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Repaso Programación Lineal
Modelo Giepetto
Variables de Decisión
Función Objetivo
x1 = número de soldados producidos cada semana
x2 = número de trenes producidos cada semana
Maximize z = 3x1 + 2x2
Restricciones:
1 En cada semana se dispone de un máximo de 100 hrs para terminado
2 x1 + x2 ≤ 100
2 En cada semana se dispone de a lo más 80 horas de carpintería
x1
+ x2 ≤ 80
3 A lo más se deben producir 40 soldados.
x1
≤ 40
Un conjunto de puntos S es un conjunto convexo si el segmento que une cualquier par de
puntos en S está contenido totalmente en S.
Para cualquier conjunto convexo S, un punto p en S es un punto extremo si cada
segmento que está completamente en S que contiene el punto P tiene P como punto final
del segmento
Considere las figuras (a) – (d):
A
E
B
A
B
B
A
D
C
(a)
(b)
(c)
(d)
Max z = 3x1 + 2x2
(función objetivo)
Sujeto a (s.a.):
2 x1 + x2 ≤ 100 (terminado)
x1
+ x2 ≤ 80
x1
≤ 40
x2
≥0
(máx demanda de soldados)
(positivo)
X2
100
≥0
x1
(carpintería)
B
(positivo)
finishing constraint
Feasible Region
80
D
demand constraint
60
G
z = 100
40
carpentry constraint
20
F
z = 180
z = 60
H
E
10
20
40
A
50
60
C
80 X1
Se tiene que:
La región factible para cualquier problema de PL será un
conjunto convexo.
La región factible para cualquier problema de PL tiene sólo un
número finito de puntos extremos.
Cualquier problema de PL que tiene una solución óptima tiene
un punto extremo que es óptimo.
Infinitas soluciones
60
B
50
max z = 3x1 + 2x2
X2
D
Feasible Region
40
1
1
60
1
50
E
z = 100
⋅ x2 ≤ 1
z = 120
10
x1 , x2 ≥ 0
⋅ x2 ≤ 1
20
50
⋅ x1 +
1
30
40
⋅ x1 +
F
z = 60
A
10
20
30
40
C
50
X1
Sin solución
X2
60
No Feasible Region
50
x1 >= 0
max z = 3x1 + 2x2
40
50
⋅ x1 +
1
60
1
50
⋅ x2 ≤ 1
⋅ x2 ≤ 1
20
x 1 ≥ 30
x2 >=0
30
1
⋅ x1 +
40
s.a.
1
x 2 ≥ 20
No existe región factible
10
x1 , x2 ≥ 0
10
20
30
40
50
X1
No acotado, con soluciones factibles
X2
Feasible Region
6 D
5
B
z=4
4
max z = 2x1 – x2
s.t.
3
x1 – x2 ≤ 1
2x1 +x2 ≥ 6
2
x1, x2 ≥ 0
z=6
1
C
A
1
2
3
4
5
6 X1
Forma Standard Problema de Programación Lineal: Método Simplex
Min Z = CT X
s.a.
Min(-z) = -3x1 - 2x2
Ax = b
x≥0
(función objetivo)
Sujeto a (s.a.):
2 x1 + x2 + x3
x1 + x2
x1
xi
= 100 (terminado)
+ x4
= 80 (carpintería)
+ x5 = 40 (máx demanda de soldados)
≥ 0,
i=1,..,5
x3 , x4 ,x5 variables de holgura
Tableau 1 del Ejemplo
X3
X4
X5
Cj
0
0
0
Zj
Cj-Zj
X1 X2 X3 X4 X5
-3 -2 0 0 0 bi bi / aij
2 1 1 0 0 100 100/2
1 1 0 1 0 80 80/1
1 0 0 0 1 40 40/1
0 0 0 0 0 0
-3 -2 0 0 0 ↑
Z
↑
Tableau 2 del Ejemplo
X3
X4
X1
Cj
0
0
X1 X2 X3 X4 X5
-3 -2 0 0 0 bi bi / aij
0 1 1 0 -2 20 20/1
0 1 0 1 -1 40 40/1
-3
1
0
0
0
1
Zj
Cj-Zj
-3
0
0
-2
0
0
0
0
-3 -120
3 ↑
Z
↑
40
No
acota
←
Tableau 3 del Ejemplo
Cj
X1 X2 X3 X4 X5
-3 -2 0 0 0
bi
bi / aij
20
No
acota
X2
-2
0
1
1
0
-2
X4
X1
0
-3
Zj
Cj-Zj
0
1
-3
0
0
0
-2
0
-1
0
-2
2
1
0
0
0
1 20 20/1
1 40 40/1
1 -160
-1 ↑
↑ Z
←
Tableau 4 del Ejemplo
X1
Cj
X2
X5
X1
X2
-3+∆C1 -2
X3
X4
X5
0
0
0
bi
-2
0
1
-1
2
0
60
0
0
0
-1
1
1
20
-3+∆C1
1
0
1
-1
0
20
Zj
Cj-Zj
C1
-2 -1+∆C1 -1-∆C1
0
-180+20∆C1
0
0
↑
0
1-∆C1 1+∆C1
Z
bi
/
aij
Análisis de Sensibilidad y Postoptimal
Min z = c ·x
s.a.
Ax = b
x≥0
Solución óptima: x*, z* , B*
♦ Sensibilidad: ¿cuánto puede variar el valor de un coeficiente,
de modo que B* siga siendo óptima?
♦ Postoptimal: - uno de los coeficientes asume un nuevo valor
- obtener nueva solución óptima de la anterior
Análisis de Sensibilidad y Postoptimal
Teorema de Holgura complementaria
  x solución factible para (P)
  y solución factible para (D)
( Ai . x - bi ) yi = 0 i =1,...., m
 x óptimo para (P)
( cj -  y A .j ) xj = 0 j =1,...., n
 y óptimo para (D)
Factibilidad primal
( b ≥ 0 )
optimalidad dual
Optimalidad primal
( c ≥ 0 )
factibilidad dual
Condiciones Holgura complementaria
Análisis de Sensibilidad y Postoptimal
Max z = 6x1 + 3x2 + 2x3
Productos
• Trigo (x1)
[hq]
• Alfalfa (x2)
[hq]
x1 + x2 +x3 ≤ 36
•Maíz
[hq]
x1 + x2 + 4x3 ≤ 24
(x3 )
Recursos
• Tierra [ha]
s.a.
≤ 18
x1
(1)
(2)
(3)
x1, x2 ≥ 0
• Mano Obra [hh]
Demanda máxima trigo =18
F.O. = ingreso total
•
¿plan de producción temporada?
1 [q] = 4 [@] = 46 [kg]
b
(B*) –1
z* = 126
x4 12
1
-1
0
x2 6
0
1 -1
x1 18
0
0
1
Precio maíz (c3) puede tener variaciones
¿cuánto podría variar sin modificar composición del plan óptimo?
X4
X2
X1
Cj
0
3
6
Zj
Cj-Zj
X1
6
0
0
1
6
0
X2 X3 X4
3
2
0
0
-3
1
1
4
0
0
0
0
3
12
0
0 -10 0
X5
0
-1
1
0
3
-3
X6
0
0
-1
1
3
b
12
6
18
-3
126
X4
X2
X1
Cj
0
3
6
Zj
Cj-Zj
X1
6
0
0
1
6
0
X2
X3
3
C3
0
-3
1
4
0
0
3
12
0 C3-12
X4
0
1
0
0
0
0
X5 X6
0
0
-1 0
1 -1
0
1
3
3
-3 -3
b
12
6
18
126
c3 −12 ≤ 0
Mientras Utilidad c3 se mantenga bajo
12 Nada_ Pasa. Pero si crece sobre los
$ 12, entonces DEBIERA entrar a la
base
Análisis PostOptimal para C3
Se tiene el rango de insignificancia para C3 ≤12
Si C'3 vale 15?
X4
X2
X1
Cj
0
3
6
Zj
Cj-Zj
X1
6
0
0
1
6
0
X2
3
0
1
0
3
0
X3
15
-3
4
0
12
3
X4
0
1
0
0
0
0
X5
0
-1
1
0
3
-3
X6
0
0
-1
1
3
b
12
6
18
-3
126
Análisis PostOptimal para C3
Se tiene el rango de insignificancia para C3 ≤12
Si C'3 vale 15?
X4
X3
X1
Cj
0
15
6
Zj
Cj-Zj
X1
X2
6
3
0
3/4
0
1/4
1
1
6
39/4
0 -3-15/4
X3
15
0
1
0
15
0
X4
0
1
0
0
0
0
X5
X6
0
0
b
3/4 -3/4 33/2
1/4 -1/4 3/2
0
1
18
15/4 9/4
-15/4 -9/4 130,5
X4
X2
X1
Cj
0
C2
6
Zj
Cj-Zj
X1
6
0
0
1
6
0
X2
X3
C2
2
0
-3
1
4
0
0
C2 4C2
0 2-4C2
X4 X5
X6
0
0
0
b
1 -1
0
12
0
1
-1
6
0
0
1
18
0 C2 6-C2
0 -C2 C2-6 108+6C2
¿y si el precio de la alfalfa (c2) varia?
2-4c2
-c2
≤ 0
Mientras Utilidad c3 se mantenga bajo
12 Nada_ Pasa. Pero si crece sobre los
$ 12, entonces DEBIERA entrar a la
base
≤ 0
c2 −6 ≤ 0
/2 ≤ precio ≤ 6
1
x4
x2
x1
b
12
6
18
(B*) –1
1
-1
0
1
0
0
z* = 126
0
-1
1
Precio maíz (c3) puede tener variaciones
¿cuánto podría variar sin modificar composición del plan óptimo?
π* = cB*T (B*)–1.
ck - π* A.k = 0
ck - π* A.k < 0
Max z = 6x1 + 3x2 + 2x3
Cambios en los coeficientes del lado derecho:
s.a.
La variación afecta una restricción no activa
●La variación afecta una restricción activa
●
x1 + x2 +x3 ≤ 36
x1 + x2 + 4x3 ≤ 24
Rango de Factibilidad:
- Restricción ≤
solución nueva = sol + Δ bi (columna var holgura i )
X4
X2
X1
Cj
0
3
6
Zj
Cj-Zj
X1
6
0
0
1
6
0
X2 X3 X4
3
2
0
0
-3
1
1
4
0
0
0
0
3
12
0
0 -10 0
X5
0
-1
1
0
3
-3
≤ 18
x1
x1, x2 ≥ 0
X6
0
0
-1
1
3
b
12
6
18
-3
126
(1)
(2)
(3)
Max z = 6x1 + 3x2 + 2x3
s.a.
Rango de Factibilidad:
-6 ≤ Δ bi ≤ 12 (2)
x1 + x2 +x3 ≤ 36
Si Δ bi = 14 ?
x1 + x2 + 4x3 ≤ 24
- Llevar factibilidad al límite
- Cambiar variable con valor =0, por variable de
holgura
- Agregar la cantidad faltante
x1
X5
X2
X1
Cj
0
3
6
Zj
Cj-Zj
X1
6
0
0
1
6
0
X2
3
0
1
0
3
0
X3
2
-3
1
0
3
-1
X4
0
-1
0
0
0
0
X5
0
1
0
0
0
0
≤ 18
x1, x2 ≥ 0
X6
0
0
-1
1
3
b
2
18
18
-3
162
(1)
(2)
(3)
Rango de Factibilidad:Valores Positivos
- Restricción ≤
solución nueva = sol + Δ bi (columna var holgura i )
- Restricción ≥
solución nueva = sol - Δ bi (columna var exceso i )
- Restricción =
solución nueva = sol + Δ bi (columna var artificial i )
Agregar Variables
Se puede plantar arroz (x7);
A.7 T = (1, 2, 0)
Columna de x7 :(B*) –1A.7
X5
X2
X1
Cj
0
3
6
Zj
Cj-Zj
X1
6
0
0
1
6
0
X2 X3 X4
3
2
0
0
-3
1
1
4
0
0
0
0
3
12
0
0 -10 0
X5 X6
X7
0 0
C7
-1 0
-1
1 -1
2
0 1
0
3 3
6
-3 -3 -6+C7
b
12
6
18
Eliminar Variables:
- Si no está en la base, sacarla
- Si está en la base, hacerla salir de la base, cambiarla y eliminarla
X4
X2
X1
Cj
0
-M
6
Zj
Cj-Zj
X1
6
0
0
1
6
0
X2
X3
X4
-M
2
0
0
-3
1
1
4
0
0
0
0
-M -4M
0
0 2+4M 0
X5
X6
0
0
b
-1
0
12
1
-1
6
0
1
18
-M M+6
M -M-6