Orientaciones
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ETS Minas: Métodos matemáticos Guía de estudio: Tema 7 EDOs de primer orden Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Noviembre 2008, versión 1.1 1 Introducción El contenido del tema es el siguiente: 1. Conceptos básicos. 2. Métodos exactos para la resolución de EDOs de primer orden. 3. Métodos numéricos. 4. Aplicaciones. 2 Objetivos 2.1 Teóricos Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de: • Diferenciar entre ecuaciones diferenciales ordinaria (EDO) y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. • Determinar el orden de una EDO. • Escribir una EDO en forma normal. • Decidir si una EDO es lineal y escribir la EDO lineal homogénea asociada. • Manejar la notación diferencial M dx + Ndy = 0. • Definir solución de una EDO, distinguir entre soluciones implícitas y explícitas. • Distinguir entre familias de soluciones y soluciones particulares. • Determinar la EDO que define una familia de curvas. • Distinguir entre problemas de valor inicial y problemas de valores de contorno. 1 Francisco Palacios Tema 7: EDO’s de primer orden. 2 • Definir las soluciones singulares y calcularlas cuando sea necesario. • Identificar y resolver EDOs de variables separables. • Identificar y resolver EDOs homogéneas. • Identificar y resolver EDOs exactas. • Identificar ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y escribirlas en forma estándar. • Escribir y aplicar las propiedades de las soluciones de ecuaciones lineales. • Escribir la EDO lineal homogénea asociada y calcular la solución general. • Aplicar el método de variación de parámetros para determinar una solución particular de una EDO lineal completa. • Aplicar la condición suficiente existencia y unicidad de soluciones para problemas de valor inicial de primer orden. • Aproximar la solución de un problema de valor inicial mediante: — el método de Euler, — el método de Euler modificado, — el método de Taylor de segundo orden. • Definir error de truncamiento. • Construir el modelo matemático de algunas aplicaciones típicas como el crecimiento bacteriano, crecimiento de población, enfriamiento de cuerpos, etc. 2.2 Cálculo manual Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de: • Calcular, una familia de soluciones para EDOs sencillas de los tipos — variables separables, — homogéneas, — exactas. • Calcular la solución general de ecuaciones lineales de primer orden sencillas, determinando para ello: Francisco Palacios Tema 7: EDO’s de primer orden. 3 — la solución general de la EDO homogénea asociada; — una solución particular de la EDO completa mediante el método de variación de parámetros. • Resolver problemas de valor inicial sencillos con EDOs de los tipos anteriores, expresando cuando sea posible la solución en forma explícita. • Dado un problema de valor inicial sencillo, escribir las fórmulas de recurrencia correspondientes y calcular algunos pasos para los métodos de Euler, Euler modificado, Taylor de segundo orden. • Resolver problemas de aplicación sencillos construyendo un modelo matemático mediante una ecuación diferencial. 2.3 Cálculo con ordenador Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de: • Escribir ecuaciones diferenciales siguiendo la sintaxis de Maple. • Calcular una familia de soluciones con dsolve. • Forzar la presentación de soluciones explícitas con la opción explicit=true. • Resolver problemas de valor inicial con dsolve. • Extraer una expresión correspondiente a la solución usando el comando rhs. • Representar gráficamente la solución de un problema de valor inicial. • Aproximar numéricamente la solución de un problema de valor inicial usando la opción type=numeric de dsolve. • Usar la notación de índices y el comando rhs para extraer adecuadamente los valores aproximados que resultan de los procedimientos numéricos de dsolve. • Seleccionar el método numérico con la opción method de dsolve; modificar el step con stepsize. • Representar curvas integrales y el campo de pendientes con el comando DEplot de la librería DEtools. • Aplicar todo lo aprendido en la resolución de problemas de aplicación. Francisco Palacios 3 Tema 7: EDO’s de primer orden. 4 Orientaciones para el estudio • Resuelve manualmente los ejemplos del Resumen de clase correspondientes a la Sección 1: Conceptos básicos. asegúrate de que comprendes y manejas bien todas las definiciones. • Resuelve manualmente los ejemplos del Resumen de clase correspondientes a la Sección 2: Métodos analíticos para la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Pon especial atención en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Aunque existen varios métodos para determinar soluciones particulares de la ecuación lineal completa, nosotros sólo usaremos el método de variación de parámetros. • En la Sección 3: Métodos numéricos, céntrate en el método de Euler y el método de Taylor de 2o orden. Si no dispones de tiempo, puedes omitir el método de Euler modificado; también puedes omitir el estudio detallado de la deducción de los métodos. • Resuelve los ejemplos de aplicación de la Sección 4. • Resuelve los ejercicios que se indican a continuación sobre EDOs separables y EDOs lineales. Procura no encallarte, en caso necesario, estudia la resolución que aparece en los ejercicios resueltos. — EDOs separables: ejercicios 1,3,4,5,6. — EDOs lineales: ejercicios 16.1—16.6, 17. • Resuelve los siguientes ejercicios sobre EDOs homogéneas y exactas. (Si dispones de poco tiempo, puedes omitir alguno de estos ejercicios.) — EDOs homogéneas: ejercicios 7.1,7.2,7.3,8. — EDOs exactas: ejercicios 10.1,10.2,10.2,11. • Métodos numéricos: ejercicios 22 y 23; si tienes poco tiempo puedes omitir el apartado correspondiente al método de Euler modificado. • Problemas de aplicación: ejercicios 25,26,28,30,31. • Resuelve con Maple los problemas 22 y 23. Representa gráficamente las soluciones. Francisco Palacios 4 Tema 7: EDO’s de primer orden. 5 Temporalización Aproximadamente, el tiempo necesario para cubrir el tema es el siguiente: Actividad Explicación teórica, ejemplos Ejemplos, problemas Prácticas ordenador Leer guia estudio, resumen Problemas a mano Hacer práctica Poblemas con Maple Cuestionario 5 Tipo Clase teoría Clase prácticas Clase prácticas Trabajo personal Trabajo personal Trabajo personal Trabajo personal Trabajo personal Duración 4h 2h 2h 5h 5h 1h 0,75h 0,25 8h 12h Actividades complementarias Este tema incluye material de repaso y, por ello, el tiempo de trabajo personal es mayor. Si dispones de tiempo, puedes hacer más ejercicios del listado, procurando resolver primero los más sencillos. Cuestionario Tema 7: EDOs de primer orden Alumno: _____________________________________ 1. Asistencia a clase. Indica si has asistido a todas las clases de teoría y prácticas correspondientes al tema, en caso de no asistencia indica si has dedicado un tiempo equivalente de estudio personal. Finalmente, indica (si procede) el número de horas de clase perdidas que no hayas recuperado mediante estudio personal. Asistencia Si No Recuperado Si No En parte Horas perdidas Clases de teoria Clases de práctica 2. Tiempo de estudio personal Tiempo Lectura de guía de estudio y resumen Hacer problemas a mano Hacer práctica Hacer problemas con Maple 3. Puntúa la utilidad de los documentos de estudio entre 1 (= es una pérdida de tiempo) y 5 (=muy útiles). Si no has descargado el documento, deja la casilla en blanco. Puntuación Guía de estudio Resumen Problemas Problemas resueltos Problemas resueltos con Maple Práctica 4. Revisa la lista de objetivos y escribe dos o tres tópicos que te gustaría que se volvieran a explicar en clase. ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ 5. Revisa la lista de objetivos y da una estimación intuitiva entre 1 y 5 de tu grado de cumplimiento de esos objetivos. ____________ 6. Sugerencias:
