ejercicios de logaritmos

EJERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS
1.- Calcula, mediante la aplicación de la definición, el valor de los siguientes logaritmos:
a) log 6 216
b) log3 729
c) log11 121
d) log 4 4096
1
e) log 2 512
f) log13 1
g) log 2 32
h) log 1
4
2
2.- Calcula, mediante la aplicación de la definición, el valor de los siguientes logaritmos decimales:
a) log1000
b) log100000
c) log 0'1
d) log 0'0001
1
1
0'001
e) log
f) log
g) log
100
10000
10000
3.- Calcula, mediante la aplicación de las propiedades, los siguientes logaritmos:
1
a) log 2 4
b) log 2 128
c) log 2
d) log 2 5 16
2
4.- Halla el valor de las siguientes sumas:
a) log2 2  log2 4  log2 8  log 2 16 
b) log3 3  log3 9  log3 27  log3 81 
1
d) log 3    log 1 8  log 6 36 
9
2
c) log 5 125  log 3 812  log 7 49 3 
5.- Calcula la base en la cual el logaritmo de:
a) 256 es 2
b) 256 es 8
c) 256 es 1
1
2
d) 256 es
6.- Expresa los logaritmos decimales de los siguientes números en función de log 2 :
1
1
a) 32
b) 1024
c)
d)
2
16
7.- Expresa los logaritmos decimales de los siguientes números en función de log 3 :
a) 59049
b)
1
27
c)
1
27
8.- Sabiendo que el logaritmo decimal de 2 es 0'301, calcula:
1
a) log16
b) log 0'2
c) log
d) log 3 16
8
1
5
f) log
g) log 500
h) log
i) log 50
8
5
e) log 0'0016
j) log 40
9.- El logaritmo de 8 en cierta base es 0'75 . Calcula la base.
10.- Calcula el valor de x en las siguientes igualdades:
a) log x  3
b) log 4 x  2
c) log x 0'5  4
e) log 3 27  x
f) log 10 x  0
g) log 2 32  x
1
d) log 1
32  x
2
h) log 10 x  3
1
x
8
m) log x 625  4
i) log 8
1
x
16
n) log 11 121  x
 125 
i) log 5 
4
 x 
1
m) log x 3 
2
p) log 1 0'000001 
f) log 5
3
c) log 1 2 
d) log 0'001 
g) logb b 
h) log x 64  3
2
1

125
 
3
 
3
2
j) log 2  3 4 5  


2
k) log 1  3 4 5  


2
l) log 3 x  5
n) log x 1 81  2
ñ) log 5 125  x
o) log 1 100 
 0'1
5
10

r) log x 10000  4
s) log 49 7  x
1
x
64
v) log x 64  6
w) log 2
1
 3
125
c) log 1 81  x
q) log 1
3
10
10
t) log
l) log 25 x 
ñ) log x 256  1
11.- Resolver los siguientes logaritmos:
a) log 4 64 
b) log 25 5 
e) log105 
1
2
o) log x 32  5
k) log 2 x  3
j) log 2
x  2
u) log 2
x  1
12.- Resolver los siguientes logaritmos:
a) log
6
2x  2
1
2
h) log x 1000  3
1
l) log 2
x
16
e) log x 
o) log8 x3  2
s) log x 2 
1
2
b) log x
d) Ln x  3
3
i) log3 27  x
 27 
g) log 3    log 3 2 
 2 
j) log 2 x  3
k) log x 32  5
m) log 1 8  x
n) log x  6'5
ñ) log 2 x  10
 1 
p) log 2    x
 32 
q) x  log16 4
r) log 6 x  3
t) Ln x  2
u) log x 0'125  3
v) log 2 x  5
f) log a a 4  x
2
13.- ¿Verdadero o falso? ¿Por qué?
a) log 3 5  log 3 3  log 3 8
c) log 3 5 ·log 3 3  log 3 15
b) log 3 5  log 3 3  log 3 15
d) log 3 5  log 3 2  log 3 2'5
1
e) log 4 (16)  2
f) log 36 6 
g) log 49 7  log 7 49
2
h) El logaritmo decimal de 0 vale 1.
i) El logaritmo de una suma es igual a la suma de los logaritmos.
j) El logaritmo neperiano del número e vale 1.
k) El logaritmo de la base vale 1 (en cualquier base).
14.- ¿Qué igualdad es la correcta?
a) log 2 10  100
b) log 2  100
2
c) log 100  2
15.- ¿Qué igualdad es la correcta?
a) log 35  (log 7) · (log 5)
c) log 75  log 70  log 5
b) log 49  2 log 7
d) log 2 10  log 2
16.- Desarrollar los logaritmos aplicando sus propiedades:
3
a) log (4·x)
b) log
c) log(100·z·y)
8
f) log(100·y)
k) log
2
2
g) log( 2·x · y )
x2  a2

x2  a2
l) log
5




17.- Expresa con un solo logaritmo:
a) log 2 x  log 27  log y 
c) 3 (log a 2  log b) 
4 ·log y
e) 2 ·log x 
 3 ·log z 
5
1
1
1
g) log ( x 2  4)  log ( x  3)  log ( x  3) 
2
2
2
18.- Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones:
a) log A  log x  log y  3 log z
c) log C  3  log 1000  2 log x
1
1

e) log E   log x  log y   2  3 log z 
2
3

1
1

g) log G   log x  log y   log z
2
3

1
1
i) log I  log x  log y  4
4
5
k) log K  log ( x  y)  log ( x  y)
i) I 
a3 • 3 b
c
x3 y
f) F  5
z
j) J 
100a 6
5
b •c• d
3
2 x
10 z
j) log
(10  x) 3
(10  x) 2
2
b) log 5  log y  log (9 ) 
d) 2 log x  3 log z  5 log y 
3
5
f) 3 log a  2 log b  log c  log d 
2
2
 4 ·log y

h) log x 2  
 3 ·log z  
 5

b) log B  2 log x  3 log y  5 log z
d) log D  1  log x  3 log z
f) log F  1  3log a
1
log x  log y   (2  3 log z )
3
1
1

j) log J  2  3 log x   log y  log z 
4
5

x
l) log L  3log x  log 32  log
2
h) log H 
19.- Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones:
a) A  x · y · z
b) B  x 3 y 2 z
c) C  x 2 y 2 z 2
x3 y5
e) E  2
z
e) log
 a 4 ·5 b 2 

m) log 
 c3 




 m 2 ·3 t 
o) Ln  5

3


2
 h ·e 
x 2 ( x 2  1)

a 2 (a 2  1)
 a5 · b
ñ) log 2  3 2
 c ·d

 x2 ·y 
n) log  3  
 z 
9x
y
 10  x 
i) log

 10  x 
25
h) log
d) log
d) D  1000 x y 5 z t 2
x4 y
g) G  2
z
t3 • m • n
h) H 
p4
k) K  x 3 y z 5
l) L 
1
a
2
b
m) M 
p) P 
t) T  3
a3
5
b2 ·c
a2 3 b
5
a3 b2 c
n) N 
q) Q 
c2
3
d ·5 e 2
3
a2 b
r) R 
c2 d
a 2 ·b
u) D  3
c
a 2 b3
3
c d
xy
ñ) Ñ 
3
3
o) O 
z2
x2 y3
z4
x2 y3
z4
s) S 
a2 b
3
c
v) V  x 2 y3 z 4
20.- Expresa las siguientes igualdades en forma algebraica:
a) log x  2 log y  2
b) 2 log x  3 log y  4
c) 3 log x  5 log y  1
d) 1  log x  log y
21.- Expresa en forma logarítmica las siguientes expresiones:
x2
x2 1
x
 100
a) 2  1000
b) 4  10
c)
y
y3
y
d)
x y2
1

a
100
22.- Sabiendo que log x  log y  1 , encuentra la relación que existe entre x e y.
23.- Simplifica la expresión log ( x  1  1)  log ( x  1  1) .
24.- Completar las afirmaciones:
a) si log a  2 log x  3 log y  5 log z , entonces a  ..............
b) si log x 32  5 , entonces x  ........
c) si log 2 x  2 , entonces x  .........
d) si log a x  1, entonces x  .......
25. Calcula los siguientes logaritmos:

a) log 2  log 2


2 


b) log 2  log 2


2  

c) log
26.- Calcular pasando a logaritmos neperianos (cambio de base) (calculadora):
a) log 2 9
b) log 7 32
c) log 5 49
d) log 8 193
f) log 7 49
g) log 5 12
h) log 9 84
i) log 6 1
27.- Calcular pasando a logaritmos decimales (cambio de base) (calculadora):
a) log 20 4
b) log 2 (3)
c) log 11 27
e) log 5 5
f) log 4 13
g) log 9 1
2
64 
e) log 6 124
j) log 3 27
d) log 9 33
h) log 7 30
28.- Demostrar:
a) log a b · log b a  1
b) 2 log a  log a
a 
a

d) log (a  b)  log   1  log   1  log (a  b)
b 
b

4
c) log a b 
1
log b a
29.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcular:
1
1
a) log 1 a 4  log b 4 2 
b) log 1 a 3  log b 2 3 
2
2
b
b
a
a
30.- Si log a N  1 , hallar razonadamente log a
31.- Si log a N 
a
.
N
a
1
, hallar razonadamente log a 3 .
2
N
32.- Si log a N  4 , hallar razonadamente log a
a2
.
N
 3 
33.- Calcular: log 3  log 9  
 10

34.- Despejar x en la fórmula A  B  3 · 2 x y después calcular su valor numérico para A  0 y
B  1.
35.- Halla el valor de las siguientes sumas:
2

 93 
 1  
 1 
  3 log 2 
   log
  2 log 3 27 
a)  log 1 
5
 9  9 
 64  
 10 


 1 
1
 
b)  2 log 1 243  log 5 125  2   3 log
 log 2  3
10
 32 
3


2
36.- ¿Qué relación existe entre los logaritmos decimales de los números 2, 20, 200, 2000, …...?.
(Ten en cuenta que, por ejemplo, 200  2 ·102 ). Comprueba el resultado con la calculadora.
37.- ¿Qué números tienen logaritmo entero en base 5?. Justifica la respuesta.
5