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Tema 1: Matrices. Matemáticas I.
Profesor: Miguel Ángel Hernández Lorenzo
BLOQUE DE ÁLGEBRA.
TEMA 1. MATRICES.
Concepto de Matriz:
Se llama matriz de dimensión mxn a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n
columnas de la siguiente forma:

a 11 a12 a 13
a
a 22 a 23
A= 21
...
... ...
a m1 a m2 a m3
... a 1n
... a 2n
... ...
... a mn
La matriz A se puede escribir también en la forma

A= aij  donde
,3 ,... , m
{i=1,2
j=1,2 ,3 , ... , n
El primer subíndice i indica la fila donde se encuentra el elemento y el segundo subíndice j la
columna.
Al conjunto de matrices de dimensión mxn lo escribiremos
M mxn .
Matriz cuadrada:
En el caso en el que una matriz tenga el mismo número de filas que de columnas n, la llamaremos
matriz cuadrada de orden n. El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n lo escribiremos
Mn .
En una matriz cuadrada definimos:
– diagonal principal: la formada por los elementos de la forma a ii .
– diagonal secundaria: la formada por los elementos de la forma a ij donde i j=n1 .
Por ejemplo, en una matriz cuadrada de orden 3:

a 11 a 12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a33
diagonal
principal

diagonal
secundaria
1
Tema 1: Matrices. Matemáticas I.
Profesor: Miguel Ángel Hernández Lorenzo
Tipos de Matrices:
•
Matriz Rectangular: Matriz con distinto número de filas que de columnas.
•
Matriz Fila: Matriz con una sola fila (dimensión 1xn).
•
Matriz Columna: Matriz con una sola columna (dimensión mx1).
•
Matriz Nula: Matriz con todos sus elementos nulos. Se denota O.
•
Matriz Triangular Superior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son todos ceros.
•
Matriz Triangular Inferior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por
encima de la diagonal principal son todos ceros.
•
Matriz Diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal
principal son ceros.
•
Matriz Escalar: Matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son
iguales.
•
Matriz Unidad o Matriz Identidad: Matriz escalar en la que todos los elementos de la
diagonal principal son 1. Se escribe I.
Operaciones con matrices:
•
Suma de Matrices: Dadas las matrices A= aij  y B= bij  de la misma dimensión
mxn, la suma de A y B es la matriz de dimensión mxn dada por:
A B= a ij  bij = a ij b ij 
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
Asociativa: A  BC  = AB  C .
Elemento Neutro: AO=OA= A (O es la matriz nula).
Elemento Opuesto: A −A  =− A  A=O .
Conmutativa: A B=B A .
•
Producto por un escalar (por un número real): Para k ∈ℝ y A= aij  una matriz de
dimensión mxn, el producto del número real por la matriz es una nueva matriz de dimensión
mxn dada por:
k · A=k ·  aij = k · aij 
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Tema 1: Matrices. Matemáticas I.
Profesor: Miguel Ángel Hernández Lorenzo
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
•
k ·  A B  =k · Ak · B .
 k k '  · A=k · Ak ' · A .
k ·  k ' · A  = k · k '  · A .
1· A=A .
Producto de matrices: Para dos matrices A= aij  de dimensión mxn y B= bij  de
dimensión nxp, el producto de las matrices A y B, es una matriz de dimensión mxp dada por:
n
A · B= a ij  ·  b jk = c ik  con c ik =∑ aij · b ji
j =1
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
Asociativa: A ·  B · C = A· B  · C .
Elemento Neutro: I · A= A· I =A (I es la matriz identidad).
Distributiva respecto a la suma: A ·  BC  =A· BA ·C .
En general, el producto de matrices es NO CONMUTATIVO.
Matriz traspuesta:
Se llama matriz traspuesta de una matriz A de dimensión mxn, a una matriz de dimensión nxm que
se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas (o las columnas por las filas). Se denota At .
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
t
 At  =A
.
t
 AB  =At Bt .
 k · A  t=k · At , k ∈ℝ .
 A· B  t= Bt · At .
Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada A que coincide con su traspuesta:
t
A =A .
Matriz antisimétrica ( o hemisimétrica): Es una matriz cuadrada A que coincide con la opuesta de
su traspuesta: A=−At .
Matriz Inversa:
La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz
−1
A−1 de orden n que verifica:
−1
A · A =A · A=I
Las matrices que tienen inversa se llaman matrices regulares y las matrices que no tienen inversa
se llaman singulares.
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Tema 1: Matrices. Matemáticas I.
Profesor: Miguel Ángel Hernández Lorenzo
Operaciones elementales por filas en una matriz:
•
•
•
Intercambiar las filas i y j: F i ↔ F j .
Multiplicar la fila i por un número k ≠0 y sustituirla por el resultado: F i  k · F i .
Sumar las filas i y j, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i:
F i  k · F i t · F j .
Rango de una matriz:
•
En una matriz, una fila
F t si se verifica:
F i no nula depende linealmente de las filas
F i=x 1 · F j x 2 · F k ...x n · F n con
(También se puede decir que
Fj ,
Fk , … ,
x 1 , x 2 ,... , x n ∈ℝ .
F i es combinación lineal del resto de las filas).
Fj ,
•
En una matriz, una fila F i no nula es linealmente independiente de las filas
F k , … , F t si no se puede escribir en la forma anterior.
•
El rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas no nulas y
linealmente independientes que tiene esa matriz.
Para calcular el rango de una matriz utilizaremos el llamado método de Gauss, consistente en
transforma la matriz en una matriz triangular superior, usando las operaciones elementales por filas,
ya que dejan invariante el rango de la matriz resultante. Las filas que dependen linealmente de otras
se reducen a filas nulas mediante esas transformaciones (de forma similar, se podría hacer mediante
operaciones elementales por columnas).
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