Modelo de experimento de decaimiento radioactivo con

Revista del Instituto de Matemática y Física
Artículos
Modelo de experimento de decaimiento radioactivo con resultados
factibles de contrastación experimental.
Walter Bussenius Cortada
Instituto de Matemática y Física
Universidad de Talca
Introducción:
Hacer experimentos de decaimiento radioactivo resulta complicado, por un lado porque se
debe manipular objetos peligrosos, puesto que emiten radioactividad; y por otro debido a que la
implementación para realizar experimentos no es fácil de adquirir.
El presente trabajo explica un sencillo experimento de simulación, empleando dados, que
permite reproducir una curva de decaimiento radioactivo y así determinar, ya sea la “vida media”
o la actividad en función del tiempo. El modelo es muy simple y permite ser utilizado por
alumnos de los ciclos de enseñanza tanto básico, medio o universitario; claro está, que el nivel de
profundidad en el análisis que pueda hacerse dependerá del nivel de los estudiantes.
El modelo emplea dados, los que representan núcleos radioactivos (Ref. [1]). Es conveniente
usar un número grande de dados a objeto de permitir una mejor estadística de los datos.
A modo de ejemplo, podemos decir que empleando cerca de un ciento de dados, un gráfico
que represente el número de partículas en función del tiempo requiere alrededor de un cuarto de
hora. El modelo permite manejar la probabilidad de emitir de los átomos y con esto la vida media
de ellos, valor que puede determinarse experimentalmente y que puede ser contrastado con el
resultado esperado. También el modelo permite simular que el núcleo que emite radiación se
trasmuta en otro núcleo, también radioactivo y que a su vez emite con diferente vida media. Este
segundo experimento simulado requiere el empleo de dados de dos colores.
El modelo también resulta de utilidad para un profesor de matemáticas que estudie la
función exponencial, permitiéndole aplicarla en algo concreto y así fortalecer el aprendizaje de
sus alumnos; también les permite repasar la función de la recta y aplicar propiedades de los
logaritmos.
Teoría:
La función que describe el número de partículas radioactivas en función del tiempo es:
N(t) = N0 e–λt
(1)
donde N(t) representa el número de partículas existentes al tiempo t, N0 corresponde al número
de partículas en tiempo cero, λ a una constante característica de cada tipo de partículas y que se
relaciona con la vida media (Ref. [2]).
Puesto que no es posible determinar el instante en que cada núcleo radioactivo se
desintegrará, se define la “vida media”, que corresponde al tiempo necesario para que el número
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de núcleos se reduzca a la mitad de la cantidad inicial. Este valor es independiente del número de
partículas y del momento en que se realiza la medición. Evidentemente que la cantidad de
partículas debe ser considerable a objeto de que se pueda aplicar criterios estadísticos.
Puesto que si graficamos N(t) en función del tiempo t, resulta ser una curva, se saca mayor
provecho al graficar el logaritmo natural de N(t) en función del tiempo. Al aplicar logaritmo a la
expresión (1) se obtiene:
ln ( N(t) ) = -λt + ln ( N0 )
(2)
expresión que representa una recta cuya pendiente es -λ y su intercepto ln ( N0 ).
La relación entre la constante λ y la vida media τ, se obtiene de la definición de vida media,
es decir, hacer que en el tiempo t = τ el número de partículas sea la mitad que las del tiempo
cero, esto es:
N0/2 = N0 e -λτ
(3)
se obtiene:
τ = ln ( 2) / λ
(4)
El modelo:
El modelo consiste en suponer que los dados son los núcleos radioactivos y que al salir
determinado número (por ejemplo el número 5) se considerará que el núcleo emitió y se trasmuta,
es decir deja de ser el núcleo inicial y por ende se retiran esos dados (Ref. [1]).
Al lanzar una cantidad grande de dados N0, luego del primer lanzamiento quedará, según
nuestro ejemplo, un sexto menos, es decir 5/6 del valor inicial. Al lanzarlos nuevamente se espera
que nuevamente se reduzca en 1/6 pero de la cantidad de ahora, es decir, 1/6 de 5/6; y así
sucesivamente. La tabla adjunta representa el valor esperado para el número de dados en función
del número del lanzamiento respectivo, en que el número inicial de dados se consideró de cien.
En el caso del ejemplo la probabilidad es 1/6, sin embargo puede considerarse otras
situaciones, por ejemplo:
Que aparezca determinado número P = 1/6
Que el número sea par
P = 1/2
Que el número sea mayor que 4
P = 1/3
Nótese que el número de dados representa al número de núcleos que sobrevive, y el tiempo
corresponde al número de lanzamientos. Ahora si calculamos el logaritmo del número de dados y
lo graficamos en función del tiempo (que viene representado por el número de lanzamientos)
obtendremos una recta que corresponde a la expresión (2). Como es de esperar, el punto de corte
con el eje de las ordenadas corresponde al logaritmo del número inicial de partículas y la
pendiente a la constante λ, la que se relaciona con la probabilidad de decaer que tiene cada dado.
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t
lanzam.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
N(t)
Nº dados
100
83
69
58
48
40
33
28
23
19
16
13
11
9
8
6
5
5
4
3
3
t
Artículos
Ln (N)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4,605
4,423
4,241
4,058
3,876
3,694
3,511
3,329
3,147
2,964
2,782
2,600
2,417
2,235
2,053
1,870
1,688
1,506
1,323
1,141
0,959
Nº de partículas en función del tiempo
100
50
0
0
5
10
15
20
Ln(N) v/s t
5,000
0,000
0
5
10
15
20
Para comparar el valor de la constante de decaimiento medido del gráfico ln(N) v/s t con el
esperado, consideremos la siguiente situación:
en t = 0 se tendrá N0 partículas y puesto que la probabilidad de emitir es P, entonces luego de un
lanzamiento se tendrá N1 = N0 (1-P). Al cabo de dos lanzamientos será N2 = N1 (1-P) = N0 (1-P)2
y así sucesivamente. Luego de J lanzamientos se tendrá:
Nj = N0 (1 - P) j
(5)
al aplicar logaritmo natural a la expresión anterior tenemos:
ln ( Nj ) = j ln (1-P) + ln ( N0 )
(6)
d(ln Nj )/dj = ln (1-P)
(7)
y para la pendiente se tiene:
Comparando ahora la expresión (2) con la (6), resulta fácil concluir que -λ = ln (1-P). Relación
que permite comparar el valor medido en el gráfico -λ con el valor esperado ln (1-P).
Por ejemplo, si elegimos que se retiran los dados que salen con número par, la probabilidad es
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1/2, por lo cual el valor esperado para la constante de desintegración es:
λ = ln (1-1/2) = -0,693147
Si en cambio consideramos como suceso cuando sale o un seis o un uno, la probabilidad es 1/3 y
para la constante de desintegración se tiene:
λ = ln (1-1/3) = -0,405465
Un par de ejemplos experimentales:
1.- A modo de ejemplo consideremos el lanzamiento de 90 dados y todos los que salgan con un
número uno o seis hacia arriba consideraremos que han decaído y los sacaremos al realizar el
lanzamiento siguiente.
En este caso la probabilidad de que un átomo decaiga en un lanzamiento es P = 1/3 y por lo
tanto la constante de desintegración teórica sería λ = ln (1-1/3) = -0,405465
t
²N/²t
0
1
2
3
4
5
6
7
0
22
22
15
11
9
3
3
N(t)
t
90
68
46
31
20
11
8
5
ln(N)
4,4998
4,2195
3,8286
3,4340
2,9957
2,3979
2,0794
1,6094
ln (N)
5,0000
4,0000
3,0000
2,0000
1,0000
0
2
4
6
8
t
Aplicando mínimos cuadrados para rectificar la curva graficada se obtiene la expresión:
ln (N) = (-0,42 ± 0,01) j + (4,62 ± 0,06)
Al comparar el valor experimental para la pendiente, vemos que difiere en menos de un 5% del
valor esperado. Además el valor esperado del intercepto 4,50 coincide con el obtenido 4,62±0,06
dentro del margen de error experimental.
2.- Existen muchos elementos radioactivos que al emitir, el nuevo elemento que se forma
también es radioactivo y posee su propia vida media. En este caso, mientras hay un elemento
emitiendo se va formando otro que también emite radiación. En la práctica ambas radiaciones son
perfectamente distinguibles puesto que poseen diferente energía (Ref. [3]).
Esta situación también puede ser representada en este modelo, sólo que se requiere dados de
dos colores, por ejemplo unos blancos y otros negros. Así se comienza con cierta cantidad de
dados blancos (90 por ejemplo) y luego al salir el o los números esperados, se considera que
emiten, por lo que se procede a sustituirlos por dados del otro color (negros en este caso), los que
a su vez se eliminan luego de salir el evento esperado.
Veamos esto con un ejemplo. Comencemos con los dados blancos y consideramos que un
elemento decae cuando aparece un número uno o seis. En ese caso es cambiado por un dado
negro, el cual a su vez también puede decaer y consideramos que lo hace si sale en él el número
4.
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Las mediciones para este caso se resumen en la siguiente tabla♦:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dados Blancos Dados Negros
²N/²t
N(t) ²N/²t
N(t)
0
90
0
0
29
61
0
29
17
44
3
43
14
30
8
49
14
16
7
56
3
13
10
49
4
9
8
45
4
5
9
40
0
5
8
32
2
3
9
25
2
1
3
24
N(t)
100
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
t
En el gráfico se representa con triángulos el número de dados blancos, nótese que
disminuyen rápidamente con el tiempo, mientras que con cuadrados se representa el número de
dados negros, los que inicialmente son cero, luego aumentan y posteriormente disminuyen.
Conclusiones:
Para alumnos de Enseñanza Básica es interesante porque permite graficar valores medidos,
además de acercarse al concepto de vida media estimando en qué tiempo la curva N v/s t
disminuye a la mitad del valor inicial.
Para alumnos de Enseñanza Media es interesante porque, además de ayudar a profundizar
conceptos físicos, también es útil para mostrar una aplicación de los logaritmos y posible de ser
contrastada experimentalmente, en este caso con un experimento estadístico. También resulta
interesante para obtener la función que describe una recta ya que el log(N) en función del tiempo
resulta en general una buena recta.
Finalmente, el hecho de que permita contrastar valores experimentales y teóricos hace que el
experimento en sí permita la aplicación del método científico a una situación estadística y
empleando material de bajo costo.
Bibliografía:
[1] Bussenius, Walter. El Gravitón. Boletín de Física del Área de Física de la Universidad de
Talca. Nº 12. Noviembre 1996.
[2] Beiser, Arthur. Conceptos de Física Moderna. Editorial Mc Graw-Hill. Mexico 1975.
[3] Wichmann, Eyvind. Física Cuántica. Editorial Reverté. Colección Berkeley Vol. 4. España
1972.
♦
En la tabla 2x significa Δx.
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