Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity with the

Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity with the Immirzi parameter Mariano Celada y Merced Montesinos Basada en CQG 29 (2012) 205010 Introducción Método de Dirac Mariano Celada Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Asesor Merced Montesinos Cinvestav Conclusiones y perspectivas Seminario del Cuerpo Académico de Partículas, Campos y Relatividad General Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Septiembre 19 de 2012 Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Contenido Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Contenido Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Contenido Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Contenido Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Contenido Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Introducción Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Gravedad → manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Dinámica del campo gravitacional: Rµν − 12 gµν R + Λgµν = 8πGTµν . Principios de acción R √ • Métrica (E-H): S[gµν ] = κ R −gd4 x. M i R h I ∧ eJ ) − 1 eI ∧ eJ ∧ F [A]; • Primer orden (Holst): S[e, A] = ∗(e IJ γ M FIJ = dAIJ + AIK ∧ AKJ , γ → Parámetro de Immirzi. R • BF: S[B, A, φ, µ] = (BIJ ∧ FIJ [A] − φIJKL BIJ ∧ BKL + µH(φ)); M H(φ) = IJKL φIJKL , φ IJ IJ , a1 φ IJ IJ + a2 IJKL φIJKL . Mientras la formulación de primer orden es la base de loop quantum gravity, la formulación BF es usada para construir los modelos de spin foam. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Introducción Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Gravedad → manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Dinámica del campo gravitacional: Rµν − 12 gµν R + Λgµν = 8πGTµν . Principios de acción R √ • Métrica (E-H): S[gµν ] = κ R −gd4 x. M i R h I ∧ eJ ) − 1 eI ∧ eJ ∧ F [A]; • Primer orden (Holst): S[e, A] = ∗(e IJ γ M FIJ = dAIJ + AIK ∧ AKJ , γ → Parámetro de Immirzi. R • BF: S[B, A, φ, µ] = (BIJ ∧ FIJ [A] − φIJKL BIJ ∧ BKL + µH(φ)); M H(φ) = IJKL φIJKL , φ IJ IJ IJ , a1 φ IJ + a2 IJKL φIJKL . Mientras la formulación de primer orden es la base de loop quantum gravity, la formulación BF es usada para construir los modelos de spin foam. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Introducción Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Gravedad → manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Dinámica del campo gravitacional: Rµν − 12 gµν R + Λgµν = 8πGTµν . Principios de acción R √ • Métrica (E-H): S[gµν ] = κ R −gd4 x. M i R h I ∧ eJ ) − 1 eI ∧ eJ ∧ F [A]; • Primer orden (Holst): S[e, A] = ∗(e IJ γ M FIJ = dAIJ + AIK ∧ AKJ , γ → Parámetro de Immirzi. R • BF: S[B, A, φ, µ] = (BIJ ∧ FIJ [A] − φIJKL BIJ ∧ BKL + µH(φ)); M H(φ) = IJKL φIJKL , φ IJ IJ IJ , a1 φ IJ + a2 IJKL φIJKL . Mientras la formulación de primer orden es la base de loop quantum gravity, la formulación BF es usada para construir los modelos de spin foam. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas • El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85 024026 (2012)). • No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico: aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la entropía de agujeros negros. • Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)): . No conmutativa, transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ. . Conmutativa, no transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas • El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85 024026 (2012)). • No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico: aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la entropía de agujeros negros. • Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)): . No conmutativa, transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ. . Conmutativa, no transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas • El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85 024026 (2012)). • No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico: aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la entropía de agujeros negros. • Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)): . No conmutativa, transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ. . Conmutativa, no transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas • El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85 024026 (2012)). • No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico: aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la entropía de agujeros negros. • Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)): . No conmutativa, transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ. . Conmutativa, no transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas • El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85 024026 (2012)). • No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico: aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la entropía de agujeros negros. • Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)): . No conmutativa, transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ. . Conmutativa, no transforma correctamente ante difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Teorías con constricciones Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Método de Dirac Se considera un sistema clásico con N grados de libertad descrito por el principio de acción Z S = L(q(t), q̇(t))dt. Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Las ecuaciones de movimiento son Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Wnm q̈m = ∂L ∂2 L − m n q̇m , n ∂q ∂q ∂q̇ Wmn ≡ ∂2 L . ∂q̇m ∂q̇n Si det(Wmn ) = 0 =⇒ no se podrán expresar todas las aceleraciones en términos de las posiciones y velocidades. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Definiendo los momentos canónicos a las q’s Mariano Celada y Merced Montesinos pn = pn (q, q̇) ≡ ∂L , ∂q̇n (n = 1, . . . , N). Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Wmn = ∂pm → matriz jacobiana de la transformación de q̇ a p. ∂q̇n Cuando Wmn no es invertible, existen relaciones entre las q’s y las p’s (únicamente) que son denominadas constricciones primarias. φm (q, p) = 0, Mariano Celada y Merced Montesinos (m = 1, ..., M). Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Definiendo los momentos canónicos a las q’s Mariano Celada y Merced Montesinos pn = pn (q, q̇) ≡ ∂L , ∂q̇n (n = 1, . . . , N). Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Wmn = ∂pm → matriz jacobiana de la transformación de q̇ a p. ∂q̇n Cuando Wmn no es invertible, existen relaciones entre las q’s y las p’s (únicamente) que son denominadas constricciones primarias. φm (q, p) = 0, Mariano Celada y Merced Montesinos (m = 1, ..., M). Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Igualdades débiles y fuertes Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Ya que las constricciones determinan un subespacio Σ1 del espacio de fase Γ, es conveniente diferenciar ecuaciones definidas sobre Γ de ecuaciones definidas sobre Σ1 . Identidad débil Introducción Método de Dirac G(q, p) ≈ 0 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas ⇐⇒ G(q, p)|Σ1 = 0. Identidad fuerte G(q, p) = 0 ⇐⇒ ∂G ∂G = 0. G, , ∂q ∂p Σ1 Puede mostrarse que F≈0 Mariano Celada y Merced Montesinos ⇐⇒ F = λm φm . Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Igualdades débiles y fuertes Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Ya que las constricciones determinan un subespacio Σ1 del espacio de fase Γ, es conveniente diferenciar ecuaciones definidas sobre Γ de ecuaciones definidas sobre Σ1 . Identidad débil Introducción Método de Dirac G(q, p) ≈ 0 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas ⇐⇒ G(q, p)|Σ1 = 0. Identidad fuerte G(q, p) = 0 ⇐⇒ ∂G ∂G = 0. G, , ∂q ∂p Σ1 Puede mostrarse que F≈0 Mariano Celada y Merced Montesinos ⇐⇒ F = λm φm . Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Igualdades débiles y fuertes Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Ya que las constricciones determinan un subespacio Σ1 del espacio de fase Γ, es conveniente diferenciar ecuaciones definidas sobre Γ de ecuaciones definidas sobre Σ1 . Identidad débil Introducción Método de Dirac G(q, p) ≈ 0 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas ⇐⇒ G(q, p)|Σ1 = 0. Identidad fuerte G(q, p) = 0 ⇐⇒ ∂G ∂G = 0. G, , ∂q ∂p Σ1 Puede mostrarse que F≈0 Mariano Celada y Merced Montesinos ⇐⇒ F = λm φm . Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Igualdades débiles y fuertes Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Ya que las constricciones determinan un subespacio Σ1 del espacio de fase Γ, es conveniente diferenciar ecuaciones definidas sobre Γ de ecuaciones definidas sobre Σ1 . Identidad débil Introducción Método de Dirac G(q, p) ≈ 0 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas ⇐⇒ G(q, p)|Σ1 = 0. Identidad fuerte G(q, p) = 0 ⇐⇒ ∂G ∂G = 0. G, , ∂q ∂p Σ1 Puede mostrarse que F≈0 Mariano Celada y Merced Montesinos ⇐⇒ F = λm φm . Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Condiciones de consistencia Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Incluir las constricciones: Hc ⇒ HT = Hc + um φm . Las evolución temporal para una variable dinámica g es Mariano Celada y Merced Montesinos ġ = {g, Hc } + um {g, φm } ≈ {g, HT }. Introducción Método de Dirac Condiciones de consistencia Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas φ̇m ≈ 0 =⇒ {φm , Hc } + un {φm , φn } ≈ 0. Tres posibles casos 1 0 = 0. 2 Nuevas constricciones ⇒ constricciones secundarias χ ≈ 0. 3 Condiciones sobre los multiplicadores. Solución general para las u’s: um ≈ Um + va Vam ⇒ HT = H0 + va φa . H0 = Hc + Um φm y φa = Vam φm . Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Condiciones de consistencia Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Incluir las constricciones: Hc ⇒ HT = Hc + um φm . Las evolución temporal para una variable dinámica g es Mariano Celada y Merced Montesinos ġ = {g, Hc } + um {g, φm } ≈ {g, HT }. Introducción Método de Dirac Condiciones de consistencia Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas φ̇m ≈ 0 =⇒ {φm , Hc } + un {φm , φn } ≈ 0. Tres posibles casos 1 0 = 0. 2 Nuevas constricciones ⇒ constricciones secundarias χ ≈ 0. 3 Condiciones sobre los multiplicadores. Solución general para las u’s: um ≈ Um + va Vam ⇒ HT = H0 + va φa . H0 = Hc + Um φm y φa = Vam φm . Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Cantidades de 1a y de 2a clase Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción (ϕs ) ≡ (φm , χn ) ≈ 0: conjunto de constricciones de la teoría. Cantidad de 1a clase (FC) Cantidad de 2a clase {F, ϕs } = Csr ϕr ≈ 0. ∃ ϕs t.q. {F, ϕs } 0 0. Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas # de constricciones FC= # va ’s ⇒ una elección u otra de va llevará a diferentes valores de las coordenadas al evolucionar. El cambio inducido en F al evolucionar con dos va ’s diferentes es ∆F = a {F, φa } ≈ {F, a φa } con a = δt(va2 − va1 ). Este cambio no tiene significado físico ⇒ las constricciones φa (que son FC) generan transformaciones de norma. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Cantidades de 1a y de 2a clase Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción (ϕs ) ≡ (φm , χn ) ≈ 0: conjunto de constricciones de la teoría. Cantidad de 1a clase (FC) Cantidad de 2a clase {F, ϕs } = Csr ϕr ≈ 0. ∃ ϕs t.q. {F, ϕs } 0 0. Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas # de constricciones FC= # va ’s ⇒ una elección u otra de va llevará a diferentes valores de las coordenadas al evolucionar. El cambio inducido en F al evolucionar con dos va ’s diferentes es ∆F = a {F, φa } ≈ {F, a φa } con a = δt(va2 − va1 ). Este cambio no tiene significado físico ⇒ las constricciones φa (que son FC) generan transformaciones de norma. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Cantidades de 1a y de 2a clase Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción (ϕs ) ≡ (φm , χn ) ≈ 0: conjunto de constricciones de la teoría. Cantidad de 1a clase (FC) Cantidad de 2a clase {F, ϕs } = Csr ϕr ≈ 0. ∃ ϕs t.q. {F, ϕs } 0 0. Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas # de constricciones FC= # va ’s ⇒ una elección u otra de va llevará a diferentes valores de las coordenadas al evolucionar. El cambio inducido en F al evolucionar con dos va ’s diferentes es ∆F = a {F, φa } ≈ {F, a φa } con a = δt(va2 − va1 ). Este cambio no tiene significado físico ⇒ las constricciones φa (que son FC) generan transformaciones de norma. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Fijación de la norma y grados de libertad Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Extracción de información física Observables clásicos: {G, φa } ≈ 0. Fijar la norma = eliminar ambigüedades en la especificación de un estado físico ⇒ un punto del espacio de fase reducido ≡ un único estado físico. Condiciones de norma Condiciones de norma Ωa = constricciones FC φa , t. q. det({Ωb , φa }) , 0. Grados de libertad físicos DOF = Mariano Celada y Merced Montesinos 1 (2N − 2NFC − NSC ) . 2 Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Fijación de la norma y grados de libertad Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Extracción de información física Observables clásicos: {G, φa } ≈ 0. Fijar la norma = eliminar ambigüedades en la especificación de un estado físico ⇒ un punto del espacio de fase reducido ≡ un único estado físico. Condiciones de norma Condiciones de norma Ωa = constricciones FC φa , t. q. det({Ωb , φa }) , 0. Grados de libertad físicos DOF = Mariano Celada y Merced Montesinos 1 (2N − 2NFC − NSC ) . 2 Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Acción CMPR(Capovilla-Montesinos-Prieto-Rojas) Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Acción CMPR (CQG 18 (2001) L49) Z h i IJ S[B, A, φ, µ] = BIJ ∧ FIJ − φIJKL BIJ ∧ BKL + µ a1 φIJ + a2 IJKL φIJKL . M Los índices internos se suben y bajan con ηIJ = diag(σ, 1, 1, 1), donde σ = ±1. φIJKL satisface: φIJKL = −φJIKL = −φIJLK = φKLIJ . La constricción impuesta por φIJKL es 1 σ BIJ ∧ BKL = (BMN ∧ BMN )ηI[K| ηJ|L] + (∗BMN ∧ BMN )IJKL , 6 12 2a2 BIJ ∧ BIJ = σa1 ∗ BIJ ∧ BIJ , que implica BIJ = α ∗ (eI ∧ eJ ) + βeI ∧ eJ ⇒ se recupera la acción de Holst al sustituir en la acción. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Descomposición 3+1 de la acción Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Supondremos en lo que sigue que M = R × Ω (Ω compacta y ∂Ω = 0). Denotaremos por (t, xa ) (a=1,2,3)) las coordenadas sobre IJ M. Haciendo BIJ = 12 Bµν dxµ ∧ dxν y FIJ = 12 FµνIJ dxµ ∧ dxν , se obtiene ( 1 IJ S[A, Π, φ, µ0 ] = dt d x ΠaIJ ȦaIJ + A0IJ Da ΠaIJ + B0a η̃abc FbcIJ 2 R Ω ) h i IJ aKL I[K| J|L] IJKL − 2B0a Π − µ0 a1 η η + a2 φIJKL , Z Z 3 IJ donde ΠaIJ ≡ 21 η̃abc Bbc . Ahora usaremos la ec. de movimiento IJ correspondiente a φIJKL para poner las componentes B0a en IJ términos de ΠaIJ ≡ 12 η̃abc Bbc : h i IJ B0a ΠaKL + B0aKL ΠaIJ − µ0 a1 ηI[K| ηJ|L] + a2 IJKL = 0. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica IJ Esta expresión implica µ0 = σV/4, con V ≡ 13 IJKL B0a ΠaKL , 0 (volumen 4-dimensional). La ec. a resolver es entonces i σ h IJ B0a ΠaKL + B0aKL ΠaIJ − V a1 ηI[K| ηJ|L] + a2 IJKL = 0. 4 Introduciendo las siguientes cantidades: V σ abc IJ ,0 η̃ hbd B0c ΠdIJ , N≡ 2h h σ hhab ≡ ΠaIJ ΠbIJ , Φab ≡ −σ ∗ ΠaIJ ΠbIJ , 2 Na ≡ su solución es Conclusiones y perspectivas 1 1 1 a1 IJ B0a = Nhab IJKL ΠbKL + ηabc ΠbIJ Nc + Nhac hbd ΠbIJ Φcd + hhcd , 8 2 16h a2 e a1 cd ab cd ϕ ≡ Φ + hh = 0. a2 Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Sustituyendo esta expresión en la acción se obtiene Z Z i h S[A, Π] = dt d3 x ΠaIJ ȦaIJ + A0IJ GIJ + NH + Na Ha + λab ϕab . R Ω A0IJ , N, Na y λab juegan el papel de multiplicadores de Lagrange. Las constricciones primarias son entonces Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Constricciones primarias Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 1 GIJ ≡ Da ΠaIJ ≈ 0, Ha ≡ ΠbIJ FbaIJ ≈ 0, 2 1 abc a1 dIJ ab H ≡ η̃ had ∗ Π FbcIJ ≈ 0, ϕ ≡ Φab + hhab ≈ 0. 8 a2 Conclusiones y perspectivas El hamiltoniano es R H = − Ω d3 x A0IJ GIJ + NH + Na Ha + λab ϕab ≈ 0. Por otro lado, A y Π satisfacen {AaIJ (x), ΠbKL (y)} = δba δ[K δL] δ3 (x, y). I J Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Álgebra de constricciones Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Preservación de las constricciones durante la evolución ⇒ {C, H} ≈ 0. El álgebra de constricciones primarias es: Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas 1 IK JL −η G + ηJK GIL + ηIL GJK − ηJL GIK δ3x,y , 2 {GIJ (x), C(y)} = 0 (C = H, Ha , ϕab ), {Ha (x), Hb (y)} = 12 Ha (y) ∂y∂b − 21 Hb (x) ∂x∂a − 41 FabIJ GIJ δ3x,y , {Ha (x), H(y)} = 21 H(y) ∂y∂a − H(x) ∂x∂a δ3x,y h i 1 cde − 32 η̃ FdeKL IJKL hac + σh ∗ ΠfKL ΠrIJ Harcf GIJ δ3x,y , (b {Ha (x), ϕbc (y)} = 12 ϕbc (y) ∂y∂a − 12 ϕbc (x) ∂x∂a − δa ϕc)d (y) ∂y∂d δ3x,y c) a (b c) +σδa ∗Π IJ − 2a1 Π IJ GIJ δ3x,y , {GIJ (x), GKL (y)} = 2 Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas ∂ ∂ ab ab {H(x), H(y)} = h(x)h (x)Ha (x) ∂xb − h(y)h (y)Ha (y) ∂yb δ3x,y σ 8 1 abc + 32 η̃ ∗ ΠgIJ (x)FbcIJ (x)hme (x)ηrm(a hg)s (x)ϕrs (x) ∂x∂ e δ3x,y − (x ↔ y), h a i e {H(x), ϕab (y)} = − 4a1 hcf (x)η̃(a|cd ϕf |b) (x) ∂x∂d + Ψab δ3x,y , 2 {ϕab (x), ϕcd (y)} = 0, donde Habcd ≡ hab hcd − hac hbd − had hbc y f f σa Ψab ≡ 12 hcf −Π IJ + 2a1 ∗ Π IJ η̃(a|cd Dd Π|b)IJ . 2 Las evoluciones de GIJ y Ha no generan ni nuevas constricciones ni condiciones sobre los multiplicadores de Lagrange. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos La evolución de ϕab lleva a NΨab ≈ 0, cuya solución es Ψab ≈ 0 → constricción secundaria. Los PB’s para la constricción Ψab son Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas {Ψab (x), GIJ (y)} = 0, (a {Ψab (x), Hc (y)} = 12 Ψab (y) ∂y∂ c − 12 Ψab (x) ∂x∂ c + δc Ψb)d (x) ∂x∂d δ3x,y i 2 h a b) fm ∂ 3 f |b) + 8a1 η̃(a|de hdf (x) δm c ϕ (x) − δc ϕ (x) ∂xe ∂xm δx,y 2 σa b) b) + 14 η̃(a|de hdc −De Π IJ + 2a1 ∗ De Π IJ GIJ δ3x,y 2 f f σa σ + 8h Hcndf ΠnIJ −Π KL + 2a1 ∗ Π KL η̃(a|de De Π|b)KL GIJ δ3x,y 2 f f σa (a + 14 δc η̃b)de hdf (x) −Π IJ (x) + 2a1 ∗ Π IJ (x) (Dx )e (GIJ δ3x,y ), 2 Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas {Ψab (x), ϕcd (y)} = M(ab)(cd) δ3x,y , donde h i f f a σa M(ab)(cd) ≡ σhef −Π IJ + 2a1 ∗ Π IJ ∗ΠcIK − 2a1 ΠcIK η̃(a|de Π|b)KJ + (c↔d) 2 2 es una matriz 6×6 invertible en general. A partir de la identidad de Jacobi se puede probar {Ψab (x), H(y)} ≈ Fab δ3x,y . La evolución de Ψab lleva a 1 NFab + λcd M(ab)(cd) ≈ 0 ⇒ λab ≈ − N(M−1 )(ab)(cd) Fcd . 4 −→ se fijan todos los multiplicadores λab −→ no hay más constricciones. Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Grados de libertad físicos Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Clasificación de las constricciones ¯ • Ha y H ≡ H − 14 (M−1 )(ab)(cd) ϕab Fcd son de 1a clase → transf. locales de Lorentz y difeomorfismos. GIJ , • ϕab y Ψab son de 2a clase. Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas DOF la acción CMPR 1 DOF = [2 × 18 −2 × ( 6 + 3 + 1 ) − ( 6 + 6 )] |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} 2 AaIJ GIJ Ha ¯ H ϕab =2 !! Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Ψab Grados de libertad físicos Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Clasificación de las constricciones ¯ • Ha y H ≡ H − 14 (M−1 )(ab)(cd) ϕab Fcd son de 1a clase → transf. locales de Lorentz y difeomorfismos. GIJ , • ϕab y Ψab son de 2a clase. Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas DOF la acción CMPR 1 DOF = [2 × 18 −2 × ( 6 + 3 + 1 ) − ( 6 + 6 )] |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} 2 AaIJ GIJ Ha ¯ H ϕab =2 !! Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Ψab Grados de libertad físicos Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Clasificación de las constricciones ¯ • Ha y H ≡ H − 14 (M−1 )(ab)(cd) ϕab Fcd son de 1a clase → transf. locales de Lorentz y difeomorfismos. GIJ , • ϕab y Ψab son de 2a clase. Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas DOF la acción CMPR 1 DOF = [2 × 18 −2 × ( 6 + 3 + 1 ) − ( 6 + 6 )] |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} 2 AaIJ GIJ Ha ¯ H ϕab =2 !! Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Ψab Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Gravedad á la BF con constante cosmológica Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Gravedad á la BF con constante cosmológica (PRD 85 064011 2012) S[B, A, φ, µ] = Z "(γ) B IJ ∧ FIJ − φIJKL BIJ ∧ BKL − µφIJKL IJKL M Introducción # + µλ + l1 BIJ ∧ BIJ + l2 BIJ ∧ ∗BIJ , Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas (γ) donde Ω IJ ≡ ΩIJ + γ1 ∗ ΩIJ . Esta acción (sin constante cosmológica) y la anterior son equivalentes a nivel lagrangiano (SIGMA 7 (2011) 103). Seguiremos un procedimiento similar al caso anterior. Después de realizar la descomposición 3+1, la ec. correspondiente a φIJKL es σ IJ B0a ΠaKL + B0aKL ΠaIJ + VIJKL = 0. 4 IJ 1 abc aIJ donde Π ≡ 2 η̃ Bbc . Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica IJ La solución para B0a puede obtenerse haciendo a1 = 0 en la expresión de la sección anterior: 1 1 1 IJ B0a = Nhab IJKL ΠbKL + ηabc ΠbIJ Nc + Nhac hbd ΠbIJ Φcd , 8 2 16h e Φab = 0 Las cantidades N, Na , hab y Φab están definidas como en el caso anterior. La acción toma entonces la forma Conclusiones y perspectivas Z S[A, Π] = Z dt R " # (γ) aIJ aIJ a a ab d x Π ȦaIJ + A0IJ G + N H + NH + λab Φ . 3 Ω Las constricciones primarias impuestas por A0IJ , Na , N y λab son: Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Constricciones primarias (γ) GIJ ≡ Da Π aIJ ≈ 0, Ha ≡ Mariano Celada y Merced Montesinos (γ) 1 H ≡ η̃abc had ∗ Π dIJ FbcIJ + Λh ≈ 0, Φab ≈ 0. 8 Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas 1 (γ) bIJ Π FbaIJ ≈ 0, 2 Aquí Λ ≡ 3l2 − σλ/4. Ahora las coordenadas canónicas son AIJ y (γ) Π aIJ y se tiene    (γ) (γ)  −1  γ hh = η (hhab ) + 1+σγ−2 Φ ab , ab (γ) (γ) donde (hhab ) y Φ ab   (γ)  (γ) −1  4σγ Φ = η  Φ ab + 1+σγ−2 (hhab ). ab son las expresiones de la sección anterior (γ) evaluadas en Π aIJ . Además, η ≡ Mariano Celada y Merced Montesinos γ2 (γ2 +σ) . (γ2 −σ)2 Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Evolución de las constricciones Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Como en la acción CMPR, las evoluciones de las constricciones GIJ y Ha no producen ni nuevas constricciones ni condiciones sobre los multiplicadores de Lagrange. Sin embargo, la evolución de Φab produce la constricción secundaria: Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas (γ) Ψ ≡ −2ηhcf − Π ab f + IJ 2γ−1 1 + σγ (γ) ∗Π −2 ! f IJ (γ) η̃(a|cd Dd Π |b)IJ ≈ 0. Al evolucionar esta constricción se fijan los multiplicadores λab y entonces el contenido de constricciones de la teoría es: Clasificación de las constricciones El número de grados de libertad ¯ son de 1a clase. físicos es: • GIJ , Ha y H • Φab y Ψab son de 2a clase. Mariano Celada y Merced Montesinos 2 Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity 1 Introducción 2 Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR 3 Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 4 Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica 5 Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Conclusiones y perspectivas Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas • Ambas acciones del tipo BF para gravedad possen 2 grados de libertad locales. • Aunque el parámetro de Immirzi entra de diferentes formas y las álgebras calculadas a partir de las constricciones listadas arriba pueden diferir un poco (sin considerar el acople de la constante cosmológica en el segundo caso), las álgebras (γ) pueden hacerse coincidir haciendo los cambios Π → Π y 4σγ−1 /(1 + σγ−2 ) → a1 /a2 en las constricciones del segundo principio de acción. Además, es necesario redefinir apropiadamente la constricción H para eliminar factores proporcionales a la constricción Φab . Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Conclusiones y perspectivas Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas • Ambas acciones del tipo BF para gravedad possen 2 grados de libertad locales. • Aunque el parámetro de Immirzi entra de diferentes formas y las álgebras calculadas a partir de las constricciones listadas arriba pueden diferir un poco (sin considerar el acople de la constante cosmológica en el segundo caso), las álgebras (γ) pueden hacerse coincidir haciendo los cambios Π → Π y 4σγ−1 /(1 + σγ−2 ) → a1 /a2 en las constricciones del segundo principio de acción. Además, es necesario redefinir apropiadamente la constricción H para eliminar factores proporcionales a la constricción Φab . Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica • Manejar las constricciones de segunda clase ya sea a través del corchete de Dirac o resolviéndolas explícitamente para hacer contacto con las formulaciones covariantes de Lorentz obtenidas a partir de la acción de Holst. • Acoplar campos de materia, en particular fermiones. • Construir las teorías cuánticas que surgen a partir de estos principios de acción. Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica • Manejar las constricciones de segunda clase ya sea a través del corchete de Dirac o resolviéndolas explícitamente para hacer contacto con las formulaciones covariantes de Lorentz obtenidas a partir de la acción de Holst. • Acoplar campos de materia, en particular fermiones. • Construir las teorías cuánticas que surgen a partir de estos principios de acción. Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica • Manejar las constricciones de segunda clase ya sea a través del corchete de Dirac o resolviéndolas explícitamente para hacer contacto con las formulaciones covariantes de Lorentz obtenidas a partir de la acción de Holst. • Acoplar campos de materia, en particular fermiones. • Construir las teorías cuánticas que surgen a partir de estos principios de acción. Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity Lorentzcovariant Hamiltonian analysis of BF gravity Mariano Celada y Merced Montesinos Introducción Método de Dirac Análisis hamiltoniano de la acción CMPR ¡¡MUCHAS GRACIAS!! Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante cosmológica Conclusiones y perspectivas Mariano Celada y Merced Montesinos Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity

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