Gu´ıaDepartamento M atemáticasU.V. mat.uv.cl/djimenez

Universidad de Valparaı́so
Instituto de Matemáticas
Guı́a de Cálculo en Varias Variables
Diferencial
Funciones Reales
1. Graficar en R3 (e identificar la superficies)
a) y 2 + z 2 = 16
b) 4x2 + 9z 2 = 36
c) x2 + 5z 2 = 25
d ) x2 = 9z
G
M uı́a
m ate De
at m pa
.u át rt
v. ic a
cl/ as m
dj U ent
im .V o
en .
ez
e) x2 − 4y = 0
f ) y 2 − x2 = 16
g) xz = 1
h) 4x − 3y = 12
i ) 2z + y = 5
j ) z = ey
k ) z = log x
2. Graficar en R3 (e identificar la superficies)
a) 4x2 + 9y 2 = 36z
b) 8x2 + 4y 2 + z 2 = 16
c) 16x2 + 100y 2 − 25z 2 = 400
d ) 25x2 − 225y 2 + 9z 2 = 225
e) 3x2 − 4y 2 − z 2 = 12
f ) 4x2 + y 2 = 9z 2
g) x2 − 16y 2 = 4z 2
h) 4y 2 − 25z 2 = 100x
i ) 9x2 + 4y 2 + z 2 = 36
j ) 16x2 − 25y 2 + 100z 2 = 200
k ) 16x2 − 4y 2 − z 2 + 1 = 0
l ) 36x = 9y 2 + z 2
m) y 2 − 9x2 − z 2 − 9 = 0
n) z 2 − x2 − y 2 = 1
ñ) 4y 2 + 25z 2 + 100x = 0
o) 16y = x2 + 4z 2
p) 36x2 − 16y 2 + 9z 2 = 0
q) 4y 2 + 9z 2 = 9x2
3. Determinar el dominio de las siguientes funciones reales (y grafique su dominio)
a) f (x, y) = √
1
4−x2 −y 2
b) f (x, y) = ln(x + y)
p
c) f (x, y) = 1 + 1 − (x + y)2
1
√
y− x
√
1−cos xy
y
d ) f (x, y) = √
e) f (x, y) =
G
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√
f ) f (x, y) = arcsen(x/2) + xy
p
g) f (x, y) = 16 − x2 − y 2
h) f (x, y) = ln(x2 + y 2)
p
√
i ) f (x, y) = 1 − x2 + 1 − y 2
√
(1+4x)(1+6y)−1
j ) f (x, y) =
2x+3y
p
√
k ) f (x, y) = x2 + y 2 − 1 + 1 − z 2
p
l ) f (x, y, z) = z 2 − x2 − y 2
m) f (x, y, z) = ln(x + y + z − 1)
n) f (x, y, z) =
z
2x+y
4. Determinar y graficar el dominio de la funciones z = f (x, y) y describir las curvas de
nivel.
p
a) z = x2 + 4y 2 − 4
p
b) z = x2 − y 2
p
c) z = ln( xy )
d ) z = y − 3x2
√
e) z = x2 − 4
f ) z = ex−y
g) z = 1 − (x − 4)2 − (y − 5)2
p
h) z = x2 − y
√
i ) z = xy
p
j ) z = |x| − |y|
5. Para cada una de las siguientes funciones; encontrar el dominio y el recorrido de f y
describir las curvas de nivel.
a) f (x, y) = 4x2 + 9y 2
p
100 − 25x2 − 4y 2
√
c) f (x, y) = x + y
p
d ) f (x, y) = 100 − x − y 2
b) f (x, y) =
e) f (x, y) = arcsen(x + y)
f ) f (x, y) = ln(xy − 1)
g) f (x, y) =
h) f (x, y) =
x
|y|
q
6. Sea g(x, y, z) =
x−y
x+y
p
4 − x2 − y 2 − z 2
a) Encontrar g(1, −1, −1), g(−a, 2b, 2c )
G
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b) Determine Domg Recg
c) Trazar 3 superficies de nivel
p
7. Sea f (x, y) = 4 − x2 − y
a) Determinar y graficar el dominio de f
b) Respecto al dominio de f determine si es abierto, cerrado, acotado y encuentre
IntA, F rA, A′ , donde A = Domf
c) Graficar tres curvas de nivel y esquematizar el gráfico de f , indicando intercección
con los ejes.
8. Un lugar geométrico S ⊂ R3 se construye como sigue P ∈ S si y sólo si la distancia al
punto Q = (2, −1, 3) es dos veces su distancia al plano z = 0. Determine
a) La ecuación que representa a S.
b) Grafique aproximadamente S e identifique la superficie.
c) En la superficie anterior, considere z > 0 y determine el dominio de f donde
z = f (x, y).
9. Sea A = {(1/n, 1/m) | n, m ∈ N} y B = {(x, y) ∈ R2 | ||(x, y) − (1, 1)|| <
Considere E = A ∪ B
2
}.
3
a) Grafique E
b) ¿Es abierto E ?
c) Determine IntE , E ′ .
10. Para cada uno de los siguientes conjuntos, determine si A es abierto, cerrado, acotado
y encuentre A′ , F rA, IntA.
a) A = {(x, y) ∈ R2 | xy > 0}
b) A = {(x, y) ∈ R2 | |y| < x2 } ∪ {(−1/n, 0) | n ∈ N}
c) A = {(x, y) ∈ R2 | 0 < ||(x, y)|| ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x = y, x >
2
d ) A = {(x, y) ∈ R | x ∈ R, y ∈ Q}
e) A = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + 2z = 4} ∩ {(x, y, z) ∈ R3 | z = 1}
f ) A = {(x, y, z) ∈ R3 | |x| + |y| < 4}
g) A = {(x, y) ∈ R2 | 0 < (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1} ∪
{(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ (x − 4)2 + (y − 1)2 ≤ 4}
h) A = {(x, y) ∈ R2 | |x + y| < 4}
i ) A = {(x, y) ∈ R2 | |y| < |x| ∧ |x| + y < 1} ∪ {(0, 0), (0, 1)}
11. Sea f (x, y) =
x2
|x|−|y|
a) Grafique su dominio.
b) Grafique sus curvas de nivel.
G
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c) Esboce la gráfica de f .
12. Sea f (x, y) =
y 2 +2x
y 2 −2x
a) Grafique su dominio.
b) Grafique sus curvas de nivel.
c) Esboce la gráfica de f .
13. Sea f (x, y) =
x2 +y 2
x2 −y 2
a) Grafique su dominio.
b) Grafique sus curvas de nivel.
c) Esboce la gráfica de f .
14. Sea f (x, y) =
xy−1
,
x2
f (x, y) ≥ 0
a) Grafique su dominio.
b) Grafique sus curvas de nivel.
c) Esboce la gráfica de f .
15. Sea f (x, y) = ln(x2 + y 2 − 1)
a) Grafique su dominio.
b) Grafique sus curvas de nivel.
c) Esboce la gráfica de f .
Lı́mite y Continuidad
16. Demuestre (usando la definición)
a) lı́m(x,y)−→(1,1) x + 3y = 4
√
2}
b) lı́m(x,y)−→(a,b) mx + ny = ma + nb
c) lı́m(x,y)−→(1,2) 3x2 + y = 5
d ) lı́m(x,y)−→(0,0)
2y 2 x
x2 +y 2
=0
e) lı́m(x,y)−→(0,0) (x + y)sen(1/x) = 0
f ) lı́m(x,y)−→(0,1) √
xy−x
x2 +(y−1)2
=0
17. Demostrar que para la función f dada, el lı́m(x,y)−→(0,0) f (x, y) no existe
x2 −y 2
x2 +y 2
b) f (x, y) =
x4 +3x2 y 2 +2xy 3
(x2 +y 2 )2
c) f (x, y) =
x2
x2 +y 2
d ) f (x, y) =
x4 y 4
(x2 +y 4 )3
e) f (x, y) =
x2 y 2
x3 +y 3
G
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a) f (x, y) =
18. Sea D = {(x, y) ∈ R2 | xy 6= kπ, k ∈ Z} y
f : D ⊂ R2 −→ R3
(x, y)
7→ (f1 (x, y), f2(x, y), f3(x, y))
√
ysen(2x) x2 y x2 +y 2 3x2 y
donde f (x, y) = xy3 +xy , sen(xy) , x2 +y2
a) Graficar el dominio D
b) Calcular (si existe ) lı́m(x,y)−→(0,0) f (x, y)
c) Usando la definición de lı́mite demuestre que el lı́m(x,y)−→(0,0) f3 (x, y) es el encontrado en (b).
19. Sea
f (x, y) =



x3 y 5
x6 +y 10
si (x, y) 6= (0, 0)
0
si (x, y) = (0, 0)
Analice la continuidad de f en R2
20. Sea f (x, y) = x1 sen(xy) si x 6= 0 ¿Es posible definir f cuando x = 0 de modo que f
sea continua en R2 ?
21. Sea
f (x, y) =
¿ Es f continua en (0, 0)?



xy
|x|+|y|
si (x, y) 6= (0, 0)
0
si (x, y) = (0, 0)
22. Sea
f (x, y, z) =
√


xyz
x2 +y 2 +z 2
si (x, y, z) 6= (0, 0, 0)
A
si (x, y, z) = (0, 0, 0)

¿ Existe una constante A de manera que f sea continua en (0, 0, 0)?
23. Encontrar A (si es posible) para que la función f sea continua en (0, 3)

x2 +(y−3)2
 x2 (y−3)2 +(x−(y−3))2 si (x, y) 6= (0, 3)
f (x, y) =

A
si (x, y) = (0, 3)
24. Sea
f (x, y) =


(y−2)2 sen(xy)
y 2 +x2 −4y+4
si (x, y) 6= (0, 2)
α
si (x, y) = (0, 2)
G
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
Encuentre α si existe para que f sea continua en (0, 2).
√
|xy|
25. Sea f (x, y) = x2 +y2
a) Determine Domf y el conjunto de puntos donde f sea continua.
b) Calcule (si existe) lı́m(x,y)−→(0,0) f (x, y)
26. Sea
f (x, y) =
 √

 (1+4x)(1+6y)−1
2x+3y


−2/3
si 2x + 3y 6= 0
si 2x + 3y = 0
a) ¿Es f continua en (0, 0) ?
b) ¿Es f continua en (−1, 2/3)?
27. Sea
f (x, y) =
a) Grafique Domf


xy
x2 +y 2
si |y| < x2
0
si (x, y) = (0, 0)

b) ¿Es f continua en (0, 0) ?
 xy
 x2 +y2 si (x, y) 6= (0, 0)
c) g(x, y) =
¿Es g continua en (0, 0)?

0
si (x, y) = (0, 0)
28. Sea
f (x, y) =
Calcular
∂f
∂x



x2 −3y
x+y
si x + y > 0
x−y
si x + y = 0
29. ¿ Es la función dada a continuación, continua en el punto P (1, −2)?
 (x−1)(y+2)
 (x−1)2 +(y+2)2 sen((x − 1)2 + (y + 2)2 ) si (x, y) 6= P
f (x, y) =

0
si (x, y) = P
Derivadas Parciales y Diferenciabilidad
30. Sea
1
x


f (x, y) =
sen(xy)
y

Determine
si x 6= 0
si x = 0
a) Si f es continua en (0, 0)
∂f
(0, 0)
∂y
∂f
(0, 0)
∂x
y


0
si (x, y) = (0, 0)
xy 3
y 3 +x2
si (x, y) 6= (0, 0)
existen.
G
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b) Si las derivadas parciales
31. Dada la función
f (x, y) =

a) Analizar la continuidad de f en R2
b) Calcular si existen
32. Sea
∂f
(0, 0), ∂f
(0, 0)
∂x
∂y
f (x, y) =
a) Hallar si existen
b) Hallar si existe
33. Sea

yx−y

 √(x−1)2 +y2


0
si (x, y) 6= (1, 0)
si (x, y) = (1, 0)
∂f
(0, 1), ∂f
(1, 0)
∂x
∂y
∂2f
(1, 0)
∂x∂y
f (x, y) =
a) Hallar si existen



(x−y)2
x2 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
1
si (x, y) = (0, 0)
∂f
(x, y), ∂f
(x, y)
∂x
∂y
b) ¿ Es f diferenciable en (0, 0) ?
34. Sea
f (x, y) =
a) Determine
∂f ∂f
,
∂x ∂y
(
x2 y 2
x2 +y 2
0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
y verifique que no son continuas en (0, 0)?
b) Calcule
∂2f
(0, 0)
∂x∂y
y
∂2f
(0, 0)
∂y∂x
c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
35. Sea
f (x, y) =
a) Obtener


x3 (1−y 2 )
x2 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
0
si (x, y) = (0, 0)

2
∂f
∂2f
(0, 0), ∂∂xf2 (0, 0), ∂x∂y
(0, 0)
∂x
si existen.
b) ¿ Es f diferenciable en (0, 0)?
36. Sea
2xy
x2 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
0
si (x, y) = (0, 0)

G
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f (x, y) =


a) ¿ Existen fx (0, 0), fy (0, 0)?
b) ¿ Son fx y fy continuas en (0, 0)?
c) ¿ Es diferenciable en (0, 0)?
37. Sea
f (x, y) =
sen(y 2 +|xy|)
y
si y 6= 0
0
si y = 0

a) ¿ Es f continua en (1, 0)?
b) Calcular si existen


∂f
(1, 0), ∂f
(1, 0)
∂x
∂y
c) ¿ Es f diferenciable en (1, 0)?
38. Sea
f (x, y) =
a) ¿ Es f continua en (0, 0)?


xy 3
x2 +|y|
si (x, y) 6= (0, 0)
0
si (x, y) = (0, 0)

b) ¿ Es f diferenciable en (0, 0)?
c) Determine si existen
d ) ¿ Es
e) ¿ Es
∂f
∂x
∂f
∂y
2
∂2f
(0, 0), ∂∂yf2 (0, 0)
∂x2
,
∂2f
(0, 0)
∂y∂x
continua e (0, 0)?
continua e (0, 0)?
39. Sea
f (x, y) =



x2 y
|senx|+|y|
si (x, y) 6= (kπ, 0), k ∈ Z
0
si (x, y) = (kπ, 0), k ∈ Z
a) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
b) ¿Es f diferenciable en (2π, 0)?
40. Sea
f (x, y) =



xy 2
x3 +y 2
si x3 + y 2 6= 0
0
si x3 + y 2 = 0
a) ¿ Es f diferenciable en el origen ?
b) ¿ En qué punto de la curva x3 + y 2 = 0 la función
∂f
∂x
es continua?
G
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41. Sea f : G ⊂ R2 −→ R función definida por
 x2 +y2
 x−y2 si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =

0
si (x, y) = (0, 0)
a) ¿ Determine G = Domf
b) ¿ Es f continua en (0, 0)?
c) ¿ Existen las derivadas parciales en (0, 0)?
d ) ¿ Es f diferenciable en (0, 0)?
e) Dibuje dos curvas de nivel de la función f
42. Sea f (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y)) con


f1 (x, y) =

f2 (x, y) =
a) ¿Es f continua en (0, 0)?
x3
x2 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
0
si (x, y) = (0, 0)

xy

 √x2 +y2


0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
c) ¿Es f diferenciable en (x, y) 6= (0, 0)?
d ) ¿Existe la matriz jacobiana de f en (0, 0)?
43. Sea
f (x, y) =
a) ¿Es f continua en (0, 0)?
b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
(
sen(x2 y)
|x|+|y|
0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
c) Determine, si existe
∂f
(1, π/2).
∂x
d ) Determine la derivada direccional en (1, π/2) y en la dirección del punto (1, 1), si
existe.
e) ¿Existe plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (0, 0, 0)?
44. Determine los valores de α para que f sea diferenciable en (0, 0).
 2
1
 (x + y 2 )α sen( x2 +y2 ) si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =

0
si (x, y) = (0, 0)
45. Sea
x2 y 2
x2 +y 2
0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
G
M uı́a
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f (x, y) =
(
a) Determine
b) Calcule
∂f ∂f
,
∂x ∂y
∂2f
(0, 0)
∂x∂y
y verifique que no son continuas en (0, 0)?
y
∂2f
(0, 0).
∂y∂x
c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
46. En un cierto instante t0 el radio y la altura de un cilindro recto son 10 y 5 cms
respectivamente. Si el radio crece a razón de 2cm/seg y la altura crece a razón de
1cm/seg encuentre con qué rapidez crece el volumen del cilindro en el instante t0 .
Derivada Direccional
47. Sea
f (x, y) =
(
x+y+
0
x3 y
x4 +y 2
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
Determine
a) Máximo dominio de continuidad de f .
b) Máximo dominio de diferenciabilidad de f .
c) Derivada direccional de f en (0, 0) en todas las direcciones.
48. Hallar la derivada direccional de F (x, y) = x2 − 3y + 2y 2 − 1 en el punto P (1, 2) en la
dirección de P¯Q donde Q(−1, 1).
49. Calcular la derivada direccional de f (x, y, z) = x2 − 8xy + z 2 en la dirección de un
vector normal a la superficie x2 + y 2 + z 2 − 33 = 0 en el punto (4, 4, 1).
50. Hallar la variación de la función ψ = xyz 2 en la dirección normal a la superficie
x2 + y 2 + z 2 = 29 en el punto P (4, 3, 2) ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar la
variación de ψ en P ?
51. Hallar la derivada direccional de la función µ = x2 − 3yz + 5 en el punto P (1, 2, −1)
en la dirección que forma ángulos iguales con los tres ejes coordenados.
52. La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa rectangular en el plano xy
está determinada por
T (x, y) = x2 + y 2
a) Encontrar la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (3, 4) en la dirección
que forma una ángulo π/3rad con la dirección positiva x.
b) Encontrar la dirección para la cual la rapidez de cambio de la temperatura en el
punto (−3, 1) es un máximo. ¿Cuál es ese valor máximo?
53. Encontrar la dirección desde el punto (1, 3) para la cual el valor de f no varı́a si
f (x, y) = e2y arctan(
y
)
3x
G
M uı́a
m ate De
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54. Hallar la derivada direccional de u = 2x3 y − 3y 2 z en P (1, 2, −1) en una dirección hacia
Q(3, −1, 5).
En qué dirección a partir de P es máxima la derivada direccional?
¿Cuál es la magnitud de la derivada direccional máxima?
2
55. Demostrar que la derivada direccional de la función f (x, y) = yx tomada en cualquier
punto de la elipse 2x2 + y 2 = c2 en la dirección de la normal a dicha elipse es cero.
56. Determine a, b, c ∈ R de modo que la derivada direccional en dirección de eje OZ, de
la función f (x, y, z) = axy 2 + byz + cz 3 x3 tenga el valor máximo igual a 64 en el punto
(1, 2, −1).
57. Sea f diferenciable en U con U ⊂ R2 tal que la derivada direccional de f en el punto
(1, 2) es 2 en la dirección del vector (2, 2) y −3 en la dirección del vector (1, −1).
a) Determine ∇f (1, 2).
b) Calcule la derivada direccional de f en el punto (1, 2) en la dirección del vector
(4, 5).
58. De todas las rectas tangentes a la superficie z = x2 + 4y 2 trazadas en el punto (2, 1, 8)
halle la que tiene máxima pendiente.
59. Considere la función de z, definida implı́citamente por la relación
1
z 2 − xyz = −y con z > 0
6
a) Determine la derivada direccional en el punto (1, −6) en dirección hacia el punto
(3, −2).
b) Determine la derivada direccional en el punto (1, −6, 2) en dirección que forma
un ángulo de 60◦ con le eje y.
c) Determine en qué dirección la derivada direccional alcanza su valor máximo
¿Cuánto es ese valor máximo?
Regla de la Cadena
60. Sea f (x + 2y) + g(x − 2y) = u con f y g al menos dos veces diferenciables. Demostrar
que
1
uxx − uyy = 0
4
61. Sea w = h(y − x − t, z − y − t), donde h es diferenciable. Demostrar que
∂w ∂w ∂w
∂w
+2
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂t
62. Sean f : R3 −→ R, h : R2 −→ R y g : R −→ R funciones diferenciables.
Sea F (x, y) = f (x, g(x), h(x, y)). Hallar una expresión para las derivadas parciales de
F.
G
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63. Sea F : R −→ R tal que, es al menos la segunda derivada es continua y sea z(x, y) =
xF (y/x), x 6= 0
a) Demostrar que
x
b) Determine
∂2z
∂x∂y
,
∂z
∂z
+y
=z
∂x
∂y
∂2z
.
∂y 2
64. Sea f (x, y, z) una función de R3 en R con todas su segundas derivadas continuas.
Definimos
w = f (u − v 2 , 3u − v, 3u2 − 2v) = f (g(u, v)).
2
∂ w
Determine ∂u∂v
(1, 2), sabiendo que para P (−3, 1, −1), fx (P ) = 0 = fz (P ), fy (P ) =
1 = fxy (P ), fyy (P ) = 2 = fzz (P ), fxz (P ) = fyz (P ) = fxx (P ) = −3
65. Sea F = f ◦ g donde g(u, v) = (u cos a cos v, u cos asenv, usena) y f (x, y, z) = x2 + y 2
a) Demostrar que
∂F
∂v
=0
b) Sabiendo que G = f (x, y) y que x = r cos θ, y = rsenθ Demostrar que
2 2 2
2
∂G
∂G
∂G
1 ∂G
+
=
+ 2
∂x
∂y
∂r
r
∂θ
2
66. Sea z = xf ( xy ), donde f es tal que su segunda derivada es continua.
∂z
∂z
a) Demuestre xy ∂x
+ 2y 2 ∂y
= yz
b) Determine
∂2z
∂x∂y
67. Demostrar que si f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) se cumple la relación
∂2f
∂2f
+
=0
∂x2
∂y 2
68. Sea f : R2 −→ R2 tal que f (x, y) = (u, v) donde u = x + x2 + y, v = x2 + y 2 . Encuentre
si existe ∂x
(3, 2) sabiendo f (1, 1) = (0, 0).
∂v
69. Mostrar que la función u = ln(x2 + y 2 + z 2 ) satisface la relación
u = 2 ln 2 − ln(∇u)2
70. Sea f : R2 −→ R2 , g : R3 −→ R2 definidas por
f (x, y) = (ex+2y , sen(y + 2x)), g(u, v, w) = (u + 2v 2 + 3w 3, 2v − u2 ) .
Calcular la matriz jacobiana de h = f ◦ g en (1, 1).
71. Una función u está definida por la fórmula
u = xyf (
x+y
)
xy
a) Demuestre que u satisface la ecuación
∂u
∂u
− y2
= uG(u, v)
∂x
∂y
G
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x2
b) Encuentre G(x, y).
72. Sea f : R2 −→ R, función clase C 2 , y sea g : R2 −→ R2 definidas por g(u, v) = (u+v, vu)
y w = f ◦g, tal que P (2, 1), fx (P ) = 3, fy (P ) = −2, fxx (P ) = 1, fyy (P ) = 2, fxy (P ) =
1 = fyx (P ).
Calcular
∂2w
(1, 1)
∂u∂v
73. Sean f : R3 −→ R2 , g : R2 −→ R3 definidas por
f (u, v, w) = (u2 , v 2 + 2w), g(x, y) = (xy, sen(xseny), x|y|).
Sea F = f ◦ g. Calcular la matriz jacobiana en (0, 0).
∂z
∂z
74. Si z = xn f (y/x) compruebe que x ∂x
+ y ∂y
= nz
75. Sea z = F (exy , y), encontrar
∂2z
∂x∂y
76. Sea w = F (xz, yz), F diferenciable. Probar que
x
∂w
∂w
∂w
+y
=z
∂x
∂y
∂z
77. Si u = F (x, y), x = es cos t, y = es sent. Demostrar que
2
∂2u ∂2u
∂2u
2s ∂ u
+
=
e
(
+
)
∂s2
∂t2
∂x2 ∂y 2
78.
a) Sea v = f (x, x), encuentre v ′ .
b) Sea u : R −→ R2 , u(x) = (x, f (x, x)), encuentre u′
c) Sea φ(x) = f (x, f (x, x)), con f (1, 1) = 1, f1 (1, 1) = a, f2 (1, 1) = b. Calcular
φ′ (1)
79. Sea u(x) = F (x, f (x)) con f (1) = 2, F1 (1, 2) = 3, F2 (1, 2) = 5, f ′ (1) = 1. Calcular
u′ (1)
80. Sea f : R2 −→ R una función clase C 1 en una vecindad del punto (1, 1) y tal que
f (1, 1) = 0, D1 f (1, 1) = D2 f (1, 1) = −1. Considere la ecuación
1 + f (3y − 2z, 2x − z) = cos(f (x + y − z, x − y + z))
Estudie la existencia de una función g de R2 en R diferenciable en (1, 1) tal que en
una vecindad de (1, 1, 1) se tenga que z = g(x, y).
81. Si u = 9x2 + 4y 2 , x = r cos θ, y = rsenθ. Encontrar
∂2u
.
∂r 2
82. Sean f : R3 −→ R2 , g : R2 −→ R definidas por
f (x, y, z) = (x2 + z, x2 − yexz ), g(x, y) = x2 − y 2.
a) ¿Es f diferenciable en R3 ?
b) Calcule f ′ (1, 0, 2) y la diferencial en (1, 0, 2)
c) Determine si es posible (g ◦ f )′ (1, 0, 2).
G
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83. Sea g : R2 −→ R3 , g(x,
y, z) = (cos(xy), sen(xseny), x|y|) y sea f : R3 −→ R2 con
2u 0 0
Df (u, v) =
derivada de f en (u, v)
0 2v 2
Sea F = f ◦ g : R2 −→ R2 . Calcular la derivada de F en (0, 0).
84. Una función f : Rn −→ R es homogénea de grado m si f (tx) = tm f (x),
∀x ∈ Domf .
Si f además es diferenciable, probar que
n
X
∂f (x)
i=1
∂xi
= mf (x)
Ayuda: Si g(t) = f (tx), hallar g ′ (1) de dos maneras
85. Sea f (u, v) una función continuamente diferenciable en R2 . Si z = g(x, y) es una
función definida implı́citamente por
f (x2 + y, 2x − z 2 ) = 0
Demuestre
z
∂z
∂z
− 2xz
=1
∂x
∂y
86. Sea z una función en x e y dada por xyz = f (x2 + y 2 − 2z), donde f es una función
continuamente diferenciable. Encuentre la constante k tal que
x(y 2 + z)
∂z
∂z
− y(x2 + z)
= kz(y 2 − x2 )
∂x
∂y
87. Considere la función f (u, v) continuamente diferenciable y sea z una función en x e y
dada por
f (x2 − y 2, y 2 − z 2 ) = 0
Demuestre
yz
Interpretación Geométrica
∂z
∂z
+ zx
= xy
∂x
∂y
88. Sea f : G ⊂ R2 −→ R función, con G = {(x, y) ∈ R2 | xy 6= kπ, k ∈ Z − {0}} tal que
 sen(x)

 1+cos(xy) si xy = 0
f (x, y) =

 (xy)3
si xy 6= 0
sen2 (xy)
a) ¿ Es f continua en (0, 0)?
b) ¿ Es f diferenciable en (0, 0)?
c) ¿ Es f continua en (π/2, 0))?
d ) ¿ Existen
∂f
∂2f
∂2f
(π/2, 0), ∂f
(π/2, 0) ∂x∂y
(π/2, 0) ∂y∂x
(π/2, 0)?
∂x
∂y
e) ¿ Determine
∂f
∂x
especificando su dominio?
f ) ¿ Existe el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P = (0, 0, 0)?
G
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89. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene con la intersección
de la superficie:
p
z = x2 − 4y 2 − 4
y el plano x = 3 en el punto (3, 1, 1).
90. Sea z = 12 − x2 − xy − y 2 . Determine el punto de tangencia, donde el plano tangente a
su superficie sea perpendicular al vector v = (−4, −5, −1). Hallar la ecuación de dicho
plano tangente.
91. ¿En qué punto de la superficie z = 3xy − x3 − y 3 el plano tangente es horizontal
(paralelo al plano z = 0)?
92. Determine el valor que toma la función
z = f (x, y) =
x2 + 2y 2
si x + y 6= 0
(x + y)2
cuando el plano tangente a su superficie es horizontal
93. En qué puntos de la superficie z = 9 − x2 − (y − 2)2 el plano tangente es paralelo al
plano π : 2x + 4y + 2z = 5
94. Determine la ecuación de la recta tangente a la superficie x2 + y 2 + z 2 = 9 en el punto
(2, 2, 1) y que está contenida en plano y = 2
95. Demostrar que todos los planos tangentes a la superficie z = xf ( xy ) se cortan en el
mismo punto (f es diferenciable).
√
√
96. a) √
Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación x + y +
z = d en el punto (a, b, c) de la superficie.
b) Calcule las coordenadas de las intersección de dicho plano tangente con los ejes
coordenados.
c) Demuestre que la suma de las coordenadas halladas en (b) es una constante que
no depende de (a, b, c).
97. Considere la superficie x2 +4y 2 +2z 2 = 7. Encuentre los planos tangentes a la superficie,
paralelos al plano x + y + z = 2
98. Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal de
sen(xy) + sen(yz) + sen(xz) = 1 en (1, π/2, 0).
99. Determine la ecuación del plano tangente a la superficie
x2 + y 2 − z 2 − xy = senz en el punto (0, 0, 0).
√
100. Las tres ecuaciones F (u, v) = 0, u = xy, v = x2 + z 2 definen
√ una superficie en
3
R . Hallar un vector normal a esa superficie en el punto (1, 1, 3), si se sabe que
DF1 (1, 2) = 1 y D2 F (1, 2) = 2.
101. Dadas las superficies
G
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√
√
√
√
S1 :
x+ y+ z = 3 a
S2 : −2x2 + 2xy + a = z
Encontrar π1 y π2 donde πi es el plano tangente a la superficie Si en el punto (a, a, a).
102. Dos superficies son tangentes entre si en un punto si tiene el mismo plano tangente en
ese punto. Verificar si la esfera x2 + y 2 + z 2 = 8 y el cilindro yz = 4 son tangentes en
el punto (0, 2, 2).
103. El ángulo formado por dos superficies en un punto común, se define como el ángulo
formado por los planos tangentes. Encontrar el ángulo formado por las superficies
xy 3 + z = −23, xy + ln z = −6 en el punto (3, −2, 1) de intersección.
104. Determine el valor que toma la función
z = f (x, y) =
x2 + 2y 2
si x + y 6= 0
(x + y)2
¿Cuándo el plano tangente a su superficie es horizontal?
105. Pruebe que la suma de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier plano
tangente a la superficie
√
√
√
√
x + y + z = λ, λ > 0 es constante.
106. Sea ~n un vector unitario tangente a la esfera S : (x − 1)2 + (y − 2)2 + z 2 = 11 en el
punto P0 (2, 1, 3) y que está sobre el plano π : 2x − 7y + z = 0.
Sea f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Hallar
∂f
(P0 )
∂~
n
Función Inversa e Implı́cita
107. Sea z = f (x, y) una función definida implı́citamente por
2ez + x2 y + z 2 y − zx = 1
Calcule si es posible
∂2z
(P )
∂x∂y
donde P = (1, −1, 0)
108. Sea F : R2 −→ R2 tal que F (x, y) = (x + x2 + y + y 2 , x2 + y 2 ) = (u, v). Determine si
existen x e y en términos de u, v en una vecindad del punto (8, 5) = F (1, 2). Si es ası́,
Halle ∂x
(8, 5).
∂v
109. Considere la función F (x, y) = x2 − y 2 + 4x + 2y + 3
a) ¿Para qué puntos (a, b) de la relación F (x, y) = 0 es posible resolver y en función
de x?
b) ¿Dónde es posible resolver x en función de y?
110. Sea T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (f (x, y), g(x, y)) = (u, v) y suponga que T
−1
posee una inversa diferenciable tal que T (u, v) = (h(u, v), k(u, v)). con f (−1, 3) =
−1 4
2, g(−1, 3) = −3 y T ′ (−1, 3) =
−2 6
∂h
(2, −3)
∂v
G
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v. ic a
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Determine
111. Sea f : R2 −→ R una función clase C 1 en una vecindad del punto (1, 1) y tal que
f (1, 1) = 0, D1 f (1, 1) = D2 f (1, 1) = −1. Considere la ecuación
1 + f (3y − 2z, 2x − z) = cos(f (x + y − z, x − y + z))
Estudie la existencia de una función g de R2 en R diferenciable en (1, 1) tal que en una
vecindad de (1, 1, 1) se tenga que z = g(x, y)
112. Dada la relación x2 + y 2 − z 2 − xy = senz. Pruebe que es posible expresar z en función
∂z
de x e y en un vecindad del origen (0, 0, 0) y calcule ∂x
(0, 0).
113. Sea f (x, y, z) = x3 y + xy 3 z + 2xz 3 + 8y + 16z = 0 definida en una vecindad del punto
P (−2, 2, 0). Cuál(es) de las variables x, y, z es(son) funciones implı́citas de las otras
en una vecindad de P .
114. Si f (x, y, z) = 0. Demuestre que bajo condiciones apropiadas
∂x ∂y ∂z
= −1
∂y ∂z ∂x
115. Pruebe que la transformación
x = ln(u + v)2
√
y =
v
es invertible en una vecindad del punto (u, v) = (2 ln 2, 2) y encuentre una expresión
para la transformación inversa.
116. El punto (x, y, t) = (0, 1, −1) satisface las ecuaciones
xyt + senxyt = 0
x+y+t = 0
a) ¿Están x, y definidas implı́citamente como función de t en una vecindad de
(0, 1, −1)?
b) De ser ası́, halle
∂x
∂t
y
∂y
∂t
en (0, 1).
117. Sea
f (x, y) =
(
sen(x2 y)
|x|+|y|
0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
a) ¿Es f continua en (0, 0)?
b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
c) Determine, si existe
∂f
(1, π/2)
∂x
d ) Determine la derivada direccional en (1, π/2) y en la dirección del punto (1, 1), si
existe.
e) ¿Existe plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (0, 0, 0)?
G
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118. Considere la transformación u = x2 + y 2 , v = 2xy
a) ¿Para qué puntos (x, y) la transformación es invertible?
b) ¿Si se sabe que el punto (x, y) = (1, 2) es llevado al punto (u, v) = (5, 4) por la
transformación (x, y) → (u, v). Halle en forma explı́cita la transformación inversa
(si es que existe) que lleva (u, v) en (x, y) y tal que (5, 4) → (1, 2) ¿En dónde es
valida este transformación?
Calcule ∂(u,v)
(1, 2) y ∂(x,y)
(5, 4)
∂(x,y)
∂(u,v)
119. Sea z = u2 (x, y)v(x, y) con u y v funciones diferenciables tal que
usen(2x + y) + v 2 = 6v
x + 2(av + 1)2 = 3u, a ∈ R
Si u(0, 0) = 2/3, v(0, 0) = 0. Determine ∂z
(0, 0) si existe.
∂y
√
√
120. El punto (x, y, u, v) = (1, 1, 2, − 2) satisface las ecuaciones
x + y + uv = 0
uxy + v = 0
¿están u, v definidas implı́citamente como función de t en una vecindad del origen? De
ser ası́ halle Du, Dv en el origen.
121. Considere el elipsoide de ecuación
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
a) Demuestre que la ecuación del plano tangente al elipsoide en el punto P0 (x0 , y0 , z0 )
es
x0 x y0 y z0 z
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
b) Considere a = 1, b = 2, c = 3. Si z = f (x, y) es una función definida implı́citamente por la relación ( ??). Encuentre la ecuación de la recta
√ tangente a la
superficie z = f (x, y) de máxima pendiente en el punto (1/2, 1, 3 2/2).
122. Considere las siguientes relaciones
u+v = x
u + v2 = y
2
a) En qué puntos P (x, y, u, v) las relaciones definen implı́citamente a u y v como
funciones diferenciables de x e y en una vecindad de P (x, y).
b) Considere z = u3 + v 3 función diferenciable de x e y. en una vecindad de los
∂z
puntos P (x, y). Calcular si existe ∂x
(x0 , y0 ) donde P (x0 , y0 , u0, v0 ).
G
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c) Expresar z como función explı́cita de x e y. Comente este resultado con respecto
a su dominio.
123. Sean f : R3 −→ R, h : R2 −→ R y g : R −→ R funciones diferenciables.
Sea F (x, y) = f (x, g(x), h(x, y)). Hallar una expresión para las derivadas parciales de
F.
124. Sea T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (f (x, y), g(x, y)) = (u, v) y suponga que T
−1
posee una inversa diferenciable tal que T (u, v) = (h(u, v), k(u, v)). con f (−1, 3) =
−1
4
2, g(−1, 3) = −3 y T ′ (−1, 3) =
−2 6
Determine
∂h
(2, −3).
∂v
125. Sean G = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0} ⊆ R2 y T : G → R2 tal que T (x, y) = (xy, xy ).
a) ¿Es T invertible en G globalmente?
b) ¿Es T invertible con inversa diferenciable en una vecindad de punto (−1, 2)? De
ser ası́, determine explı́citamente una expresión para T −1 en una vecindad de
T (−1, 2)
c) Determine , si existen (T −1 )′ (−2, −2) y (T −1 )′ (T (1, 0)).
d ) Graficar T (D) donde
D = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y ≤ 2x; 1 ≤ xy ≤ 2}
es la región
126. Dada la relación x2 + xy + y 2 + xy 2 + x + 1 = 0,
a) Demostrar que la relación define a y como función diferenciable de x en una
vecindad del punto (−1, 1).
b) Sea F : R2 −→ R una función de clase C 2 tal que D1 F (−1, 1) = D2 F (−1, 1) = 2;
D22 F (−1, 1) = −1; D11 F (−1, 1) = 1; D12 F (−1, 1) = 1.
Encontrar la derivada del segundo orden de la función g(x) = F (x, y(x)) en el
punto x = −1.
127. Sea u y v funciones de x, y, z que satisfacen las relaciones
uv = ax + by + cz
v 2 = x2 + y 2 + z 2
Mostrar que
x
128. Sea T :
∂u ∂u
∂u
+y
+
= 0 con v 6= 0
∂v
∂y ∂z
R2 −→
R2
2
2
(x, y) 7→ (x − y , x2 + y 2 + 1)
a) ¿Es T invertible con inversa diferenciable en una vecindad del punto (1, 1)? De ser
ası́ determine explı́citamente una expresión para T −1 en una vecindad de T (1, −1).
b) Calcular (T −1 )′ (0, 3) y (T −1 )′ (T (0, 2)). si existen.
G
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c) Graficar T (D) donde
D = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0; 3y ≤ x; 1 ≤ x2 − y 2 ≤ 4}
es la región
129. Considere S : z 2 x2 = y 2
a) Determine (si existen) planos tangentes a la superficie S, paralelos al plano x −
y+z =1
b) Demostrar que la relación define a z como función diferenciable de x e y (z =
f (x, y)) en una vecindad del punto (−2, 4, 2).
c) Hallar la derivada direccional de f en el punto (−2, 4) en la dirección que va desde
este punto hasta el punto (−6, 5)
d ) Sea F (x, y, z) = 3x + 4y 2 + z 3 y
Calcular la derivada de g en el punto (−2, 4) (es decir g ′(2, 4)) donde g(x, y) =
F (x, y, f (x, y)).
130. Dada la función z = f (x, y) definida implı́citamente por la ecuación
z 2 x + x2 y + zxy 2 = 0
Determine la recta tangente de máxima pendiente en el punto (1, 1, −1). Calcular tal
pendiente máxima.
Problemas de máximos y mı́nimos
131. Supongamos que x2 y + yz 2 −y 2 x−z = y define implı́citamente en un entorno del punto
(1, 1) la función de utilidad z > 0 respecto a la producción de x e y unidades de dos
bienes x e y. Determine en (1, 1).
a) La variación de la utilidad si x variar en 0,01 e y varı́a en 0,02
b) La dirección en que ha de varı́a x e y para que la variación de la utilidad sea
máxima.
c) La variación máxima posible.
132. Encontrar los máximos y mı́nimos de f (si existen)
a) f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 20
b) f (x, y) = x2 + 3y 2 + 2xy
c) f (x, y) = x3 + 3xy − y 3
d ) f (x, y) = x2 + 4y 2 − x + 2y
e) f (x, y) = x4 + y 3 + 32x − 9y
f ) f (x, y) = ex seny
g) f (x, y) =
4y+x2 y 2 +8x
xy
h) f (x, y) = (x2 + 3y 2)e−x
2 −y 2
G
M uı́a
m ate De
at m pa
.u át rt
v. ic a
cl/ as m
dj U ent
im .V o
en .
ez
133. Determine los extremos de la función (si existen)
f (x, y) = x4 + 2x2 y + (y − 1)2 − 2x2 + 4
134. Determinar el máximo y el mı́nimo absoluto de la función
z = 2x2 − 2xy + y 2 + 5x − 3y
con dominio sobre la región acotada por x = 0, y = 0, y = x + 3
135. Determinar el máximo y mı́nimo absoluto (si existen) de la función
z = x3 + y 3 − 3xy
en la región, 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2
136. Determinar la distancia máxima y mı́nima del origen a la curvas
a) 5x2 + 6xy + 5y 2 − 8 = 0
b) z 2 = (x − 1)2 + (y − 2)2
c)
x2
4
+
y2
9
+ z2 = 1
137. Determinar la distancia máxima y mı́nima de P a la superficie
a) 4x − 3y + z = 5 y P (2, 1, −1)
b) x2 + y 2 + z 2 = 9 y P (2, 3, 4)
138. Encontrar el máximo y el mı́nimo de f (x, y) = xy 2 sujeto a la condición
x2
4
+
y2
9
=1
139. En qué puntos toma valores máximos o mı́nimos relativos la función f (x, y) = x2 +
2xy + 3y 2 + x + y en la región x2 + y ≥ − 12
140. Encuentre el máximo y el mı́nimo absoluto de f suponiendo que el dominio es la región
R ⊂ R2 indicada.
a) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2, con R = [−2, 4] × [−1, 3]
b) f (x, y) = x3 + 3xy − y 3 , donde R es el triángulo con vértices (1, 2), (1, −2),
(−1, −2).
c) f (x, y) = x2 + 4y 2 − x + 2y, con R = {(x, y) | x2 + 4y 2 ≤ 1}
d ) f (x, y) = senx + seny + sen(x + y), con R = [0, 2π] × [0, 2π]
141. Probar que si α, β y γ son ángulos agudos tales que α + β + γ = π/2, entonces
senα senβ senγ ≤
1
8
142. Determine los valores extremos y los puntos silla, si existen de la función f (x, y) =
xy(1 − (x2 + y 2)) en el cuadrante 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
G
M uı́a
m ate De
at m pa
.u át rt
v. ic a
cl/ as m
dj U ent
im .V o
en .
ez
143. Determine los extremos de la función f (x, y) = x2 + (y − 1)2 + 1 sujeto a la región
4x2 + y 2 ≤ 4
144. Se desea construir un tarro cilı́ndrico (con tapa), de latón para contener 16 litros de
agua. Si el metro cuadrado de ese material tiene un valor de $450. ¿Cuál es el costo
mı́nimo de su construcción?
145. Determine las dimensiones de una caja rectangular sin tapa con volumen 32m3 si se
quiere usar la mı́nima cantidad de material en su manufactura.
146. Encuentre las dimensiones del paralelepı́pedo rectangular de volumen máximo, con
caras paralelas a los planos coordenados, que puede inscribirse en el elipsoide 16x2 +
4y 2 + 9z 2 + 144.
147. Calcule las dimensiones del paralelepı́pedo rectangular de volumen máximo que tiene
tres caras en los planos coordenados, un vértice en el origen y otro vértice en el primer
octante sobre el plano 4x + 3y + z = 12.
148. Una compañı́a planea fabricar cajas cerradas con la forma de un paralelepı́pedo rectangular con un volumen de 8pie3 . El material de la tapa y del fondo cuesta el doble
que el de los lados. Calcule las dimensiones para que el costo sea mı́nimo.
149. Un servicio de reparto de paquetes requiere que las dimensiones de una caja rectangular,
sea tal que el largo más el doble del ancho más el doble de la altura sea menor o igual
a 108 pulgadas ¿Cuál es el volumen de la caja más grande que podrá despachar la
empresa?
150. Una compañı́a que fabrica dos artı́culos tiene función de ingreso;
R(x, y) = 40x − 5x2 + 30y − 3y 2
(x e y cantidades en miles). Si la función de costo correspondiente es
C(x, y) = x2 + 2xy + 3y 2
Encontrar las cantidades x e y que maximizan la ganancia sabiendo que
x + y ≤ 6.
151. Una fábrica produce dos tipos de maquinaria pesada x e y. La función costo está dada
por;
C(x, y) = x2 + 2y 2 − xy
Para minimizar el costo ¿Cuántas máquinas de cada tipo debe producir si el total debe
ser de 8 máquinas?
152. Una placa circular tiene la forma del disco x2 + y 2 ≤ 1. La placa se calienta de modo
que la temperatura en cualquier punto (x, y) es T (x, y) = x2 + 2y 2 − x.
Localizar los puntos más calientes y más frı́os y hallar la temperatura en esos puntos.
153. Calcular los máximos y mı́nimos de f (x, y) = xy restringida a la elipse 4x2 + y 2 = 4.
154. Sea f (x, y, z) = 4x2 + y 2 + 5z 2 . Encontrar los puntos del plano 2x + 3y + 4z = 12 en
el que f (x, y, z) alcanza su valor mı́nimo.
G
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en .
ez
155. Sea C la parte en el primer octante del arco de curva que es la intersección del
paraboloide 2z = 16 − x2 − y 2 con el plano x + y = 4. Encontrar los puntos de C
más cercanos al origen y los más lejanos. Calcular las distancia mı́nima y máxima de
C al origen.
156. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro recto con tapa. ¿Qué dimensiones producen el volumen máximo, suponiendo que el área de la superficie tiene
un valor fijo S?
157. La resistencia de una viga de sección transversal rectangular es proporcional al producto
de su anchura y el cuadrado de su peralte(altura). Encuentre las dimensiones de la viga
rectangular más resistente que se puede extraer de un tronco cilı́ndrico cuyas secciones
transversales son elipses con eje mayor de 24cm y eje menor de 16cm.
158. Para fabricar f (x, y) unidades de cierto producto se requieren x unidades de capital
e y unidades de mano de obra. La función de producción de Cobb-Douglas se define
como f (x, y) = kxa y b donde k es una constante y a y b son números positivos tal que
a + b = 1. Supongamos que f (x, y) = x1/5 y 4/5 , y cada unidad de capital tiene un costo
C y cada unidad de mano de obra tiene un costo L, y que la cantidad monetaria total
disponible para cubrir estos gastos es M, de manera que Cx + Ly = M. ¿Cuántas
unidades de capital y de mano de obra deben emplearse para lograr la producción
máxima?
159. Se desea construir la tolva de un silo ( o elevador de grano) en forma de un cono circular
recto de 2 pie de radio de un cono circular recto como en el dibujo. El volumen de la
tolva debe ser 100 pie3 . Calcular la altura h y k del cilindro y del cono respectivamente
para que el área de la superficie sea mı́nima.