también un poco a los estándares, se tendría
que empezar a mirar y a hacer investigaciones que den cuenta
de estos procesos para saber si es un problema que no se ha
trabajado con los niños, si no lo han desarrollado o si es porque
dada la edad y la madurez de los niños finalmente no pueden
acceder a ello.
309
Competencias matemáticas
La investigación, las relaciones espaciales
y la formación del pensamiento
lógico-matemático
Expositora: Teresa Daza,
Centro educativo Salvador Camacho Roldán, de Casanare
El trabajo inicia en el centro educativo Salvador Camacho Roldán, es uno de los planteles que forman parte de la
institución Luis Hernández Vargas; el proyecto se inició con
12 docentes el año anterior, bajo el acompañamiento del profesor Pablo Enrique Abril, coordinador general de un equipo
de trabajo; ellos tienen su sede en la capital de la república
y se trabaja desde los grados de transición hasta quinto de
primaria.
Dentro del contexto de la enseñanza hay diversos aspectos que colindan con una serie de preguntas que se trataron de responder con el transcurrir de la investigación: ¿Por
qué las relaciones espaciales y por qué la formación de pensamiento lógico-matemático? El cuestionamiento nos llevo a
invocar una posible respuesta, y es porque el niño o la niña
desde lo cotidiano, desde lo que ve, lo que hace, lo que toca,
lo que sueña, lo que siente, forma su pensamiento lógico, y si
se encausa y se logra que ese pensamiento lógico se empate
con la parte matemática, entonces se logrará avanzar en un
grado enorme respecto a la formación del pensamiento del
niño o niña.
310
La investigación, las relaciones espaciales y la formación del pensamiento
Nosotros los docentes sabemos que tenemos serias dificultades en lo que tiene que ver con la interpretación de la parte
de la matemática, sobre todo en aritmética y geometría; de ahí
que empezamos a tratar de trabajar estos aspectos. Tuvimos un
objetivo inicial: buscar una técnica que nos sirva para direccionar el pensamiento de los niños y niñas, pero que no sea difícil,
que esté al alcance de todos, y esto lo conseguimos con una
herramienta milenaria, el Tangram.
Todos conocemos el concepto general o universal de la
geometría, como la ciencia que tiene como objeto el estudio de
las propiedades de los cuerpos y sus formas geométricas, y que
una de esas aplicaciones en la geometría tiene que ver con el
área, el diámetro de la figuras planas y la superficie y volumen
de los cuerpos sólidos, que es lo que alcanzamos a ver en los
grados de transición al quinto.
En una de las ramas de la geometría, las que alcanzan
a tocarse en la básica primaria, son las relaciones proyectivas,
métricas y topológicas. Las relaciones proyectivas permiten desarrollar destrezas para saber ver e interpretar lo que vemos;
las métricas recrean algunos conceptos geométricos, métricos y
numéricos; y la topológica sirve para familiarizar a los niños con
la propiedades cualitativas.
Teresa Daza
Los Tangram son una herramienta o juegos muy antiguos,
una herramienta metodológica para vincular todo el cerebro en el
sentir, en el ver, en el actuar, en el pensar de los dos hemisferios.
311
Competencias matemáticas
Lo que hacemos es optimizar, recrear y mejorar el avance en las
matemáticas con el fin de recrear y hacer más activa la clase de
matemáticas y geometría. Una forma como los niños se recrean es
al darle movimiento a las figuras y armar sus diferentes figuras.
Hemos desarrollado habilidades comunicativas en los estudiantes, se ve más participación, más enriquecimiento de vocabulario y mejor conceptualización; los niños han adquirido
habilidades manuales al armar, al comparar, al manipular y al
crear, también han desarrollado la parte artística.
En cuanto a habilidades representativas, han mejorado en
el dibujo, utilizan mejor la regla, la escuadra, el compás, el graduador, y por ende han mejorado en la formación del pensamiento lógico. Se han superado las dificultades de la percepción
estática; hay una mejor conceptualización y manejo de perímetro, área, rotación, traslación, simetría y manejo del plano
cartesiano; se nota una mejor comprensión de fracción, unidad,
equivalencia y operaciones con fraccionarios.
Se ha facilitado la representación espacial al pasar a la
representación numérica, y también hemos superado en gran
parte la solución de problemas, pues ahora los niños, a través
de la visión, piensan y analizan más y luego actúan, es decir,
después hacen sus operaciones.
CLAUDIA SALAZAR - Comentarista Experta
Es muy grato poder participar de una rueda de experiencias como esta, en la que hay una manifestación cla312
La investigación, las relaciones espaciales y la formación del pensamiento
ra de que los profesores estamos interesados en proponer
transformaciones en relación con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
En primer lugar, quisiera reconocer que este trabajo es bastante interesante en tanto los profesores han puesto de manifiesto
que la clase de matemáticas debe empezar a pensarse a través de
los vínculos que hay entre los diferentes conceptos matemáticos
relacionados en torno a un mismo asunto. Ellos tienen el caso del
tangram, independientemente del número de piezas que tenga,
lo que nos han presentado es que el trabajo sobre ese modelo,
como un modelo de representación, facilitaría la apropiación y
la construcción de relaciones, de conceptos, entorno a las fracciones, al área, a la medida, sobre algunas dimensiones de las
figuras geométricas que hacen parte de ese tablero con el que
están trabajando. Eso efectivamente lo que nos muestra es que
nos vamos acercando a lo que teóricamente, en el marco de la
didáctica de las matemáticas, se ha venido planteando, y es que
el currículo debería organizarse a través de campos conceptuales,
ya que en ellos hay una serie de situaciones que reconocemos
como significativas para el aprendizaje de las matemáticas y en
esos campos confluyen muchísimas nociones, destrezas, conceptos, estructuras y modelos de las matemáticas. Quisiera decirles
a los profesores que tal vez hay que trascender de la idea inicial
de pensar esta propuesta solo en el marco de la geometría para
ampliarla y relacionarla con un campo conceptual.
Un segundo aspecto que considero interesante es que cada
vez se reconoce con más fuerza en el campo de la didáctica de
313
Competencias matemáticas
las matemáticas que las representaciones son de vital importancia para el estudio y el aprendizaje de las matemáticas, porque
a través de las representaciones finalmente nos podemos aproximar a los atributos y propiedades de los objetos matemáticos.
Entonces hay que buscar modelos que nos puedan servir como
formas de representación iniciales o como sistemas concretos
con los que podamos hacer después un trabajo para trascender
a otras sistemas relacionados con algún campo conceptual; o
sea, el uso del tangram como un modelo asociado a cierto tipo
de representaciones de las matemáticas me parece que puede
contribuir efectivamente a la comprensión de las nociones que
ustedes han descrito y que han enumerado en la presentación.
314
La investigación, las relaciones espaciales y la formación del pensamiento
Preguntas
?
¿Cómo se relacionan los conceptos espaciales y geométricos con las actividades que se pueden hacer con este
tipo de herramientas, a fin de que la herramienta sea gradualmente mediadora en la construcción de pensamiento
espacial y no se convierta en un sólo instrumento?
La investigación lleva apenas un poco más de un año y
hemos empezado a descubrir las bondades que tiene y los alcances que pueden llegar a concebirse más adelante; por eso,
algunas de las cosas que se alcanzaron a socializar son parte de
ese descubrimiento. El hecho de convertir una de las fichas en
una unidad de medida, significa que se está empezando a hacer
que los estudiantes piensen desde lo que tienen en la mano.
?
¿Qué han pensado ustedes para que esa herramienta no
se convierta en un instrumento más en el aula de clase
sino que realmente sea una mediación?
Cuando el niño tiene la oportunidad de manipular el material y empezar a tratar de construir con diversas formas, se
empieza a desarrollar creatividad y a mirar desde otro ángulo
la herramienta de trabajo. Hasta ahora estaría familiarizándose
con la herramienta, pero una vez el niño empieza a darle el valor para cada una de las figuras y cada uno de sus lados y mira
que la suma de dos da una figura diferente de acuerdo con la
posición que toma, entonces empieza a mirar que las figuras
geométricas son complementarias.
315
Competencias matemáticas
?
¿Cómo se está viendo en la experiencia el pensamiento lógico-matemático? ¿Cómo saben ustedes que sí hay
un desarrollo de un pensamiento lógico matemático?
¿A través de qué se está manifestando ese desarrollo de
pensamiento lógico-matemático?
Se esta manifestando el desarrollo del pensamiento
lógico porque los niños tienen ideas y conceptos más claros; además antes, cuando se les dibujaba un cuadrado, se
hacía de forma estática, siempre la misma forma, y si se
les cambiaba la posición de la figura, el niño se desconcertaba. Ahora es diferente, ya asume el asunto con más
perspectiva.
?
¿Cómo interactúa el medio social, el material manipulable, el maestro y el estudiante en la construcción del
pensamiento lógico?
Se hizo un diagnóstico previo en el que se demostró que
a los docentes nos rotaban una figura y no la encontrábamos
en un plano, y se lo hicimos a los estudiantes y a ellos les
dio otro tanto, porque eran nuestros alumnos y es apenas entendible que no les habíamos enseñado a rotar las figuras en
un plano y con diversos distractores; se hizo reunión con los
padres de familia, se les hizo también una especie de taller
de inducción y los invitamos a participar en él y acompañar a
los niños y niñas en los trabajos que se dejan para hacer en la
casa, luego hicimos otra reunión y los papas miraron que era
práctico.
316
La investigación, las relaciones espaciales y la formación del pensamiento
Claudia Salazar
Una recomendación inicial para poder comprender esta
propuesta sería tomar una posición conceptual en relación con
lo que se está considerando qué es, qué caracteriza y qué describe al pensamiento lógico-matemático. Desde ahí se podría empezar a resolver muchas de las preguntas que quedan cuando se
escucha acerca del trabajo que están desarrollando. En primer
lugar, porque en la presentación hacen una alusión al pensamiento lógico-matemático, pero luego describen cierto tipo de
habilidades que ustedes relacionaban con estos tres asuntos que
presentaban sobre las relaciones proyectivas y topológicas, y no
queda muy claro en la propuesta cómo es que eso hace parte
o no de la caracterización que podría hacerse del pensamiento
lógico-matemático.
Cuando escucho que ustedes hacen la descripción de las
actividades frente a las preguntas que ha hecho el auditorio,
veo que el trabajo del Tangram les ha servido para quedarse en el tratamiento de un registro figural de los conceptos
que pretenden abordar con sus estudiantes en geometría, pero
ese registro figural no sé si ha tenido algún nexo con registros
de otro tipo; por ejemplo, con los registros discursivos de los
estudiantes a través de los cuales ellos puedan reconocer los
elementos configurantes que finalmente hacen que esas figuras tengan los atributos, las propiedades y las características
que las hacen ser, y si ese reconocimiento figural les permite
trascender en la comprensión de esas figuras geométricas para
poder hablar de las propiedades de las características, de los
atributos, etcétera.
317
Competencias matemáticas
En ocasiones, siento que la propuesta se remite sólo
a todas las posibilidades de trabajo que hay para la clase
de matemáticas con el Tangram, más que cómo se puede
desarrollar pensamiento lógico-matemático con esta herramienta. Hay muchísimos elementos que ustedes le agregan a
la propuesta, entonces dicen: pensamos que podríamos hacer un trabajo interdisciplinario relacionado con otras áreas,
que podríamos hacer un trabajo que relacione la interpretación de las fracciones, la suma de fracciones heterogéneas y
homogéneas, trabajar sobre las relaciones espaciales, sobre
algunas nociones topológicas; pero el tratamiento de todos
estos asuntos se hace de manera superficial, que no permite
entender qué tanto se logra la comprensión de los estudiantes
en relación con cada uno de los conceptos que ustedes están
involucrando en la propuesta.
Y respecto a esta última palabra que acabo de utilizar,
valdría la pena diferenciar lo que estamos entendiendo cuando
hablamos de conceptos matemáticos, más que nombrar las figuras a partir de un reconocimiento visual que podamos hacer de
ellas a partir del Tangram. Es necesario establecer qué estamos
entendiendo por el concepto de triángulo, porque me parece
que a veces en las intervenciones y en el trabajo se habla del
triángulo para referirse a la representación del triangulo y no al
concepto; habría que establecer una diferencia entre el concepto y la representación.
Por otra parte, no encuentro alusión a cómo es que el
Tangram ha modificado las rutinas y los papeles de profesor y
318
La investigación, las relaciones espaciales y la formación del pensamiento
estudiante, tampoco se sabe qué ha pasado en el aula de clase
después del año y medio en que decidieron incorporar como
un elemento más de la clase de matemáticas este tablero o estos
tableros. ¿Qué ha pasado con el papel del profesor? ¿Qué ha
pasado con el papel del estudiante?
También hay un vacío en la presensación de la experiencia en lo que tiene que ver con la forma como logran en algún
momento distanciar a los estudiantes del trabajo sobre el material concreto, para hacer un trabajo sobre las ideas que pueden
abstraerse de esas acciones del material.
Y por último, yo tendría una pregunta relacionada con la
manera de evaluar la propuesta, porque en ella y en la intervención ustedes sólo dicen que consideran que la propuesta ha
tenido buenos resultados en tanto reconocen mejores niveles
de comprensión en los estudiantes sobre los asuntos que han
tratado con el Tangram, pero como no está claramente descrito
a qué se refiere eso del desarrollo del pensamiento lógico-matemático, la pregunta es: ¿Cómo evaluaron ustedes?
319
Competencias matemáticas
Cómo hacer más efectivos y significativos
los procesos de evaluación en matemáticas
“Durmiendo con el fantasma de las matemáticas”
Expositora: Jacqueline Cruz Huertas,
Institución educativa Miguel Antonio Caro
y de la institución educativa distrital Marsella, Bogotá, D.C.
La profesora Jacqueline Cruz Huertas fue merecedora del
Premio Compartir al maestro en el año 2000, es licenciada en
matemáticas de la Universidad Distrital, tiene una especialización en computación para la docencia y una especialización en
educación moral y cívica en el sistema educativo de la Universidad Complutense de Madrid.
Esta estrategia nace como una forma de abordar los procesos
de evaluación, y hacerlos más efectivos y significativos para los estudiantes, sobre todo en el campo del aprendizaje de las matemáticas.
¿Cómo crear unas actividades que favorecieran realmente el aprendizaje, y que de paso no se quedaran tantos estudiantes con logros
pendientes? Esa fue la inquietud que nos suscitó este proyecto.
Inicialmente preparábamos unas actividades, evaluaciones escritas muy tradicionales, les dábamos a los estudiantes un
trabajo para que repasaran y se prepararan para la evaluación.
En general, ese trabajo no era realizado por los estudiantes, lo
copiaban de los demás y en el momento en que se llegaba a la
evaluación nos presentaban la hoja en blanco.
320
Cómo hacer más efectivos y significativos los procesos de evaluación
¿Qué hacer frente a esta situación? La respuesta fue el nacimiento del portafolio.
El portafolio es una colección intencionada del trabajo de un
estudiante que muestra su esfuerzo, trayectoria y alcance en uno o
varios temas. Son los temas con los que ha tenido dificultad.
El portafolio puede incluir resúmenes de problemas de libros; mapas conceptuales, gráficas, tablas, reflexiones y sobre
todo que se apoyen los estudiantes en los diversos sistemas de
representación que tiene las matemáticas: el simbólico, el tabular, el verbal, el gráfico, el geométrico.
El primer objetivo fue motivar a los estudiantes para promover el aprendizaje a través de la reflexión y la autoevaluación.
Porque cuando no reflexionamos sobre lo que hacemos es difícil
tener un aprendizaje real. El otro objetivo era promover el proceso de escritura y comunicación, pero no sólo la escritura con los
símbolos de esos ejercicios, como simples desnudos, sino tratar
de que el estudiante describiera procesos. Además de reconocer,
apoyar y argumentar el progreso individual cuando revisamos el
portafolio; enfatizar el proceso constructivo del estudiante e invitar a que el estudiante seleccione y valore su trabajo.
Los criterios de evaluación también proponen valorar hasta
qué grado el estudiante ha integrado realmente el conocimiento
a su vida, a su quehacer; ¿le ha dado sentido y significado aplicar su conocimiento a la solución de diversas situaciones que
requieren razonamiento y/o modelación matemática? ¿Hasta
321
Competencias matemáticas
qué grado ha desarrollado la capacidad de utilizar el lenguaje
matemático para comunicar ideas? ¿Qué aspectos debemos mirar en una evaluación matemática?
En primer lugar, el contenido matemático, los conceptos,
los procedimientos, las representaciones, la comunicación y la
utilización del lenguaje, la pertinencia de ese lenguaje, la coherencia y la capacidad de sustentación de las ideas. Para evaluar
este portafolio nos apoyamos en una matriz de evaluación que
elaboramos específicamente para eso. Un aspecto es la forma,
porque un trabajo debe ser bien presentado, pero lo pueden
hacer, a su manera, muy creativamente. Entre mayor creatividad
y mayor originalidad, es mejor. Entonces se trataba de propiciar
ese pensamiento creativo, esa iniciativa del estudiante.
En segundo lugar, tiene que ver con el contenido matemático,
los contextos que utiliza el estudiante, los programas que se inventa
conllevan diversas preguntas, son amplios, son ricos, se pueden
sacar muchas cosas. Y un tercer aspecto es la comunicación. El
portafolio debe ir acompañado de muchas descripciones.
Lo otro es la actitud matemática. Al final, el estudiante en
las últimas páginas de su portafolio debe hacer una reflexión de
su trabajo, debe contar cómo se sintió haciendo el trabajo, cuáles fueron las dificultades que tuvo, qué fue lo que más le gustó,
qué le disgustó, entre muchos aspectos.
Si el estudiante realmente tiene muchas fallas, entonces se
hacen las correcciones para que pueda volver a presentar su tra322
Cómo hacer más efectivos y significativos los procesos de evaluación
bajo con las indicaciones que se le hayan hecho. Hemos notado
que, en general, les agrada realizar este trabajo, se fortalecen
aspectos como la creatividad, la responsabilidad, la capacidad,
el autoestudio, la reflexión. Es una forma distinta de interacción
maestro-estudiante, cuando se dialoga a cerca de cada trabajo
que cada uno está desarrollando, se crea una relación positiva.
A veces se reciben muchas sorpresas agradables de jóvenes que
demuestran por escrito una gran creatividad e iniciativa.
Algunos trabajos son de muy mala calidad, otros copian
problemas que se hacen en clase. Cada vez los maestros tenemos
menos tiempo para la evaluación y como es uno de los procesos más importantes es preocupante porque si dedicamos mucho
tiempo a otras actividades a veces descuidamos la formación.
323
Competencias matemáticas
Preguntas
?
Parece que el portafolio sólo es el registro de lo que el
estudiante hace, ¿entonces cómo o dónde se mira el desarrollo de competencias matemáticas?
Esta es una actividad de recuperación y creo que al interior
mismo de los portafolios de alguna manera se están visualizando
competencias, la competencia comunicativa, por ejemplo. De
qué manera que el muchacho está escribiendo y comunicando
ideas matemáticas claras, esa es una competencia. Otra es la
capacidad de resolución de problemas; de hecho, los portafolios que nosotros recibimos tienen mucho que ver con el tipo de
actividades que se desarrollan en el aula.
?
El portafolio es la estrategia para superación de logros, ¿pero cuál es la estrategia de evaluación dentro
del aprendizaje de las matemáticas? ¿Qué se plantearía para los estudiantes destacados? Si son trabajos de refuerzo, ¿por qué no debe ser para todos los
alumnos?
Al comienzo dije que lo había puesto para todos, realmente este es un trabajo que demanda mucho tiempo del maestro,
es muy distinto cuando se asigna un trabajo de unos ejercicios
y se sabe más o menos cómo revisarlo, pero aquí es la creatividad de cada quien; por eso decidimos dejarlo, ojalá tuviéramos
tiempo de hacer portafolios para todos los estudiantes y que el
aprendizaje fuera así, pero quizá el número tendría que ser me324
Cómo hacer más efectivos y significativos los procesos de evaluación
nor y no con unos 200 o 300 estudiantes que tenemos cada uno
de los profesores de matemáticas, esa es una de las razones, el
tiempo.
Hubo estudiantes que no habían perdido que nos presentaron portafolio, o sea, lo presentaban como voluntarios para
mejorar sus valoraciones y para aprender. Se podría proponer a
los estudiantes que quieran profundizar que hagan un portafolio
y muy seguramente será mejor.
Con respecto a cómo se evalúa a los demás, hacemos
talleres, evaluaciones individuales, privilegiamos mucho el
trabajo en grupo, la resolución de problemas; casi siempre
hacemos olimpiadas matemáticas, también esa es una de las
acciones que están dentro del proyecto “Durmiendo con el
fantasma”.
?
¿Cómo verifica usted que el desarrollo del portafolio sí
le ha ayudado a construir el conocimiento que requiere
el estudiante? ¿Qué estrategias utiliza para verificar el
aprendizaje en el trabajo personal del portafolio de los
estudiantes y cómo se da el acompañamiento en la elaboración del portafolio?
Para verificar el aprendizaje se hacen preguntas, por
eso hay un momento en que el maestro dialoga con el estudiante acerca del trabajo a través de las preguntas; se seleccionan dos o tres preguntas después de haber revisado
el portafolio individualmente, se hacen unos comentarios,
325
Competencias matemáticas
cada portafolio lleva más o menos media página de comentarios positivos, se resalta mucho la parte positiva y, obviamente, también se resaltan los errores o dificultades; ese es
más o menos el proceso.
?
¿El uso del portafolio ha mejorado los niveles de matemática en general? ¿Cómo se controla que los que
resuelven y hacen el portafolio sean realmente los estudiantes a los que se les está haciendo seguimiento?
¿Existen tiempos de trabajo previo a la elaboración del
portafolio para trabajos, la parte de conceptualización,
la parte de desarrollo de la clase y demás?
Este año ha sido muy difícil ese acompañamiento con los
estudiantes; antes hacíamos unas sesiones, pero este año fue imposible, les tocó solos realmente porque con cuatro jornadas en
el Nicolás Esguerra no hay un solo minuto que el colegio quede
solo y no hay espacios para la atención ni siquiera de los padres
de familia. Ha sido un proceso difícil; sin embargo, la idea es
que el maestro también haga un acompañamiento y que ojalá
se tenga un espacio para ello.
Este trabajo tiene que ser hecho a mano, porque se busca ver el sello personal del estudiante y eso hace la diferencia,
realmente se nota cuando las cosas son hechas por los estudiantes, pues el maestro intuye cuando las cosas han sido copiadas,
cuando un portafolio y los trabajos son demasiado perfectos, el
docente empieza a dudar, aunque puede llamar al estudiante y
verificar. No puede haber un portafolio igual a otro.
326
Cómo hacer más efectivos y significativos los procesos de evaluación
Gloria García
Uno de los problemas de los cambios en las prácticas
de evaluación en la clase de matemáticas es precisamente los
instrumentos; establecer cuáles son los más pertinentes y más
cuando se pretende cambiar la evaluación y pasar de una función de control a una de autorregulación, lo que quiere decir
que es una función en la que vamos a compartir responsabilidades en el aprendizaje.
El portafolio tiene unos criterios de evaluación claros frente
a lo que llama las dimensiones de la competencia matemática,
porque ésta no es exclusivamente el saber hacer en contexto,
tiene varias dimensiones: el razonamiento, la comprensión conceptual y la comunicación.
Una cuestión valiosa en este portafolio es que integra una
nueva categoría de evaluación, que es la formación de valores y
actitudes; en el caso del grupo de niñas que tiene problemas y
dificultades o rechazos a la matemática, es muy importante mirar
cómo se desarrolla su afectividad hacia las matemáticas, el nombre del proyecto lo hace ver y por eso incluye, amplía, no sólo
tiene criterios o dimensiones de la competencia puramente cognitivas, sino que incluye otra dimensión, lo afectivo. En otro caso
y con otros estudiantes, se puede también incluir otra dimensión
a la competencia, que sería la valoración; valorar los procesos
sociales de argumentación, respeto a la diferencia, etcétera.
Yo destaco esa construcción que se ha hecho y el uso para
este grupo con dificultades o con desinterés hacia las matemáti327
Competencias matemáticas
cas; pero también comparto algunas de las preguntas finales que
se hicieron, porque en este caso el portafolio estaría siendo construido fuera de la clase, es decir, lo traen; en ese sentido, el portafolio no está acompañando el proceso de aprendizaje, porque
es construido afuera, no se sabe quienes lo ayudan a construir,
de dónde están sacando la calidad de los problemas que ellos
mismos construyen. Aunque indudablemente el portafolio es un
instrumento de evaluación para el seguimiento del aprendizaje.
328
Monitoreando y motivando con la lúdica:
tus dificultades puedes superar
Expositores: Aleida Velasco Escalona y Cristian Arrieta,
Institución educativa técnica-industrial Moisés
Cabeza Junco, de Bolívar
Aleida Velasco Escalona
Para la realización de esta experiencia partimos de un
diagnóstico, del que extrajimos los aspectos más relevantes,
como son las falencias en el manejo y aplicación de conceptos
de grados anteriores, poco dominio en el desarrollo de operaciones básicas y resolución de problemas matemáticos, apatía
al área, desmotivación y temor. Todo esto nos llevó a buscar
un objetivo general, que es despertar el interés y la motivación
hacia el área de las matemáticas en los niños, niñas, jóvenes y
adultos de la institución educativa, mediante el diseño y la aplicación de actividades lúdico-recreativas (de igual forma, que la
acción monitorial que allí aparece).
Este objetivo general arroja unos objetivos específicos, que
son concientizar a los estudiantes que son capaces de superarse.
Mejorar el aprendizaje en el área de matemáticas a través de juegos
y ayudas didácticas. Servir de apoyo en el proceso de superación
de las dificultades mediante la transmisión de conocimientos de una
forma más fácil, sencilla y recreativa. Trabajar mancomunadamente
con los estudiantes de otras instituciones y centros educativos del
municipio de Villanueva. Vivenciar la práctica de valores humanos
en el desarrollo de actividades lúdico-recreativas.
329
Competencias matemáticas
Después nace la formulación del problema, nuestra preocupación es: ¿Cómo lograr el acercamiento y la superación de
las dificultades de los estudiantes en el área de matemáticas? A
partir de esta preocupación, nace nuestra gran experiencia enfocada a la acción monitorial. ¿En qué consiste la experiencia?,
consiste en la conformación de un grupo de estudiantes que
orientan a otro grupo de niños que presentan dificultades en el
área de matemáticas o que por algún motivo carecen de ayuda
en sus hogares.
Para la realización de este proyecto se llevaron a cabo
varias fases: la primera, llamada fase de apertura, nace en
el año 1998 en el grado tercero de primaria, en que se escogió a un grupo de siete estudiantes para dirigir algunas
actividades en el aula de clases; este grupo, de igual forma,
tenía a su cargo un grupo de cinco a siete niños, a quienes
orientaban en horas de clases. Luego sigue una fase social,
que es cuando los niños empiezan a darse a conocer a nivel institucional explicando su experiencia y motivando a
los demás grados a vincularse a la experiencia. Enseguida
sigue una fase de integración, ésta fue una de las más significativas porque empieza la integración de los diferentes
grados, de cada grado se toma un niño líder o dos líderes de
cada grupo para conformar el grupo monitor, pero a nivel
institucional no en las aulas. Por último, la etapa del florecimiento o etapa de superación, que fue una de las más duras,
porque era la integración de los niños de octavo, noveno,
décimo y undécimo, puesto que sentían un poco de apatía
para vincularse al grupo.
330
Monitoreando y motivando con la lúdica
Cristian Arrieta
La experiencia del grupo monitorial piloto para el desarrollo y el aprendizaje de las matemáticas han permitido
despertar el interés y motivación de los niños, niñas, jóvenes
y adultos hacia el área de las matemáticas; además, contribuye a la práctica y vivencia de los valores para una mejor
convivencia en el aula de clases, y en el interactuar con los
diferentes estamentos de la comunidad educativa, en la que
un número representativo de padres y acudientes sólo han
culminado la básica primaria. Además, la región donde se
encuentra la institución Moisés Cabeza es una zona donde
los padres adquieren el sustento diario mediante la agricultura, por eso se van desde muy temprano y regresan tarde en la
noche, lo que les impide orientar a los niños.
Para nuestro proyecto, nos hemos apoyado en cuatro teorías pedagógicas: la primera es la del pedagogo alemán Fiedrich
Froten, quien ve en el juego ventajas intelectuales y de formación física, y en esto fundamenta la integridad de una buena
educación. Otra teoría en la que nos hemos apoyado, es en la
de la educadora y médica alemana María Montessori, según ella
las tareas están basadas en el juego y la actividad voluntaria, es
decir, la libertad; mediante ésta el niño adquiere una motivación y mantiene un orden o disciplina. Otra teoría en la que nos
hemos apoyado es en la de las hermanas Agasis, seguidoras de
Frowell, quienes consolidan una didáctica infantil basada en la
compresión, el amor, la ternura y el juego, aprovechando como
material didáctico todo aquello desechable que traen los niños.
Y por último, la del sicólogo y pedagogo suizo Edward Laparade,
331
Competencias matemáticas
quien a partir del conocimiento, las necesidades e intereses del
niño utiliza la actividad como factor principal de su formación,
es decir, una pedagogía activa.
En el transcurso de nuestra experiencia hemos afrontado
muchas dificultades, entre ellas tenemos: lograr que algunos docentes se vinculen al proyecto; disponer de tiempo para que algunos estudiantes se desplacen en jornadas contrarias y carecer
de un espacio físico dotado de mobiliario para el desarrollo de
actividades en horarios contrarios.
No es fácil lograr en un colegio que tiene ocho docentes
de matemáticas, que todos miren desde una misma perspectiva
una propuesta, hemos tenido muchos inconvenientes para que
todos los docentes de la institución acojan esta propuesta de
una manera activa.
Otra de las dificultades está en los niños, como les dije,
en la institución hay estudiantes que son hijos de padres que
viven de la agricultura, otros no viven en el casco urbano del
pueblo sino en corregimientos. Muchas veces los niños deben
desplazarse en jornada contraria porque son monitores, pero no
es fácil para un niño salir de una jornada de clases, ir a su casa
en un corregimiento y regresar otra vez.
A raíz de esto nos hemos propuesto unos retos, entre ellos:
que a través del monitoreo sigan naciendo nuevos lideres matemáticos capaces de desarrollar competencias matemáticas para
la vida. Lograr aplicar la tecnología mediante un software en el
332
Monitoreando y motivando con la lúdica
área de matemáticas. Lograr que todos los docentes se vinculen
a la experiencia de una manera activa.
Por las dificultades no hemos podido lograr que todos los
docentes se acojan a la propuesta, es más, hemos obtenido como
experiencia que entre más antiguo es un docente y está en un
grado más alto en lo que respecta al nivel de educación básica
y media, es más difícil hacer que se integre a la propuesta.
El objetivo general de la propuesta es el siguiente: se toman niños especializados, los mejores en el área de matemáticas
de cada salón, se preparan y orientan, se les dice qué actividades hacer y se llevan a que orienten a otros niños, pero no sólo
nos quedamos allí, porque lo novedoso es que nosotros preparamos a esos niños mediante la lúdica. ¿Cómo?, los niños que
tienen problemas les pedimos que traigan materiales reciclables
como cartones, discos compactos, telas viejas, con esos materiales reciclables nosotros preparamos a los monitores para que
elaboren los juegos con los niños, les explicamos cómo adaptar
juegos como la golosa, la lotería, el dominó, etc.; entonces,
como primera fase, el niño elabora él mismo los juegos, y así
los vamos trayendo, después que ellos elaboran estos juegos, los
ponen en práctica con sus monitores.
El mejor resultado es el acercamiento del niño hacia las
matemáticas, entonces, ¿por qué hay dificultades con algunos
profesores? Qué el niño aprenda matemáticas de una manera
diferente, y vaya al aula de un profesor que tiene una metodología tradicional, hace que choquen; no estoy diciendo con esto
333
Competencias matemáticas
que la lúdica y los juegos reemplazan al docente en el aula,
pero sí nos hace ver de una manera diferente la enseñanza de
las matemáticas.
En el mes que pasó nos llegaron los computadores para
educar, lo que nos va a permitir alcanzar uno de los retos, el del
software matemático.
334
Tutoría de pares para superar
las dificultades en matemáticas
Expositores: Eduardo Ramírez y Armando Carreño,
Instituto técnico Mercedes Ábrego, de Cúcuta
Eduardo Ramírez
La experiencia de nosotros se originó también en el año
1998, debido a las políticas educativas. En nuestro colegio tenemos seis grados sexto y cada uno de ellos tiene aproximadamente 50 alumnos, provenientes de diferentes escuelas, así que
obviamente era un grupo muy heterogéneo y en el había mucha
mortalidad académica. En ese año me preocupé porque yo dictaba en décimos y en sextos, así que tomé un grupo de alumnos
a prueba de décimo grado y los preparé para que me ayudaran
con los de sexto grado, ahí comenzó la experiencia.
La experiencia sirvió como solución a una problemática
de tipo académico en el área de matemáticas para alcanzar los
desempeños básicos en los ámbitos de medición, conteo y variación en los niños de sexto grado. La estrategia fue preparar
alumnos de décimo y undécimo grados que tuvieran vocación
y habilidades para las matemáticas, y que les gustara enseñar.
Para eso, me marqué un objetivo: potenciar el desarrollo de habilidades lógico-matemáticas en los alumnos con dificultades
específicas de los grados sexto, séptimo y octavo. Además unos
objetivos específicos, como eran: mejorar el rendimiento académico, desarrollar capacidad de análisis y argumentación, aplicar
335
Competencias matemáticas
metodologías de trabajo cooperativo, disminuir la deserción en
los últimos grados de secundaria.
Para el desarrollo, se inscriben los alumnos tutores, en
este momento hay 40 más o menos; en el segundo periodo se
habla con los estudiantes que van mal en matemáticas para motivarlos a que entren en el programa, hoy hay 120 alumnos; luego, se habla con los padres de familia para que colaboren en el
transporte de los niños, porque nosotros trabajamos los sábados,
dos horas al día.
Los resultados es que los estudiantes manifiestan un
cambio, una actitud positiva, se observa respecto a la orientación de actividades académicas sugeridas por el tutor. Hay
alumnos que ya están en la universidad, que han querido
seguir en la tutoría, que van al colegio, no lo dejan, y les
ha servido también porque han tomado eso como parte laboral; hay ex alumnos que estudian carreras de ingeniería y
son profesores.
Un resultado fundamental es que en el segundo periodo
disminuyó la mortalidad académica en esos cursos, se han mejorado los resultados en las pruebas Icfes, y en las pruebas Saber; en
2005 subimos 1,96 puntos sobre el promedio en matemáticas.
En 2004 y 2005, estábamos en un nivel alto de las pruebas
Icfes, teníamos un promedio bueno; pasamos a 47,5, es decir
que subimos como tres puntos en el promedio, y este año pasamos a 50,25, ya no estamos en un nivel alto sino superior, y es336
Tutoría de pares para superar las dificultades en matemáticas
tamos esperando que este año con los tres puntos que subimos,
estemos en muy superior.
En la parte de matemáticas ha pasado lo mismo, de 2004
a 2005 subimos más o menos cuatro puntos en el promedio, y
este año subimos aproximadamente también cuatro puntos, por
lo que me siento muy satisfecho con el área de matemáticas.
El colegio se ha posicionado entre los siete mejores colegios
oficiales del departamento, y dentro de los 100 mejores del país.
Los estudiantes asesorados alcanzan los estándares mínimos de
desempeño, desarrollan altos niveles de tolerancia y aprenden
a escuchar a sus compañeros; por su parte, los alumnos tutores
logran crecimiento personal, se fortalecen las habilidades interpersonales, consiguen dominio de grupo y habilidades sociales.
En general, se logra mayor participación y disciplina durante las clases en el aula, si falto un sábado a tutoría, mis alumnos
me lo reclaman el lunes; para mí es un logro muy importante.
Se establece vínculo de solidaridad con los pares tutores, y
en esta parte los tutores han revisado su orientación profesional,
yo he tenido muchos alumnos que quisieron ser médicos, y después que me ayudaron con la tutoría de pares están estudiando
alguna ingeniería.
Para la medición llevamos dos guías: en una, los alumnos
llevan todas las dificultades que presentan sus hijos (yo los llamo así), y en otra hoja van llevando lo que han logrado, lo que
337
Competencias matemáticas
día a día logran, también tienen un cuaderno en el que realizan
sus talleres, porque la preparación es la siguiente: el lunes les
digo a mis alumnos tutores el tema o los temas que vamos a ver,
les preparo una guía que ellos tienen que resolver, además de
preparar el tema que van a sustentar el día sábado frente a sus
alumnos, cada tutor tiene máximo cuatro alumnos.
Y por último, quiero agradecer el apoyo de las directivas
de la institución, al facilitar los recursos necesarios. Una de las
metas que quiero alcanzar este año es que nosotros, que tenemos ya primaria, extendamos esta experiencia a otros grados, y
a otros colegios de la ciudad de Cúcuta.
338
Tutoría de pares para superar las dificultades en matemáticas
Preguntas
?
¿Cuál es el aporte puntual que hace el juego, la lúdica?
¿Cómo trasciende el trabajo de los monitores o tutores del
juego a la formalización de los conceptos?
Aleida Velasco Escalona
Realmente, el trabajo del monitor no es totalmente lúdico,
la lúdica es un medio que ellos utilizan para contribuir a solucionar las dificultades del estudiante, además de otros medios,
que es la orientación didáctica; ellos no se pueden separar de la
parte teórica, de la parte lúdica, de la parte práctica. En el caso
de nosotros, una de las dificultades más grande era la resolución
de problemas, entonces hacemos que ellos por sí mismos creen
sus propios problemas matemáticos, y traten de aplicarlos con
cada uno de esos juegos, a través de ellos aprenden y se divierten, esa es la funcionalidad de la lúdica.
Armando Carreño
En la parte lúdica hemos utilizado el sudoku y fraccionarios en sexto grado. Hicimos una competencia entre los tres
sextos grados, después de haber trabajado con ellos unos quince días y nos dio muy buenos resultados, tanto así que cuando
interrumpimos el proceso, que ya tenía tres semanas los estudiantes querían que siguiéramos, lo que demuestra el éxito de
la propuesta.
?
¿Cuál es la estrategia de evaluación que se hace hacia
tanto los estudiantes objeto de la monitoria, y cómo se
339
Competencias matemáticas
evalúa también o cuál es la estrategia de evaluación de
los estudiantes monitores?
Eduardo Ramírez
En el caso de los estudiantes que tienen dificultades, quiero salirme un poquito y agregar dos cosas, les damos al monitor
una ficha en la que evalúa el desempeño del estudiante que
tiene la dificultad; y al monitor, como también estamos supervisando el proceso, le miramos su capacidad de liderazgo y el
desempeño en el aula de clase.
Armando Carreño
Los monitores no son evaluados como tal, lo que hacemos
es darles una guía y prepararlos para los diferentes temas. Pero
la evaluación no se hace, los capacitamos, los preparamos y en
clase, en una hora formal, es cuando los evaluamos.
JULIO ROMERO - Comentarista Experto
De un lado, los compañeros del colegio Ábrego están reaccionando a un problema de desempeño escolar en el que
hay dificultades, y no necesariamente modificando sus modelos
pedagógicos, es decir, lo hacen bajo la figura de la tutoría.
De otro lado, la manera como reacciona la institución
Moisés Cabeza Junco es desde la siguiente consideración sociológica: unos padres de familia que se encuentran trabajando y la
institución les facilita un mecanismo para que en la institución
encuentren un acompañamiento a su labor; eso se comienza a
capitalizar, al encontrar una colaboración institucional; además,
340
Tutoría de pares para superar las dificultades en matemáticas
los padres de familia tendrán un muy buen aliado para que mantengan esta estrategia. Las dificultades que han señalado son
evidentes, la modificación del profesor de un tiempo adicional
demuestra una responsabilidad social, allí hay un aprendizaje
para el equipo de profesores.
341
Competencias matemáticas
Aprendiendo matemáticas
desde la perspectiva sociocultural
Expositores: Carmen Rosa Toscano y Ubaldo José Buelvas,
Institución educativa Antonio Lenis de Sincelejo
Hace cuatro años el departamento de matemáticas de
nuestra institución tuvo el propósito de modificar la enseñanza
de las matemáticas o presentarla de una forma distinta, entonces
ideamos este proyecto en el que se trata de relacionar la parte
cultural y la parte social de los estudiantes con la enseñanza de
la matemática.
Este proyecto se llama “Teoría tras el origami”, que hace
parte del gran proyecto “Aprendiendo matemáticas desde una
perspectiva sociocultural”. Escogimos los poliedros, los sólidos
platónicos, por la dificultad que genera en los estudiantes conocer las características de ellos, porque cuando miramos un
tetraedro plasmado en una hoja de papel es muy difícil entender
las características que tiene, mirar los vértices, las aristas, las caras. En cambio, si el estudiante está manipulando, está agarrando, está tocando, puede comprender mejor la situación.
Daniel Yepes
Nosotros los estudiantes hemos trabajado una serie de figuras; en este caso, el tetraedro, que consta de cuatro caras; el
hexaedro, que consta de seis caras; el icosaedro, que consta de
342
Aprendiendo matemáticas desde la perspectiva sociocultural
veinte caras; el dodecaedro, que tiene doce caras y el octaedro,
que tiene ocho caras.
En este proyecto desarrollamos axiomas, teoremas y analizamos un poco las figuras básicas, que son las que se encuentran en espacio nuestro común y las llevamos a la matemática.
Ubaldo José Buelvas
Imaginemos esto dibujado en una hoja de papel, es muy
complicado que el estudiante entienda lo que está inmerso aquí,
lo que está implícito aquí, es decir, tratar de mirar esto en un
libro y comprender cuántas caras, cuántos vértices hay es muy
complicado, es muy difícil. Entonces, bajo esas características
nos pareció que el origami era una buena técnica para desarrollar varios tipos de pensamiento: geométrico, variacional y métrico; y nos ha resultado, hemos desarrollado competencias en
los estudiantes, hemos observado que con el origami se ha entendido mejor la teoría, no todo son palabras y escritos sino que
ellos lo han evidenciado, lo han experimentado por sí mismos.
Carmen Toscano
Una de las dificultades más grandes que encontramos
como docentes de matemáticas es motivar a los estudiantes para
que las estudien. Una pregunta que nos hacíamos siempre es:
¿qué tipo de estrategias metodológicas utilizar para cambiar la
actitud de los estudiantes hacia las matemáticas? Como vivimos
en un entorno con una gran diversidad cultural, y teniendo en
cuenta los referentes teóricos de Alan Bishop acerca del aprendizaje de las matemáticas y de la cultura, quisimos tener en cuenta
343
Competencias matemáticas
estos aspectos y tomar esos contenidos inmersos en la cultura
del estudiante y llevarlos al aula de clase; por eso aquí en Sampués, uno de los centros artesanales de Sucre, donde elaboran
el sombrero, estamos trabajando en la institución el proyecto de
diseño de artesanías, para mirar la elaboración del sombrero, estudiar la parte sociocultural y trabajar el contenido matemático
que podamos recatar de allí.
Lo que pretendemos además es que el estudiante pueda valorar su cultura y también que desde las matemáticas pueda modelar estas situaciones. Y que lo pueda ayudar a comprender el
mundo en el que se encuentra. El objetivo de esta experiencia es
el siguiente: conectar la matemática a la cultura del estudiante mediante el estudio de contenidos inmersos en su contexto, con el fin
de darle sentido a su aprendizaje y que lo aprenda a valorar.
Los materiales educativos que estamos utilizando son los
recursos del contexto como hamacas, sombreros, unidades de
medida del entorno, papel origami y los programas Cabri y Derive para hacer una modelación de los diseños que los estudiantes han encontrado.
El seguimiento y la evaluación la llevamos a cabo a través
de evidencias fílmicas y registros fotográficos, además de un
cuaderno de notas. También podemos observar el cambio de
actitud del estudiante hacia la clase de matemáticas; el estudiante hace su actividad, presenta su informe, lo socializa y cuando
él hace esa socialización se puede establecer si realmente ha
avanzado y comprendido lo que estamos trabajando.
344
Aprendiendo matemáticas desde la perspectiva sociocultural
Una de las dificultades de este tipo de proyectos son los
escasos recursos bibliográficos, además de las limitaciones de
tipo económico, que no nos permiten sacar a los estudiantes
para que hagan su investigación, indaguen con los mayores y
los artesanos, vean su entorno, así que se convierte en un proyecto de salón.
Los logros han sido el acercamiento de la institución a la
comunidad, que se manifiesta en valorar el trabajo en equipo
de los alumnos, además del reconocimiento del entorno cultural y el acercamiento de los padres de familia a la formación
de sus hijos. Los padres de familia se han acercado a nosotros
para comentarnos cómo su hijo que no quería saber nada de las
matemáticas y ahora tiene otra actitud hacia ella.
Se han vinculado por ejemplo también en el proyecto que
el profesor Ubaldo les mostró geometría tras el origami los padres
han participado con sus hijos desde la casa en la elaboración
de los poliedros. Estamos enamorados de la etnomatemática y
es un sueño que podamos profundizar en ella, porque sabemos
que hay mucho por hacer, por eso hemos estado indagando,
pero nos falta todavía profundizar en ella.
Un reto grandísimo para nosotros es poder extender este
proyecto a todos los grados, hasta el momento estamos trabajando en octavo y décimo. Otro reto grande es poder profundizar en el entorno cultural, con la finalidad de desarrollar además
de los ejes que les había comentado otros como el numérico.
Y una pregunta que nos hacemos: ¿Podremos mejorar el apren345
Competencias matemáticas
dizaje de las matemáticas en nuestra institución a partir del
entorno sociocultural?
¿Cómo es el trabajo cotidiano frente al proyecto? Después
de ir a los lugares de donde recogemos la información, elaboramos
unas situaciones, las planteamos a los estudiantes y ellos buscan
información y respuestas mediante un trabajo de investigación.
Nosotros, con base en esa información, elaboramos una
situación relacionada con el contenido matemático. Por ejemplo, en lo que tiene que ver con el trabajo que hicimos con las
hamacas, ahí recogimos toda la información acerca de los tipos
de hamacas, cómo es su elaboración, cómo se comercializa,
qué tipo de diseños se realizan. Entonces aprovechamos esa información para elaborar una situación que tuviera que ver con
la función lineal, o sea creamos la situación con todos los elementos que nos dieron, elaboramos unas tablas con datos reales
y le planteamos una situación que permitiera mirar la variación
del precio con respecto al número de hamacas, por ejemplo.
Después de mirar la variación entre el precio y el número de
hamacas se les hicieron una serie de preguntas, se les pidió que
elaboraran una gráfica, utilizamos el programa Derive y los estudiantes empezaron a introducir las ecuaciones.
Diana Jaramillo
Han tomado como referente teórico los elementos que
elaboró Bishop, quien propone una reflexión no tradicional sobre la manera de enfrentar los problemas de enseñanza y aprendizaje de la educación matemática. Él habla de seis actividades
346
Aprendiendo matemáticas desde la perspectiva sociocultural
culturales, aunque no las plantea exactamente como actividad
matemática en sí misma sino actividades panculturales en la medida en que están presentes en todas las culturas.
Entonces lo que él trata de mostrar es cómo actividades
como contar, independientemente de la manera como las culturas aborden el conteo a lo largo de la historia, establecen una
relación entre los objetos y los números.
Otra de las actividades que denomina panculturales es la
de diseñar, que es una actividad que constituye una fuente universal, que está presente en todas las culturas, incluso en nuestra vida cotidiana, es decir, el diseño en la medida en que está
presente en todas las culturas, tiene una riqueza muy importante
para abordar los problemas de la enseñanza de las matemáticas; aunque no podemos decir que el diseño en sí mismo es una
actividad matemática, podría serlo, podría convertirse en eso.
Igualmente, la actividad de jugar es muy importante y ha
aparecido en muchas de las experiencias que se han presentado
aquí, pero ahí es importante diferenciar la generalidad de lo que
es jugar con el juego en sí mismo, pues hay que mirar la formalización en el acto del juego y las implicaciones que tiene en la
actividad matemática.
Otra es la actividad de explicar, pues en todas las culturas
necesitamos explicar los fenómenos, así que ahí está una actividad muy importante en la que puede apoyarse la educación
matemática; e igualmente señala la actividad de localizar, carac347
Competencias matemáticas
terizar las actividades relacionadas con saber desplazarse, no perderse, ubicar el hogar, la relación entre los objetos; es decir, son
actividades muy potentes; así mismo como otra que está presente
en mucha de las actividades, que es la actividad de medir.
Finalmente, una pregunta para los profesores de esta experiencia: ¿Qué competencias y conocimientos del currículo de matemáticas de los grados décimo y undécimo se pueden orientar?
Ubaldo José Buelvas
El primer inconveniente que se le presenta al educador
matemático es cómo enseñar, cómo llegar al estudiante y, sobre
todo, cómo romper ciertas estructuras y ciertos moldes que están vigentes en nuestra sociedad.
Nosotros encontramos muchas dificultades, que cuando el
educador o el maestro encuentran trata de apartarse y tomar el
camino más fácil. Una de las inquietudes que teníamos era que
aparentemente no había una relación directa entre los proyectos y
que no sabíamos cómo enlazarlos para abordar los aspectos matemáticos. En la investigación con los artesanos, con los nativos y
con los mayores, veíamos que estaban trabajando competencias
matemáticas, pensamiento métrico variacional, y muchos otros
aspectos, pero sin el toque de la matemática oficial.
348
Aprendiendo matemáticas desde la perspectiva sociocultural
Preguntas
?
¿Cómo se da la articulación del proyecto con el currículo en
relación con la distinción entre trabajar con lo concreto y luego trabajar con la extracción en matemáticas? ¿Este trabajo
abarcó todo el espacio de la clase, hubo momentos para trabajar conceptos previos o los conceptos se trabajaron sobre
la marcha del proyecto? ¿Qué papel que juegan los software
Derive y Cabri en el proyecto del tejido del sombrero?
Carmen Rosa Toscano
Los programas de los software disponibles como Cabri y
Geometric son programas que permiten trabajar el pensamiento espacial, manipular los objetos geométricos que hay y aparecen. Entonces, cuando trabajamos las transformaciones nos
van a permitir la invarianza, mirar las propiedades, explorar esas
propiedades con ese programa, por eso lo escogimos para este
tipo de trabajo.
Ubaldo José Buelvas
El estudio de los sólidos platónicos es una réplica de
un estudio que se ha hecho en México, Perú y España, y
la técnica que se utiliza es el origami modular; estábamos
trabajando pensamiento espacial, sistema geométrico, pensamiento métrico y sistema de medida; la utilización de la parte
simbólica, del componente simbólico que maneja la teoría
de Bishop, fue la exploración de los estudiantes para tratar el
tema desde el punto de vista lúdico, porque inicialmente la
349
Competencias matemáticas
parte matemática, la parte formal de las matemáticas no aparecía. Inicialmente era como un juego, trabajábamos talleres
los viernes con origami, y desde ahí empezamos a mirar las
características, a hacer cuadrados, rectángulos, pero una evaluación externa demostró que los estudiantes no sabían de
medidas, así que empezamos a formalizar a partir de lo que
habíamos visto a partir del juego.
¿Cómo se realiza el proceso de evaluación en el marco de
esta experiencia, de forma que se evalúe el conocimiento informal de las matemáticas? ¿Se ha evidenciado un mejoramiento
respecto a las evaluaciones anteriores? ¿Hay coherencia entre la
innovación, los contenidos de evaluación y los niveles de compromiso y exigencia? ¿Qué dificultades han encontrado al evaluar estos trabajos? ¿Cómo enfrentar el problema de la evaluación internacional cuando hay que responder a una formación
matemática que se requiere en todos los países, si se trabaja
desde una perspectiva sociocultural?
Carmen Rosa Toscano
Cuando ideamos esto siempre estuvimos pensando en los
estándares, en las pruebas que se presentan cada año y en los
resultados que la institución ha obtenido. En cuanto a la evaluación lo que hacemos son socializaciones del trabajo en clase
y una evaluación tradicional de contenidos.
Ubaldo José Buelvas
En uno de los períodos académicos los estudiantes no presentaron ningún tipo de prueba escrita, simplemente presenta350
Aprendiendo matemáticas desde la perspectiva sociocultural
ban los trabajos que estaban realizando, hacían sus explicaciones y algunos diseñaron modelos propios.
Cuando usted se embarca en un proyecto no tiene que ir
en contravía de los principios institucionales porque la comunidad no lo acepta porque usted se sale del marco establecido
o preestablecido; sin embargo, en nuestra institución se trabaja en énfasis, entonces los estudiantes que están en énfasis en
matemáticas tienen un número mayor de horas semanales para
desarrollar los proyectos adicionales. Es decir, como no puedo
salirme del marco tradicional, tengo que enseñar en trigonometría identidades, demostración de identidades, ecuaciones
trigonométricas, geometría analítica y todo lo que se enseña en
décimo grado, a la par que hemos estado trabajando este tipo
de proyecto y mostrando a los jóvenes que las matemáticas tienen otras facetas.
Sin embargo, las grandes dificultades provienen es de la
falta de recursos de las instituciones y de la poca ayuda que se
recibe del gobierno.
En todo caso, la evaluación no se puede apartar de la tradición de la prueba escrita; sin embargo, lo hice y recordé una
frase de un profesor de la especialización, el profesor Jorge Rodríguez Bejarano, que decía que nosotros los docentes cuando
hacíamos una evaluación escrita o una prueba escrita poníamos
cara de paranoicos, a los estudiantes los alineábamos y estábamos todos pendientes como vendedor de pólvora; así que en
ese segundo período todos los estudiantes lograron una buena
351
Competencias matemáticas
actuación y ninguno quedó insuficiente tomando la evaluación
desde otro punto de vista, sin prueba escrita.
DIANA JARAMILLO - Comentarista Experta
A partir de esta experiencia se empieza a generar un reconocimiento cultural de los niños, de la comunidad frente a la
cultura en la que están inmersos; el reconocimiento cultural de
los jóvenes frente a su propia cultura es algo importante que la
escuela debe validar también.
Un aspecto para destacar es que el trabajo tiene una documentación teórica de parte de los maestros, no sé el grado de
profundidad, pero por lo menos se nota cierto dominio de los
textos de Alan Bishop, que ellos estaban mencionando y que
citaron en determinadas oportunidades y que parece que orientaron un poco el trabajo.
Un llamado de atención que hacen varios educadores que
trabajan etnomatemática, entre ellos un autor español de apellido
Lizcano, es que no podemos seguir pensando que el contexto
está al servicio de la matemática, es la matemática la que debe ser
puesta al servicio del contexto, y eso cambia un poco la mirada
que los matemáticos y de los profesores de matemática.
La otra preocupación grande que ustedes tenían y le preguntaban a los docentes es sobre la evaluación, que se traduce
en la exigencia constante que los maestros están teniendo sobre
las pruebas Saber, pero si se hablara de procesos de evaluación,
lo mejor sería pensar que cuando el niño desarrolla muchos ele352
Aprendiendo matemáticas desde la perspectiva sociocultural
mentos durante estos procesos de etnomatemática la evaluación
está ahí, es obvia, el niño está aprendiendo. Sólo con las presentaciones de informes que hacen, con la presentación ante la comunidad es suficiente para saber que el niño está aprendiendo
matemáticas y que está generando procesos de aprendizaje.
Quiero hacerles una invitación a que paremos el colonizaje educativo. Lo voy a extrapolar con una comunidad indígena en la amazonía, pregúntense cada uno de ustedes como
profesor de matemáticas, ¿qué matemática voy a enseñar? Han
pensado cómo abordar esa clase en una comunidad de indígenas donde tienen un dialecto propio, una cultura propia diferente a la nuestra. Pues nosotros que fuimos formados en esta
escuela plantearíamos que lo que vamos a hacer es dictar una
típica clase de matemáticas.
La pregunta que nos hacemos algunos investigadores es
hasta dónde vamos a seguir colonizando, o sea, ¿será la matemática nuestra la misma que esa comunidad necesita? Yo les
dejo eso a modo de interrogante.
Otra cosa, no necesariamente hay una matemática, existe
la posibilidad de varias matemáticas; solo que las que nosotros
estudiamos y aprendemos son las matemáticas eurocentristas,
que fue el dominio europeo que nos trasladó esa concepción y
ese conocimiento matemático que hoy tenemos.
353
Competencias matemáticas
Incorporación de nuevas tecnologías
en el área de matemáticas
Expositor: Ariel Agudelo, Institución
educativa Los fundadores, de Montenegro, Quindío
La institución educativa Los fundadores se encuentra ubicada en el municipio de Montenegro, es una región turística por
excelencia y contamos para este proyecto con estudiantes de
los grados noveno, décimo y undécimo, que viven con uno de
los padres o con abuelitos, tíos, primos o cualquier otro tipo de
familiar, así que en cierta forma son personas que no ven en el
estudio una opción, aunque pretendemos desde esta parte de la
matemática intentar darles una nueva alternativa de vida.
Pretendemos mejorar en las pruebas que se nos imponen,
mejorar en el desarrollo de los diferentes tipos de pensamiento
matemático y apropiarnos de los procesos matemáticos, que es
parte del problema pues hay que propiciar la investigación del
docente, utilizar las escuelas como caldo de cultivo para ese
tipo de investigaciones, el profesor debería asumir su profesión
en una dinámica de constante aprendizaje, ubicarse en cierta
forma en el mismo plano del estudiante.
Las competencias que pretendemos desarrollar a partir de
este proyecto, en primera instancia, son que sea el alumno quien
pula los objetos matemáticos, quien active su propia capacidad
mental, que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento
con el fin de mejorarlo de manera consciente.
354
Incorporación de nuevas tecnologías en el área de matemáticas
Tenemos también como reto realizar competencias de estas
actividades, a fin que la matemática sea la propiciadora y desarrolladora para que pueda ejercitar su pensamiento en otras áreas del
conocimiento, para que adquiera confianza en sí mismo, que se
divierta con su propia actividad mental, que se prepare de esta manera para otros problemas de la ciencia y de su vida cotidiana y que
se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.
Un objetivo enmarcado dentro de todas las políticas educativas nacionales es propiciar con la introducción de nuevas
tecnologías que logremos desarrollar habilidades en los diferentes tipos de pensamiento matemático que son conocidos por
todos, para ello estamos utilizando la calculadora, la graficadora
T93 plus, un video scream, un CBL y un CBR, que son aparatos
que nos sirven para la toma de medidas basados en el ambiente
real y obviamente utilizar la tecnología mediadora en la solución
de situaciones problémicas.
En cuanto a la metodología, el grupo de estudiantes presenta una serie de situaciones problema en las que, según nuestra metodología de trabajo, priman interrogantes asociados con
la actividad en cuestión, nosotros privilegiamos sobre todo las
preguntas, los estudiantes van encontrando posibles soluciones,
y la actividad misma se presta para aceptar o desechar una de
las respuestas sugeridas.
El conocimiento matemático se va depurando cuando la
clase expone las propuestas que va encontrando y allí mismo,
entre todos, se decide cuál es la que mejor se aproxima a la
355
Competencias matemáticas
pregunta planteada; nosotros trabajamos mucho basados en la
estimación, cualquier respuesta que nos acerque racionalmente
a lo que estamos buscando la damos por satisfactoria, no hay
verdades absolutas, el grado de verdad depende de la mayor o
menor aceptación racional de la respuesta que encontremos, el
profesor no es el dueño de la verdad, sólo actuamos como un
árbitro de las verdades que vamos encontrando en el camino de
la búsqueda de las respuestas.
Creemos en eso de que el conocimiento es construido
por los que aprenden y no transmitido por los que enseñan;
la mejor manera de enseñar es crear actividades propiciadoras
de ambientes que permitan encontrar soluciones y respuestas a
situaciones planteadas.
Hay un punto que quisiera mencionar, el de la evaluación. ¿Cómo se evalúa este tipo de actividades?, ¿cómo hace el
maestro para tomar las notas que le corresponde entregar por
periodos? Eso es verdaderamente complicado porque estamos
acostumbrados en álgebra a desarrollar un sistema de ecuaciones y a partir de allí aparece una solución numérica que carece
de sentido porque la calculadora, con una simple digitación de
unos elementos particulares, se encarga de determinar el valor
para X y para Y, entonces qué sentido tiene preguntar eso en
una prueba. Entonces nos toca evaluar utilizando otras metodologías que den la posibilidad de exploración.
¿Con qué recursos contamos para el desarrollo de este
proyecto? Con 20 calculadoras TI92 Plus, graficadoras, excelen356
Incorporación de nuevas tecnologías en el área de matemáticas
te herramienta escogida por el Ministerio de Educación, en el
sentido de que han logrado unir algo así como el Cabrigeometric, el Derive, un procesador de texto que permite programar,
una matriz de datos, o sea, todo esto funciona en conjunto; un
video scream, que es una pantallita que nos permite visualizar
lo que vamos trabajando en la pantalla de la calculadora; un retroproyector de acetatos; dos CBL y CBR, que son aparatos que
sirven para adecuarle censores y tomar medidas reales, como la
temperatura; y un software que nos permite enlazar la calculadora con el computador. Tenemos también internet, es decir,
muchos software gratuitos que nos permiten realizar cualquier
cantidad de actividades de laboratorio.
¿Qué es lo que hemos logrado? Casi nada, diría yo, porque hay tantas cosas que uno se propone, pero menciono esta
por decir algo, teníamos un grupo de estudiantes que detestaba
la matemática y ahora hemos cambiado esa actitud cultural y
podemos decir que a la clase de matemáticas se llega no con
ese recelo sino con el ambiente de ver qué situación problema
nos trae el profesor, a ver qué se nos ocurre para solucionarla.
Se ha logrado adquisición de destreza instrumental con el
manejo de aparatos, participación individual en tareas colectivas y
una capacidad de reflexionar críticamente sobre lo que se aprende,
lee o escribe, a eso le da un carácter social y político a la clase.
También existe un interés por ampliar los conocimientos
que se adquieren o que se discuten en el aula, y estamos generando una capacidad de argumentar ante situaciones de la
357
Competencias matemáticas
asignatura o de otras asignaturas, así que hemos encontrado con
gran beneplácito estudiantes que se volvieron ordenados para
pedir la palabra, para discutir las ideas, para aceptar que las
ideas que ellos están emitiendo no son las correctas, lo aceptan
con cierto grado de responsabilidad y sobre todo para aprender
a escuchar lo que planten los demás compañeros.
Necesitamos apoyarnos los que estamos trabajando con
este tipo de tecnologías para ver cómo mejoramos, hay muy poco
de compromiso de parte de los compañeros de primaria, nadie
quiere trabajar con esto, y da pereza meterse con asuntos tecnológicos, claro que hay poco estímulo al docente que investiga.
Hemos elaborado algunos productos que son unos libros
editados por el MEN, en los que se mencionan muchas experiencias, tenemos muchos talleres desde grado sexto a grado
undécimo en matemáticas y en física en los que se visualiza la
filosofía del proyecto, hemos presentado experiencias en varios
congresos, hemos participado en talleres de formación en varios
municipios del Quindío, hicimos una experiencia que participó
en la feria de la ciencia del año pasado y ocupamos el tercer
puesto, y está esto de la teoría, que todos en su momento tendrán la oportunidad de discutir.
Me queda por resaltar que no se debe enseñar por enseñar, lo que necesitamos es enseñar a aprender.
Tenemos retos como formar alumnos de undécimo para
que nos acompañen, tenemos que crear grupos de investigación
358
Incorporación de nuevas tecnologías en el área de matemáticas
y hacer los estudios correspondientes a las pruebas y tal vez
para rematar, el mayor de los retos es continuar luchando en
medio de tantas adversidades por mejorar las condiciones de
apropiación del conocimiento tecnológico y matemático en los
jóvenes de nuestra patria.
359
Competencias matemáticas
Modelación matemática de situaciones
experimentales en el laboratorio de física
Expositores: Ligia Arguello, Humberto Galvis,
Laura García, Silvia Durán y Sandra Reyes,
Colegio Santa María Goretti de Bucaramanga
Humberto Galvis
El colegio viene vinculado como lo menciono el compañero de Montenegro al proyecto de incorporación de nuevas tecnologías al currículo de matemáticas. El PEI del colegio hace énfasis
en ciencias naturales y pensando en una integración de las asignaturas del currículo miramos la forma de integrar matemática, física
y tecnología; así que la idea central es poder llevar los equipos
tecnológicos con que contamos en el laboratorio de matemáticas
o en el área de matemáticas al laboratorio de física.
Hemos trabajado cinco experiencias: dos de intensidad luminosa con el CBL, una experiencia en plano empinado, que es
la que vamos a presentar y otra del péndulo simple. Como todos
saben, a los profesores de matemáticas desde 1998, a partir de
los lineamientos curriculares el ministerio, se nos recomienda
tres dimensiones dentro del trabajo de las matemáticas: unos
conocimientos básicos desarrollados en cinco pensamientos,
cinco procesos para desarrollar esos contenidos de los cinco
pensamientos y una contextualización de la matemática mediante la estrategia de solución de problemas de las mismas
matemáticas, de la vida diaria y de las otras ciencias.
360
Modelación matemática de situaciones experimentales
El marco teórico para la experiencia lo venimos manejando bajo cuatro ideas principales: desarrollo de situaciones
experimentales en el laboratorio de física, desarrollo del pensamiento variacional mediante los procesos de solución de
problemas y la modelación. La solución de problemas es un
proceso que debe estar presente a lo largo de todas las actividades de la matemática, permite el uso y la construcción
de nuevos conocimientos en situaciones fuera y dentro de la
matemática; mediante la estrategia de solución de problemas
es que los maestros podemos contextualizar las matemáticas
desde las mismas matemáticas, desde la realidad y desde las
otras ciencias.
La modelación es el arte de construir nuevos modelos
matemáticos que simulen la dinámica de ciertos procesos que
ocurren en la realidad; es muy importante dentro del trabajo
de la matemática la modelación y otro proceso importante es
la simulación.
Dentro del proyecto los docentes manejamos una parte
teórica y un principio fundamental, el de la mediación instrumental, toda acción cognitiva está mediada por algún tipo de
instrumento, ya sea material o simbólico.
Otro fundamento del marco teórico es el uso de sistemas
de representación para que haya una mejor generalización y
transferencia de aprendizaje, es por esto que esa parte de los
sistemas de representación que nos permiten cualquier equipo
tecnológico, ya sea la calculadora, la graficadora o un compu361
Competencias matemáticas
tador personal, tienen mucha importancia dentro del proceso de aprendizaje de las matemáticas.
Ligia Argüello
Los estudiantes desarrollan las competencias comunicativas en el momento en que entregan el informe que tienen
que hacer y ahí esta implícita la competencia propositiva, en
el momento en que ellos hacen conjeturas con respecto a las
gráficas que deben salir de las experiencias.
Las competencias investigativas se desarrollan cuando
tienen que consultar en un marco teórico todos los conceptos matemáticos y físicos que deben tener presentes para la
elaboración del laboratorio. Las competencias laborales están presentes en el momento del trabajo en el laboratorio y
del trabajo en equipo en la asignación de tareas, y las competencias ciudadanas en el momento en que en el trabajo en
equipo se respeta la opinión del compañero, la opinión de
otro grupo y la opinión del docente.
La construcción y comprensión de los conceptos a través
de estas experiencias es más enriquecedora para el estudiante
y más motivante, y a través de los sistemas de representación
podemos hacer más fácilmente la matemática y apropiarnos
más de los conceptos.
Como dificultad hay que decir que solo contamos con
cuatro CBR para un grupo de 35 estudiantes, entonces tenemos la necesidad de recurrir a préstamos en otras institucio362
Modelación matemática de situaciones experimentales
nes que están vinculadas al proyecto de las nuevas tecnologías
y lo mismo al mantenimiento de los equipos.
Como logros, tenemos los buenos informes presentados
por los estudiantes, el avance en el lenguaje matemático, la
apropiación de esa comunicación matemática, las presentaciones realizadas en el foro institucional, en el foro municipal y la
experiencia de nosotros en el foro nacional; además, la integración con otras asignaturas y la contextualización de la matemática a través de las ciencias naturales.
Como proyección para 2007, pensamos mejorar la experiencia e incluir los conceptos de límites, derivadas y mínimos, e
integrar biología, química e informática.
363
Competencias matemáticas
Preguntas
?
¿Qué habilidades y destrezas desarrollan los alumnos?
Interesa en particular ver qué pasa con la criticidad, con
la argumentación, con los cambios y avances respecto a
las representaciones utilizadas por los estudiantes desde
el inicio de la experiencia hasta las ecuaciones formales.
¿En qué momento interviene la formalización del concepto? ¿Qué pasa en el proceso de modelación con la
manipulación de la calculadora por parte de la persona
y el CBR para recoger los datos?
Ariel Agudelo
Al hacer la comparación con un grupo patrón, un grupo de medida que tenemos en la institución, vemos que hay
unos avances muy significativos en lo que tiene que ver con
la manera de expresarse, con la forma de defender una idea
basados en la argumentación y en las ideas contrapuestas que
el maestro le pone, obviamente no todo es color de rosa, pero
si se hace un balance comparativo podría decirse que es más
lo bueno que lo malo.
Para formalizar los conceptos, en el proyecto no es el
maestro el que lleva el concepto sino es el alumno el que genera su propio concepto, aunque en unas primeras instancias la
terminología que se usa no es la más adecuada, pero eso es un
asunto de pulir términos, pero hemos llegado a sintetizar, por
ejemplo, una pendiente, un interfecto, un punto de corte, sin
que el maestro lo enuncie de esa manera, el estudiante en sus
364
Modelación matemática de situaciones experimentales
propias palabras lo va determinando y luego, como les decía, es
sólo cuadrar palabras.
Se han fomentado en los estudiantes la interpretación gráfica de una manera asombrosa; el alumno es capaz de plantearnos la función que produjo esa gráfica, queremos darle al
estudiante la posibilidad de convertirlo en funciones de posible
representación.
Humberto Galvis
En lo referente a los sistemas de representación, el trabajo con los dispositivos tecnológicos permite manejar diferentes
sistemas de representación simultáneamente, por ejemplo, el
sistema Cabri geometric permite hacer una simulación, tomar
datos sobre una situación simulada y ahí mismo trabajar simultáneamente la parte geométrica con la parte de manejo de datos
y con la expresión algebraica de la situación o el problema que
se esté planteando.
Los equipos con que estamos trabajando en el laboratorio
de física, al igual que cualquier computador, permiten el manejo
de diversos sistemas de representación y cuando el estudiante
realiza una acción importante sobre cada uno de ellos, cuando
logra comparar una misma situación bajo dos o más sistemas de
representación, logra que el aprendizaje se transfiera de mejor
forma y ahí es donde aparece el razonamiento. La ventaja que
tienen los equipos tecnológicos no es el manejo en sé de ellos
sino la acción que realiza el estudiante con esos instrumentos
mediadores para construir el aprendizaje y para llegar a cons365
Competencias matemáticas
truir los conceptos de la matemática y de la física, que es lo que
estamos trabajando en esta experiencia.
?
¿Es posible que con el uso de la calculadora se esté perdiendo la posibilidad de que el estudiante plantee la
ecuación correspondiente a cada movimiento lineal y
cuadrático? ¿La calculadora hace que se pierda alguna
capacidad de formulación de ecuaciones como formas
de modelación de fenómenos?
Ariel Agudelo
No se podría pensar en que se esté perdiendo la posibilidad, al contrario, se está brindando una herramienta que permita
en un ambiente muy especial distinguir aquellos tipos de gráficos
que cuando fuimos estudiantes nos parecían tan complicados.
Hemos hecho algunas pruebas en algunos grupos de profesores, a quienes se les plantea las gráficas de unos grupos de
funciones de cierta forma elementales, y se ha encontrado que
en un gran porcentaje a los profesores les da cierta lidia obtener
esas gráficas, se les complica, se les hace difícil; así que los elementos modernos de representación permiten obviar un trabajo
dispendioso, no es que se deba obviar por completo sino que
hay que mirar en qué momento y qué se pretende en la unidad
didáctica. Si se pretende elaborar la gráfica, allí la necesidad es
que el estudiante aprenda cómo actúan las tablas de datos para
llevarlos a un sistema de representación y ver los gráficos que
producen. Pero si el objetivo es encontrar por ejemplo la interacción que tienen dos gráficas cuando se cortan, entonces allí
366
Modelación matemática de situaciones experimentales
hay que abordar la tecnología para poder dedicar tiempo al análisis de la información. Una de las finalidades del proyecto es
que el muchacho aprenda a interpretar, que utilice la tecnología
para suplir esos algoritmos complicados y se dedique a la discusión mental y el raciocinio para que haga interpretaciones.
Ligia Argüello
La educación matemática no es hacer gráficas, no es aprenderse ni aplicar fórmulas, sino ver la variación que hay en este
tipo de representaciones; entonces, si el estudiante gana tiempo
con el uso de la tecnología eso nos permite realizar un análisis
más valedero. Como decía el doctor Luis Moreno Armella, las
tecnologías se deben volver invisibles en el momento en que se
esté haciendo un análisis de la situación que se planteó, así que
en ningún momento la tecnología va a limitar al estudiante para
que desarrolle el pensamiento matemático.
?
¿Cómo pasar de una educación tradicional de papel, a
una educación en la que se use como instrumento la
calculadora? ¿Qué pasa con poblaciones con diferencias
cognitivas en cuanto al uso de este tipo de instrumentos
en el aula?
Ariel Agudelo
Creo que es difícil que alguien tenga la respuesta correcta para este interrogante, lo que se está haciendo son
unas aproximaciones, una serie de investigaciones, de experimentaciones, para ver si realmente vale la pena. Los que pertenecemos a este proyecto somos unos eternos convencidos
367
Competencias matemáticas
de que ese es el camino, de que prácticamente no hay otra
opción, porque no podemos quedamos atrás de los avances
de la ciencia y la educación, no podemos dejar que la escuela siga anquilosada mientras el mundo se desarrolla de una
manera acelerada. Mientras el estudiante tenga mejor preparación para enfrentarse a los retos que le ofrece la vida,
mejores oportunidades va a tener.
Entonces sí es posible, creo que es posible porque en unos
foros que tuvimos en otra oportunidad se discutía que hoy la
mayor parte de las instituciones educativas cuentan con al menos equipos de cómputo, que quizás no se estén aprovechando
como se debe, porque allí mismo nos dábamos cuenta que en
muchas instituciones educativas se usa para aprender paquetes de offices, y eso, está comprobado por investigaciones, no
hay necesidad de enseñarlo, ese tipo de cosas se aprenden con
el uso; hay que usar la herramienta en aquellas cosas que se
pueden hacer más efectivas, hay gran cantidad de software que
permite que el estudiante visualice situaciones en cualquiera de
las ciencias, que son muy complicadas de contar en el tablero.
Nosotros hoy nos beneficiamos precisamente de eso, porque es
difícil mostrarle a un estudiante un lugar geométrico de manera
verbal, mientras se puede elaborar una pequeña construcción y
ver cómo ese lugar geométrico se va formando.
Los que hacemos más difícil ese tránsito somos los mismos
maestros. Somos muy reacios a la introducción de cosas que
los compañeros llaman extrañas en el aula. Es importante ensayar con nuevos instrumentos, no sólo la calculadora, porque
368
Modelación matemática de situaciones experimentales
hay otros instrumentos también muy importantes para el trabajo
en clase.
En cuanto a qué hacer con la población que se llama con
deficiencias cognitivas, en el colegio en este momento estamos
trabajando con un grupito de sordos y me extrañé cuando una
niña sorda le ganaba a mis alumnas en realizar operaciones. Valdría la pena hacer un estudio porque ellos tienen una forma de
contar que es un poco diferente a la de nosotros, pero lo logran.
La tecnología les permite trabajar y desarrollar sus habilidades;
esta población en particular tiene una habilidad innata en la vista,
dependen mucho de los ojos, entonces para ellos es mucho más
gratificante ver ese tipo de representaciones que se hacen de una
manera real y no las que nosotros simplemente les contamos.
?
¿Cómo se adquiere el material, qué costo promedio tiene la adquisición del material? ¿Qué tiempo escolar y
extraescolar se dedica a la experiencia?
Humberto Galvis
Después de la integración de colegios que se dio en 2001,
los diferentes grupos en los distintos departamentos hemos venido trabajando de manera grupal por intermedio de foros de
discusión vía internet, o mediante discusiones de grupo. Las instituciones educativas con que laboramos nos permiten reunirnos los días viernes en la mañana, para ver el desarrollo del proyecto. En la mañana nos reunimos, evaluamos las actividades
que hemos realizado en la semana anterior y programamos las
siguientes a realizar.
369
Competencias matemáticas
La ayuda que hemos recibido ha sido del Mineducación,
y algunos colegios en particular y entidades territoriales han hecho algún esfuerzo económico para continuar comprando equipos y tenerlos en el colegio, porque el costo de los equipos es
un poquito alto.
Cuando arrancamos el proyecto tuvimos que dedicarle
demasiado tiempo, ahora hay que dedicarle tiempo extra
para trabajar.
Ligia Argüello
Nosotros fuimos uno de los favorecidos porque el profesor Jorge Enrique Fiallo estuvo en Japón y trajo la modalidad de
estudio de clase abierta, y a partir de ahí trabajamos no sólo los
viernes en la tarde sino cada que se necesite, pues estamos convencidos que el trabajo con estas nuevas tecnologías nos permite realizar un trabajo que no sea rutinario en el aula de clase.
Ariel Agudelo
Se puede usar de una manera más efectiva el dinero destinado a tecnología si se compran computadores, que tienen una
posibilidad más abierta, no estoy demeritando las calculadoras,
pero hay que pensar hacia el futuro.
En mi institución particularmente el tiempo que se dedica
al proyecto es el tiempo que tiene la asignatura de matemáticas.
Y en cuanto al tiempo extraescolar, si se usan las herramientas
adecuadas, los progresos son inmensos; la tecnología nos ha
echado una carga extra, pero si la usamos bien, si nos va bien
370
Modelación matemática de situaciones experimentales
con los muchachos, progresamos y avanzamos en lo que nos
proponemos.
JAIME ROMERO - Comentarista experto
Si los profesores no estuviéramos dispuestos a poner tiempo para las innovaciones, ellas no existirían, y eso nadie lo paga
y en cada fase de la innovación aparece un requerimiento más
para el profesor que está en esa tónica. En este caso, se alcanza
a percibir que hay apoyo de la institución o de las instituciones
y que han logrado construir una cierta base de investigación,
ese es un requerimiento muy fuerte que tienen las innovaciones para saber cómo van, para dónde van, para ir generando
un acumulado que le brinde posibilidades a otros. Se trata de
ir construyendo una experiencia a partir de resultados un poco
ciertos, y digo un poco ciertos porque es muy difícil hablar de
resultados verdaderos, son resultados un poco ciertos.
Creo que en este tipo de innovaciones hay un problema
todavía mayor que las otras innovaciones y es que se está haciendo una innovación para una escuela que no está hecha para
esos medios; hay una instrumentación que supera de largo la
posibilidad que tiene instalada la escuela y eso trae problemas
muy difíciles de resolver.
Aquí lo han puesto en términos de cuánto vale, pero no es
sólo esto es cuánto hay que reconvertir una institución para que
pueda coger de verdad estas formas de trabajo y potenciarlas.
Todos nosotros vamos a estar sufriendo una transición muy fuerte en esa dirección, incluso las instituciones de enseñanza y de
371
Competencias matemáticas
aprendizaje, y sobre esa parte no ha habido una gran reflexión,
no sé muy bien qué pudieran aportarle al sistema educativo las
experiencias y la innovación que está trayendo a colación este
tipo de instrumentación, en relación con los requerimientos que
va a tener el sistema educativo.
Nosotros oímos varias preguntas respecto a las habilidades que puede perder un estudiante y las que podría ganar. Yo
no estoy juzgando la experiencia, estoy diciendo que estamos
produciendo una forma de innovación que es muy compleja
de armar por la instrumentación que está utilizando, por los retos que nos impone la instrumentación.
Hoy tenemos un problema de número que se vuelve cualidad, cuando el número nos informa algo que no habíamos tenido en cuenta, nos dice que hay una cualidad que usted a dejado
de tener en cuenta. Ese aspecto de una cobertura real posible; el
modelo de colegio está en crisis, no lo hemos aceptado porque
es lo único que tenemos ahora, pero está en una crisis que debe
ser posiblemente resuelta mediante el uso de unas maneras nuevas de mediar el conocimiento.
Estas experiencias que han expuesto estarían un poco en
esa dirección, y digo sólo un poco porque realmente no sabemos cómo va a ser la educación futura, pero hay cosas que le
permite decir hacia dónde va a ir, y de pronto todos nos equivocamos, porque cada vez que se miran las predicciones de hace
50 años, la dinámica de cómo iba a ser el mundo hoy, nada que
ver, todos equivocados, pero también esas predicciones hacen
372
Modelación matemática de situaciones experimentales
que las cosas avancen aunque no hacia donde se predijo, por la
complejidad del universo y todas esas cosas.
Hay un libro de Antanas Mockus que se llama Representar y disponer, en el que dice una cosa como la siguiente: una
época puede distinguirse a partir de probablemente dos hechos
cuando cambiamos una época a otra. Dos hechos: uno, cómo
se representa el ser, cómo se entiende el ser, y otra, cómo se entiende la verdad; y él dice, en este momento el ser se debe estar
entendiendo como algo que es posible de ser dispuesto a través
de la representaciones, es decir, yo no actúo sobre la cosa sino
sobre su representación y luego la hago ser esa cosa, la hago ser
como actué sobre la representación, y dice también, y la verdad
ya no es sobre el objetivo sino la certeza.
¿Cuál es la idea de verdad?, la de certeza. ¿Qué es certeza? Es resistirse al embate de la razón. Ahí tendríamos también
un problema; es decir, cuando hablamos del diálogo, de la comprensión, de las discusiones razonables y aceptables, ¿dónde se
evalúa lo razonablemente aceptable?
O sea, dar el salto a la dificultad del modelo de algo que
no sabemos como funciona, es complejísimo, o sea, nos sometemos realmente a resistir el embate de la razón y nuestros estudiantes también. Esa parte yo creo que es muy compleja en este
tipo de innovaciones, que tendrían pleno sentido si podemos
marchar hacia allá.
373
Competencias matemáticas
Efecto cascada: una estrategia innovadora
para el fomento de la investigación y el
desarrollo de las competencias matemáticas
Conferencista: Gloria Castrillón, Colciencias
y el programa “Ondas” del Valle del Cauca
La referencia que voy a hacer al programa “Ondas”, la
quiero presentar en relación con una estrategia que estamos
adelantando en la Universidad del Valle, que en este momento lidera este programa en el Valle del Cauca, la coordinación
departamental está a mi cargo. La propuesta tiene que ver con
la estrategia que estamos adelantando: el efecto cascada, una
estrategia para el fomento de la investigación y el desarrollo de
competencias matemáticas a través del programa “Ondas”.
Este programa fue creado en 2001 por Conciencias, que
cuando piensa de una manera distinta o por lo menos en otras
opciones para el fomento y el desarrollo de capacidades investigativas, decide, con el apoyo académico y de distintas propuestas, que hay que pensar el desarrollo de esa capacidad con la
formación desde la infancia, que hay que tener una mirada hacia
los niños, niñas y jóvenes y que por allí hay que empezar, para
que no sólo se restrinja a los investigadores y grupos de investigación de larga trayectoria.
Los propósitos de este programa son conquistar el interés
y la pasión por la ciencia y la tecnología de los niños, niñas y
jóvenes de las instituciones educativas. Inicialmente este pro374
Efecto cascada:
grama se pensó como una estrategia extracurricular, es decir, se
pensaba que podría avanzarse sin tener necesariamente apoyo
de las instituciones educativas y de los maestros.
Este programa en muy poco tiempo ha logrado tener impacto
en todos los departamentos del país y en el distrito capital, ya que
hay en este momento 208.258 niños que han pasado por el programa, y se han vinculado más de 5.000 maestros, tutores y asesores.
Cuando se propone que este programa sea coordinado
por una institución académica, una institución de educación superior; en este caso, la Universidad del Valle, una institución
pública, la manera de responder a él es desde las posibilidades
académicas de una institución.
Esta propuesta pretende que los desarrollos investigativos, o
sea, la capacidad investigativa que tenemos se expanda a través de
una estrategia del laboratorio que parte de los desarrollos que están
adelantando los grupos de investigación, la incidencia que tienen a
través de sus líneas con los seminarios, las tutorías y los proyectos
de investigación, a través de los profesores investigadores y los tutores en los distintos programas que estamos adelantando: doctorado, maestría y especialización en educación matemática y a nivel
de pregrado las licenciaturas de básica y media en matemáticas.
En este encadenamiento, es esencial la formación permanente de educadores, que le permitan formarse de manera
permanente como intelectual, actualizarse y estar pensando los
problemas y los retos que plantea la formación, en este caso la
375
Competencias matemáticas
educación matemática, en las condiciones tan difíciles en que
debe hacerse en nuestro país.
Si hablamos de la formación de educadores esta tiene que
tener en cuenta el contexto educativo, los proyectos educativos
institucionales y allí propusimos a Colciencias que el proyecto
“Ondas” no fuera dirigido sólo a las instituciones de básica y media sino también a las normales, en particular a los ciclos complementarios de formación de maestros para la educación básica.
Ondas sólo contemplaba Ondas ciencias naturales y bienestar y convivencia, y Ondas ambiental, y nosotros hemos querido agregar otros, entre ellos, Ondas matemáticas, y en otras líneas
de investigación que han generado discusiones muy importantes,
por ejemplo, en Ondas Educación Física, se trabajan problemas
como las barras bravas, los problemas de las competencias, los
problemas de la relación con el deporte y la vida sana.
Los objetivos que estamos planteando para Ondas matemáticas son en relación con la construcción del conocimiento,
la posibilidad de apoyar el desarrollo de proyectos de investigación en los que la labor del maestro es fundamental, y también
el fomento del uso de las matemáticas en relación con otras
áreas del conocimiento.
A partir de preguntas que son aparentemente ingenuas, o
quizá absurdas, como las que ustedes podrían plantear allí, la
idea es que los maestros que también ingresarían en el programa Ondas maestro planteen y den orientación en el marco de
376
Efecto cascada:
esas líneas de investigación a las inquietudes que vienen desarrollando a través de los proyectos de aula para generar y acompañar iniciativas de los niños.
Problemas o preguntas que involucran el análisis de datos
numéricos estadísticos ha sido el inicio del trabajo, el manejo de
variables en el marco de fenómenos físicos sociales propiamente
matemáticos, se empieza a rescatar o a excavar la matematización
de estos problemas o preguntas que permitan construir modelos
de comportamientos y fenómenos o preguntas relacionadas con
los sistemas y estructuras propias de las matemáticas. Allí hay
un esquema que plantea cómo se da ese efecto cascada y cómo
ingresan los proyectos Ondas en las líneas de investigación.
Este es un proceso en construcción, una estrategia que
estamos experimentando, en la que ha sido clave el acompañamiento de otras estrategias como el laboratorio de matemáticas,
específicamente en la experiencia de una de las normales de
Cali; allí se ha mostrado que en la medida en que hay esa reflexión de parte de los maestros, el trabajo en el laboratorio de
matemáticas, acompañado también de formación y de una línea
de formación que tenemos en matemáticas recreativas, se ha
generado más inquietudes en los estudiantes.
Esta es una estrategia complementaria que no pretende suplantar el desarrollo curricular en la institución, pero sí lo moviliza, sí genera nuevas preguntas, sí le plantea al maestro nuevos
retos, y es muy probable que nosotros le arrebatemos los niños
y jóvenes al facilismo, a la violencia y a muchos problemas.
377
Competencias matemáticas
Promoción del talento en matemáticas
Conferencista: Estefany Moreno, Programa
de desarrollo del talento matemático, de la Universidad Sergio Arboleda
Tengo 14 años y pertenezco al programa de desarrollo del
talento matemático de la Universidad Sergio Arboleda, y también estudio en el Instituto Alberto Merani, curso el undécimo
grado. Voy a hablarles del proyecto “Semicírculo”, de la Universidad Sergio Arboleda.
El objetivo básico del proyecto es desarrollar el talento matemático temprano en los niños. Las actividades que desarrollamos consisten en que los estudiantes del colegio puedan asistir
a las asignaturas de la carrera de matemáticas en la universidad.
Se lleva primero a un curso que se llama pretalentos, para preparar al estudiante acerca del ambiente que va a encontrar en
la universidad, en él los estudiantes tienen unas clases con un
profesor, unos seminarios y el profesor elige cuáles entran en la
carrera, donde la idea es generar grupos de investigación.
Una parte de la fundamentación del proyecto se relaciona con los derechos de los niños, pues muchos dirían que
estudiar en el colegio por la mañana y por la tarde en la universidad es violatorio de las garantías de los menores, pero
nosotros consultamos un tratado sobre los derechos de los niños y encontramos algunos derechos que muestran que el proyecto antes que violar los derechos los está fomentando; pues
un derecho fundamental es a la educación y a la recreación,
378
Promoción del talento en matemáticas
ese es un derecho que se maneja en casi todo el mundo, pero
que en realidad educación no se precisa. Educar es responder
o por lo menos darle las herramientas a la persona para que
pueda solucionar sus interrogantes. Entonces el proyecto en la
Universidad Sergio Arboleda busca crear espacios para que los
niños en realidad puedan desarrollar sus potencialidades, sus
preguntas y sus inquietudes.
También se fomenta el derecho no ser discriminado, pues
se le permite estudiar de acuerdo con sus capacidades en el
ambiente más pertinente para ellas. Entonces básicamente con
esos derechos se fomenta el libre desarrollo de la personalidad
del niño, pues es claro que en cualquier momento si un niño se
quiere retirar lo puede hacer, en el proyecto no se presiona para
nada, pero sí se maneja cierto grado de responsabilidad, eso le
da a uno cierto tipo de madurez intelectual y personal.
Dentro del proyecto hay un grupo de investigación enfocado hacia las familias, hacia mirar los elementos que se pueden
encontrar en los niños que tienen éxito, pues éste está asociado
a factores internos del estudiante como altos niveles de autonomía, responsabilidad e interés, y a factores externos.
Otro elemento se refiere a los principales mediadores del
estudiante, que básicamente son los padres y la institución educativa a la que pertenece; aquí se ha encontrado que las familias de los estudiantes exitosos son familias muy comprometidas,
que siempre están ahí y que entienden cuál es la idea del desarrollo del talento.
379
Competencias matemáticas
Para finalizar quisiera terminar con un dato que recoge
Julián de Zubiría en unas investigaciones que hace y es acerca
de la importancia de fomentar el talento: nueve de cada diez
niños con talento pierde su capacidad en menos de dos años si
ese talento no es trabajado y si no se le dan las herramientas, así
que me parece muy importante entender ese dato para finalizar,
ya que muestra la importancia de abrir espacios no sólo en matemáticas sino en todas las áreas donde los estudiantes puedan
desarrollar su potencial, donde puedan resolver sus preguntas.
380
El laboratorio de matemáticas
Conferencista: Jorge Arce del Instituto
de investigación y pedagogía de la Universidad del Valle
Dos premisas básicas: Primero, el laboratorio no es un espacio físico, es una estrategia pedagógica. Segundo, en matemáticas es posible adquirir aprendizajes por vía constructiva, por
tanto es clave establecer relaciones dialécticas entre materiales y
actividades que permitan generar pensamiento matemático.
Laboratorio corre transversalmente al currículo, es decir
que el laboratorio no es un espacio para ir a hacer clases, o sea,
que el profesor lleve a sus estudiantes a una clase de matemáticas al laboratorio. El laboratorio tiene sus intereses peculiares
y corre transversal al currículo, cuando un profesor no va por
cuestiones de enfermedad, el laboratorio está disponible para
que los chicos vayan y encuentren personas con formación matemática, por supuesto, que los encarreten como dicen los chicos, en alguna actividad del laboratorio.
Por otro lado, el laboratorio puede expresarse en diferentes
dimensiones, puede ser un laboratorio pequeñito en una escuela,
puede ser un laboratorio un poco más grande en un colegio de
3.000 o 4.000 estudiantes, puede ser un laboratorio que funcione
como una biblioteca municipal también abierta a todo el público,
porque esta es una de las características fundamentales que queremos imprimirle a esta noción de laboratorio, queremos que el
laboratorio sea público, que se monte en un colegio, que se mon381
Competencias matemáticas
te en una escuela, pero que los niños del barrio puedan acceder
a las actividades del laboratorio, o sea que estamos pensando
también en una cadena y en una red de laboratorios.
El laboratorio fundamentalmente en su versión inicial
está previendo una serie de mesas, que son los núcleos básicos
de funcionamiento del laboratorio; hay mesas de aritmética,
de geometría, de estadística y probabilidad, de matemáticas y
prensa, de matemáticas y nuevas tecnologías, de juegos; pero
en medio de todas esas mesas hay una fundamental, que es el
furgón de matemáticas.
Inicialmente con el profesor Daniel Arbeláez, un ingeniero
de Universidad del Valle, egresado de la Universidad Nacional,
hicimos un propuesta de montar ese laboratorio en un camión,
en un furgón, y abrirlo en plazas públicas, recorrer todo el país
así como lo hace la NASA con sus furgones a través de Estados
Unidos. En ese furgón está la esencia del laboratorio, allí están
los investigadores, los profesores universitarios, los profesores de
talento, los profesores que han generado ideas, porque ese furgón necesita reflexionar e investigar sobre todas las actividades
que pone en juego con la comunidad y estas investigaciones distribuirán sus resultados a través de documentos, enlaces a través
de computadores, etc., para que retroalimente a la población.
Es muy interesante estas actividades porque no hay ningún
condicionamiento, es como la de Maloka, un estilo Maloka, en
el que se entra y se encarreta, le garantizamos que se encarreta con alguna actividad del laboratorio. Esperamos en estos
382
El laboratorio de matemáticas
próximos cinco años, con ayuda de todos ustedes, de todas las
regiones del país, tener una base de datos de un millón de actividades disponibles por parte de todas las escuelas a través de la
red. Ya nos estamos equipando, ya llegó un primer computador
que va a permitir manejar esas bases de datos y de actividades
que el furgón empieza a liberar de manera paulatina.
El material manipulativo inicialmente es muy importante
para hacer actividades que conlleven un pensamiento matemático, no se necesitan oficinas, ni equipamiento, este laboratorio
puede ser móvil.
Aquí aceptamos una mirada de un aprendizaje constructivo. Seguimos la triada, se monta en una triada materiales manipulativos, actividad matemática y con ese par se empuja hacia
un pensamiento matemático. Los participantes son autónomos,
el chico, el señor, enfrenta los problemas como le dé la gana, los
puede terminar, no los puede terminar, puede volver la semana
siguiente, hay total autonomía.
No hay una sola actividad matemática que no tenga un
trasfondo matemático, no se juega por jugar, se juegan juegos y
actividades que tengan un trasfondo matemático identificable.
383
Competencias matemáticas
Encuentro con los números
Conferencista: Nelson Vanegas,
Secretaría de Educación de Medellín
El compromiso de la actual administración de Medellín
con la educación es el convencimiento de que ésta es un factor de equidad y que merece la atención no solo del gobierno
nacional sino de los gobiernos locales y en particular de la comunidad. En Medellín hemos ido logrando que el propósito de
convertir a Medellín en una ciudad con una buena educación y
más adelante en la ciudad con la mejor educación es un propósito colectivo que no involucra sólo a los maestros, a las familias,
a los estudiantes y a unos actores aislados, sino que es un problema de la comunidad que hay que resolverlo entre todos.
Hace unos tres o cuatro años en la Universidad Nacional
de Medellín se elaboró un estudio con 340 estudiantes de ingeniería y ciencias de la Universidad Nacional, primíparos todos
que empezaban sus carreras de ingeniería, a los que se les preguntaba asuntos elementales para su nivel y las respuestas de la
mitad eran altamente preocupantes.
Dado este panorama, la secretaría de educación y la alcaldía se han propuesto intervenir no sólo en cobertura (se han
construido diez colegios nuevos que van a crear unos 25.000
nuevos cupos para el próximo año en Medellín), sino que además intervenir en otros factores de calidad, pero no con regaños y exigencias sino dando incentivos y produciendo o
384
Encuentro con los números
promoviendo la capacitación de los maestros y la promoción
de programas que tengan impacto realmente en la comunidad
y en los estudiantes.
Eso se hace a todo nivel, incluso en niveles en los que la
ley no obliga a la alcaldía de Medellín a intervenir, como el preescolar, en el que hay muchas oportunidades, se están haciendo tareas y labores que corresponden más a Bienestar Familiar,
pero que debido a las dificultades de recursos no se hacen y la
administración local lo está haciendo. También en educación
superior donde tampoco hay una obligación por parte del gobierno local, pero en donde se han invertido recursos para la
Universidad de Antioquia a fin de que promueva sus programas
de pregrado y mejore la cobertura y calidad; además están dando becas a estudiantes para que hagan su pregrado.
Ante esta situación, nos propusimos llevar a cabo varios
programas, entre ellos se nos ocurrió el encuentro con los números, que parte de una convocatoria a los departamentos de
matemáticas de las universidades de la ciudad.
Partimos de la detección de problemas y de la alta deserción de los estudiantes de la universidad. Uno de los problemas
que observamos fue la poca coherencia entre el modo de ver
las cosas del profesor de colegio y el de la universidad, un manejo de lenguajes no ortodoxo que no construye. Así que los objetivos que teníamos era acercar a los profesores universitarios
a la educación básica y media y establecer unos diálogos que
nos permitieran conocer lo que se hace en esas aulas y saber de
385
Competencias matemáticas
primera mano con los profesores de básica y media y de universidad qué era lo que se necesitaba.
En el primer encuentro con los números allegamos 500
maestros de matemáticas de la ciudad de Medellín, de unos 1.200
que son, y con ellos tuvimos unos talleres divididos en grupos de
20 profesores. Para el segundo encuentro tenemos 400 profesores
de primaria vinculados, con los que hemos tenido algún tipo de
diálogo y hemos recibido alguna retroalimentación.
Los temas fueron básicamente álgebra, geometría y aritmética, porque también detectamos problemas muy serios con
los números fraccionarios en muchachos que entran en la universidad, eso por no mencionar los problemas de lectoescritura
que son otro cuento completamente diferente.
El segundo encuentro con los números que se dedicó estrictamente a primaria, provino de las encuestas y de las necesidades que los profesores del primer encuentro determinaron
que eran prioritarias. Lo primero que detectamos es que donde
más nos teníamos que concentrar era en esa primera etapa de
formación, es decir, en la primaria, así que por eso convocamos
a los profesores de primaria, quienes están recibiendo un discurso promovido por los mismos profesores que conocen las
dificultades y la realidad que viven todos los días.
El otro gran resultado, el otro gran producto, fue una base
de datos completa de profesores de matemáticas, porque las
matemáticas en los colegios las dictan todo tipo de profesores,
386
Encuentro con los números
no siempre licenciados sino profesionales de muchas áreas o
incluso personas que no terminaron ninguna carrera. Eso de alguna manera significa limitaciones, no es lo mismo cuando en
las facultades de educación tienen un muchacho al que lo están
formando en una licenciatura y le enseñan el manejo de los bloques lógicos o el uso del material para enseñar polinomios, que
cuando un ingeniero se va a enseñar en primaria y aunque sabe
matemáticas no ha manejado ningún tipo de material didáctico
que pueda utilizar o ningún tipo de estrategia metodológica que
le permita hacer su labor de modo eficiente.
387
Competencias matemáticas
El club de matemáticas,
un lugar para hacer matemáticas
Conferencista: Henry Niño,
Liceo Hermano Miguel de La Salle, Bogotá, D.C.
Esta es una experiencia de tipo general que podríamos
enmarcarla entre lo que presento la doctora María Losada referente a las olimpiadas matemáticas y lo que presentó el profesor
Arce respecto a los laboratorios de matemáticas; existen unas
similitudes y unas diferencias entre cada uno de esos trabajos.
Cuando se habla de clubes de matemáticas se hace referencia básicamente a cosas que suceden dentro del aula; primero, a
las diferencias que existen entre los desarrollos, los ritmos de aprendizaje y los intereses de cada uno de los estudiantes. Es claro que
en la escuela encontramos estudiantes que les gusta la clase de
matemáticas y hay muchos otros que no la ven con mucha simpatía, así que muchas de las actividades que se programan dentro del
colegio son básicamente para lograr que estos estudiantes que no
les va muy bien mejoren, pero en términos de los estudiantes que
tienen unas inquietudes o intereses por las matemáticas.
Lo otro es la necesidad de promover nuevos espacios en
los que los estudiantes puedan desarrollar sus habilidades y no
tengan que desertar, porque las cosas que se les enseñan en el
aula son muy lentas para el ritmo de aprendizaje que llevan o
son demasiado altas para lo que son capaces de hacer.
388
El club de matemáticas
Un club de matemáticas es un ámbito para contemplar las
matemáticas desde un ángulo que habitualmente no está presente en la práctica escolar, el experimental, el estético, el recreativo y el cultural; su finalidad es brindar una oportunidad de
enriquecimiento a un grupo de estudiantes que son capaces de
dedicar gran parte de su tiempo libre a trabajar en esta materia,
estimulados por la presencia de otros compañeros y por una o
varias personas expertas que son las que coordinan básicamente las actividades.
Si un club de matemáticas se integra en las organizaciones
educativas constituye una forma de desarrollar un currículo diferenciado, tiene en cuenta la diversidad de intereses y motivaciones de los estudiantes, así que de alguna manera lo que se busca
con un club de matemáticas es atraer a esos estudiantes que tienen habilidades, gustos y destrezas por las matemáticas y sacarlas
del aula normal y llevarlos a hacer unas actividades distintas en
otro espacio, actividades que el experto o la persona que coordina (esa es una de las grandes diferencias con el laboratorio de
matemáticas, en el club existe un coordinador, un mediador) es
quien diseña las estrategias o las actividades que se deben realizar
en el club de matemáticas para desarrollar con los estudiantes.
En un club de matemáticas, a parte del coordinador, pueden participar estudiantes de una o varias instituciones que
deseen, es decir, de grados distintos y niveles diferentes para
trabajar en la resolución de problemas a la que está enfocada
cada club; uno de los requisitos de la admisión es el deseo de
participar.
389
Competencias matemáticas
Un club de matemáticas es apropiado para desarrollar
esas preguntas que hacen ciertos estudiantes y muchas veces
incluso para que el maestro encuentre respuestas frente a las
matemáticas, que de otra manera no ha tenido la oportunidad
de resolver.
El papel del coordinador es establecer un nuevo contrato
didáctico, es decir, una nueva relación entre el profesor, el estudiante y las matemáticas, entonces allí lo que se hace es que
el docente deja de ser el docente y pasa a ser un compañero
más que va a dirigir una actividad especial con estudiantes que
tengan intereses por las matemáticas.
Las actividades que se realizan en un club de matemáticas
persiguen varios objetivos, éstos se formulan dentro de la institución escolar a la que pertenece, por esto pueden variar de acuerdo
con la institución, eso quiere decir que cada institución educativa
es la que propone lo que quiere hacer con su club de matemáticas, cada uno establece cuáles son los objetivos que propone.
Una actividad especial que desarrollamos dentro del club, primero, es el desarrollo de matemática elemental con los estudiantes y,
por otro lado, el trabajo con algunas teorías matemáticas.
El origen de los clubes de matemáticas se remite a los pitagóricos, aunque podríamos decir que muchas de sus actividades
también iban en el orden político y religioso.
Cuando se intenta verificar cuáles son los clubes que funcionan en los ámbitos mundial y nacional, existe muy poca la
390
El club de matemáticas
información, debido a que las páginas que se encuentran son de
publicidad respecto a lo que hacen los clubes como ta,l pero no
se muestran las actividades muy claramente. Nosotros hemos
encontrado que en algunas instituciones se desarrollan algunas
experiencias muy interesantes, como en el colegio departamental El Triunfo, el Club Pitágoras de la academia Discípulos de
Cristo y el club de matemáticas del Instituto de Estudios Pedagógicos Somos Aguas, de Madrid.
El club de matemáticas lo que busca es precisamente reunir personas que tengan intereses, habilidades y que busquen
espacios distintos a los de las actividades normales, pueden ser
jornadas contrarias o días sábado; allí se reúnen con un grupo
de estudiantes para desarrollar actividades propuestas no sólo
por el coordinador, sino también mediadas por los estudiantes.
Una cosa fundamental es el hecho de que generalmente
los clubes de matemáticas se pueden desarrollar en cualquier
grado de la educación básica; especialmente los de los cursos
menores, pues los de los últimos tienen unos intereses distintos;
así que es muy bueno que aprovechen el potencial que se encuentra en primaria.
391
Competencias matemáticas
Preguntas
?
Para el programa “Ondas”, hay personas que están interesadas en saber cuáles son los beneficios para la institución, para los profesores, para los estudiantes, de
desarrollar un proyecto dentro de este programa y cuáles serían los requisitos generales para la presentación
de un proyecto y dónde puede encontrar mayor información.
Gloria Castrillón
El fondo que ha constituido Colciencias para el programa
“Ondas” tiene fundamentalmente recursos del SENA y del Instituto Colombiano de Bienestar Familiar, y los administra FES;
pero también hay instituciones que han hecho adiciones a este
convenio, así como la Secretaría de Educación y el municipio,
quiero decir que los recursos que se recogen en este fondo para
el programa están destinados a los proyectos, pero éstos contemplan distintas dimensiones; una es la financiación del proyecto para los niños, que es pequeña y generalmente se destina
para compra de materiales, para refrigerio en las reuniones, para
hacer materiales, para hacer videos, para todas las actividades
que requieren, porque se espera el apoyo de entidades y otros
grupos en la medida en que el proyecto lo requiera.
El otro componente que financia son los asesores, allí les
mencionaba que en esta estrategia que estamos construyendo
aparecen los tutores de grupos de investigación, profesores que
hayan trabajado en las líneas de investigación que están relacio392
El club de matemáticas
nadas con los proyectos de los niños. Así mismo está el maestro
tutor. Hay que decir que aquí hay un gran voluntariado de los
maestros porque esto lo hacen por fuera de sus tiempos, aunque
lo vinculan a la actividad en el aula, es tiempo que los maestros
han decidido aportar al programa, a los trabajos que hacen con
la comunidad, al trabajo de campo con los niños.
Igualmente se contempla otro componente de financiación,
como son los talleres de sensibilización y de formación para los
maestros tutores y asesores y para que los niños compartan las
experiencias; esto ha sido bellísimo porque se ha convocado a
niños de distintas regiones del país a presentar sus proyectos y ha
sido interesante ver cómo desde muy temprano desarrollan capacidades de argumentación para defender sus ideas y para mostrarle a sus pares de otras instituciones lo que están haciendo.
Las mejores experiencias se seleccionan, vienen a Bogotá, y obtienen unos incentivos para los estudiantes; además se
ponen en contacto con investigadores para conversar y compartir experiencias.
El beneficio tiene que ver con el desarrollo de una capacidad investigativa en las instituciones educativas; en general, los
rectores que se le miden a esta propuesta han puesto mucho de
su parte y también aportan recursos, sobre todo cuando quieren que no sea sólo un niño de un grupo o una niña que vaya a
sustentar el proyecto sino que quieren que todos los niños de
todos los grupos asistan a las actividades que se hacen en los
ámbitos regional y nacional. De hecho, hay proyectos extraor393
Competencias matemáticas
dinarios que se están haciendo en zona rural, fuera de los que
hay en la capital del país.
En ese sentido el beneficio tiene muchas aristas, y eso tiene que ver con las capacidades que se están desarrollando en
las instituciones, con la manera como se hace esta apropiación
social de la ciencia a través de estos proyectos; pero también
el cambio de actitud de los maestros y de los niños. Por eso,
nuestro gran reto es la sostenibilidad, cómo lograr que un grupo
de investigación y unos niños interesados que quieren seguir
continúen. Así que estamos convocando a las secretarías de
educación, a los alcaldes, a las entidades de todo tipo, a apoyar
este proceso.
¿Como ponerse en contacto con el programa?, sencillamente a través de la página de Conciencias; el programa “Ondas” está abierto para todas la regiones, en todos los departamentos hay un coordinador departamental y en las secretarías
de educación se conoce la información. De todas maneras, en
la Universidad del Valle, para quienes tengan interés en la experiencia que adelantamos, hay una dirección electrónica: [email protected].
?
394
Para la Universidad Sergio Arboleda. ¿Qué transformaciones hay que hacer en los maestros y en el currículo
para permitir el desarrollo de talentos? ¿Qué tan abierto
es el proyecto en el sentido de cómo las regiones o las
personas de fuera de Bogotá pueden vincularse?, ¿cómo
pueden vincular a sus estudiantes?, ¿es posible que estu-
El club de matemáticas
diantes que no tengan recursos económicos suficientes
puedan vincularse?, ¿a qué poblaciones se dirige este
programa? ¿Tienen ustedes algunos resultados medidos,
por ejemplo, por el Icfes o por las carreras que los estudiantes estudian? ¿Qué indicios hay o qué información
se tiene acerca de los estudiantes que deciden decir no
al programa en algún momento?
Estefany Moreno
La labor del maestro de matemáticas es mostrar la matemática aplicada porque de pronto muchos estudiantes la
consideran aburrida, porque quizás no le ven las aplicaciones. Otro asunto es que el maestro debe presentarse en el
mismo nivel, como en los clubes estudiantiles. Uno de los
problemas que ven los estudiantes es que el maestro es el
que lo sabe todo, el cualquier pregunta la responde, así que
se siente muy alejado, por eso la relación maestro y estudiante, obviamente dentro del respeto, debe ser más cercana,
el estudiante debe ver al maestro como una persona que le
puede ayudar, que lo puede apoyar en otras áreas de la vida
y no como el sabelotodo que me puede transmitir algún tipo
de conocimiento.
Con respecto a los estudiantes que se retiran, es un error,
pues el proyecto sirve demasiado para la vida, pues en él se
aprende matemáticas y conocimiento específico, pero también
se aprende como persona, a desenvolverse, a estructurar sus
ideas, se aprende a desarrollar la responsabilidad, a manejar los
tiempos, así que las ventajas son muchas.
395
Competencias matemáticas
Jesús Hernando Pérez
El proyecto, infortunadamente no es un proyecto masivo,
porque las capacidades de la universidad son bastante limitadas,
o sea, no estaríamos en condiciones de organizar este mismo
proyecto para ampliar sensiblemente la cobertura, aunque el
proyecto está abierto, es decir, no está dirigido única y exclusivamente a estudiantes de colegios especiales, aunque empezamos
a trabajar con un grupo del colegio Alberto Merani, y la única
que queda es Estefany, porque los demás estudiantes se retiraron no porque hayan fracasado en el proyecto sino porque por
el camino se dieron cuenta de que realmente las cosas que le
gustaban no eran las matemáticas; entonces algunos empezaron
a intensificar sus estudios en música, otros en microbiología; así
que si por alguna razón el niño o la niña se retira del programa,
eso no significa que haya fracasado, todo lo contrario, significa
que avanzó en su proceso de formación porque se dio cuenta
que la matemática no lo atraía, no le gustaba, o no le apasionaba. En ese sentido, los niños y niñas que se han retirado han ganado en experiencia de muchas maneras, una muy importante
es entender rápidamente cuál va a ser su futuro profesional.
?
396
Se formularon tres preguntas para Jorge Arce, con respecto al laboratorio de matemáticas, hay preocupación
acerca de cómo se evalúa el impacto del laboratorio en
la elaboración del conocimiento matemático debido a
que al parecer no hay un seguimiento del desarrollo de
las actividades; además. ¿cómo hacer el contacto para
llevar el furgón y el laboratorio a las regiones? ¿Hay alguna reflexión sobre el uso de materiales didácticos?
El club de matemáticas
Jorge Arce
El laboratorio de matemáticas busca elevar el nivel cultural
matemático de la población, así como las bibliotecas ayudan a
elevar el nivel cultural de la población. O sea que el impacto
lo mediremos cuando veamos que aparece una ciudadanía que
no se deja engañar frente a noticias como las que anotaba la
profesora mexicana, frente a situaciones cotidianas relacionadas
con compras, transacciones bancarias, cobro de intereses, etc.,
eso es muy importante para una población, la población tiene
que actuar con criterios, con una cultura matemática que le permita sobrevivir.
El laboratorio queda en la Escuela Normal Superior Farallones de Cali, allí les pueden ofrecen la información requerida.
?
¿Cuál es la continuidad y sostenibilidad del proyecto
al margen de que el alcalde sea un matemático, o sea
cuando no sea esa la persona que está dirigiendo los
destinos de Medellín? ¿En qué medida lo dispuesto en el
Decreto 230 influye de manera negativa en la calidad
de la educación?
Nelson Vanegas
Con respecto a la sostenibilidad de los proyectos, yo creo
que el asunto es una puesta de comunidad, obviamente hay
unas limitaciones legales sobre lo que se puede dejar invertido o comprometido de los presupuestos en los próximos años,
porque no es viable dejar una cantidad de presupuesto comprometido de manera que eso fuerce a las próximas administracio397
Competencias matemáticas
nes a seguir esa misma línea de investigaciones. Y desde otro
punto de vista, tampoco es sano políticamente. Lo que sí es
sano es dejar una comunidad convencida de lo que se invierte
en educación vale la pena y de que si otra administración pretende quitarlo, lo reclame y lo exija, eso sí lo podemos hacer y
esa es la apuesta.
En segundo lugar, sobre el Decreto 230, los problemas
que tienen los muchachos que llegan del grado undécimo a la
universidad se relacionan con otros problemas estructurales, no
sólo con el decreto 230. Los índices, por ejemplo, de pérdida
de los cursos de cálculo en los primeros semestres de la universidad no han cambiado de manera drástica por el Decreto 230.
De hecho, mantienen prácticamente la misma proporción.
398
El portafolio, estrategia de aprendizaje
en el área de matemáticas
Expositor: Hernando Moreno Lemus,
Institución educativa Joaquín González Camargo, de Boyacá
La institución es una de las más grandes de Boyacá, tiene
4.620 estudiantes, siete sedes, siete coordinadores académicos y
156 docentes, dentro de los cuales, 24 son matemáticos.
Las matemáticas proporcionan a los estudiantes una serie
de ventajas que van desde el razonamiento hasta la experiencia cotidiana del mismo individuo, esto nos lleva a pensar que
el manejo de las competencias matemáticas y de las mismas
ciencias matemáticas no sólo sirve para resolver problemas matemáticos, sino que a su vez para analizar e interpretar otras
ciencias del saber; por eso, la orientación de la matemática debe
guiarse hacia que el estudiante conozca lo práctico y funcional
de la matemática y adquiera una disciplina para una variedad
de conocimientos y planteamientos teóricos; en tal sentido, la
matemática está conectada a la vida social, porque permite la
resolución de problemas y éste se constituye en un eje vital para
el aprendizaje de las matemáticas, ya que a través de ella el estudiante no sólo aplica lo que ha aprendido, sino que elabora
nuevos conceptos, nuevas situaciones.
En el momento en que se entrega las evaluaciones a los estudiantes éstos toman varias actitudes, una es que coge la evalua399
Competencias matemáticas
ción y la guarda o la rompe, si el resultado es malo; si es bueno,
entonces es cuestión de fiesta y la lleva a la casa y seguramente
pide un premio. En ninguno de los dos casos el estudiante se detiene a reflexionar sobre su experiencia, sobre ese resultado.
Los talleres que los estudiantes resuelven se guardan y se
vuelven a retomar más adelante, si acaso para mirar el temario
de la evaluación, es decir, tampoco existe esa cultura de ir retroalimentando eso talleres. En muchas partes la matemática se
convierte en repetir procesos, mecanizar procesos, no hay una
interpretación, no hay una comprensión de ese proceso para
que el aprendizaje sea el más adecuado, por eso se hace necesario que se promueva una estrategia didáctica para que los
estudiantes aprendan matemáticas sin presión alguna, para que
aprendan a resolver problemas con una técnica adecuada que
les permita analizar, comprender e interpretar esos mismos resultados, lo mismo que esa herramienta permita abrir un espacio
para que el estudiante pueda dialogar con sus nuevos conocimientos, para mirar lo que aprendió y lo que dejó de aprender.
Por eso, el portafolio es una técnica que le permite al estudiante, primero, recopilar sus trabajos de forma ordenada; segundo, ese portafolio le va a ayudar al estudiante a que dialogué con lo que ha hecho a través de un determinado tiempo;
y tercero, esa recopilación cobra vital importancia cuando el
estudiante dinamiza el conocimiento.
Como pueden observar, la relación de las competencias
matemáticas con el PEI se ha tomado de dos formas: primero,
400
El portafolio, estrategia de aprendizaje
el conocimiento está conectado a una vida social, en nuestra
misión hay palabras claves para formar valores éticos y morales,
posibilitar la facultad de decisión, tomar decisiones creativas,
afectivas y con un sentido de investigación. El portafolio nos
ayuda a hacer una investigación pedagógica.
Con una visión que está a la vanguardia educativa y que supere todas las expectativas estudiantiles, tenemos el objetivo de
utilizar el portafolio de aprendizaje como un eje alrededor del cual
se planea, se organiza y se ejecutan las actividades de enseñanza.
En primer lugar, se establecen los conocimientos previos
que tienen los estudiantes, y para ello aplicamos la técnica Esecua, que determina que sé, qué quiero saber y qué aprendí.
Después de obtener ese diagnóstico de lo que los estudiantes
saben, el segundo paso es hacer un mapa de ideas. Se buscan
los ejemplos adecuados para que se apliquen a ciencias sociales,
lenguaje, ciencias naturales y educación física; en esta primera
etapa ya se ha socializado qué saben los estudiantes y se hacen
las indicaciones para que vayan a consultar o se les entrega la
guía que debe ser desarrollada en la casa. En la clase siguiente el estudiante llega a preguntar sobre las dudas que tiene, él
depende de sí mismo y de sus compañeros, en este momento
el profesor deja de ser el dueño del saber y se convierte en esa
persona que media entre el conocimiento y el estudiante,
Una segunda fase es cuando el estudiante empieza a trabajar, a sacar dudas, entonces se profundiza en los temas, se
hace una evaluación que tiene cuatro fases fundamentales: la
401
Competencias matemáticas
autoevaluación, que es del estudiante; la coevaluación, que él
hace con los compañeros de grupo; la heteroevaluación, que
es la que hace con el profesor; y la autorregulación, que el
docente toma en el momento en que dialoga con el muchacho,
ahí se miran las deficiencias o lo que debe mejorar y se sigue
trabajando en el siguiente periodo.
En una tercera estación, se verifica que muchacho mejore
esos conceptos matemáticos, sin perder la noción de lo riguroso
que era la asignatura de matemáticas. ¿Como se hace seguimiento? el muchacho al finalizar cada periodo se reúne con el profesor; se tiene una reunión con los estudiantes destacados, y a ellos
se les delega funciones, como que sirva filtro en el desarrollo de
guías y de talleres, y de las evaluaciones realizadas durante todo
el periodo, acompañadas de realimentación, es decir, el muchacho debe haber corregido sus evaluaciones junto a esas notas.
La autoevaluación y la presentación de portafolios son indicadores de logros; si el estudiante no presenta los portafolios
no tiene nota; cuando se inicio este proceso, se perdían los portafolios, las evaluaciones, así que tenía que presentarlas otra,
ahora el muchacho coge su evaluación y va al portafolio.
Al comienzo fue duro implantar el portafolio, pero a
la medida que el estudiante avanza se va adaptando a esos
cambios, aprende hábitos para organizar sus trabajos. En todos
los niveles (primaria, secundaria y universidad) existe una evidente dificultad en los procesos lectoescriturales, así que con
el portafolio estamos superando esas carencias que tiene el
402
El portafolio, estrategia de aprendizaje
muchacho, de una u otra forma lo estamos haciendo porque
tiene que escribir.
Dentro del marco teórico tenemos un trabajo significativo, como es que construir el portafolio para el muchacho debe
ser muy significativo, debe surgir un aprendizaje colaborativo,
pues tenemos la colaboración de los padres de familia y de
los mismos estudiantes. La teoría de error se mira como una
oportunidad de aprendizaje. Se ponen en marcha las teorías de
la motivación, las habilidades comunicativas, las habilidades de
pensamiento como la clasificación, la comparación, la deducción, la inducción, entre otras muchas; las habilidades personales y lógicamente su avance conceptual.
Los retos son seguir avanzando en esta construcción del
portafolio y socializarlo con la mayoría de los estudiantes.
403
Competencias matemáticas
Preguntas
?
¿Lo único que se transforma es la manera como se evalúa?
Porque de alguna manera se podría tener un portafolio
desde una mira tradicional y eso no estaría dando cuenta
de una transformación pedagógica en términos de lo que
se está debatiendo en estos días en el foro, respecto a una
nueva concepción del aprendizaje y una nueva concepción de matemáticas. ¿Cómo hace el docente para hacer
una revisión juiciosa de todos esos portafolios con la gran
cantidad de actividades y guías que se suponen que se llevan ahí? ¿Cómo hace usted para evitar que algunos estudiantes copien las respuestas correctas de sus compañeros
y las pasen como suyas? ¿Cómo hace usted para identificar de una manera acertada que ese proceso realmente lo
esta viviendo el estudiante?
Estamos abordando las competencias matemáticas, pero
éstas no las puedo desligar de las competencias comunicativas,
ni de las socioafectivas.
Si usted es mediador hay un trabajo colaborativo con los
estudiantes, por lo tanto, nos se trata de encontrar dos o tres
portafolios con las mismas respuestas, porque para eso es trabajo en equipo, si tenemos en la guía 10 o 20 preguntas, lo primero que se le dice al estudiante es que distribuya el trabajo, y
empiece a mirar la red que va a formar con otros cuatro o cinco
estudiantes. Además se cuenta con cinco o seis estudiantes que
404
El portafolio, estrategia de aprendizaje
sirven de filtro, es decir, son el apoyo para el docente, de lo contrario es imposible revisar esos trabajos.
?
¿Qué pasa con los colegas de la institución y con los
estudiantes que se salen de esos mapas? ¿Cómo se maneja bajo ese portafolio el aspecto de significación de la
matemática?, ¿cómo se mide, se ve, se controla, se hace
un seguimiento de los estudiantes en el proceso de conceptualización, aplicación y utilización de los conceptos
matemáticos que se mueven en la institución? ¿Qué pasa
con aquellos niños que, por ejemplo, tienen problemas o
no tienen el padre de familia que lo acompañe en casa
para completar portafolio? ¿Qué pasa con el estudiante
que tiene un nivel distinto?, ¿que queda segregado por
parte del portafolio?
El profesor de memorización no quiere cambiar su método, el profesor moderno aprende practicando, y así sucede en
nuestro colegio, hay de unos y otros.
El estudiante brillante se convierte en un profesor chiquito,
y no es opacado por parte del profesor.
Roberto Jiménez
Esta es una técnica importante que nos tiene que hacer pensar a todos los profesores en ella como una técnica complementaria a otros elementos de evaluación, aunque me gustaría que
realmente fuera el elemento de evaluación porque en el fondo
está el trabajo, en el portafolio está todo lo que se ha hecho.
405
Competencias matemáticas
Magnitudes de área y de perímetro
vistas desde el tangram chino
Expositora: Luz Adriana Cadavid Muñoz,
Institución educativa El Altillo, de Barbosa (Antioquia)
Primero que todo, le agradecemos a la Agencia de Cooperación Internacional de Japón (JICA).
Mi institución pertenece al sector rural de Barbosa, en
el departamento de Antioquia. Nuestra exposición es una
clase demostrativa para séptimo grado acerca de la estrategia
pedagógica que surge a partir de las enseñanzas que tuvimos
como becarios en Japón hace un año. En este momento hay
13 profesores becarios en Japón: ocho de ciencias naturales
y cinco de matemáticas.
Hace un año, antes de irnos a Japón, vimos que había
un abandono del estudio de la geometría y la medición en
las aulas de clase, no sólo en el contexto colombiano, sino
en el internacional.
Elegimos el área y el perímetro de figuras planas, dos conceptos confusos para los estudiantes, así que en el curso de mejoramiento en Japón nuestra mirada estaba muy enfocada a lo
que los profesores nos pudieran ayudar en este sentido, y sí fue
una gran ayuda, allí nos apoyaron y nos ayudaron a limitar un
plan de acción, que luego debemos aplicar en la institución.
406
Magnitudes de área y de perímetro vistas desde el tangram
El PEI se ha visto fortalecido al potencializar el trabajo
entre pares, el plan articulado y los procesos de comprensión
y evaluación.
La clase demostrativa no es sólo un momento, es un proceso de estudio y debe estar ligado a un proceso, a una unidad didáctica, a estándares involucrados, para relacionar las áreas y los
perímetros vistos desde el tangram chino; para resolver y formular
problemas que involucren semejanza y congruencia mediante representaciones visuales; para resolver y formular problemas con
modelos geométricos; para calcular áreas y volúmenes a través de
la composición y descomposición de figuras planas.
Hay dos objetivos muy puntuales con respecto al objeto
matemático, en este caso las áreas y los perímetros, mediante la
estrategia metodológica de utilización de las piezas del Tangram
chino: primero, determinar relaciones entre los conceptos métricos de área y perímetro, para llegar a conclusiones acerca de
la conservación de las magnitudes a través de procesos de manipulación, manejo de magnitudes, de semejanzas y congruencias y movimiento de figuras en el plano; y segundo, realizar
observaciones conjuntas de una clase demostrativas para obtener conclusiones objetivas que permitan mejorar la propuesta
didáctica y proyectarla a clases futuras.
El principal objetivo de la clase demostrativa es el mejoramiento del maestro cuando se vea reflejado en el proceso en el
que interviene con los alumnos. Por medio de la clase demostrativa se pretende mejorar las prácticas pedagógicas a partir
407
Competencias matemáticas
de la planeación, la ejecución y la observación de un número
pequeño de clases, que sirven como material de investigación
en torno a las reacciones y respuestas que los estudiantes dan a
las estrategias y planteamientos propuestos.
La clase demostrativa es un proceso que se ha venido preparando y que tiene una planeación muy rigurosa; es planear la
clase con un análisis a priori de la situación didáctica.
En el proceso se desarrolla una clase demostrativa con niños y unos observadores que son un grupo de estudio de la
institución; de hecho, la clase demostrativa no se prepara de
manera individual, hay un grupo de trabajo que se une voluntariamente y que se conforma en la institución como grupo de
estudio, hay una observadores expertos, asesores de la Universidad de Antioquia, y quienes han visto el proceso de la clase.
Cada alumno tiene su tangram, una guía de trabajo en la que el
estudiante puede consignar sus hallazgos y carteles para la presentación de la clase.
Hacer evaluación con un análisis a posteriori es lo más
importante, y elaborar un registro del estudio de la clase, que
sirva después para proyectar, para ampliar la experiencia, porque en el caso del área y el perímetro no se resuelve con la
sola utilización del tangram, hay otros tratamientos que deben
abordarse; de hecho, los observadores hacen muchas sugerencias al respecto, hay material bibliográfico, audiovisuales, juegos
de tangram, talleres impresos y lo más importante, no sólo nos
contentamos con que estén los expertos sino que nosotros tene408
Magnitudes de área y de perímetro vistas desde el tangram
mos una red de becarios de Colombia aprende y Jica, que de
manera muy comprometida compartimos nuestras experiencias
para fortalecer este trabajo.
Hay un seguimiento por parte de Jica y de la Universidad
del Valle, el grupo de becarios también hace un seguimiento
mediante unos foros y unas reuniones de discusión.
Se ha llevado un registro completo de la experiencia, en el
que se evidencia la complejidad de la enseñanza de los conceptos
de área y perímetro en figuras planas; de hecho, como muchos
trabajamos de estos mismos conceptos nos debemos reunir para
tratar de llegar a cosas que encontramos en el trabajo, hay una
asesoría directa de las instituciones de educación superior.
Se han conformado grupos de estudio de clase demostrativa y se han encontrado niños altamente motivados con la
experiencia.
Nos surgen muchas inquietudes respecto al tipo de situaciones que se deben diseñar desde la primaria para establecer
la comprensión de los conceptos de área y perímetro, a cómo y
cuándo proyectar la estrategia de clase demostrativa en los ámbitos municipal y departamental; y cómo involucrar más maestros de secundaria en el trabajo.
409
Competencias matemáticas
Aula abierta y clase demostrativa,
una alternativa para generar educación
matemática de calidad enfocada a la clase
demostrativa del triángulo
Expositor: Richard Calvache Luna,
Normal Superior de Pasto
El origen de la experiencia es la intención de propiciar
aprendizajes desde lo manipulable y lo experimentable; así que
nos preguntamos: ¿Cómo generar comunidad académica en la
institución educativa Normal Superior de Pasto? ¿En nuestras
clases corrientes sí desarrollamos procesos de pensamiento?
Los objetivos generales fueron poner en marcha en el
área de matemáticas la estrategia de la clase demostrativa y
de esta manera generar impacto en la institución a través de
esas dos estrategias metodológicas alrededor del desarrollo
del pensamiento geométrico y métrico inicialmente, y luego,
extrapolarlo a los demás pensamientos. Esto hizo que gozáramos de un plan institucional que pretende abordar la matemática movilizando procesos de pensamiento en los que el
aula abierta y la clase demostrativa son estrategias metodológicas potencialmente efectivas para generar clases de calidad
y que puedan ser adaptadas para mejorar la enseñanza de un
área específica.
410
Aula abierta y clase demostrativa
La clase demostrativa es diseñar una situación que lleve a
generar procesos de pensamiento y que esté ligada a los estándares
del área; en ese sentido, la idea es observar al profesor que aborda
un problema específico, pero con su equipo de docentes del área
y con el apoyo de un experto invitado. En educación matemática
podemos resumir tres etapas básicas: una planeación exhaustiva y
minuciosa de esta clase, una ejecución y un análisis evolutivo de
los resultados, que en este caso tuvo como tema el triángulo.
Eso permitió diseñar un plan de clase, en el que el estándar dado es clasificar polígonos en relación con sus propiedades,
fundamentar la idea de un triángulo como parte de un plano limitado por una línea poligonal cerrada de tres lados, estudiar la
condición de tres segmentos de recta para que exista triángulo,
identificar los elementos presentes en un triángulo (lados, ángulos y vértices) para tratar de llegar a la simbología adecuada y
clasificar los triángulos según la medida de los lados.
Los materiales utilizados fueron la cartelera, la manipulación de líneas poligonales, los palillos de colores, los triángulos
recortados en cada clase y los rompecabezas. El desarrollo de
la clase cuenta con el apoyo de cámaras que hacen el registro
respectivo; así que siguen las actitudes del maestro, el registro
de sus formas del lenguaje, la forma como aborda la pregunta
de un estudiante, etc. Una segunda cámara enfoca al grupo de
estudiantes que tiene problemas de comprensión.
Una tercera cámara enfoca a un alumno que previamente
se designa, esa cámara es muy importante porque hay chicos
411
Competencias matemáticas
que empiezan a generar otras propuestas a partir de lo que el
maestro está tratando de mostrar en su clase. El auditorio con el
que se cuenta en esta experiencia son dos docentes de matemáticas de la institución, de las dos jornadas y el ciclo complementario; maestros invitados de escuelas y colegios de la región; el
rector, que fue mi profesor de matemáticas; los coordinadores,
el pedagógico del ciclo complementario extensión de adultos y
el coordinador académico; y el experto en educación matemática, procedente de la Universidad del Valle.
Se tuvo en cuenta la autoevaluación del docente que dicta la clase, cada uno determina los alcances que tuvo, que quiso
inculcar pero que no logró. Luego, el equipo que diseñó su clase
hace su autoevaluación y los observadores, a partir de unos protocolos de clase, hacen la evaluación respectiva. El registro del
video de la clase demostrativa y la sesión de evaluación permitieron analizar a profundidad los alcances de nuestra clase.
La presencia de observadores generó un ambiente artificial diferente a las clases usuales, aunque los videos editados
se convierten en documentos para revisar con los estudiantes del ciclo complementario y también para nosotros como
docentes. Por otra parte, logramos socializar la experiencia
con varios colectivos de la Normal de Pasto, y ya hubo unos
compromisos del colectivo de matemáticas para llevar a cabo
una segunda clase demostrativa, con base en el video, los
formatos del plan de clase, la revisión de resultados, el documento de la sección de evaluación y el informe de evaluación
del experto invitado.
412
Aula abierta y clase demostrativa
Los retos son institucionalizar en el área de matemáticas
aulas y clases demostrativas y hacer una extensión a los demás colectivos; y adaptar un aula abierta en la clase demostrativa como una política institucional en el proceso de formación.
En este momento, se hace un estudio para ver la viabilidad de
adoptar estas estrategias, con el fin de generar reflexión académica en docentes y estudiantes del ciclo complementario sobre
la importancia de discutir a profundidad un momento de nuestra práctica docente.
Como profesionales que somos debemos determinar si en
realidad podemos hacer que un estudiante aprenda, pues si con
una clase tan elaborada como es la clase demostrativa tuvimos
una serie de errores y limitantes conceptuales, qué podemos
decir de las clases corrientes, en las que no nos esmeramos ni
tampoco la planeamos tanto. Como una reflexión académica
sobre la práctica pedagógica cotidiana este ejercicio implica el
desarrollo de procesos de investigación grupales, cuyo fruto hay
que difundirlo, y una buena forma son estas dos estrategias aula
abierta y clase demostrativa.
CARLOS MONTEALEGRE - Comentarista experto
En primer lugar, quiero destacar que se trata de una experiencia de intercambio cultural, y eso crea unos contextos bien
particulares y nos conduce en esencia a lo que hoy se conoce
como las aulas de clase multiculturales. El intercambio cultural
nos posibilita el entendimiento de un aula multicultural, la presencia de múltiples culturas en ella y, por tanto, un comienzo
con lo que es una negociación de significación, una construc413
Competencias matemáticas
ción de sentido para las prácticas que se desarrollan allí y, por
ende, una aceptación del otro, el reconocimiento de distintos
puntos de vista frente a lo desarrollado y frente a la actividad
matemática a pensar en el aula.
El énfasis en lo geométrico es importante, allí es donde
se hace más evidente la ruptura desde la historicidad de la
matemática misma y muestra cómo la geometría ha hecho
parte importante de la construcción de los conceptos matemáticos, que se presencia en la historia matemática de las
culturas babilónicas, de los egipcios, de los griegos, de los
árabes, del Renacimiento y ,en la actualidad, es más que un
sistema de representación, es parte intrínseca de la actividad
matemática misma.
Con la integración de las nuevas tecnologías, se ha aprovechado una actividad demostrativa para rescatar esa parte tan
importante en la actualidad; son experiencias que en el ámbito
multicultural posibilitan una mirada de la geometría desde una
concepción distinta de las matemáticas y que incluye una perspectiva más intuitiva que debe trascender posteriormente como
manifestación final.
El intercambio cultural es la posibilidad que se abre a las
comunidades de práctica que están allí o comunidades epistemodidácticas de la matemática, porque se piensa el aula de
clases de matemática como un espacio de puertas abierta a la
comunidad de educadores, especialistas, estudiantes, en donde
hay una construcción de significados y una puesta común para
414
Aula abierta y clase demostrativa
alcanzar consensos y disensos para lograr acuerdos fundamentales en los cuales trabajar.
Estos próximos años de experiencia y de trasegar en la actividad de la clase demostrativa y en el aula abierta, conllevarán
la comunicación, el reconocimiento, la interculturalidad y todo
ello hace pensar en la necesidad de una mayor integración en
el contexto propio de las matemáticas y de los pensamientos,
es decir, lo geométrico no es sólo geométrico sino que también
integra los pensamientos propuestos en los lineamientos curriculares y que, de manera permanente, asociamos a las competencias matemáticas.
Desde las prácticas, indudablemente es un proceso en el
que hay una validación permanente del quehacer pedagógico,
es una validación permanente, una especie de espiral autorreflexivo de la teoría crítica del reconocimiento; pero el reto está
también en ser válido para la estructura de conocimientos del
estudiante, para que se cree unos procesos en los que esa validación se otorga también en un ambiente sujetivo entre estudiantes, que son en últimas los que logran determinar si en
efecto han avanzado conceptualmente y han evolucionado los
objetos matemáticos culturales con los que llegan a la institución escolar.
415
Competencias matemáticas
Mentes brillantes
Expositora: Gloria Bibiana Badillo,
Institución educativa Alfonso López Pumarejo, de Cartago, Valle
La experiencia que voy a compartir es muy sencilla, son
cosas cotidianas aplicadas en favor del aprendizaje de las matemáticas. Este proyecto inició como una simple evaluación colectiva tipo Icfes, pero fue generando en su desarrollo muchas
cosas, fue creciendo. Pretendía en sus comienzos hacer que el
estudiante se preocupara por estudiar un poco más matemáticas,
que encontrara en los premios de esa prueba un estímulo, que
se sacara un poquito esa idea de que la matemática es siempre
esa materia aburrida y difícil de comprender.
El proyecto se llamo “Mentes brillantes” porque lo que
buscaba era llamar la atención, algo que en realidad les causara
inquietud, hacer que todos esos muchachos se dieran cuenta
que son mentes brillantes y que depende de cada uno encontrar
su interruptor.
En mi experiencia docente con los primeros cursos de primaria casi siempre encontré diferencias abismales entre el niño
de primaria y el adolescente en bachillerato; la prevención con el
nuevo conocimiento, la apatía, el temor al fracaso son cosas que
no están tan presentes en primaria. Esto me dejo con la inquietud
de buscar la manera de hacer que estos adolescentes se comportaran de forma similar a los niños, porque igual seguían siéndolo.
416
Mentes brillantes
Un ambiente de confianza es primordial, hace que haya
buena comunicación, conocer la realidad de la mayoría, saber
de dónde viene, con quién vive, cuál es su rollo, hasta hacerle
sentir que me interesa lo que a él le pasa, que yo siento lo que
él, que él pueda confiar en mí. La creatividad tiene que ver mucho con la lúdica, porque los juegos no los desarrollo yo. Las
actividades curiosas las vivo pescando para hacerlas en mis clases, y procurar que los estudiantes estén contentos en la clase.
Yo defiendo mucho el concepto, hay que saber qué son las
cosas para poder trabajar con ellas. También desarrollar ejemplos
y talleres cortos, para que los pueda resolver con ellos, pues yo les
pongo un taller y nunca se les queda un ejercicio sin que lo rectifiquemos, porque de ahí es que los voy a evaluar, y ellos tienen
que tener un buen material de evaluación con las correcciones.
Las actividades lúdicas nunca las hago sola, las planeo, las
organizo, los comprometo con ellas, no son mías son de ellos
y ellos lo saben. Entre las actividades lúdicas más relevantes
que hemos hecho están la recta numérica gigante, es una recta
que va hasta 20 y -20 por ambos lados, son dos lados: uno con
puntos amarillos y otro con puntos rojos, los positivos y los negativos; los estudiantes tiran los dados, sacan la cuenta y corren
hacia el lado que les corresponda, y lo hacen siempre y cuando
respondan una pregunta que tiene que ver con el tema que estamos viendo.
Tenemos el festival que es lo mejor que hemos hecho;
los muchachos llevan un problema, el que ellos escojan, y lo
417
Competencias matemáticas
representamos en maqueta; ellos lo montan, hacen cartelera, y
le explican al resto del colegio el problema. También tenemos
la yincana matemática, que se lleva a cabo en los paseos, se
relaciona con las gafas matemáticas, buscar a dónde vamos a
pasear situaciones matemáticas, es un circuito de observación
común, son juegos tradicionales aplicados a la matemática.
La prueba en sí consta de dos partes, una teórica y una
práctica, la teórica se refiere a los conceptos, la práctica son
ejercicios y problemas de lo mismo que han aprendido a hacer.
El desarrollo de la prueba se les explica, hay que concertar con
ellos las condiciones antes de hacer la evaluación para evitar
problemas posteriores.
Las salidas de campo requieren un trabajo de organización. Tenemos el reto de la experiencia, yo lo quiero leer porque me parece bonito: “Despertar cada vez más esas mentes
brillantes que moran bajo la sombra de las perversas ideas preconcebidas que han quitado la honra a la más hermosa de las
ciencias que ha podido concebir el hombre pensante, y poder
dejar así sea un trocito de este legado a esta nueva y un poco
confundida generación”.
418
Mentes brillantes
Preguntas
?
¿Usted ha logrado que sus estudiantes prefieran aprender la matemática que evitarla?
Si señor, esa pregunta la puedo responder con una experiencia
muy linda que jamás creí que iba a suceder. Con la recta numérica
hacemos unas semifinales en cada grupo, resulta que los muchachos
de un noveno debían estar en su semifinal y los del otro en educación
física, pero resulta que todos se fueron para el salón a ver la semifinal
del primer noveno, el salón se llenó, prefirieron estar en matemáticas
que estar en educación física, eso para mí fue un gran logro.
?
¿Qué evidencias tiene de que esas actividades han desarrollado competencias matemáticas?
Si lo que buscamos es evidencias físicas, ya están aquí
plasmadas en el papel, podemos decir que los resultados de los
años anteriores comparados con los de este son muy diferentes;
los muchachos que se quedan son muy poquitos, ya no se hacen
actividades de recuperación, ellos siempre encuentran la forma
de ganar matemáticas, eso para mí es una evidencia de que están aprendiendo, que se están dedicando a la matemática.
?
¿Por qué se separa lo teórico de lo práctico en el proceso
de enseñanza que sigue usted?
Lo teórico y lo práctico son como dos piernas que caminan juntas, van para la misma parte, pero nunca se encuentran.
419
Competencias matemáticas
La parte teórica a veces se hace como clase magistral para mirar,
definir y estudiar los conceptos; a veces lo hacemos con un centro matemático, con competencias, con un problema, y vemos
quién lo resuelve antes, también armamos rompecabezas; pero
esa parte de la teoría es muy similar a la forma como lo hacemos
todos, no es una metodología novedosa, simplemente actividades atractivas para los muchachos.
?
¿Cómo se relaciona el proyecto con otras áreas y cómo
ha logrado que otros maestros se interesen por darle valor a las actividades que realiza?
Gracias a la lúdica sobre todo podemos desarrollar en
esas actividades competencias básicas de comunicación; las
biofísicas, por ejemplo, que muchas veces dejamos de lado,
que son la parte del manejo del cuerpo; la comunicación se
nota por ejemplo en el festival, cuando el muchacho le explica
a los otros su problema; la parte estética cuando hacen la cartelera y la maqueta.
?
¿Cómo resuelve el problema de los estudiantes que no
se vinculan directamente a las actividades, que no le dan
la seriedad suficiente sino que aprovechan estos espacios lúdicos para el desorden y la indisciplina?
Yo tengo un grupo hasta de 60 estudiantes, así que eso es un
trabajo de años con los grupos; por ejemplo, tengo séptimo y octavo y ahora me ocupé de ellos en noveno, así que ya han cogido
el ritmo de trabajo. Al principio era horrible, después de la primera
420
Mentes brillantes
prueba de mentes brillantes llegue a mi casa muerta, por el desorden no sólo los niños sino también los compañeros profesores, y
después, no les puedo decir exactamente cuando, una vez hicimos
una prueba y ellos mismos armaron las filas, se organizaron, se sentaron, así que supongo que es meterles el compromiso y que sepa
que la actividad no es mía sino de él, y que si sale bien o mal es él
quien va a quedar bien o mal, aunque sepamos que eso no es así,
pero al muchacho hay que venderle esa idea.
?
En la política de calidad o en el ciclo de calidad se formulan
unos estándares, luego se hacen unas evaluaciones externas o
se aplica un tipo de pruebas, y posteriormente se construyen
planes de mejoramiento para las instituciones educativas. Entonces, ¿cómo es la relación que hay entre esa política de calidad, que es una política general externa al aula, y tu desempeño en el aula? ¿Cómo lo tomas dentro del ciclo de calidad de
las instituciones educativas? ¿A través de la metodología que
utiliza podría pensar en evaluar con los estándares de calidad
que se plantean en el Ministerio de Educación?
“Mentes brillantes” se acomodó a los planes de estudio,
pero al siguiente año el plan de estudio se acomodó al proyecto; hay un plan de aula en el que tenemos en cuenta los
estándares, las competencias y todo eso; hay una cosa que
hago al iniciar cada periodo, le entrego a los niños copia de lo
que vamos a hacer en el periodo, para que ellos sepan cómo
vamos, dónde vamos, qué deben alcanzar y obviamente ese
plan de aula está totalmente de acuerdo con los estándares
de las competencias.
421
Competencias matemáticas
¿Cómo lo evaluamos?, es un tema bien espinoso, nosotros
procedemos así: 50% de la nota del periodo está representada
por la actividad del estudiante en clase, por sus trabajos, por
su participación en los juegos, en los talleres; el otro 50%, la
otra mitad de la nota, se la dejamos a “Mentes brillantes”. A los
puntajes más bajos les hacemos unos talleres de refuerzo, a veces eso suena a castigo, pero con eso vamos mejorando lo que
queremos conseguir.
?
¿Cuál es la estrategia fundamental de “Mentes brillantes” para lograr que no sea activismo y realmente se
convierta en una estrategia para la apropiación de conceptos?
Las actividades lúdicas en grande las hacemos al final del
periodo, hacemos cuatro en el año y no se hacen para construir
el conocimiento sino como una forma de afianzarlo, de ayudarle
al muchacho a repasar, es decir, colaborarle a hacer lo que debe
hacer en la casa sentado, aburrido y entendiendo algunas cosas
y otras no, eso lo hacemos en el colegio, el repaso lo hacemos
en el colegio mediante juegos.
MARIO ENRIQUE ALONSO - Comentarista Experto
En esta experiencia resulta muy agradable verificar la implicación de la docente en el aprendizaje de sus estudiantes. El
educador que no se sienta implicado en el aprendizaje de los
estudiantes no puede alcanzar resultados satisfactorios ni en su
actividad interna, ni en la actividad que va a mostrar externamente con los estudiantes.
422
Mentes brillantes
Un segundo elemento muy importante es amar la matemática
y tratar de transmitir ese amor es algo muy difícil, pero que posibilita
que los jóvenes se motiven en el estudio de nuestra ciencia; hay que
implicarlos en el dominio de los conceptos y quizás previamente al
dominio de los conceptos puramente matemáticos, establecer la conexión entre la vida del joven y los conceptos matemáticos.
Hablamos de teoría y práctica, sabemos que podemos dividir estas categorías para su estudio, pero la realidad es que
están unidas, no se separan, porque no hay práctica sin teoría,
ni teoría sin práctica, una antecede a otra o viceversa; en el caso
de la enseñanza de las matemáticas es imprescindible la teoría y
la práctica, no podemos aislarlas, quizás sí para su estudio, pero
no para la materialización.
Pienso que la relación de las matemáticas con otras ciencias
es imprescindible, no se puede estudiar matemática tener un elevado nivel de comprensión contextual, es decir, la lengua materna
nos tiene que dar la posibilidad de interpretar los conceptos matemáticos y hacer la conjugación de los códigos matemáticos que se
interrelacionan con el lenguaje natural, coloquial, ese que utilizamos para intercambiar y comunicarnos todos los días; por lo tanto,
tenemos que hacer una interrelación inteligente de códigos propios
de la ciencia, para saber interpretarlos y contextualizarlos.
El otro aspecto importante es la evaluación cualitativa, que
se haga acumulando resultados y en un momento determinado,
eso me parece fundamental, pues tenemos que evaluar el proceso completo.
423
Competencias matemáticas
Matemáticas en acción y proyección
Expositora: Ángela Duarte,
Institución educativa San Vicente de Buenaventura
Inicialmente este proyecto se empieza a trabajar desde
grado sexto hasta undécimo, donde sentimos que hubo mayor
aceptación por parte de las alumnas destacadas. Tenemos como
objetivo principal que las estudiantes a través del trabajo social
puedan mejorar su desempeño y al mismo tiempo integrar un
grupo más grande de destacados estudiantes en matemáticas.
Consideramos que manejar muy bien los conjuntos de los
números enteros y racionales, resolver situaciones problémicas
y desarrollar pensamiento métrico eran elementos básicos para
trabajar. La actividad principal que genera nuestra experiencia
es la creación del Club matemático vicentino, que está conformado por estudiantes destacadas; a nivel de cada curso se seleccionan las estudiantes que se distinguen en las matemáticas,
y se organiza un grupo de todo el colegio, son 161 niñas, y la
función principal de este club es ayudar a que el desempeño de
las estudiantes que tengan insuficiencias mejore.
El trabajo hay que hacerlo en la clase de matemáticas a
diario y mediante grupos. Buenaventura cuenta hoy con una
gran diversidad étnica y cultural. El departamento de Antioquia
hace mucha presencia en Buenaventura, la Costa Pacífica también y tenemos también la etnia indígena. Así que hemos querido a través de la clase de matemáticas formar grupos multiét424
Matemáticas en acción y proyección
nicos que nos permitan esa socialización que debe existir entre
las estudiantes y esa aceptación por el otro en el momento de
trabajar en la clase de matemáticas.
Cuando la clase está a punto de terminar se organiza el
grupo de trabajo, que no puede estar integrado por estudiantes que tengan una misma identidad, debe ser diversificado
de manera que se logre rescatar de cada uno sus dificultades
y a su vez mostrar sus experiencias para mejorar el trabajo de
la clase.
Complementariamente hay algunos trabajos que se desarrollan en extraclase. Inicialmente, encontramos como dificultad
la desmotivación de algunas estudiantes porque no querían integrar grupos no multiétnicos y multiculturales para enriquecerse.
De todas maneras, uno de los logros que hemos alcanzado es
que ya pudimos organizar ese tipo de grupos. Otra dificultad,
como siempre y pese a la colaboración de la institución, es la
falta de recursos.
Cualquier tipo de proyecto que tenga que ver con las
competencias matemáticas implica abordar algún aspecto, así
que quisimos trabajar básicamente en cómo se potencializan las
capacidades de un estudiante para manejar situaciones problémicas desde su identidad cultural y étnica.
La comunicación es un elemento básico, porque la estudiante que tiene insuficiencias puede comunicarse con la alumna destacada; además de lograrse un diálogo, se alcanza un
425
Competencias matemáticas
grado de motivación para que la niña adquiera un poco más de
confianza dentro de la clase de matemáticas.
¿Por qué nosotros consideramos de las competencias ciudadanas eran un elemento importante dentro de este proyecto?
Porque en una clase de matemáticas se genera todo este tipo
de conflictos, como que se profundiza el abismo entre las estudiantes que son muy destacadas y las que son insuficientes; no
se genera un ambiente de buena relación y hay mucha competencia por parte de las más destacadas y poca colaboración a las
que no entendían. Así que ese es un elemento básico trabajado
dentro del objetivo de este proyecto.
Hemos logrado que algunas estudiantes se sientan cómodas en la clase de matemáticas, tengan espacio para dialogar,
para participar, para decir sus dificultades y eso ha sido valioso. La comodidad que tiene la alumna en matemáticas cuando
ya no se siente relegada en el salón de clase o se siente parte
del proceso que se está desarrollando en la clase, se manifiesta
en que participa en solución de problemas, expone con seguridad, ya no siente miedo por salir al tablero o por pasar al
frente de sus compañeras; esos elementos son los que nos han
servido muchísimo.
¿Qué esperamos nosotros a largo plazo con las competencias ciudadanas? Que las alumnas destacadas del club de
matemáticas compitan dentro del respeto por el otro, y que las
estudiantes con dificultades mejoren sustancialmente su apreciación sobre la matemática, la empiecen a mirar como un ele426
Matemáticas en acción y proyección
mento que no está tan alejado de su realidad sino que les está
ayudando a manejarse con conceptos de su realidad.
En la institución educativa San Vicente manejamos un parte social, así que está institucionalizado el concurso “El factor
matemático”, que fue creado a semejanza del factor X, que está
muy de moda en la televisión. Éste presenta categorías como en
cualquier tipo de concurso y las participantes son las estudiantes del club porque estamos fortaleciendo el conocimiento y su
desempeño en las competencias de matemáticas.
En cada uno de los salones se hacen unas de pruebas;
una se llama de memoria porque en matemáticas a veces es
necesario manejarla un poquito. Así que se presenta un cuadro
que tiene números dispuestos de forma horizontal y vertical de
tres por tres, se le exponen durante dos minutos los números a
las niñas y tienen un minuto para reproducirlo; lógicamente se
seleccionan las que reprodujeron de mejor forma los números.
En la prueba de habilidad y destreza, que dura quince minutos,
se manejan cuadros mágicos y rompecabezas; y en la prueba de
profundización viene el fortalecimiento de los estándares que
corresponden a las competencias matemáticas, en las que la estudiante va a manejar y expresar sus dominios acerca de lo que
se ha trabajado en los diferentes cursos.
Al finalizar esta prueba eliminatoria se llega al concurso
final, que se hace durante el día que corresponde a las matemáticas en la semana de la ciencia en el colegio; como ya hizo
una fase eliminatoria viene entonces la parte del concurso, que
427
Competencias matemáticas
corresponde a dos modalidades: el collar matemático y el código secreto.
¿Qué es el collar matemático? Se le disponen unas piezas
a las estudiantes con formas de figuras geométricas, se forma un
collar y se da un valor; los estudiantes deben obtener el número
20 o el número 120 con este collar. En la prueba del código
secreto se trabaja con un elemento básico que es el plano cartesiano con parejas; a través de una observación del plano y de
unas condiciones que se dan, las parejas organizan un mensaje
acerca del trabajo que tiene que ver con algunos matemáticos
famosos, deberán descubrir el nombre de un matemático famoso; quien lo haga deforma más rápida ganará el concurso. Al
finalizar se premian por niveles.
Lo que corresponde a la evaluación en este proyecto se
mira desde los parámetros de evaluación, para nosotros es muy
importante observar el desempeño de la estudiante a lo largo
del proceso por períodos y al finalizar el año.
Hay una retroalimentación porque nos reunimos para evaluar lo que hemos logrado, en lo que hemos fracasado y los
recursos. Para nosotros es muy importante que los compañeros
del área de matemáticas estemos fortalecidos y trabajemos de
forma sincronizada.
428
Medición del ritmo en la aprehensión
del conocimiento
Expositor: Fernando Bastidas Parra,
Institución educativa Juan Pablo II, de Cartago, Valle
Voy a mostrar las dos fases del trabajo, la primera fase fue
el trabajo que desarrollé durante ocho años, de 1995 a 2003,
cuando elaboré, basado en muchas teorías y trabajos académicos, cinco elementos de trabajo auxiliares para el grado quinto
de primaria. Esos cinco elementos corresponden a tres software,
un libro y una cartilla que permiten al docente aprovechar al
máximo las capacidades y aptitudes del niño.
Me fundamenté en los juegos de video debido a que en Estados Unidos hicieron una investigación que decía que los niños
que permanecían más tiempo en los juegos de video obtenían
mejores puntajes en matemáticas; y ustedes los que han jugado
juegos de video saben que es por las escalas, los puntos, los números, los productos, etc., así que eso me motivó mucho.
Otra de las motivaciones es que un niño aprende algo en
nueve minutos en promedio por medio de un video. Después
del diseño de una cartilla en video y de un video que es aritmética únicamente desarrollé unos mecanismos para medir en los
estudiantes la adquisición del conocimiento, porque me llamó
mucho la atención que Merani, en un informe científico decía
que en quinto de primaria los estudiantes olvidaban 92% de lo
aprendido al cabo de dos meses.
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Competencias matemáticas
El origen de la investigación es que cuando era docente de
cálculo en la universidad, y trabajaba de manera simultánea con
bachillerato, empecé a sacar una lista de los problemas que más
afectaban a los estudiantes. La lista se fue volviendo la misma
y después por casualidad comprobé que era el caso de todos
los temas de aritmética de quinto de primaria. Entonces por eso
este trabajo empieza en quinto de primaria.
Para medir la adquisición del conocimiento básico que
deben tener los niños de quinto de primaria elaboré un software que lo llamé el evaluador. Estas pruebas, que tratan de
ajustarse a las competencias, buscan que cada que el niño va
a iniciar algo se le dé un ejemplo o se le haga un resumen;
los niños llevan únicamente un papel y un lápiz y empiezan
a resolver esta prueba, ellos van consignando sus resultados y
luego hacen clic en Continuar.
Ellos resuelven 368 puntos cada mes, la misma prueba
cada mes, o sea, nosotros vamos avanzando con el programa, pero ellos cada mes hacen la misma prueba. ¿Por qué se
hace la misma prueba? Para tomar el mismo parámetro para
tener unos valores similares cada vez que se hace la prueba.
El evaluador lo que hace es que al final le da los resultados al
estudiante de inmediato, o sea, él termina y de una vez tiene
los resultados por tema.
El primer año con una prueba censal que obtuvimos, sacamos 64% con los niños. El segundo año obtuvimos 74%.
En este año recibí la mención de honor del Premio Compartir,
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Medición del ritmo en la aprehensión del conocimiento
porque ellos visitaron, revisaron, corrigieron y verificaron toda la
información que les estoy dando.
Entre 2005 y 2006 obtuvimos con el software ya mejorado 82% en la misma prueba censal. En el proceso del año
pasado, en la primera prueba que se hizo sacaron 40% y en la
última en el mes de mayo los niños obtuvieron un promedio de
63% sobre toda la evaluación. Quiere decir que desde que empezaron hasta que terminaron el incremento fue de 23%, eso de
acuerdo con lo que les comentaba, hay cosas que a medida que
pasa el tiempo las olvidan; les puedo asegurar que lo más difícil
para los niños de quinto de primaria es el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, es lo que olvidan más rápido.
REINALDO NUÑEZ - Comentarista Experto
En general, en estas experiencias se insiste mucho en trabajar con problemas de la vida real, en trabajar con lo lúdico,
problemas prácticos, pero siempre queda la inquietud de qué va
más allá de estos trabajos o de estos ejercicios basados en problemas de la vida real y la lúdico, en el sentido de qué tanto se
está manejando la parte conceptual. Hay la inquietud acerca de
la forma como están manejando los conceptos; se habla mucho
de la transversalidad, pero viene el problema de qué tanto, de
manera conceptual, estamos manejando las cosas en matemática; y lo digo eso se evidencia en los primeros semestres de los
cursos de matemáticas de la educación superior.
Con respecto a la primera presentación, es bien interesante y yo haría una recomendación en el sentido de que dada la
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Competencias matemáticas
flexibilidad del currículo y que tienen una manera de diferenciar
entre estudiantes destacados y estudiantes que tienen dificultades, sería bueno insistir más con las estudiantes destacadas en
que trabajaran teorías matemáticas desde lo elemental.
Cuando digo teorías matemáticas, me refiero a que los jóvenes que desde muy temprana edad trabajan un nivel elemental están en capacidad de trabajar teorías, de la manera como
lo hace el matemático, que hace conjeturas, plantea problemas,
quita condiciones, pone condiciones, borra, vuelve a empezar, es
bastante persistente. Es decir, crear ese tipo de hábitos propios
de lo que se hace en el trabajo matemático como tal. Eso no
implica que no se trabaje con todo lo que tiene que ver con lo
que se ha denominado la matemática escolar y las competencias
ciudadanas, sino que hay que tener muy buena formación en la
disciplina como tal y al mismo tiempo un muy buen manejo del
aspecto educativo cognitivo que hay alrededor de la enseñanza.
Con respecto al programa del colegio de Cartago, surgen
dos enseñanzas bien importantes. El video es una herramienta
para facilitar el aprendizaje, pero hay que tener cuidado porque
de pronto nos vamos a extremos que no son buenos, sobre todo,
cuando se apoya en ciertas teorías y estadísticas; pero también
nos muestra algo que no lo hemos tenido en cuenta y lo hemos
descuidado mucho, el tema del manejo de los materiales, pero
ahí también se debe tener cuidado con las cifras estadísticas,
porque desarrollar una misma prueba muchas veces de pronto
puede distorsionar y sesgar la información estadística y el comportamiento de los resultados.
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