el numero ? (pi): sus aplicaciones y didactica en la eso

Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-21 – JUNIO DE 2010
“EL NÚMERO Π (PI): SUS APLICACIONES Y DIDÁCTICA EN
LA ESO.”
AUTORIA
FERNANDO VALLEJO LÓPEZ
TEMÁTICA
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
ETAPA
ESO, BACHILLERATO Y OTROS.
Resumen
EN ESTE ARTÍCULO ESTUDIAMOS EL NUMERO Π; VEMOS QUE ES EL Nº MÁS IMPORTANTE Y
CONOCIDO DE LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. ESTUDIAMOS QUE EL NÚMERO Π ES UN NÚMERO
IRRACIONAL, ES DECIR; NO SE PUEDE EXPRESAR EN FRACIÓN. TAMBIEN VEMOS QUE ES UN
Nº TRASCENDENTE, ES DECIR; NO ES SOLUCION O RAIZ DE NINGUNA ECUACIÓN
POLINÓMICA.
VEMOS LOS MOMENTOS HISTÓRICOS DEL NUMERO Π; ES DECIR LA APROXIMACIÓN O
ESTIMACIÓN DE ESTE Nº A LO LARGO DE LA HISTORIA HASTA NUESTROS DIAS, VIENDO QUE
EN LA ACTUALIDAD O EDAD MODERNA CON LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS DE LA
INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN (NTIC); SOBRE TODO CON LOS ORDENADORES, SE PUEDE
APROXIMAR EL NUMERO Π CON TANTAS CIFRAS DECIMALES EXACTAS COMO DESEEMOS.
ESTUDIAMOS LAS DIVERSAS DEFINICIONES DE Π, Y VEMOS QUE TODAS SON EQUIVALENTES
ENTRE SI. POR ÚLTIMO; VEMOS LAS APLICACIONES DE Π EN: MATEMÁTICAS, FÍSICA,
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Y ADEMÁS APARECE EN MUCHAS OTRAS CIENCÍAS.
TAMBIEN ESTUDIAMOS SU DIDÁCTICA EN LA ESO.
Palabras clave
• El número Π.
• Momentos históricos.
• Definiciones.
• Aplicaciones.
• Aplicación didáctica.
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1. Introducción.
El número Π (pi), se define como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante
matemática muy importante en Geometría Euclídea; al igual que el número e es el número más importante del cálculo o
la unidad imaginaria i es el número más importante del Análisis complejo.
El número Π, es la constante matemática siguiente:
Π=3,14159265………………………………………………………………………………
Éste número se redondea por las diezmilésimas por 3,1416. Se emplea constantemente en Matemáticas y en Física.
El número Π es irracional, es decir no se puede expresar en fracción, al ser decimal infinito no periódico. Esto mismo
ocurre con los números: e, i.
También el número Π es trascendente, es decir es solución o raíz de una ecuación trascendente; y por tanto no es
solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes reales. Análogamente, el número e también es trascendente.
Sin embargo; la unidad imaginaria i es un número algebraico es decir es solución de una ecuación polinómica,
2
precisamente es solución de la ecuación: x +1=0 cuyas raíces son: i, -i.
Ésta constante Matemática, es muy conocida por todo el mundo, por ejemplo:
La longitud de una circunferencia en función del radio es: 2Πr donde r es el radio de la circunferencia. Y
área
el o
2
superficie de la circunferencia o círculo de radio r es: Π. r .
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El número Π, es la constante matemática más importante y más utilizada en Geometría Euclídea tanto por alumnos como
por profesores.
La letra Griega Π, proviene de las iniciales de las letras Griegas, periferia y perímetro de un círculo. Éste símbolo fue
adoptado y utilizado en 1706 por el Matemático Galés William Jones; y fue popularizado posteriormente en 1748 por el
Matemático Suizo Leonhard Euler.
2. Momentos históricos más importantes.
Como la longitud de una circunferencia de radio r es: l=2Πr o lo que es igual Π=
l
. Por tanto; el número Π se define
2r
como el cociente o razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (el diámetro de la circunferencia, es el
doble del radio 2.r).
Se puede calcular así, una aproximación experimental del número Π. Ejemplo:
Si consideramos un recipiente redondo (un bote de tomate) y lo medimos. Yo he obtenido para la longitud de la
circunferencia 29cm, y para el diámetro 9,23cm. He realizado la división Euclídea, y el cociente obtenido ha sido:
3,141928494……………. Este nº se aproxima a Π; ya que siempre hay un error experimental o de medición.
El hombre ha utilizado desde hace miles de años, objetos redondos; y en algún momento a lo largo de la historia, tuvo que
darse cuenta de que el nº Π estaba presente en circunferencias, círculos, esferas etc. Y es un número que se utiliza para
calcular longitudes, áreas o superficies, y volúmenes.
Veamos algunas aproximaciones históricas de Π:
2.1. El nº Π en el antiguo Egipto.
Los antiguos Egipcios hacia el año 1800 a.C.; ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su
diámetro, y entre el área del circulo y el cuadrado de su diámetro.
El valor aproximado de Π fue descrito en el papiro de Rhind, donde puede leerse lo siguiente: “corta 1/9 del diámetro y
construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene la misma área o superficie que el circulo.” Es decir;
el área o superficie A del circulo de radio r, es aproximadamente igual al cuadrado de 8/9 de su diámetro d (d=2r).
En la notación actual:
A=Π. r
Π≈
2
8
64
64
256 2
.r ; esto equivale a decir que:
≈ ( . d) 2 = d 2 = (4 r 2 )=
9
81
81
81
256
=3,16 y éste es el nº que tomaban como aproximación de Π.
81
2.2. El nº Π en Mesopotamia.
Más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban como aproximación de Π, el valor: 3,125=3+1/8, según
queda registrado en la Tablilla De Susa.
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2.3. El nº Π en la Grecia Clásica.
Los Geómetras de la Grecia Clásica, conocían que el cociente o razón entre la longitud de una circunferencia y su
diámetro es siempre constante. Éste valor constante es el número que hoy día llamamos Π (pi).
También conocían y habían demostrado, que tanto la razón entre el área de un círculo y el cuadrado de su diámetro;
como la razón entre el volumen de una esfera y el cubo de su diámetro eran constantes. Fue Arquímedes en el siglo III
a. de C. quien determinó, que éstas constantes estaban relacionadas con el número Π. Arquímedes utilizó el denominado
“Método exhaustivo”, que consiste en inscribir y circunscribir polígonos regulares de hasta 96 lados en circunferencias y
calcular el perímetro de dichos polígonos; consiguiendo así una aproximación de Π. 3+10/71< Π<3+1/7; es decir el nº
Π está entre 3,1407 y 3,1428 esto se puede ver en su obra: “sobre la medida del circulo”.
En el siglo II d.C. Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados, y una circunferencia de 60cm. de radio para
aproximarse un poco más a Π y da el valor: Π ≈ 3+8/60+30/3600=377/120=3,14166……………………..
2.4. El nº Π en China.
En China, también se hicieron esfuerzos para calcular el valor aproximado de Π. El Matemático Chino Liu Hui en el siglo
III d.C. Hacia el año 263 d.C. utiliza polígonos de hasta 3.072 lados; y estima el valor de Π como:
Π ≈ 3,14159.
A finales del siglo V, el Matemático y astrónomo Chino Zu Chongzhi da como estimación o aproximación de Π:
Π ≈ 355/113=3,1415929…………………………
2.5. El nº Π en la India.
De la India nos han llegado unos documentos llamados Siddhantas, que datan del año 380 d.C. Son unos sistemas
astronómicos en los que se da a Π el valor aproximado:
Π ≈ 3+177/1250=3,1416.
A finales del siglo V el Matemático Indio Aryabhata, da una regla en su libro Aryabhatiya de la que obtiene ese mismo
valor, Π ≈ 3,1416. La regla es la siguiente:
“suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62.000. El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo
diámetro es 20.000.”
Mucho después hacia el año 1.400 otro Matemático Hindú, Madhava utiliza desarrollos en serie de potencias; y consigue
obtener una estimación o aproximación de Π con 11 dígitos o decimales exactos. Es decir; Π ≈ 3,14159265358.
Además es el primero en utilizar series de potencias para realizar la aproximación.
2.6. El nº Π en el Islán.
Al-Jwarizmi que fue un Matemático Árabe del siglo IX dice en su libro: “Algebra” que el hombre práctico usa 22/7 como
estimación de Π, el Geómetra usa 3, y el Astrónomo utiliza 3,1416.
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En el año 1429 (siglo XV), Al-Khasi que fue otro Matemático Persa sigue utilizando el método de Arquímedes; y trabaja
con polígonos de hasta ¿50.331.648? lados para obtener una aproximación de Π con 14 dígitos o decimales exactos. Es
decir; obtiene:
Π ≈ 3,14159265358979.
2.7. El nº Π en el Renacimiento.
En el siglo XVII, el Matemático Francés Viéte, utilizó polígonos de hasta 393.216 lados para obtener una aproximación de
Π con 9 dígitos o decimales exactos. Obtuvo:
Π ≈ 3,141592653.
Otro Matemático Flamenco Van Roomen, utilizando el método de Arquímedes obtiene 16 dígitos o decimales exactos de
Π.
2.8. El nº Π en la época pre-computacional.
El Matemático Alemán, Ludolph Van Ceulen, (1540-1610), trabajó en el cálculo de Π casi hasta el día de su muerte.
62
Llegó a trabajar con polígonos de hasta 2 lados, consiguiendo así una estimación o aproximación de Π con 35 cifras
decimales o dígitos exactos. Mando grabar en su lápida, el nº Π con los 35 decimales exactos calculados, y su deseo fue
cumplido.
El trabajo necesario para calcular más y más decimales, empezaba a escapar a las posibilidades del ser humano. Pero
nuevos métodos estaban naciendo y empezando a crecer en la mente de algunos Matemáticos.
 En el año 1.699 el Matemático Inglés Abraham Sharp (1.651-1.742) calculó el número Π con una aproximación de
71dígitos o cifras decimales exactas, utilizando el desarrollo en serie de potencias de arctgx.
 En el año 1.720 el Matemático Francés Thomas De Lagny, usó también el desarrollo en serie de potencias de arctgx
para estimar el nº Π con 127 dígitos o cifras decimales; de las cuales 112 eran exactas, y las restantes no lo eran.
 En el año 1.706 el Matemático Galés William Jones, afirmó: Π=3,14159………………
Pero; fue el Matemático Suizo Leonhard Euler, quién adoptó el símbolo actual del nº Π en el año 1.737; y se sigue
utilizando en la actualidad como notación habitual.
 En el año 1.789 el Matemático Esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin fue el primero en averiguar
los 140 decimales de Π, de los cuales 126 eran exactos y los restantes no.
 En el año 1.841 William Rutherford, obtuvo 208 decimales de los cuales 152 eran exactos, y el resto no lo eran.
 En el año 1.873 el Matemático Inglés William Shanks aproximó Π con 707 decimales, de los cuales 527 eran
exactos, y el resto no. Utilizando la fórmula de Machin.
 Posteriormente en 1.947 Ferguson obtuvo 808 decimales con ayuda de una calculadora mecánica.
 En el año 1.949 se llegó a calcular 1.120 decimales del número Π; y a partir de ésta fecha empieza la era del
ordenador electrónico.
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2.9. El nº Π en la época moderna o computacional.
En el año 1949, empiezan a utilizarse los ordenadores electrónicos. Aquí empieza la Edad Moderna o de los ordenadores.
Empiezan a desarrollarse programas para el cálculo del número Π, con la mayor cantidad de cifras posibles.

En el año 1949 Reitweisner, siguiendo una sugerencia de Von Neumann, calculó 2.037 decimales en 70 horas.
Utilizó uno de los primeros ordenadores electrónicos, el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), que
pesaba 18 toneladas. Poco a poco fueron apareciendo ordenadores cada vez más potentes.

En el año 1954, se llegó a 3.092 cifras decimales de Π, el ordenador utilizado fue un NORAC.

En 1.959, Guilloud utilizó un IBM 704, para calcular los 16.167 decimales en 100 minutos. En ambos casos se usó la
fórmula de Machin.

En el año 1967, Guilloud y Dichampt alcanzan los 500.000 decimales, utilizando como ordenador un CDC 6600.

En 1973, Guilloud y Bouyer, alcanzan los 1.001.250 decimales, utilizando para ello un ordenador CDC 7600 en
22horas y 11 minutos, más 1 hora y 7 minutos para pasar el resultado a decimal.
Se siguió utilizando el desarrollo en serie de potencias del arctgx, en sus diversas variantes, hasta la mitad de la década
de los 80.Pero; ya se veía que estas fórmulas no eran suficientes para alcanzar cantidades mucho más grandes, tales
9
como: 1.000.000.000 (10 ) decimales del número Π. Pues; se estimó que un ordenador necesitaría más de 25 años de
cálculo ininterrumpido para llegar a tales cifras.
El objetivo ahora era encontrar métodos o algoritmos más eficaces, que permitieran calcular más decimales en menos
tiempo.
 En el año 1981, Miyoshi y Kanada, calcularon 2.000.036 decimales de Π empleando un ordenador FACOM M-200.
 En el año 1982, Guilloud alcaza los 2.000.050 decimales o dígitos.
 En el año 1986, Bayley llega a obtener 29.360.111 decimales de Π, mediante un ordenador CRAY-2.
 En 1986, Kanada y Tamura, calculan 67.108.839decimales mediante la utilización de un ordenador HITAC S-810/20.
 En 1988, Kanada y Tamura, calculan 201.326.000 decimales del nº Π, sobre un ordenador HITACHI S-820 en 6
horas.
 En 1989, los hermanos Chudnovsky obtienen 480.000.000 decimales utilizando un ordenador CRAY-2 y un IBM3090.
 En el año 1995, Kanada y Takahashi, calculan 6.442.450.000 decimales utilizando un ordenador HITAC S-3800/480.
 Así Kanada y Takahashi, van calculando cada vez más decimales desde el año 1995, utilizando diversos
ordenadores HITACHI. Hasta que en el año 1999, mediante la utilización de un ordenador HITACHI SR8000, calculan
206.158.430.000 decimales del nº Π.
En la década de los 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de
decimales.
 En el año 2002, Kanada y Otros, calculan 1.241.100.000.000 decimales de Π, sobre un ordenador HITACHI
SR8000/MP.
 En el año 2009, se hallaron más de 2 billones y medio de decimales de Π (2.576.980.370.000), mediante el uso de
una supercomputadora T2K Tsukuba system; fue hallado por el Matemático Daisuke Takahashi. Y se emplearon 73
horas y 36 minutos.
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En la actualidad, debido a las Nuevas Tecnologías De La Información y Comunicación (NTIC); ya que estamos en la
era de los ordenadores electrónicos, cada vez más rápidos y potentes. Y por ello actualmente se puede estimar o
aproximar el nº Π, mediante programas informáticos, con todas las cifras decimales exactas que se desee.
3. Definiciones del número Π.
Existen diversas definiciones de éste número, pero todas son equivalentes entre sí:
 El nº Π, se define como el cociente o razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Ya que como la
longitud de una circunferencia L de radio r es:
L=2 Π r ; tenemos despejando pi que:
Π=
L L
=
; dónde d=2.r es el diámetro de la circunferencia.
2r d

El nº Π, también se define como el área o superficie de un círculo de radio la unidad. Pues, como el área del circulo

de radio r es: Π. r ; para r=1 se obtiene Π.
0tra definición posible sería: El nº Π se define también como un ángulo llano en radianes (RAD).
2
4. Aplicaciones del número Π.
Existen, multitud de fórmulas en las que aparece Π; tanto en la Física, en las Matemáticas, y también en Estadística y
Probabilidad.
Veamos algunas de las Aplicaciones:
-Aplicaciones en Matemáticas:
o Para calcular la longitud L de una circunferencia de radio r: L=2Πr.
2
o Para calcular el área o superficie S del círculo de radio r: S= Π. r .
o Para calcular el área o superficie de una elipse de semiejes a>0 y b>0: S=Π.a.b.
NOTA: Como vemos la circunferencia de radio r, es un caso particular de elipse dónde a=b=r; es decir sus dos
semiejes coinciden.
o También podemos calcular volúmenes de cuerpos; como por ejemplo para calcular el volumen de la esfera de
3
o
o
o
radio r: V=4/3. Π .r .
Como vemos Π también aparece en muchas más fórmulas para el cálculo de áreas de polígonos y volúmenes de
poliedros.
Otra de las muchísimas aplicaciones de éste nº en Matemáticas, es que también se utiliza para medir ángulos en
radianes (RAD); pues la longitud de una circunferencia L de radio r es:
L= 2 Π .r es decir; L=2 Π
radianes. Pues el radián es el arco de circunferencia, cuya longitud es igual al radio de la misma; por ello el
radián es un nº Real.
También Π aparece en muchas otras partes de las Matemáticas, como en Trigonometría.
-Aplicaciones en Física.
El número Π es una constante Matemática, que también aparece en muchas fórmulas físicas que describen el universo.
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-Aplicaciones en Estadística y Probabilidad.
En probabilidad hay muchas distribuciones como la Distribución Normal, cuya fórmula contiene Π. La función de densidad
de la N (0,1) es:
f (x)=
1
2Π
.e − x
2
2
5. Aplicación Didáctica en la ESO.
El número Π, se estudia en 3º y 4º de ESO cuando se estudian los números Racionales e Irracionales; y por tanto los
números Reales. Estudiamos que el nº Π, al ser decimal infinito no periódico es Irracional. También estudiamos que éste
nº es Trascendente, ya que no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes Reales.
Vemos también que Π es uno de los números más importantes y conocidos, tanto por alumnos como por profesores. Y
también aparece en el cálculo de áreas y volúmenes.
Por ejemplo, el área o superficie de la circunferencia o círculo:
2
S= Π .r .
Vemos que también aparece Π, en el área de cualquier otra cónica.
También estudiamos y observamos que éste nº también aparece, en volúmenes de cuerpos de revolución, por ejemplo en
la esfera:
3
V=4/3 Π. r .
6. Conclusión:
El número Π, es uno de los números más importantes de la Geometría Euclídea; ya que está presente en multitud de
fórmulas matemáticas.
Éste nº es una de las constantes más importantes y conocidas por todo el mundo. Históricamente se han ido dando
aproximaciones o estimaciones de Π. Hasta llegar a nuestros días; con las Nuevas Tecnologías de la Información y
Comunicación (NTIC) sobre todo con el ordenador; se han elaborado programas informáticos que aproximan Π con
tantos decimales exactos como deseemos.
Éste nº es irracional, es decir no se puede expresar en fracción, por ser decimal infinito no periódico; y también es
trascendente, es decir no es solución o raíz de ninguna ecuación polinómica con coeficientes Reales.
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7. Referencias Bibliográficas:
Rey Pastor, J. y Babini, J. (1991).Historia de la matemática. Madrid: Ed. Gedisa.
Castellet, M. y Llerena, J. (1991). Álgebra y Geometría. Madrid: Ed, Reventé.
Aspray, W. (1992). John Von Neumann y los orígenes de la computadora moderna. Madrid: Ed. Gedisa.
http://www.portalplanetasedna.com.ar/numero_pi.htm .
http://www.astroseti.org/noticia_2086_historia_las_matematicas_numero_pi.htm
http://centros5pntic.mec/ies.de.bullas./dp/.../Numpi.htm .
http://www.juegosdelogica.com/numero_pi.htm .
http://www.wikipedia.org/wiki/Número_Π .
http://www.mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/materna/conocer/numpi.htm.
Autoría:
· Fernando Vallejo López
· IES Luís Bueno Crespo, Armilla, Granada
· E-MAIL:[email protected].
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