La Columna de Matemática Computacional - Henri Lombardi

La Gaceta de la RSME, Vol. 16 (2013), Núm. 2, Págs. 293–312
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La Columna de Matemática Computacional
Sección a cargo de
Tomás Recio
Hace unos meses, el responsable de esta Columna tenía el placer de
leer en el Zentralblatt Math la detallada reseña∗ escrita por W. Kleinert
(Humboldt Universität, Berlín) sobre el libro, recientemente publicado,
«Algèbre Commutative, Méthodes Constructives» (ed. Calvage et Mounet,
2011), uno de cuyos autores (el profesor H. Lombardi) lo es también del
artículo que constituye esta Columna. En dicha reseña, Kleinert señalaba
que: «This voluminous book offers a very special and detailed introduction
to various basic concepts, methods, principles, and results of commutative
algebra. In contrast to most of the numerous other primers in the field, the
authors consequently pursue the constructive viewpoint in commutative algebra,. . . All together, the book under review must be seen as an invaluable
replenishment of the existing textbook literature in commutative algebra.»
Atraído por las elogiosas palabras del recensor, por la originalidad de
la temática y por su pertinencia para esta Columna, así como por la proximidad del profesor Lombardi a algunos grupos de investigación españoles,
se le solicitó que realizara para la Columna —solo o en compañía— un
artículo que acercara al lector y a la lectora al mundo del Álgebra Constructiva que, lejos de ser una nueva disciplina, no es sino el álgebra explícita desarrollada, entre otros, por Gauss y Kronecker. Lo que sigue es
el resultado de la gentil respuesta de autores y traductores.
Álgebra Constructiva
por
Thierry Coquand y Henri Lombardi
Introducción
En este número de La Gaceta planteamos una particular presentación del Álgebra Constructiva a propósito de la reciente publicación del libro [22], cuya intro∗ http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:1242.13002&format=complete
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La Columna de Matemática Computacional
ducción arranca con la siguiente cita de Poincaré1 :
Por lo que a mí respecta, propondría seguir las siguientes reglas:
1. Considerar sólo objetos susceptibles de ser definidos en un número
finito de palabras.
2. No perder de vista jamás que toda proposición sobre el infinito debe
ser la traducción, el enunciado abreviado, de proposiciones sobre lo
finito.
3. Evitar clasificaciones y definiciones no predicativas.
Otro párrafo de la introducción resume adecuadamente la metodología general
adoptada en [22]:
En la medida en la que perseguimos un tratamiento algorítmico del Álgebra Conmutativa, no podremos utilizar todas las facilidades que proporcionan, en las matemáticas clásicas, el uso sistemático del lema de
Zorn y del principio del tercero excluido. Sin duda, el lector entenderá
que el lema de Zorn es difícil de implementar en Álgebra Computacional.
En cambio, el rechazo del principio del tercero excluido le debe parecer
más extraño. Es una cuestión práctica. Si en una demostración clásica
se encuentra un razonamiento que incluya un argumento del tipo: «si x
es invertible, se hace esto; si no, esto otro», es obvio que sólo se traducirá
directamente a un algoritmo si se tiene, en el anillo en cuestión, un test
de inversibilidad. La insistencia acerca de esta dificultad y de la continua necesidad de sobrepasarla, nos conducirá, a menudo, a hablar de dos
puntos de vista, el clásico y el constructivo, sobre un mismo asunto.
En este sentido, el libro [22] puede considerarse una continuación del libro [24]
de Mines, Richman y Ruitenburg, situándose en la tradición del álgebra explícita
«à la» Kronecker. Con anterioridad a la publicación de [22], numerosos artículos
de Seidenberg (principalmente [26]), de Richman, y de muchos otros autores, han
puesto de manifiesto la viabilidad de este punto de vista. Además, el desarrollo del
Álgebra Computacional ha ejercido una influencia decisiva en la apreciación de los
matemáticos respecto de las matemáticas más explícitas.
El Álgebra Constructiva tiene como primer objetivo el dar una versión completamente segura de los resultados del álgebra «usual». En particular, los resultados
obtenidos en Álgebra Constructiva tienen una traducción a algoritmos certificados
que alcanzan las conclusiones de cada teorema cuando las hipótesis del mismo se
dan de forma explícita.
Analicemos más esta idea.
La lógica de las matemáticas constructivas se basa en la utilización de las palabras «existe» y «o» en su sentido intuitivo explícito. Como consecuencia, las demostraciones constructivas siempre proporcionan conclusiones en forma explícita si las
hipótesis se dan también en forma explícita.
1 Henri Poincaré, La logique de l’infini (Revue de Métaphysique et de Morale, 1909), reeditado en
Dernières pensées, Flammarion, París, 1903. Traducción: Sobre la ciencia y su método: el espacio,
últimos pensamientos, Círculo de Lectores, Barcelona, 1997.
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De hecho, una demostración constructiva no requiere que las hipótesis sean proporcionadas por un algoritmo. Es decir, las hipótesis pueden ser dadas por una caja
negra de la cual no se conoce el funcionamiento interno. Esto no resta nada al carácter constructivo de la demostración, porque ésta llega a la conclusión a partir de
las hipótesis por medio de construcciones claras, independientemente de que las hipótesis sean dadas por una caja negra o por un algoritmo. Por ejemplo, una función
real definida constructivamente toma como entrada cualquier número real dado por
una sucesión de Cauchy de números racionales (un )n∈N que cumple, para todo n, la
condición |un+1 − un | < 2−n , independientemente de que esta sucesión sea o no sea
computable por una Máquina de Turing.
De la misma forma, en álgebra, si en una hipótesis de un teorema aparece «sea M
un módulo plano», no se dice que se conozca un algoritmo que explicite la platitud,
sino saber que la platitud será certificada siempre y cuando se quiera utilizar. En
términos de programación, esto significa que de la demostración constructiva se
puede obtener un programa en el cual las hipótesis son dadas por lo que se llaman
oráculos. Esto hace que a menudo el Álgebra Constructiva se acerque más al álgebra
clásica que al Álgebra Computacional.
En cambio, es muy diferente la lógica de las matemáticas clásicas, donde toda
propiedad con significado claro es cierta «o» falsa, incluso cuando no se tiene ningún
medio de decidir explícitamente si es cierta o falsa.
Desde un punto de vista constructivo, el «o» de las matemáticas clásicas es una
versión débil del «o» constructivo. La afirmación «A ∨ ¬A» en las matemáticas
clásicas (el principio del tercero excluido) sólo se interpreta como «¬(¬A ∧ ¬¬A)»,
lo que es cierto, pero sin interés.
Un mismo teorema de matemáticas clásicas puede tener varias versiones constructivas, debido a que las matemáticas constructivas tienen enunciados más precisos
donde la palabra «explícito» se puede manifestar de varias maneras, muchas veces
imprevisibles si nos situamos desde un punto de vista clásico.
Así, las matemáticas clásicas se pueden considerar como una parte de las constructivas, parte donde se supone que, en las hipótesis, el axioma de elección y el
principio del tercero excluido vienen dados de manera explícita.
En términos de programación, esto conllevaría la introducción de oráculos que
responden a preguntas del estilo «¿es cierta tal propiedad en el universo matemático
considerado?» cada vez que se invoque el principio del tercero excluido. De ese modo,
el Programa de Hilbert consistiría en demostrar por medios finitistas que, si se ha
obtenido un teorema independientemente de las respuestas dadas por estos oráculos,
entonces el teorema se podría obtener sin utilizarlos. Formulado así, este Programa
de Hilbert podría parecer plausible. Sin embargo, se tropieza con el Teorema de
Incompletitud de Gödel que excluye la posibilidad de una demostración en términos
finitistas, al menos cuando nos situamos en una teoría matemática suficientemente
amplia.
Naturalmente, el matemático clásico puede no aceptar que las matemáticas clásicas sean una parte de las matemáticas constructivas. Prefiere pensar que el principio
del tercero excluido y el axioma de elección son absolutamente ciertos en el universo
matemático considerado. En estas condiciones, identifica en la medida de lo posible
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La Columna de Matemática Computacional
las palabras «explícito» y «recursivo» (en el sentido de la teoría de la computación
y Máquinas de Turing). Así, podría considerar las matemáticas constructivas como
parte de las clásicas, parte que sólo versa sobre objetos mecánicamente construidos
y que sólo se interesa por propiedades con contenido «recursivo».
Todo esto genera un debate que no se cerrará jamás, y evidentemente nuestra
intención no es cerrarlo. El objetivo de este artículo no es convencer al lector y
a la lectora de la justicia del punto de vista constructivo, sino convencerles de su
pertinencia.
A continuación se hablará sobre todo de Álgebra Conmutativa. A indica un anillo
conmutativo unitario, arbitrario si no se indica lo contrario.
1.
1.1.
Algunos ejemplos
Matrices idempotentes
La teoría de matrices idempotentes sobre anillos conmutativos es esencialmente la
misma teoría que la de módulos proyectivos finitamente generados, ya que un módulo
proyectivo finitamente generado puede ser definido como un módulo isomorfo a la
imagen de una matriz idempotente.
El primer teorema del libro Algèbre Commutative de N. Bourbaki, en el epígrafe
dedicado a módulos proyectivos finitamente generados ([3, sección II-5.2]), afirma
que, dado un A-módulo proyectivo finitamente generado P , existen elementos del
anillo, s1 , . . . , sn , tal que hs1 , . . . , sn i = h1i y, en cada anillo A[1/si ], el módulo P
es libre de rango finito.
La demostración, que utiliza esencialmente ideales primos y maximales, no proporciona un método para encontrar los si en cuestión. Tampoco encontramos en los
ejercicios idea alguna al respecto.
Si se preguntara a un experto en módulos proyectivos finitamente generados, probablemente no sabría calcularlos, incluso si publica artículos eruditos sobre módulos
proyectivos finitamente generados.
Sin embargo, Poincaré nos pide reducir cualquier argumento sobre el «infinito»
(aquí se utiliza la infinitud de los ideales maximales del anillo, ideales que son de
por sí objetos de naturaleza infinita) a un argumento «finito» (aquí se trataría de la
matriz idempotente cuya imagen es isomorfa al módulo).
Esto pone de manifiesto que en las matemáticas que practicamos a diario hay
argumentos que no se llegan a tocar. Es realmente extraño que un resultado de
naturaleza tan simple no interese a la mayoría de los expertos. Probablemente nunca
hayan leído a Poincaré.
Si P es isomorfo a la imagen de una matriz idempotente F ∈ Mn (A), el teorema
de Bourbaki afirma que, en cada anillo Asi = A[1/si ], la matriz F es semejante
a una matriz de proyección canónica de rango ri para un entero ri . La matriz de
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La Gaceta ? Secciones
proyección canónica de rango k es
Ik
0k,p
(p + k = n).
Ik,n =
0p,k
0p,p
Entonces, ¿dónde están escondidos los elementos si y los enteros ri en la matriz F ? He aquí una respuesta que utiliza un poco de magia2 .
Se trata de encontrar una base del Asi -módulo libre Asni de manera que algunos
elementos estén en la imagen de F y el resto en el núcleo, que es también imagen
de la matriz G = In − F . Se parte de la maravillosa identidad In = F + G y se
desarrolla el determinante del segundo miembro utilizando la propiedad de que el
determinante es una función multilineal en las columnas de la matriz. Se obtiene así
una igualdad,
X
1=
det(FJ ),
J⊆{1,...,n}
donde la suma está indexada por los 2n subconjuntos J de {1, . . . , n} y la matriz FJ
es aquella que tiene por columna j la columna j de F si j ∈ J y la columna j de G
si j ∈
/ J. Al invertir sJ := det(FJ ), las columnas de la matriz FJ definen una base
de AsnJ y así la matriz F es semejante a IrJ ,n con rJ = #J. Obsérvese que, dada
una columna Cj de FJ , si j ∈ J se verifica F Cj = Cj , y, si j ∈
/ J, F Cj = 0.
Conjetura: en la situación genérica, no se puede reducir de 2n el número de
elementos si para las localizaciones.
1.2.
Matrices inyectivas
Recuérdese que una matriz F ∈ Mm,n (A) representa una aplicación lineal de An
a Am y que un ideal I se dice fiel si su anulador se reduce al 0, es decir, si se verifica
la siguiente implicación:
∀a ∈ A, (aI = 0 ⇒ a = 0).
Un criterio de inyectividad no evidente es el siguiente: la matriz F es inyectiva
si y sólo si el ideal determinantal de orden n, denotado por Dn (F ), es fiel.
La implicación difícil es (∗) «F inyectiva ⇒ Dn (F ) fiel».
Si el anillo es reducido (es decir, el único nilpotente es el 0), una demostración
típica de esta implicación en matemáticas clásicas podría ser la siguiente. Se supone
por reducción al absurdo que F es inyectiva y sea x 6= 0 tal que xDn (F ) = 0. Puesto
que x no es nulo, existe3 un ideal primo minimal p tal que x ∈
/ p. El anillo Ap
2 Métodos constructivos más conceptuales y más próximos a la demostración abstracta de Bourbaki se pueden encontrar en [22, capítulos V, X y XV].
3 Por el lema de Zorn y el principio del tercero excluido.
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La Columna de Matemática Computacional
(A localizado en p) es un cuerpo ya que es local, cero-dimensional (porque p es
minimal) y reducido. La matriz es de rango n porque sigue siendo inyectiva. Entonces
uno de sus menores de orden n, denotado por µ, es invertible en Ap , i.e., µ ∈ A\ p.
Sin embargo xµ = 0 y, por lo tanto, x ∈ p, lo que nos lleva a una contradicción.
A continuación, se presenta una demostración constructiva que utiliza localizaciones elementales, obtenidas invirtiendo elementos del anillo proporcionados por la
misma matriz, sin necesidad de suponer que el anillo sea reducido.
Introduzcamos primero la noción de elementos «corregulares» de un anillo.
Sean s1 , . . . , sn elementos de A. Se dice que son «corregulares» si el ideal
hs1 , . . . , sn i es fiel, es decir, si para todo x ∈ A tal que xsi = 0, para todo
i ∈ {1, . . . , n}, entonces x = 0.
Se demuestra fácilmente que un ideal finitamente generado es nulo (o fiel) si y
sólo si es nulo (o fiel) tras localización en elementos corregulares. Igualmente, un
elemento es nulo (o regular) si y sólo si es nulo (o regular) tras localización en
elementos corregulares.
Demostremos entonces la implicación (∗) por inducción en el número de columnas n. Para n = 1 está claro. Veamos el paso de n−1 a n. Obsérvese que las entradas
de la primera columna son elementos corregulares porque la matriz F es inyectiva.
Si el ideal Dn (F ) es fiel tras invertir separadamente estos elementos, habremos demostrado el resultado. Denotemos por a uno de dichos elementos. Al invertir a, o lo
que es lo mismo, en el anillo Aa , la matriz F es equivalente a una matriz del tipo
1
0
0
G
.
Como la matriz G es inyectiva, por hipótesis de inducción el ideal Dn−1 (G) es fiel
en Aa y DAa ,n−1 (G) = DAa ,n (F ).
Si se desarrolla la inducción, se ve que los elementos que intervienen en las localizaciones son productos de menores de la matriz F . Esto es lo que se esconde en
(los complementarios de) los ideales primos minimales de la demostración clásica.
Con más generalidad que el argumento «ad hoc» utilizado en este párrafo, señalemos que en [22, sección XV-7] los autores desarrollan una técnica general, similar
a un «principio local-global» que permite «desencriptar» al Álgebra Constructiva
resultados clásicos de álgebra basados en la existencia de ideales primos minimales.
1.3.
Resoluciones libres
La teoría de resoluciones libres finitas estudia las sucesiones exactas de matrices:
L• :
A
Am−1
A
A
m
2
1
0 → Lm −−→
Lm−1 −−−→ · · · −−→
L1 −−→
L0 , Lk = Apk
(∗∗)
donde Ak es una matriz ∈ Mpk−1 ,pk (A) e Im(Ak ) = ker(Ak−1 ) para k = m, . . . , 1.
Los puntos de interés son las propiedades de las matrices Ak y la estructura del Amódulo M = Coker(A1 ) = L0 / Im(A1 ), del cual la sucesión (∗∗) es una resolución
libre finita.
La Gaceta ? Secciones
299
Un libro de referencia muy bueno en este tema es el libro de Northcott [25].
No obstante, se pueden encontrar en dicha obra numerosas demostraciones muy
abstractas y nada constructivas.
Sin embargo, las resoluciones libres finitas son objetos tan concretos que se podía esperar obtener una versión constructiva de la teoría, sin alejarse demasiado del
libro de Northcott, y en efecto así ha sucedido. En el artículo [9] se introducen las
herramientas necesarias, principalmente definiciones constructivamente aceptables
de las nociones fundamentales de la teoría, que permiten demostrar los teoremas
esenciales del libro citado. El primer paso consistió en la caracterización de las matrices inyectivas, presentada en la sección 1.2. Para más detalle se puede consultar
http://hlombardi.free.fr/publis/ACMC-FFR.
1.4.
Teorema de Quillen-Suslin
El teorema de Quillen-Suslin, conocido también como «Conjetura de Serre», afirma que un módulo proyectivo, finitamente generado sobre un anillo de polinomios
con coeficientes en un cuerpo, es libre ([17]). Esto equivale a decir que toda matriz idempotente de orden n definida en dicho anillo es semejante a una matriz de
proyección canónica Ik,n para cierto k.
La demostración de Quillen muestra su validez para el caso de anillos principales.
Más tarde la extendieron a dominios de Bézout de dimensión ≤ 1 ([2] y [23]) y,
posteriormente ([18]), a todos los dominios de Bézout.
Hay varios algoritmos de Álgebra Computacional para el teorema de QuillenSuslin, véase por ejemplo [12]. Generalmente, dichos algoritmos se basan en la demostración de Suslin y utilizan bases de Gröbner, empleando de manera fundamental
la noetherianidad.
Nos parecía importante saber qué cálculos explícitos se escondían detrás de la
demostración de Quillen y de su teorema de «encolamiento», denominado Quillenpatching en la literatura. Del mismo modo, buscábamos descifrar constructivamente
ciertos lemas «mágicos» de Suslin y algunos argumentos «etéreos» contenidos en las
demostraciones antes mencionadas, sin hipótesis de noetherianidad, para los cuales
no se conocía un algoritmo.
Entender la demostración de Quillen nos condujo a un algoritmo, en el caso de
cuerpos, sin la utilización de la noetherianidad (véase [21]). Más adelante, lo generalizamos al caso de dominios de Bézout de dimensión ≤ 1 y finalmente a todos
los dominios de Bézout. Estos resultados de matemáticas constructivas se pueden
encontrar en [22, capítulo XVI]. Véase también el desciframiento, en términos constructivos, de un lema crucial de Suslin, obtenido por I. Yengui en [30].
1.5.
Positivstellensatz de Krivine-Stengle
El teorema «Positivstellensatz» de Krivine-Stengle [16, 28] afirma lo siguiente:
Teorema. Sea K un cuerpo ordenado y R su clausura real. Sean P=0 , P≥0 , P>0 tres
familias finitas de K[X] = K[X1 , . . . , Xn ]. Definimos M como el monoide generado
300
La Columna de Matemática Computacional
por P>0 , C como el cono de K[X] generado por P>0 ∪ P≥0 ∪ K>0 e I el ideal de
K[X] generado por P=0 . Si el siguiente sistema de condiciones de signo
[u(x) > 0, q(x) ≥ 0, j(x) = 0] con u ∈ P>0 , q ∈ P≥0 , j ∈ P=0
es imposible, entonces se puede construir una identidad algebraica
m + p + i = 0,
con m ∈ M , p ∈ C e i ∈ I.
Este resultado constituye una mejora (o refinamiento) de la solución al problema 17 de Hilbert. Recuérdese que este último consiste en demostrar que todo
polinomio en Q[X1 , . . . , Xn ] que toma valores no negativos en todo Qn es suma de
cuadrados de funciones racionales multiplicadas por números racionales positivos y
fue resuelto afirmativamente por Artin en 1927. Las demostraciones abstractas originales parecen trucos de magia debido a que se afirma la existencia de una identidad
algebraica sin que aparentemente nada en la demostración permita construirla.
Dada una demostración no constructiva del Teorema de los Ceros (Nullstellensatz), si se consiguen encontrar (deducir) cotas de la solución en matemáticas clásicas, la solución explícita se recupera aplicando álgebra lineal. En cambio, la situación
con el teorema Positivstellensatz de Krivine-Stengle es mucho más dramática. Aunque se obtuvieran cotas para los grados y el número de cuadrados, no se reduciría
la búsqueda de la identidad algebraica a un problema de álgebra lineal, sino que
requiere la resolución —sobre determinados cuerpos— de un sistema de ecuaciones
polinomiales.
Sin embargo, una demostración del Positivstellensatz utilizando Álgebra Constructiva no sólo proporciona cotas (al contrario de la demostración clásica), sino un
algoritmo. El artículo [10] presenta esta solución en el marco general de los métodos
dinámicos.
¿Se trata de un algoritmo interesante? Que el lector juzgue. Pero si cree que el
algoritmo carece de interés porque es «muy ineficiente», querrá decir que separa las
matemáticas en dos dominios: las puramente abstractas, por un lado, y las puramente
concretas (las programables), por otro, y que no muestra interés por el dominio de
las matemáticas algorítmicas «a secas». Sin embargo, consideramos que un algoritmo
«ineficiente» es mucho mejor que no tener algoritmo o que un algoritmo sin «límites
explícitos».
Para finalizar, nos gustaría mencionar el artículo [11], donde se expone una mejora (refinamiento) notable de la solución del problema 17 de Hilbert. Además, en [10]
se presenta la adaptación del Positivstellensatz efectivo (para el caso de cuerpos
reales cerrados) al caso de cuerpos valorados algebraicamente cerrados, no conocida
hasta la fecha.
2.
Nuevos métodos
Los trabajos [7] y [19] presentan de forma resumida nuevos métodos de Álgebra
Constructiva que son desarrollados en el libro [22]. La idea general subyacente es
La Gaceta ? Secciones
301
que el Programa de Hilbert para álgebra abstracta es totalmente realizable, como
queda expuesto a continuación.
Los objetos ideales del álgebra abstracta, inaccesibles desde un punto de vista
constructivo, deben ser remplazados por especificaciones incompletas. Así, las demostraciones abstractas que utilizan dichos objetos ideales pueden ser releídas como
demostraciones concretas que utilizan sus especificaciones incompletas.
Por el momento, la posibilidad de realizar el programa de Hilbert en álgebra siguiendo esta idea es un hecho puramente experimental, pero que recibe regularmente
nuevas confirmaciones. Esto se muestra de diferentes maneras según el contexto.
Por ejemplo, en vez de considerar el espectro de Zariski de un anillo, se considera
el retículo de sus abiertos casi-compactos, que es un objeto «concreto» al identificarse
con el conjunto de radicales de ideales finitamente generados.
De manera general, los espacios espectrales pueden considerarse como espacios
duales de retículos distributivos4 (cf. el artículo pionero de Stone [29], [6], [7] y [22,
sección XIII-1]). No es por azar que los espacios espectrales «interesantes» (los que
permiten obtener bonitos teoremas concretos) sean los espacios duales de retículos
distributivos concretos que se describen constructivamente de manera bastante sencilla. Sin embargo, como regla general, no se tiene acceso constructivo a los puntos de
dichos espacios espectrales: para «ver los puntos» haría falta el principio del tercero
excluido y el lema de Zorn.
Igualmente se puede entender en términos de espacios espectrales la utilización
constructiva de la teoría de modelos tal y como aparece en [10] (véanse también
[7, 19]). En una teoría formal geométrica de primer orden, un «hecho» viene dado
por un predicado cuyos argumentos son términos construidos a partir de constantes
y símbolos de función. Un contexto viene dado por un conjunto de hechos. El retículo
distributivo asociado a un contexto dado está formado por todos los hechos (se les ve
intuitivamente como «susceptibles de ser demostrados en un contexto más preciso»)
y la relación de orden viene definida por las implicaciones demostrables entre hechos.
Finalmente, los puntos de espacios espectrales duales son los modelos de estas teorías
formales para un contexto concreto.
3.
Simplificar demostraciones
Simplificar demostraciones es uno de los objetivos del Álgebra Constructiva. Esta
simplificación hace que la mayoría de los resultados básicos presentados en [24] sean
obtenidos de manera más elegante y bajo hipótesis más débiles que en otros textos
de la misma naturaleza.
4 El espacio espectral dual de un retículo distributivo T es el conjunto de morfismos ϕ : T →
{0, 1} (donde 0 < 1) teniendo como base de abiertos los Ua = { ϕ | ϕ(a) = 1 }. En lenguaje moderno,
Stone establece en matemáticas clásicas que la categoría de retículos distributivos es antiequivalente
a la categoría de espacios espectrales.
302
3.1.
La Columna de Matemática Computacional
Lema de Gauss
Sea A un dominio con máximo común divisor, f y g polinomios en A[X], y G(f )
y G(g) el máximo común divisor de los coeficientes de f y g respectivamente.
Con estas notaciones, el lema de Gauss (inicialmente demostrado para Z) afirma que G(f g) = G(f )G(g). En [24] encontramos una demostración extremadamente
simple y elegante de este resultado. En [22], este lema (capítulo XI, proposición 3.14)
se presenta como una consecuencia del teorema de Kronecker (utilizado en la demostración) o del lema de Dedekind-Mertens (capítulo XI, ejercicio 5), resultados
fundamentales desaparecidos hoy de los tratados usuales de álgebra.
Uno de los principales corolarios del lema de Gauss es que si A es un dominio
con mcd, entonces A[X] también.
No obstante, en la mayoría de los libros de álgebra actuales, el lema de Gauss se
presenta para dominios de factorización única (DFU) y se aplica en la demostración
del resultado que dice que, si A es DFU, entonces A[X] también.
Sin embargo, obsérvese que el paso de A a A[X] es problemático a la hora de hablar de descomposición en factores irreducibles. El caso más sencillo es aquél donde
A es cuerpo, caso evidente de DFU: al no haber elementos no nulos no invertibles,
¡no hay nada que factorizar! Pero no existe algoritmo general para la descomposición
en factores irreducibles de un polinomio en A[X]. Para obtener tal descomposición
de manera explícita, se necesita un test de irreducibilidad para polinomios que proporcione un factor estricto en caso de respuesta negativa.
3.2.
Seminormalidad
Antes de enunciar el Teorema de Traverso-Swan, se introducen las nociones de
seminormalidad y de grupo de Picard.
Un anillo A se dice seminormal si para cada a y b en A que verifiquen a2 = b3 ,
existe c ∈ A tal que a = c3 y b = c2 .
El grupo de Picard de un anillo conmutativo viene definido por las clases de
isomorfía entre módulos proyectivos de rango 1. Recuérdese que tales módulos son
isomorfos a la imagen de matrices idempotentes de rango 1 (matrices idempotentes
F verificando det(I + XF ) = 1 + X). La ley de grupo viene dada por el producto
tensorial. El inverso de la clase de isomorfía del módulo M = Im(F ) viene dado por
el módulo dual M ? , isomorfo a la imagen de la matriz transpuesta F T .
Así, el Teorema de Traverso-Swan dice lo siguiente.
Teorema de Traverso-Swan. Sea A un anillo reducido, m ≥ 1 y A[X] =
A[X1 , . . . , Xm ]. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. El homomorfismo natural de Pic(A) en Pic(A[X]) es un isomorfismo.
2. Para toda matriz idempotente M = mij (X) 1≤i,j≤n ∈ Mn (A[X]) tal que
M (0) = I1,n , existen f1 , . . . , fn , g1 , . . . , gn ∈ A[X] tales que mij = fi gj para
todo i, j.
3. A es seminormal.
La Gaceta ? Secciones
303
Cada propiedad es de naturaleza elemental. La equivalencia 1. ⇔ 2. y la implicación 1. ⇒ 3. son relativamente sencillas y de naturaleza constructiva inmediata;
sin embargo, la implicación 3. ⇒ 2. no tenía demostración constructiva hasta muy
recientemente.
La demostración de Traverso trata el caso de un dominio noetheriano (con una
restricción técnica) y sin duda se puede «constructivizar» para el caso de un anillo «plenamente Lasker-Noether» en el sentido de [24] (todo anillo noetheriano es
plenamente Lasker-Noether en matemáticas clásicas).
La demostración de Swan, que generaliza el resultado de Traverso, es muy abstracta y sin algoritmo visible que la concretice.
Por otro lado, al estudiar demostraciones sencillas para casos particulares en la
literatura, se observa que la demostración para el caso de un anillo íntegramente
cerrado es casi constructiva.
Así, a partir de una demostración constructiva para el caso íntegramente cerrado,
el paso al caso de un dominio seminormal, o incluso al caso de un anillo seminormal,
se puede hacer gracias a la comprensión de lo que significa (en términos de cálculo)
el siguiente argumento válido en matemáticas clásicas: ver qué ocurre después de
la localización en un ideal primo minimal arbitrario. Este trabajo es el objetivo del
artículo [5] y está explicado con detalle en [22, sección XVI-2].
Éste es un ejemplo de un resultado clásico que no tenía algoritmo, cuya demostración, descubierta por métodos de Álgebra Constructiva, no sólo proporciona un
algoritmo, sino que es más sencilla y fácil de entender que las demostraciones en la
literatura no constructiva.
El lector se puede preguntar: «¿Qué significa exactamente un algoritmo que realice 3. ⇒ 2.?». Su significado es lo siguiente: utilizando construcciones coherentes con
el hecho de que A sea seminormal, dada una matriz idempotente M = M (X) con
M (0) = I1,n , se consiguen construir los polinomios fi y gi ∈ A[X].
De hecho, se obtiene la siguiente construcción general. Cuando A es reducido,
no necesariamente seminormal, se construye un anillo A• cero-dimensional reducido
que contiene a A, y se calculan
elementos c1 , . . . , cr de A• tales que
•
•
•
•
•
c21 y
c22 y
c23 y
...,
c2r y
c31 ∈ A,
c32 ∈ A[c1 ],
c33 ∈ A[c1 , c2 ],
c3r ∈ A[c1 , . . . , cr−1 ],
y polinomios fi y gi ∈ A[c1 , . . . , cr ][X]
tales que fi gj = mij para todo i, j. Si A es seminormal, los ci están en A y el anillo
A• deja de intervenir en el proceso.
Nos gustaría añadir que numerosos matemáticos tienen una preferencia natural
por las demostraciones simples y explícitas. El trabajo aquí descrito para el teorema
de Traverso-Swan se puede realizar para otros teoremas de álgebra por matemáticos
que no se identifican con ninguna filosofía en particular.
304
La Columna de Matemática Computacional
En este ejemplo, dada la naturaleza de la hipótesis y de la conclusión del teorema de Traverso-Swan, un matemático «constructivo», al no creer que el axioma de
elección y el principio del tercero excluido hagan milagros, está a priori «seguro» de
poder vencer el desafío, pudiendo obtener una demostración constructiva. La sorpresa en este caso es que la demostración es bastante simple, lo que no era previsible
en absoluto.
4.
Encontrar definiciones aceptables
Un objetivo importante del Álgebra Constructiva es dar definiciones aceptables
para algunos conceptos del álgebra clásica que necesitan aparentemente el principio
del tercero excluido y el Lema de Zorn. Una vez que disponemos de las definiciones
justas, podemos comenzar a pensar en desarrollar algoritmos para los teoremas que
utilizan estas definiciones.
Un caso típico es la definición de dimensión de Krull, que interviene en las hipótesis de teoremas importantes como: el teorema de Kronecker5 , el teorema del rango
estable de Bass6 , el llamado Splitting off de Serre [27] y el teorema de Forster7 [13].
Otro concepto de dimensión, que aparece en ciertas variantes de estos teoremas,
es el de dimensión del espectro maximal.
Veamos para empezar lo referente a la dimensión de Krull. Una definición constructivamente aceptable de ésta8 se explica en [22, capítulo XIII]) y se presenta como
sigue.
√
Denotemos por DA (I) = A I el radical del ideal I en el anillo A, y Ix el ideal
generado por x y por los y tales que xy es nilpotente, i.e., xy ∈ DA (0).
Los ideales DA (I) para ideales I finitamente generados forman lo que se llama el
retículo distributivo de Zariski del anillo A. Es un retículo distributivo cuyo espacio
dual es el famoso espectro de Zariski Spec(A).
Teorema sobre la dimensión de Krull (Un anillo conmutativo tiene dimensión
de Krull −1 si y sólo si es trivial). Sea ` un entero ≥ 0 y A un anillo conmutativo.
Las propiedades siguientes son equivalentes:
1. La dimensión de Krull de A es ≤ `.
5 Si la dimensión de Krull de A es < n, todo ideal finitamente generado tiene el mismo radical
que un ideal generado como mucho por n elementos.
6 Sea R un anillo y llamemos str(R) al menor n tal que, para todo m ≥ n y cada secuencia
unimodular (a1 , . . . , am ) en R, existen r1 , . . . , rm−1 en R tales que la secuencia (a01 , . . . , a0m−1 )
con a0i = ai + am ri , i = 1, . . . , m − 1, es también unimodular. Entonces, si R tiene dimensión de
Krull < n, str(R) < n. Este teorema fue demostrado inicialmente para R noetheriano por Bass, y
generalizado por Heitman para el caso no noetheriano.
7 Si R es un anillo noetheriano, M un R-módulo finitamente generado y µ (M ) el menor núR
mero de generadores de M , entonces µR (M ) ≤ máx{µ(R, P) : P ∈ Spec(R)} + Kdim(R), donde
µ(R, P) = µRP (MP ).
8 Consideramos que una definición es constructivamente aceptable si: es de naturaleza elemental,
se puede demostrar constructivamente que los ejemplos más importantes y usados (del correspondiente concepto en matemáticas clásicas) la satisfacen, y es equivalente en matemáticas clásicas a
la definición usual.
305
La Gaceta ? Secciones
2. Para cualesquiera x0 , . . . , x` ∈ A, existen b0 , . . . , b` ∈ A tales que

DA (b0 x0 ) = DA (0)




DA (b1 x1 ) ≤ DA (b0 , x0 )


..
..
..
.
.
.


DA (b` x` ) ≤ DA (b`−1 , x`−1 ) 



DA (1) = DA (b` , x` )
(1)
3. Para cualesquiera x0 , . . . , x` ∈ A, existen a0 , . . . , a` ∈ A y m0 , . . . , m` ∈ N
tales que
m`
m1
0
xm
0 (x1 · · · (x` (1 + a` x` ) + · · · + a1 x1 ) + a0 x0 ) = 0.
4. Para todo x ∈ A, el anillo cociente A/Ix tiene dimensión de Krull ≤ ` − 1.
Por ejemplo, para dimensión ≤ 2, el ítem 2. corresponde al esquema del siguiente dibujo en el retículo de Zariski de A; nótese que DA (xy) = DA (x) ∨ DA (y) y
DA (x, y) = DA (x) ∧ DA (y):
1
DA (x2 )
DA (b2 )
•
•
DA (x1 )
DA (b1 )
•
•
DA (x0 )
DA (b0 )
0
La equivalencia 1. ⇔ 4. es bastante fácil de demostrar en matemáticas clásicas.
Los puntos 2., 3. y 4. tienen un claro significado constructivo sin recurrir a considerar
ideales primos. Por último la equivalencia de 2., 3., 4. es constructiva.
El teorema anterior es en sí mismo interesante para las matemáticas clásicas y
podría muy bien haber sido obtenido sin preocupaciones constructivas; pero tales
preocupaciones han facilitado su descubrimiento.
En lo relativo a la dimensión del espectro maximal, Heitmann [15] señaló que
ésta intervenía en la literatura únicamente en el caso noetheriano. Así, propuso
reemplazarla en el caso general por la dimensión del espacio espectral Jspec(A):
el menor subespacio espectral de Spec(A) que contiene al espectro maximal. Es
decir, Jspec(A) es la adherencia del espectro maximal para la topología constructible
en Spec(A), dotada de la topología inducida por Spec(A). Denotemos Jdim(A) la
dimensión del espacio espectral definido por Heitmann. Del mismo modo que la
dimensión de Krull es la dimensión del retículo distributivo formado por los radicales
de los ideales finitamente generados, se puede demostrar que la Jdim es la dimensión
306
La Columna de Matemática Computacional
del retículo distributivo formado por los radicales de Jacobson de ideales finitamente
generados9 . Esto permite dar una definición constructiblemente aceptable de Jdim
([22, sección XIV-2]).
Todavía mejor, se puede introducir una nueva noción de dimensión llamada dimensión de Heitmann que denotamos Hdim(A) que «mejora» la Jdim, es a priori
inferior a ésta y más fácil de manipular en las demostraciones ([22, sección XIV-2]).
La Hdim se define por recurrencia, copiando la definición de dimensión de Krull vía
el punto 4. que mencionamos antes.
Definición. Se define Hdim(A) por recurrencia como sigue.
Hdim(A) = −1 si y solamente si A es trivial.
Para ` ≥ 0, Hdim(A) ≤ ` si y solamente si, para todo x ∈ A, Hdim(A/Jx ) ≤
` − 1, donde Jx es el ideal generado por x y por los y tales que xy ∈ JA (0)
(i.e., ∀z ∈ A, 1 + xyz es invertible).
En el trabajo [8] se demuestran para la dimensión de Krull, con variantes para
la dimensión de Heitmann, los siguientes resultados: el teorema de Kronecker, el
teorema del rango estable de Bass, el Splitting off de Serre, el teorema de ForsterSwan y el teorema de simplificación de Bass (un estudio detallado de todo ello figura
en [22, capítulo XIV]).
Para ninguno de estos teoremas se conocía anteriormente una demostración constructiva. ¿No sería porque no se disponía de una definición constructiblemente aceptable de de la dimensión de Krull?
La dimensión de Heitmann ha sido elaborada gracias al punto de vista constructivo. Más aún, a partir de aquí, ciertas cuestiones abiertas sobre la Jdim planteadas
por Heitmann en su relevante artículo de 1984 (relevante porque se libera de toda
hipótesis de noetherianidad) se han demostrado para la Hdim y, por consiguiente,
para la Jdim.
En particular, en [8] se han conseguido demostrar por primera vez sin hipótesis de
noetherianidad el teorema de Forster-Swan y el Splitting off de Serre para la Jdim.
5.
Mejorar los resultados. . .
. . . no haciéndolos depender más que de las hipótesis verdaderamente necesarias.
Éste es el caso ya comentado del Teorema de Foster-Swan y del llamado Splitting off
de Serre para la Jdim donde hemos prescindido de la hipótesis de noetherianidad.
5.1.
La Teoría de anillos de Dedekind
La teoría usual de anillos de Dedekind10 se centra en la descomposición de ideales
como producto de ideales primos. Una forma constructiva de esta teoría la encon9 En matemáticas clásicas, el radical de Jacobson J (I) de un ideal I se define como la interA
sección de los ideales maximales que contienen a I. Una definición «constructiblemente aceptable»
es JA (I) := {x ∈ A | ∀y ∈ A, 1 + xy ∈ (A/I)× }. El radical de Jacobson de A es el ideal JA (0).
10 Para nosotros, un anillo de Dedekind es un anillo de Prüfer, coherente, noetheriano (anillo
hereditario en la literatura) y con la propiedad constructiva adicional de ser fuertemente discreto
La Gaceta ? Secciones
307
tramos en [24, capítulo XIII] donde se demuestra el teorema fundamental de la estabilidad por extensiones enteras separables bajo ciertas hipótesis constructivamente
restrictivas pero que se satisfacen siempre en matemáticas clásicas, del estilo: «se
sabe descomponer ciertos polinomios11 en factores primos».
Esta teoría es interesante por dos razones. Por una parte, nos descubre lo que
se esconde en el teorema correspondiente de matemáticas clásicas, a saber, hipótesis
sobre la descomposición en factores primos en anillos de polinomios sobre ciertos
cuerpos. Por otra parte, la teoría se puede aplicar a la mayor parte de los casos
usuales, como por ejemplo al de los anillos de enteros de cuerpos de números.
Sin embargo, la teoría es incompleta al menos en dos aspectos. El primero es
que las propiedades esenciales de los anillos de Dedekind deberían preservarse por
extensiones enteras separables, sin hipótesis restrictivas. El segundo es que, incluso
cuando las hipótesis de [24] se satisfacen, es notorio que la puesta en práctica, no
solamente de la factorización completa de ideales en ideales primos, sino de objetivos más simples, se topa con un obstáculo considerable: la dificultad de construir
un sistema de generadores finito para la estructura de A-módulo de una extensión
entera separable íntegramente cerrada B de A. En efecto, para llevar a cabo esta
construcción se necesita factorizar el discriminante de la extensión en A. Lenstra y
Buchmann ([4], en 1994) han señalado este problema en el ámbito de la teoría de
números y proponen desarrollar algoritmos que, sin calcular previamente una Z-base
del anillo de enteros, permitan realizar algunos cálculos en dicho anillo. Actualmente todos los algoritmos implementados en los sistemas de Álgebra Computacional,
incluso en los especializados en Teoría de Números como Magma o Pari, «tiran la
toalla» cuando el discriminante del cuerpo de números es un entero que no consiguen
factorizar. Sin embargo, hay ciertos cálculos posibles en dichos anillos sin necesidad
de conocer una base de enteros y que en ocasiones pueden permitir llegar a obtener
dicha base; por ejemplo, invertir un ideal finitamente generado.
Dedekind estimaba que el teorema fundamental sobre anillos de enteros de cuerpos de números era el hecho de que, para todo ideal finitamente generado I y a ∈ I,
existe otro ideal finitamente generado J tal que IJ = hai. En términos modernos
significa que la propiedad más importante de un anillo de Dedekind es la de ser un
anillo aritmético.
El teorema que afirma que una extensión entera íntegramente cerrada de un dominio de Prüfer es un dominio de Prüfer se conoce desde hace mucho tiempo, y su
demostración, que es constructiva, se encuentra en los ejercicios del Bourbaki. Sin
embargo dicho teorema no figura en los manuales usuales de álgebra. De esta forma,
los estudiantes se ven obligados a estudiar la teoría de dominios de Dedekind sin
aprender jamás a invertir un ideal finitamente generado; lo que era, sin embargo,
(que equivale a «divisibilidad explícita»). Un anillo de Prüfer es un anillo aritmético y reducido,
lo que equivale a que sus ideales finitamente generados son planos. Un dominio de Prüfer es coherente. Así, un dominio de Dedekind es un dominio de Prüfer noetheriano, como en matemáticas
clásicas, con la propiedad adicional de ser fuertemente discreto. Pero esto no implica que sepamos
descomponer todo ideal finitamente generado y fiel en producto de ideales primos. Finalmente, un
anillo A es aritmético si ∀x1 , x2 ∈ A, ∃u, v, w ∈ A, ux2 = vx1 y wx2 = (1 − u)x1 , es decir, el ideal
hx1 , x2 i, es localmente principal.
11 En K[X] donde K es un cuerpo residual del anillo de partida.
308
La Columna de Matemática Computacional
la propiedad esencial a los ojos de Dedekind. Cabría preguntarse cuántos profesores universitarios conocen este algoritmo, sobre el cual concentraron sus esfuerzos
Kronecker y Dedekind cuando desarrollaron la Teoría de Números.
Ignoramos si se conocía una demostración constructiva del mismo hecho para
anillos aritméticos no íntegros.
En la tesis doctoral de Maimouna Salou (Universidad de Franche-Comté, Besançon, 2002) se desarrolla una teoría satisfactoria desde la perspectiva de las objeciones
precedentes y en el marco del Álgebra Constructiva. Esta teoría se recoge en nuestro
libro [22, capítulo XII], y en ella se obtienen de forma algorítmica los siguientes
resultados:
Un anillo íntegramente cerrado, coherente y de dimensión ≤ 1 es un anillo
aritmético. Se obtiene también una versión generalizada para un anillo normal
coherente.
El teorema un et demi 12 para ideales invertibles de un anillo de dimensión ≤ 1.
Se obtiene también una generalización para anillos normales coherentes.
Un teorema de factorización parcial para familias finitas de ideales finitamente
generados de un anillo de Dedekind.
Varios resultados de estabilidad para las extensiones enteras: el caso de anillos
aritméticos reducidos (eventualmente de dim ≤ 1), el de anillos aritméticos
reducidos coherentes (eventualmente de dim ≤ 1), y finalmente el relativo a
anillos de Dedekind para extensiones separables.
Todo anillo aritmético, reducido, coherente y noetheriano es de dimensión ≤ 1.
En el caso de anillo aritmético, «reducido y coherente» equivale al hecho de que
todo elemento tiene por anulador un ideal generado por un idempotente. Por
otra parte, aritmético, reducido y coherente es equivalente a «semihereditario»,
es decir, todo ideal finitamente generado es un módulo proyectivo.
5.2.
Clausura algebraica de un cuerpo
Un tratamiento constructivo de la noción de clausura algebraica de un cuerpo
fue introducido en el ámbito del Álgebra Computacional por Jean Della Dora, Claire
Dicrescenzo y Dominque Duval en 1995, con el nombre de Sistema D5. Se trata de
un avance notable que ha inaugurado el desarrollo de nuevos métodos en Álgebra
Constructiva.
A pesar de ser un hecho conocido que, por lo general, no se puede construir la
clausura algebraica de un cuerpo, el programa D5 «realiza el Programa de Hilbert
para la clausura algebraica». D5 muestra cómo puede reemplazarse la clausura algebraica usual (constructivamente inaccesible) por un objeto dinámico perfectamente
bien definido, desde un punto de vista constructivo, que nos permite entender «los
cálculos que se esconden en la clausura algebraica usual». Este método dinámico
12 En un dominio de Prüfer de dimensión ≤ 1, si I es un ideal finitamente generado y x 6= 0 un
elemento de I, entonces existe y ∈ I tal que I = hx, yi.
La Gaceta ? Secciones
309
permite a menudo gestionar la ausencia del tercero excluido en matemáticas constructivas, y puede ser considerado como una «explotación racional» de la idea de
evaluación perezosa en informática.
La versión dinámica y constructiva de la teoría de Galois de un polinomio separable, válida en un cuerpo aunque éste no posea un algoritmo de factorización de
polinomios, está contenida en [22, capítulo VII]. Ihsen Yengui la ha aplicado en Álgebra Computacional para realizar ciertos cálculos con bases de Gröbner (véase [14],
por ejemplo).
6.
El problema de la noetherianidad
La noetherianidad está omnipresente en Álgebra Conmutativa clásica. Consideramos que esta cuestión no está completamente dilucidada desde el punto de vista
constructivo, es decir, hay varias definiciones constructiblemente aceptables, equivalentes todas ellas en matemáticas clásicas pero que no lo son en matemáticas constructivas. En todo caso, la definición propuesta por Richman y Seidenberg (toda
sucesión creciente de ideales finitamente generados posee dos términos consecutivos
iguales) permite recuperar numerosos resultados clásicos sobre el tema.
6.1.
Teorema de la Base de Noether y descomposición primaria de
Lasker-Noether
Richman y Seidenberg han dado dos versiones constructivas del Teorema de la
Base de Noether: Si A es un anillo noetheriano, A[X] también lo es. La versión de
Richman es la siguiente: Si A es noetheriano, coherente y fuertemente discreto entonces A[X] también lo es. La versión de Seidenberg suprime «fuertemente discreto»
en la hipótesis y en la conclusión. Ambas versiones implican la versión de Noether
en matemáticas clásicas de manera obvia.
Señalemos que este teorema ha sido redescubierto por investigadores de Álgebra
Computacional y aparece por ejemplo en el libro de Adams-Loustaunau [1] en el
lenguaje de «bases de Gröbner». Naturalmente, los autores no se han dado cuenta
de estar redemostrando el teorema de Richman, por la sencilla razón de que posiblemente no hayan leído el libro [24], ni los artículos de Richman y Seidenberg (1974).
Por otra parte, no es difícil presentar el teorema de Richman bajo la «vestimenta»
de bases de Gröbner, y como tal ser bien aceptado por la comunidad de Álgebra
Computacional13 .
Para la descomposición primaria de Lasker-Noether sucede exactamente lo mismo
que para el teorema de la Base de Noether: su versión constructiva está explícita en
la obra de Seidenberg (bajo ciertas hipótesis que hay que precisar y que se verifican
13 A este respecto, los matemáticos constructivos nos recuerdan a los matemáticos rusos de hace
40 años que, a menudo, «habían demostrado ya un teorema», el cual, debido a estar publicado en
ruso y a que las traducciones se hacían y difundían muy lentamente, no había llegado a los oídos
de sus colegas occidentales. Los matemáticos constructivos, sin embargo, escriben en inglés y en
francés, pero, como en el caso de los matemáticos rusos de antaño, raramente se reconocen sus
resultados cuando estos son redescubiertos por sus colegas de Álgebra Computacional.
310
La Columna de Matemática Computacional
en matemáticas clásicas) y una exposición muy clara la encontramos en la sección
VIII-8 del libro [24] dedicado a los llamados «fully Lasker Noether ring».
6.2.
El algoritmo de Buchberger
La terminación del algoritmo de Buchberger para el cálculo de bases de Gröbner
se demuestra usualmente de manera no constructiva; por consiguiente, la demostración no proporciona cota alguna sobre los grados de los polinomios involucrados.
El «folklore» dice que las cotas sobre estos grados son doblemente exponenciales en
relación a los grados de las entradas. Sin embargo, esto sólo es claro en el caso de
polinomios homogéneos (y para órdenes compatibles con el grado). Por lo general,
es posible modificar el algoritmo para reducirse al caso de ideales homogéneos.
Una demostración constructiva del algoritmo, que es una adaptación del método
de Richman a la situación de Buchberger, se encuentra en [20]. Por ser constructiva,
esta demostración proporciona ipso facto una cota. Es una cota muy grosera, ya que
tanto la demostración constructiva como la demostración clásica se basan en el lema
de Dickson, que tiene una complejidad de «tipo Ackerman».
Pero, entonces, ¿qué interés tiene esto? Al menos, el de saber a ciencia cierta lo
que se esconde en las demostraciones clásicas usuales del algoritmo en cuestión: cotas
de «tipo Ackerman». Cosa que no sabíamos antes de haber hecho una demostración
constructiva.
Conclusión
Comenzamos este artículo afirmando que el Álgebra Constructiva tiene como
primera finalidad dar una versión completamente certificada de los resultados de
álgebra «usual».
Los resultados obtenidos hasta hoy por esta vía muestran que el álgebra abstracta clásica es probablemente susceptible de un tratamiento sistemático al estilo
del Programa de Hilbert, reemplazando las exigencias finitistas de Hilbert (demasiado restrictivas como lo muestran los teoremas de Incompletitud de Gödel) por
exigencias de naturaleza constructiva.
En realidad, muchos de los conceptos centrales en Álgebra Conmutativa moderna, que parecerían situarse irremediablemente en un marco no constructivo, como
el espectro de Zariski, o el cuerpo de raíces de un polinomio, se han mostrado susceptibles de un tratamiento constructivo relativamente simple, llegando en ocasiones
a clarificar aspectos de las demostraciones clásicas que, para ser honestos, parecían
auténticos trucos de magia.
Agradecimientos
Agradecemos sinceramente a las profesoras María Emilia Alonso García (Universidad Complutense de Madrid) y Gema M.a Díaz Toca (Universidad de Murcia) por
su dedicada labor como traductoras (tal vez sería mejor decir «versionadoras») de
La Gaceta ? Secciones
311
este artículo al español, y al profesor Laureano González Vega (Universidad de Cantabria) por su colaboración mediante la lectura cuidadosa de versiones preliminares
del mismo.
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Página web: http://hlombardi.free.fr