PrimerTaller - Universidad de Antioquia

Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Física
Estado Sólido CNF-422
Primer Taller del Semestre 2010-1
Los talleres del curso de Estado Sólido tienen como objetivo que el estudiante afirme los
conceptos, modelos y teorías planteados le permite preparar los temas de la asignatura.
El primer parcial consta de las generalidades del estado sólido y el estudio del sistema a
estudiar en la Física del Estado Sólido que son los cristales.
Generalidades del Estado Sólido
1. ¿Que es el estado sólido? Esta pregunta se debe responder para los casos: (a) un
sistema macroscópico desde el punto de vista termodinámico, (b) un sistema microscópico conformado por átomos distribuidos en el espacio; (c) desde la estabilidad
de los átomos.
2. De acuerdo a cómo se ubican los átomos en un sólido se conocen como sólidos
cristalinos, policristales y sólidos amorfos, explique cual es la diferencia entre ellos
y cuál es el sistema físico que se estudia en la Física del Estado Sólido.
3. ¿ Cual es el marco conceptual y las teorías que se utilizan para el entendimiento de
las propiedades y fenómenos físicos de los materiales?
4. ¿Que es la Física del Estado Sólido y por qué se estudia? ¿ Cual es la Metodología
de la Física del Estado Sólido para el estudio de las propiedades y fenómenos físicos
de los materiales, y como se hará este estudio en este curso?
Con el fin de complementar el tema, debe consultar acerca de los cristales como arreglos
de mínima energía, los sólidos reales y los defectos e imperfecciones, los cuasicristales y
los fractales; además de los plásticos, los cristales líquidos, los geles, los polímeros, los
plásticos que conducen la electricidad, los etc.
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Doris Giratá
Universidad de Antioquia
Las propiedades y fenómenos de los sólidos
Explique cómo las propiedades físicas de los materiales (como las eléctricas, magnéticas,
térmicas, termoeléctricas, mecánicas de los materiales) y los fenómenos físicos (como la
ferroelectricidad, el magnetismo, las superconductividad) son estudiados desde la física
y cuales son las posibles contribuciones que se pueden obtener al estudiarla desde la
Física del Estado Sólido; haga una descripción de los últimos desarrollos de los llamados
nanomateriales.
¿Que implicaciones sobre las propiedades físicas de los materiales tiene el hecho de
que un sólido real se estudie basado en un cristal cristal con imperfecciones y defectos?
Con el fin de complementar el tema, consulte acerca de los metamateriales que poseen
un índice de refracción negativo. ¿Que aplicaciones tienen materiales con esta propiedad?
Estructura Cristalina
1. Para los dos cristales en una dimensión (los átomos se representan por círculos verdes
o azules) escriba los vectores fundamentales de la red cristalina y de la base atómica
y los vectores de traslación de la red cristalina y recíproca; dibuje las celdillas de
Wigner-Seitz en el espacio real o cristalino y en el espacio recíproco, llamada la
Primera Zona de Brillouin:
2. Explique claramente las razones por las cuales el concepto de Red de Bravais es
clave para describir un cristal, ya que son la base para definir las redes cristalina
y recíproca, las celdillas unitarias o convencionales, las celdillas primitivas y en
especial la de Wigner Seitz, los planos cristalinos (definidos por los índices de Miller).
Primer Taller Estado Sólido, CNF-422 Estado Sólido
Además, permite definir las operaciones de traslación, tal que sus elementos forman
el Grupo de traslación su ecuación de autovalores es la condición de Bloch.
3. En cada una de las celdillas convencionales descritas indique si el conjunto de átomos
descrito se le puede asociar una red de Bravais, proponga una celdilla primitiva, halle
los vectores fundamentales de la red cristalina y su base atómica y la red recíproca:
- En una celdilla de dos dimensiones, que es un hexágono con átomos en (a) en
los vértices (este conjunto de átomos se conoce como la Red Honey) y (b) con
átomos en los vértices y en el centro del hexágono.
- En una celdilla tridimensional, que es un cubo con átomos en los vértices y
otros átomos iguales ubicados en (a) el centro de todas las caras, (b) el centro
de las dos caras horizontales y (c) la mitad de cada arista.
- Para una estructura hexagonal compacta y halle la relación ideal entre la magnitud del vector fundamental de la red recíproca perpendicular al plano del
hexágono de lado a.
4. Considere los siguientes cristales que constan de átomos iguales que están ubicados:
(a) en una dimensión, (b) en las redes de dos dimensiones rectangular y rectangular
cuadrada y (c) en tres dimensiones en la red cúbica centrada en las caras y en las
estructuras cristalinas hexagonal compacta, diamante y grafito, halle:
- los vectores de traslación de las redes cristalina y recíproca primitivas y el
número coordinación de las redes, la distancia entre primeros vecinos y segundos vecinos.
- las fracciones de empaquetamiento1 para los cristales en tres dimensiones y
decida cuales son la más y la menos densa.
- Explique porque las tres estructuras cristalinas: hexagonal compacta, de diamante y el grafito no son redes de Bravais.
Simetría de traslación
1. Muestre que los vectores R generan la red cristalina, que ésta a su vez genera el
cristal y las operaciones de traslación de la red cristalina, cumplen las condiciones
para ser un grupo abeliano.
1
La fracción de empaquetamiento es la máxima proporción del volumen disponible que puede ser llenado
con esferas duras, suponga que esferas sólidas idénticas están distribuidas en el espacio tridimensional de
tal manera de que sus centros están en los puntos de red de cada estructura cristalina.
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Doris Giratá
Universidad de Antioquia
2. A toda red cristalina se le asocia una red recíproca tal que los vectores de traslación
de la red recíproca K, cumplen la condición de que K · R = 2π × (nmeroentero)
y sus vectores fundamentales cumplen que ai · bj = 2πδij , donde δij es el delta de
Kronecker.
3. Explique que relación hay entre los vectores K y los planos cristalinos (hkℓ), con
relación a : su dirección, la proyección de un vector R en la dirección de K, la
distancia entre dos planos cristalinos paralelos adyacentes.
4. Explique en que consiste la construcción de de la celdilla de Wigner-Seitz W-S.
Halle las relaciones entre las longitud, área y volumen en el espacio cristalino y sus
correspondientes en la primera zona de Brillouin para cristales en una, dos y tres
dimensiones respectivamente.
Condición de Bloch
Para un cristal con un Hamiltoniano H(r) invariante ante las operaciones de traslación
de la red cristalina T̂R , tal que T̂R H(r) = H(r + R) = H(r):
1. Demuestre que [Ĥ, T̂R ] = 0, entonces las autofunciones de T̂R (operador que es
independiente del tiempo) se pueden elegir las mismas del Hamiltoniano Ψ(r). Halle
la ecuación de autovalores del operador de traslación T̂R que es conocida como la
condición de Bloch:
T̂R Ψ(r) = Ψ(r + R) = eiq·R Ψ(r)
Las autofunciones Ψ(r) definen los estados de Bloch.
2. Halle los valores del vector de onda permitidos q para las condiciones de frontera
periódicas o de Born-von Karman, en términos de los vectores fundamentales de
traslación de la red recíproca K; y explique como cambian los autovalores y autofunciones de la energía cuando se cambia el vector de onda por otro q − K. Del
resultado anterior, explique porque es necesario definir el índice de la banda n.
3. Muestre que los valores de q permitidos linealmente independientes están en la
primera zona de Brillouin (que se llamarán vectores de onda de Bloch k), tal que un
estado cuántico de un electron de Bloch queda determinado por k, n y las autofunciones y autovalores de la energía se denotan como Ψn,k (r) y En (k). Explique que si
se tiene en cuenta el espín s entonces los autoestados de Bloch quedan determinados
k, n, s.
4. Calcule el número de valores de k permitidos en una longitud dk, en el espacio
recíproco. Hacer este punto para una red en una dimensión.
Primer Taller Estado Sólido, CNF-422 Estado Sólido
Gas de electrones
1. El Hamiltoniano de un electrón libre dentro de un cristal es invariante ante trasformación T̂R , el tener esta consideración se conoce como aproximación de la red vacía.
Para una dimensión, halle la primera zona de Brillouin, y haga un gráfico de la
relación de dispersión Energía vs. el vector de onda E(k) teniendo en cuenta los resultados anteriores y muestre que para una banda n se tiene que En (k) = En (k + K)
, donde a es la constante de la red cristalina.
en donde K = hb, h ∈ Z y b = 2π
a
2. Mostrar que para un gas de electrones de tres dimensiones en el nivel de Fermi
(defina la energía de Fermi), el vector de onda depende de la concentración n como:
√
3
kF = 3π 3 n
y dar las expresiones de la velocidad vF , la longitud de onda λF y la energía EF en
función de la concentración.
3. En la aproximación de esferas duras, el volumen por electrón de conducción se define
como el volumen del metal dividido por el número de electrones de conducción que
es una esfera de radio rs , llamado radio de Seitz:
r
V
3
1
4πrs3
3
= =
; rs =
N
n
3
4πn
rs en unidades del radio de Bohr a0 = ~2 /me2 = 0,529Å que da la medida del radio
del hidrógeno en el estado fundamental, teniendo en cuenta que la concentración
de electrones es del orden de n ≈ 1022 /cm3 entonces rs /a0 varia entre 2 y 6, por lo
tanto rs es del orden de Å.
Difracción de Rayos X, aproximación clásica
Al incidir Rayos X sobre un cristal de tres dimensiones con una base atómica formada
por p átomos inciden, considere los electrones del cristal como centros dispersores, para
movimientos no relativísticos, que radian como ondas esféricas que se dispensan una vez
con la misma frecuencia de la fuente y estas ondas se superponen. Si las distancias cristalfuente y cristal-detector son muy grandes con respecto a la distancia entre cualquiera de
los electrones, las ondas que salen de la fuente y las que llegan al detector se pueden
considerar como ondas planas. k y k′ son los vectores de onda incidente y difractada.
1. Explique claramente un procedimiento que permita estudiar el patrón de dispersión
de las estructuras cristalinas, teniendo en cuenta que la densidad electrónica tiene
la periodicidad del cristal.
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Doris Giratá
Universidad de Antioquia
2. Para el caso de un cristal conformado por N átomos, con un átomo por punto
de la red cristalina primitiva, demostrar que si hay interferencia constructiva, si
k−k′ = K, conocida como condición de Laue y además esta condición es equivalente
a la condición de Bragg.
3. Defina el factor de forma atómico y dé la expresión para la intensidad de la onda
en función de ella.
4. Para el caso de un cristal conformado por N átomos, con p átomos asociados a
un punto de la red cristalina primitiva, demostrar que cuando hay interferencia
constructiva, algunos planos (hkℓ) producen interferencia destructiva.
5. Defina el factor de estructura geométrico, en función de los factores de forma de los
átomos que componen la base atómica y dé la expresión para la intensidad de la
onda que llega al detector, en función del factor de estructura.
6. Considere un cristal cúbico centrado (bcc) en el cuerpo con un átomo por celdilla
primitiva, calcule los vectores fundamentales de la red cristalina y recíproca para
los primitivos del sistema cúbico (simple cúbica, sc) y para la bcc; calcule el factor
de estructura geométrico al usar ambas redes y halle los planos (hkℓ) que producen
interferencia destructiva.
7. La estructura del cloruro de sodio NaCl, puede considerarse como una red de Bravais
cúbica centrada en las caras de constante de red a, con una base atómica que consiste
de un ion positivo ubicado en el origen y un ion negativo, en a2 x
b. Mostrar que la
red recíproca es una red centrada en el cuerpo. Si los factores atómicos de los iones
de sodio Na, y de cloro Cl, se denotan como fN a y fCl , hallar cuando el factor de
estructura SK es: (a) fN a + fCl , (b) fN a − fCl y (c) ¿Es posible que SK = 0?
¿Que diferencia hay en los resultados si hubiera elegido la base atómica tal que un ion
positivo esté en el origen y un ion negativo en el centro del cubo, en a2 (b
x + yb + zb)?
Doris Giratá
Profesora Instituto de Fisica
Febrero de 2010