RESOLUCIoN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Colegio Sagrado Corazón
Dpto. de Matemáticas
José Luis León Contreras
RESOLUCIoN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c, son número. En nuestro caso a no puede ser 0, ya que entonces el
término en x2 se anularía y nos quedaría una ecuación de primer grado.
Identificación
Es muy importante que sepamos identificar los coeficientes a, b y c. Para ello presta
atención a los siguientes ejemplos.
a) 2x2 + 3x + 1 = 0 → solución: a = 2; b = 3; c= 1
b)
c)
d)
e)
f)
x2 - 2x + 5 = 0
→ solución:
-5x2 + 4x + -2 = 0 → solución:
-2x2 + x - 4 = 0 → solución:
x2 - 9 = 0
→ solución:
2
x + 5x = 0
→ solución:
a = 1;
a = -5;
a = -2;
a = 1;
a = 1;
b = -2; c= 5
b = 4; c= -2
b = 1; c= -4
b = 0; c= -9
b = 5; c= 0
Las ecuaciones como las a), b), c) y d), se dicen que son completas porque ninguno de sus
coeficientes (a, b y c) son cero.
Las ecuaciones como la e) y la f), se dicen que son incompletas porque alguno de sus
coeficientes es cero.
Tipos
Una ecuación de segundo grado puede ser completa e incompleta. En el cuadro siguiente
se ve la clasificación de las ecuaciones de segundo grado.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ax2 + bx + c = 0, con a≠0
Incompletas
1) = 0 →
2) = 0 → + = 0
+
=0
Completas: b ≠0 y c≠0
Resolución de una ecuación completa
Para resolver una ecuación completa, deberemos utilizar la siguiente fórmula.
ax2 + bx + c = 0, con a, b, y c distintos de 0 → x=
±
·
· ·
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Sobre esta fórmula es preciso hacer un par de apreciaciones:
1) En la fórmula aparece el término “-b”. Esto significa que se cambia el signo
del coeficiente b. Por ejemplo si b = 3, en la fórmula aparecería como “-3” y si
fuese b = -2, en la fórmula aparecería como “2”. Ojo, no cambiar este símbolo
es uno de los errores más frecuentes.
2) En la fórmula aparece el símbolo “±”. Como es la primera vez que vemos este
símbolo, te explico que indica que la raíz toma dos valores, uno positivo y otro
negativo.
Número de soluciones
Según que la expresión que está dentro de la raíz (b2 – 4·a·c) sea mayor que
cero (>0), igual a cero o menor que cero (<0). Esta expresión de dentro de la raíz, “b2
– 4·a·c”, se llama discriminante de la ecuación. De esta forma tenemos:
Si b2 – 4·a·c > 0, la ecuación tiene dos soluciones
X1=
·
· ·
X2=
·
· ·
Si b2 – 4·a·c = 0, la ecuación tiene solo una solución
X1=X2=
Si b2 – 4·a·c < 0, nos saldría una raíz negativa y esta no se podría calcular
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2 - 4x + 3 = 0
Solución:
x=
(
)± (
·
)
· ·
=
±√ " =
±√
= →#
=
=
= =
"
= =
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b) x2 - 6x + 9 = 0
Solución:
x=
( ")± ( ")
· ·$
·
"±√ " "
=
=
"±√%
=
"±%
= =
"
En este caso como lo que está dentro de la ecuación vale 0, tendremos solo
una solución.
c) x2 + x + 1 = 0
Solución:
±
x=
· ·
·
=
±√
=
±√
= NO TIENE SOLUCIÓN (ya que lo que está
dentro de la raíz es negativo)
d) 4x2 + 4x + 1 = 0
Solución:
±
x=
·
· ·
=
±√ " "
&
=
)
±√
±√%
±%
= =2
±√ '
±'
=
e) 6x2 - x - 1 = 0
Solución:
x=
(
)± (
)
·"
·"·(
=
=
f) 2x2 - 3x + 3 = 0
Solución:
x=
(
)± (
·
)
· ·
=
±√$ =
±√
'
=
→#
=
=
'
'
=
=
"
=
=
= NO TIENE SOLUCIÓN (ya que lo
que está dentro de la raíz es negativo)
Resolución de una ecuación incompleta
a)
En el caso que b=0, tendríamos una ecuación del tipo ax2 + c = 0. Para
resolverla, haríamos como en el caso de una ecuación de primer grado. Llevamos
todas las x a un lado y los números al otro. Finalmente quitaríamos el cuadrado
de la x y calcularíamos la raíz cuadrada de la otra cantidad.
Al igual que el caso anterior tendríamos dos soluciones de la raíz, una positiva y
otra negativa (siempre que lo que haya dentro de la raíz sea positivo).
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Ejemplo:
1) x2 - 4 = 0 → x2 = 4 → x= ±√
=
=−
→(
=
=−
2) x2 - 9 = 0 → x2 = 9 → x= ±√$ → (
3) x2 + 25 = 0 → x2 = -25 → x= ±√− ' → *+,-./+0123Ó*
4) 2x2 - 32 = 0 → 2x2 = 32 → x2 =
=
=−
→ x2= 16 → x= ±√ " → (
b) En el caso que c=0, tendríamos una ecuación del tipo ax2 + bx = 0. Para
resolverla, sacamos factor común en la x y nos quedaría algo del tipo x·(ax+b)=0.
Después igualaríamos a 0 cada uno de los factores, es decir, la x y (ax + b).
Ejemplo:
1) x2 - 3x = 0 → x·(x – 3)= 0 →5
2) x2 + 5x = 0 → x·(x +5)= 0 →5
−
= %
=%→ = = %
+ ' = % → = −'
3) 3x2 + 9x = 0 → x·(3x + 9)= 0 →
4) 2x2 + 7x = 0 → x·(2x + 7)= 0 →
= %
+$=%→
= −$ →
= %
+6=%→
= −6 →
=
$
=
6
=−
EJERCICIOS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1) x2 – 144 = 0
2) 5x2 + 20x = 0
3) 3x2 – 6x = 0
4) 5x2 = 2x
5) 3x2 – 27 = 0
6) 5x2 – 125 = 0
7) 2x2 + 8x = 0
8) x2 – 9 = 40
9) 9x2 – 1 = 0
10) 3x2 – 12 = 0
11) 2x2 = 8
12) 3x2 + 12 = 312
13) x2 – 9x + 14 = 0
14) 9x2 + 6x + 1 = 0
15) x2 – 5x + 12 = 0
16) x(x+5)=0
17) 15x2 + 2x - 8 = 0
18) 2x2 – 2 + 3x = 4x2 – x