Funciones reales de variable real: Aplicaciones y

Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº- 29 – FEBRERO DE 2011
“FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL:
APLICACIONES Y DIDÁCTICA.”
AUTORIA
FERNANDO VALLEJO LÓPEZ
TEMÁTICA
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA.
ETAPA
ESO Y BACHILLERATO.
Resumen
EN ÉSTE ARTÍCULO, ESTUDIAMOS LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: SU
DEFINICIÓN, LA FUNCIÓN INYECTIVA, LA FUNCIÓN SOBREYECTIVA, LA FUNCIÓN BIYECTIVA,
LA FUNCIÓN PAR, LA FUNCIÓN IMPAR, LA FUNCIÓN CRECIENTE, LA FUNCIÓN DECRECIENTE,
LA FUNCIÓN PERIÓDICA, Y EL ANÁLISIS DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA.
TAMBIÉN ESTUDIAMOS: LAS APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EN LA VIDA REAL; Y SU
DIDÁCTICA EN LA ESO Y EL BACHILLERATO.
Palabras clave
•
•
•
Función Real de variable Real.
Aplicaciones.
Didáctica.
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1. INTRODUCCIÓN.
Una correspondencia f entre dos conjuntos X e Y, es una relación entre ambos conjuntos; que asigna a cada elemento
del conjunto inicial X un elemento del conjunto final Y. El conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x, y) dónde x
es un elemento de X e y uno de Y; se llama grafo de la correspondencia f. Es decir; una correspondencia f: X → Y
transforma cada elemento x de X en un elemento y de Y. Y la correspondencia f, viene determinada por: El conjunto
inicial X, el conjunto final Y; y el grafo de la correspondencia, f.
Una función f; es un caso particular de correspondencia f, que asigna a cada elemento del conjunto inicial x de X, un único
elemento del conjunto final y de Y. Aquí X e Y son el conjunto de los números reales o parte de ellos. El conjunto inicial X, se
llama dominio de definición de la función f (dónde está definida la función). El conjunto dónde toma valores la función Y,
se llama codominio de la función f.
Es posible que la idea central en Análisis Matemático, sea el concepto de función. Al parecer; la palabra función fue
introducida por René Descartes en 1637. Para él una función, significaba tan sólo cualquier potencia entera positiva de una
variable x.
Gottfried Wilhelm von Leibnitz, quien siempre enfatizó el lado Geométrico de las Matemáticas; utilizó la palabra función
para denotar cualquier cantidad asociada con una curva, tal como las coordenadas de un punto sobre la curva.
Leonhard Euler, identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera variables y constantes con la palabra función;
esta idea es similar a la utilizada ahora del concepto de función. Posteriormente; el uso de funciones en el estudio de las
ecuaciones sobre el flujo de calor, condujo a una definición muy amplia; debida a Lejeune Dirichlet, la cuál describe a una
función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
2.1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.
Una función f, real de variable real; es un caso particular de correspondencia f, que asigna a cada elemento del conjunto
inicial x de X, un único elemento del conjunto final y de Y. Aquí X e Y son el conjunto de los números reales o parte de ellos.
El conjunto inicial X, se llama dominio de definición de la función f (dónde está definida la función). El conjunto dónde
toma valores la función Y, se llama codominio de la función f.
Es decir; una función f: X → Y transforma cada elemento x de X, en un único elemento y=f(x) de Y. Esto es; cada
elemento del dominio(X) se transforma en un único elemento del codominio (Y).
El elemento y=f(x) se llama imagen por f del elemento x. El conjunto formado por todas las imágenes de la función f, se
llama imagen de f o recorrido de f, que es el conjunto de los números reales o parte de ellos. La imagen de f, es un
subconjunto del conjunto final o codominio.
La variable x se llama variable independiente; porque le podemos dar cualquier valor real. Y la variable y=f(x) se llama
variable dependiente; porque depende de los valores que demos a la x.
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La gráfica de una función f, está formada por todos los puntos (x, f(x)), dónde x pertenece al dominio de f.
x = distancia dirigida desde el eje Y.
f(x)= distancia dirigida desde el eje X.
Ejemplos de funciones:
-La función lineal, cuya representación gráfica es una recta: y=f(x)=m.x+n; dónde m y n son números reales; m es la
pendiente de la recta que mide su inclinación, y n se llama ordenada en el origen.
Si la pendiente m es positiva, entonces la recta es creciente; y si la pendiente m es negativa, entonces la recta es
decreciente. Si la pendiente m=0 entonces la recta es constante.
Ejemplo: y=f(x)=3x+4 es una recta de pendiente 3, y por tanto es creciente; y ordenada en el origen 4.
Y=f(x)=-2x+1 es una recta de pendiente -2, y por tanto es decreciente; y ordenada en el origen 1.
La recta y=f(x)=2 es una recta de pendiente 0, y por tanto constante; y ordenada en el origen2.
2
-La función cuadrática, cuya representación gráfica es una parábola: y=f(x)=ax +bx+c; dónde a, b, y c son números
reales.
2
Ejemplo de parábolas: y= x +1.
2.2. FUNCIÓN INYECTIVA.
Una función f es inyectiva, si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. Es
decir; si elementos distintos x ≠ y tienen imágenes distintas f(x) ≠ f (y). O lo que es igual (contrarrecíproco), si las imágenes
son iguales f(x)= f (y) entonces los elementos mismos también han de ser iguales x=y.
En la práctica se suele utilizar esto último, para comprobar si una función es inyectiva o no lo es.
Ejemplo:
A
B
X
Y
Z
1
2
3
4
f es inyectiva
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2.3. FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SUPRAYECTIVA.
Sea f una función de A en B; f es una función sobreyectiva o suprayectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen
de al menos un elemento de A , mediante f . Es decir; f(A)=B esto es, la imagen de f es todo B.
Es decir; si todo elemento de R (número real), es imagen de algún elemento x del dominio (R o subconjunto de R).
Ejemplo:
A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 3, 5, 7}
f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }, f es sobreyectiva; pues la imagen de f es todo B.
2.4. FUNCIÓN BIYECTIVA O BIYECCIÓN.
f: A  B es biyectiva o biyección si y sólo si f es inyectiva y es sobreyectiva a la vez. Es decir; para cada b de B, existe un
único a de A tal que f(a)=b.
Ejemplo:
A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }, f es biyectiva o biyección (pues es inyectiva y sobreyectiva).
Si cada elemento de B es imagen de un sólo elemento de A, diremos que la función f es Inyectiva. En cambio; la función f
es Sobreyectiva, cuándo todo elemento de B es imagen de al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen
simultáneamente las dos condiciones, tenemos una función f BIYECTIVA.
Teorema:
Si f es biyectiva entonces admite inversa f – 1, que también es una función biyectiva.
Ejemplo: La función f(x)= ax+b dónde a y b son números reales y a ≠ 0 es una función biyectiva o biyección. Por ejemplo,
f(x)=2x+1 ó f(x)=-3x.
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2.5. FUNCIÓN PAR.
Una función f es par, si para todo número x perteneciente a su dominio, el número –x también está en el dominio y
además: f(x)= f (-x).
Además, si analizamos gráficamente una función f; f es par si y solo si su gráfica es simétrica con respecto al eje de
ordenadas (eje OY).
2
Ejemplo: f(x) = x -5
2
Reemplazamos x por –x en f(x) = x -5. Entonces:
2
2
f (-x) = (-x) – 5 = x – 5 = f(x). Por lo tanto; la función es par.
Como se puede apreciar en el gráfico, la función es simétrica con respecto al eje de ordenadas (eje OY). Por lo tanto; f es
par.
p
Además; son funciones pares, todos aquellos polinomios de la forma: f(x)= x en dónde p es un número par. Ejemplo:
2
f(x)= x
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Otros ejemplos son:
Éstos son, algunos pocos ejemplos de funciones pares.
Para nuestro estudio, mayormente para series e integrales de Fourier, las funciones pares tienen propiedades que son muy
útiles; por ejemplo: Para integrar una función par en un intervalo [-a, a], procederíamos de la siguiente manera:
a
a
∫
−a
f ( x) dx = 2
∫ f ( x) dx;
Con f(x) función par.
0
Esta manera de proceder nos ahorrará mucho tiempo; y además facilitará el cálculo de algunas integrales que podrían
resultar complicadas de resolver.
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2.6. FUNCIÓN IMPAR.
Una función f es impar, si para todo número x perteneciente a su dominio, el número –x también está en el dominio, y
además: f (-x) = -f(x).
Si analizamos gráficamente una función f. Decimos que una función f es impar, si y solo si su gráfica es simétrica
respecto del origen de coordenadas O= (0,0).
3
Ejemplo: f(x) = x – x
La función es impar; ya que:
3
3
3
f(-x)= (-x) – (-x) = -x + x = -(x – x) = -f(x)
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Como se aprecia en la gráfica, la función es simétrica respecto del origen de coordenadas O= (0,0); por lo tanto la función
es impar.
k
Son funciones impares, también aquellos polinomios de la forma: y=f(x)= x en dónde k es un número impar. Ejemplos:
3
;
y=f(x)=x.
y=f(x)= x
La función y=f(x)=x es impar, ya que: f (-x) = -x=-f(x), entonces: f (-x) = - f(x).
Otros ejemplos:
Al igual que las funciones pares, las funciones impares poseen propiedades que son fundamentales para el cálculo de series
e integrales de Fourier.
En éste caso, para integrar una función f impar en el intervalo [-a, a] procedemos de la siguiente manera:
a
∫ g (x) dx = 0;
-a
con g(x) función impar.
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Ahora que hemos visto funciones pares e impares, podemos analizar lo siguiente:
Sean f(x) y u(x) funciones pares cualesquiera; y g(x) y h(x) funciones impares cualesquiera; entonces. La función
producto será:
f(x). u(x) también es una función par; por tanto: par. Par=par.
g(x). h(x) es una función par; por tanto: impar. Impar=par.
f(x).g(x) es una función impar; por tanto: par. Impar=impar.
h(x). u(x) es una función impar; por tanto: impar. par=impar.
3+
NOTA: Cuándo una función f, no es ni par ni impar, entonces dicha función no es simétrica. Ejemplo, la función: y=f(x)= x
2
x
No es par ni impar; como se puede comprobar fácilmente. Por lo tanto; no es simétrica.
2.7. FUNCIÓN CRECIENTE.
Una función f es creciente en un intervalo [a, b], si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición
x1 < x2, se verifica que: f(x1) < f(x2). O lo que es igual:
Una función f se dice que es creciente, si al considerar dos puntos de su gráfica: (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)), con:
X1 <
x2 Se tiene que
Prevalece la relación <.
f(x1)
<
f(x2)
Ejemplo:
f(x2)
f(x1)< f(x2)
f(x1)
x1 x2
x
x1 < x 2
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2.8. FUNCIÓN DECRECIENTE.
Una función f se dice que es decreciente en un intervalo [a, b], si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2,
con la condición x1 < x2, se verifica que: f(x1) > f(x2). O lo que es igual:
Al considerar dos puntos de su gráfica: (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) con:
x
< x2 Se tiene que
f(x1)
1
Cambia la relación de < a >.
> f(x2)
Ejemplo:
y
f(x1)
f(x1) > f(x2)
x1
x2
f(x2)
x
x1 < x2
2.9. FUNCIÓN PERIÓDICA.
Una función f es llamada periódica si y solo si, existe un número no nulo p tal que siempre y cuándo x esté en el dominio
de f, también lo esté x + p, y se cumple: f(x+p) = f(x).
El menor de tales valores positivos de p (si existe) se llama el período de f.
Ejemplo:
Cada una de las funciones: seno, coseno, secante y cosecante son periódicas de periodo 2π; y las otras dos funciones
trigonométricas. Tangente y cotangente son periódicas de período π.
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Ya que las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen período 2π, una vez que conocemos sus valores para 0≤ x
< 2π, tenemos todos sus valores.
De manera análoga, para las funciones tangente y cotangente, como tienen período π, una vez que conocemos sus valores
para 0 ≤ x < π, tenemos todos sus valores.
Las funciones periódicas tienen ciertas propiedades, las cuáles nombraré a continuación:
sen ( x + 2πk ) = sen x
sec ( x + 2πk ) = sec x
Tan (x + πk ) = tan x
;
;
;
cos ( x + 2πk ) = cos x
cosec ( x + 2πk ) = cosec x
cot (x + πk ) = cot x
Dónde k es cualquier número entero.
He insertado aquí la gráfica de f(x) = cos x y se puede apreciar que el período es 2π.
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En la gráfica de f(x) = cosec x, también se aprecia que la función es periódica de período 2π.
Además; podemos asegurar que la función es impar.
•
La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos, es un problema importante en: Las
Matemáticas, la Física y las Ingenierías; basta citar todos los fenómenos vibratorios ondulatorios, que son
fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.
2.10. ANÁLISIS DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA.
Toda función f (t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones
armónicas, es decir:
Dónde el periodo P=2Π/w, y a0, a1,...ai... y b1, b2,.... bi.... son los denominados: Coeficientes de Fourier.
Toda función periódica de periodo P, se puede transformar en una función periódica de periodo 2Π, mediante un simple
cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= at, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2Π de x, y la función f
(t) convertida en:
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Definida en el intervalo [-Π,Π]. La serie se expresa en la forma más simple:
Dónde:
Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.
•
Si g(x) es una función par, g(x)=g (-x), los términos bi son nulos.
•
Si g(x) es impar, -g(x)=g (-x), los coeficientes ai son nulos.
.
Ejemplo: La función parte decimal de x:
Es periódica de periodo p=1.
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3. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES (REALES DE VARIABLE REAL), EN LA VIDA REAL.
Existen muchísimas Aplicaciones de las funciones Reales de variable Real, en la vida cotidiana o Real; por ejemplo:
 La función lineal: f(x)= ax+b cuya representación gráfica es una recta de pendiente a y ordenada en el origen b.
En algunos países como EE.UU. e Inglaterra, la temperatura no se mide en grados centígrados o Celsius; sino en
grados Fahrenheit. La relación entre ambos sistemas viene dada por: F=1,8.C+32. Es una función lineal.
El alargamiento de un muelle, es directamente proporcional al peso que colguemos de él: A=KP, ó bien teniendo en
cuenta la longitud inicial del muelle, la longitud final es: L= L 0 +KP. Es una función lineal.
Los intereses bancarios, son directamente proporcionales al tiempo y al capital depositado: I=C.r.t/100 por años, r
es el rédito. Como vemos, es una función lineal.
2
 La función cuadrática: f(x)=ax +bx+c; dónde a, b, y c son números reales; cuya representación gráfica es una
parábola.
En la práctica están las trayectorias parabólicas, que son las seguidas por cualquier objeto lanzado con una cierta
velocidad inicial. Por ejemplo: La trayectoria de un proyectil, es una trayectoria parabólica. La altura de un
proyectil t segundos después de haber sido lanzado hacia arriba a partir del suelo, y con una velocidad inicial v 0 ;
viene dada por la función: f (t)=
v0 .t-5 t 2 . Es una parábola.
 La función de proporcionalidad inversa o hipérbola equilátera: f(x)=k/x, cuya representación gráfica es una
hipérbola equilátera.
La presión y el volumen de un gas, a temperatura constante son inversamente proporcionales: P.V=CTE. Esta, es la
ley de Boyle-Mariotte.
La frecuencia de un sonido y su longitud de onda, son inversamente proporcionales: λ.μ=300.000, siendo λ la
longitud de onda medida en metros; y μ la frecuencia medida en kHz.
La fuerza de atracción entre 2 planetas, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa:
2
F=K/ D . Esta, es la ley de la gravitación universal de Newton.
Como vemos, todas ellas son Hipérbolas equiláteras.
4. APLICACIÓN DIDÁCTICA.
Las funciones Reales de variable Real, se aplican en 4º de ESO (Matemáticas B), y en el Bachillerato. Los alumnos de éstos
niveles educativos; ya tienen un cierto nivel Matemático, y pueden estudiar todas las propiedades de una determinada
función. Por ejemplo si tenemos:
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2
La función lineal: y=f(x)=-3x-2; la función cuadrática: y=f(x)=2x -3X+1; y la función: y=f(x)=2/x los alumnos de 4º de ESO
de las Matemáticas B, ya son capaces de estudiar todas sus propiedades globales y representarlas gráficamente.
Otra Aplicación Didáctica, podría ser por ejemplo en el Bachillerato estudiar todas las propiedades globales de
las
2
funciones: y=f(x)=2x-1/x+2, y=f(x)= 2x -x+1/x-1. Y posteriormente representarlas gráficamente.
5. CONCLUSIÓN:
En efecto; todas las propiedades globales de las funciones Reales de variable Real, como:
Crecimiento y decrecimiento, paridad e imparidad para estudiar sus simetrías, periodicidad, etc. Se suelen estudiar, para
representar gráficamente una función Real. El concepto de función, es el concepto fundamental del Análisis Matemático,
que es la parte de las Matemáticas que se dedica al estudio global de funciones, derivadas, integrales de funciones, etc.
Como hemos visto, las funciones aparecen constantemente en la vida Real. Y cualquier fenómeno, se puede estudiar
mediante funciones.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Apóstol, T. M. (1965). Calculus. Barcelona: Ed.Reverté.
Rey Pastor, J. (1975). Teoría de funciones. Madrid: Biblioteca Matemática.
Spivak, M. (1970). Calculus. Barcelona: Ed. Reverté
Shell, C. (1990). El lenguaje de las gráficas. Bilbao: MEC.
Autoría:
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•
Fernando Vallejo López.
IES Salvador Serrano, Alcaudete, Jaén.
E-mail: [email protected].
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