fqg Algebra Lineal EII 08-09

Bloque 7: El espacio afín
7.1.- Introducción a la estructura de espacio afín. Plano Afín R2. Espacio Afín tridimensional R3.
7.2 Espacio Afín euclídeo
Programa:
1. Espacio afín asociado a un e.v. Propiedades. Ejemplos.
2. Referencias afines: Coordenadas afines. Dimensión.
3. Subespacios afines. Subespacios de dimensión finita: puntos, rectas, planos, hiperplanos.
4. Ecs. de las variedades afines.
5. Intersección, incidencia y paralelismo de variedades.
6. Baricentro, coordenadas baricéntricas. Razón simple.
7. Aplicaciones afines. Propiedades. Ecuaciones. Traslaciones, homotecias.
8. Coordenadas homogéneas. Puntos del infinito. Espacio afín real completado.
Bibliografía:
-Curso de Álgebra y Geometría. J. de Burgos.
-Álgebra Lineal y Geometría. López Pellicer y García García.
-Lecciones de Álgebra Lineal. J. L. Pinilla.
-Problemas de Álgebra. A. de la Villa.
1.- ESPACIO AFÍN ASOCIADO a un espacio vectorial.
Sea Π un conjunto de puntos y sea V un e. v., llamaremos espacio afín asociado al e.v. Va la
terna formada por:
A1 ) ϕ ( P,Q ) = ϕ ( P, R ) + ϕ ( R, Q ) ∀ P,Q,R ∈ Π
( Π, V, ϕ ) ≡ A. Siendo ϕ:Π × Π → V/
A2 )
∀A ∈ Π ⎫⎪
⎬ ∃B ∈ Π/ϕ ( A, B ) = v
∀v ∈ V ⎪⎭
A los elementos de Π les llamaremos “puntos del espacio afín”. El vector φ(A,B) se designará
habitualmente por AB . Al punto B le llamaremos “extremo” y a A, “origen”.
PROPIEDADES.
a ) ∀A ∈ Π, ϕ(A, A ) = 0
b) ∀A, B ∈ Π, ϕ(A, B ) = −ϕ(B, A )
c) ∀A, B, C ∈ Π se cumple ϕ(A, B) = ϕ(C, D ) ↔ ϕ(A, C ) = ϕ(B, D )
Demostración:
a) (por A1). ϕ ( A,A ) + ϕ ( A, B ) = ϕ ( A, B ) ⇒ ϕ ( A, A ) = 0
por a)
b) (por A1). ϕ ( A,B ) + ϕ ( B, A ) = ϕ ( A, A ) = 0 ⎯⎯⎯
→ ϕ ( A, B ) = −ϕ ( B, A )
ϕ ( A,B ) + ϕ ( B, D ) = ϕ ( A, D ) ⎫⎪
⎬ ϕ ( A, B ) + ϕ ( B, D ) = ϕ ( A, C ) + ϕ ( B, D ) ⇒
ϕ ( A,C ) + ϕ ( C, D ) = ϕ ( A, D ) ⎪⎭
⇒ ϕ ( A, B ) = ϕ ( C, D ) y viceversa.
c) (aplico A1).
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Definición:
Sea A = (Π, V, ϕ) y sea O ∈ Π fijo, definimos vector de posición de X ∈ Π , al vector
ϕ(O, X ) = OX .
2.- REFERENCIAS AFINES: COORDENADAS AFINES. DIMENSIÓN.
TEOREMA:
Sea O ∈ Π (fijo) definimos la aplicación h o : Π → V / h o (X) = ϕ ( O, X ) . Entonces h o es biyectiva
Demostración:
-Aplicación lo es, pues es una restricción de ϕ : {O}× Π → V
-Inyectiva:
Si h o (A) = h o (B) ⇒ ϕ ( O, A ) = ϕ ( O, B ) ⇒ ϕ ( O, O ) = ϕ ( A, B ) ⇒ ϕ ( A, B ) = 0 ⇒ A = B
A2
Dado v ∈ V y fijado O ∈ Π ⎯⎯
→ ∃X ∈ Π / ϕ ( O, X ) = v
-Suprayectiva:
Hemos visto pues que car(V)=car(Π) (si son finitos). (“Hay tantos puntos
Consecuencia::
como vectores”)
Definición:
Sea un esp. afín A = (Π , V, ϕ ) y sea la (n+1) – upla de ptos. {O, U 1 ,..., U n }, se dice que es
{
}
un sistema de referencia cuando OU 1 ,..., OU n es base del e.v. V.
{
}
A OU 1 ,..., OU n le llamaremos “base vectorial asociada” al sist. de referencia afín.
{
}
Usualmente la ref. afín se escribirá O, U 1 ,..., U n , donde U1 = OU1 ,..., U n = OU n
Tenemos pues una biyección entre las bases vectoriales y las referencias afines.
En un sentido está visto: “a toda referencia afín le corresponde una base” por definición.
TEOREMA.-
Sea
B = {U 1 ,..., U n } una base de V, entonces existe una referencia afín /
R = {OU 1 ,..., OU n } del espacio afín.
Demostración:
Sea O ∈ Π un punto fijo de Π,
∀u i ∈ B i = 1,...,n ⎪⎫
⎬
O∈Π
⎪⎭
Por tanto,
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∃U i ∈ Π / ϕ ( O, U i ) = u i = OU i
{OU ,..., OU }
1
n
es base de V; y por definición {O, U 1 ,..., U n } una referencia afín.
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{
Definición.- Sea (Π , V, ϕ ) esp. afín y sea R = O, U 1 ,..., U 2
} una referencia afín, diremos
que (X1,...,Xn) son las coordenadas afines del punto A ∈ Π , si (X1,...,Xn) son las coordenadas
{
vectoriales del vector de posición OA = ϕ(O, A ) , respecto de la base asociada OU 1 ,..., OU n
}
En la práctica se hablará indistintamente de coordenadas afines de A y coordenadas de A.
(
(
))
En el caso del plano afín A 2 = ℜ , ℜ ℜ , ϕ :
2
2
h o ( A ) = O A ⎫⎪
⎬
i v = ( v 1 , v 2 )⎪
⎭
i
o
Π ⎯ h⎯
→ V ⎯⎯
→ ℜ2
i o h o ⇒ biyección de Π → ℜ 2
( )
A → OA = x u1 + yu 2 → (x, y) ∈ ℜ 2
Definición: Llamamos dimensión del espacio afín a la dimensión del e.v. asociado.
CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA.
Sean
dos
referencias
afines
en
el
espacio
afín
A = (Π , V, ϕ )
n-dimensional.
R = {O , u 1 ,..., u n } R' = {O' , v 1 ,..., v n }
Sea X = X R = (x1 ,..., x n ) ⇔ OX = x1 u1 + ... + x n u n .
n
Y sea X = X R ' = (x '1 ,..., x ' n ) ⇔ O' X = ∑ x ' i v i .
i =1
n
Sea OO' = (a 1 ,..., a n ) = ∑ a i u i
i =1
Y sean:
⎧v = n a u
1i
i
⎡
⎪ 1 ∑
i =1
⎪
, donde P = ⎢⎢
⎨..........
⎢⎣
⎪v = a u
⎪ n ∑ ni i
⎩
a ij
⎤
⎥ es la “matriz del cambio”.
⎥
⎥⎦
Como
n
∑x
OX = OO ' + O ' X ⇒
1
= ∑ aiui +
∑ ⎛⎜⎝ ∑ x '
n
j =1
n
i =1
i
i
ui = ∑ ai ui +
∑ x'
i
vi = ∑ ai ui +
⎛
⎝
n
∑ x' ⎜ ∑ a
i
j =1
ij
⎞
uj⎟=
⎠
a ij ⎞⎟ u j
⎠
Esto es:
⎧ x 1 = a 1 + x '1 a 11 + ... + x ' n a n 1
⎪
⎨.......... .
⎪ x = a + x ' a + ... + x ' a
n
1
1n
n
nn
⎩ n
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En forma matricial:
⎡ a11 L a1n ⎤
( x1 ,..., x n ) = ( a1 ,..., a n ) + ( x '1 ,..., x 'n ) ⎢⎢M O M ⎥⎥
⎢⎣ a n1 L a nn ⎥⎦
⇔ ( X = A + X´.P )
o bien:
⎡1 a1 L a n ⎤
⎢0
⎥
⎢
⎥ ⇔ simplificadamente X = X´.B
(1, x1 ,..., x n ) = (1, x '1 ,..., x 'n ) ⎢
⎥
M
P
⎢
⎥
⎣0
⎦
(siendo la matriz B y X = (1, x1 ,..., x n ) , X´= (1, x '1 ,..., x 'n )
CASOS PARTICULARES:
⎡1 a1 K a n ⎤
⎢
⎥
1. Si u i = vi i = 1,...,n ⇒ A = I ⇒ V (1, x1 ,..., x n ) = (1, x '1 ,..., x 'n ) ⎢0
⎥ (es una traslación)
⎢M
⎥
I
⎢
⎥
⎣0
⎦
2. Si O ≡ O'
(a
1
,..., a n ) = (0,0,...,0) ⇒ X = X'⋅A con X = (x 1 ,..., x n ) y X' = (x'1 ,..., x' n )
(se trataría de un cambio de bases)
TEOREMA.
Todo cambio de sistema de referencia es a la vez un cambio de bases y una traslación:
⎡1 a1 K a n ⎤ ⎡1 a1 K a n ⎤ ⎡1 a1 K a n ⎤
⎥
⎥ ⎢0
⎥ ⎢0
⎢0
⎥
⎥⋅⎢
⎥=⎢
⎢
⎥
⎥ ⎢M
⎥ ⎢M
⎢M
A
A
I
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
⎦
⎦ ⎣0
⎦ ⎣0
⎣0
3.- SUBESPACIOS AFINES.
Definición: Sea el espacio afín A = (Π , V, ϕ) sea B = {...} ⊂ Π , B ≠ φ , decimos que B es
{
}
el subespacio afín cuando el conj. h A (B) = AX / X ∈ B esa subespacio vectorial de V, siendo A
un punto de B. (también lo llamaremos variedad afín).
Nota: Si B = un pto. ⇒ h
A
(B) = {0}
Proposición: Si A=(Π,V,φ), y sea B subespacio afín entonces hP(B)=hQ(B) con P,Q ∈ B. (o
sea, el conjunto anterior es independiente del punto elegido)
Demostración:
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h P (B) ⊂ h Q (B) si PX ∈ h P (B) ⇒ PX = PQ + QX ⇒ PX = QX − QP ∈ h Q (B)
h Q (B) ⊂ h P (B) si QX ∈ h Q (B) ⇒ QX = QP + PX ⇒ QX = PX − PQ ∈ h P (B)
Por tanto el conjunto hA(B) no depende del punto A, con lo que en adelante a este conjunto lo
designaremos por h(B).
Es decir: B es subespacio afín ⇔ h(B) = {AX / X, A ∈ B}es subespacio vectorial de V .
TEOREMA.-
Sea (Π,V,φ)=A, espacio afín, A ∈ Π (fijo) y W subespacio vectorial de V, entonces
{
}
B = X / AX ∈ W es subespacio afín de A.
Demostración: En efecto si calculamos h A (B) = {AX / X ∈ B} = W ⇒ B es subespacio afín .
Veamos cómo podemos representar un subespacio afín de forma más cómoda:
Si
{
}
B = X / AX ∈ W , como AO + OX = AX ∈ W ⇒ OX = OA + {vector de W} siendo A ∈ B
Por tanto podemos expresar una variedad afín como un punto + subespacio vectorial.
Esto es, A + W, siendo A ∈ Π y W un subespacio vectorial. Entendiendo que
B = A + W = {X / AX ∈ W} = {X / X = A + v, v ∈ W} ,
por tanto:
X = A + v ⇔ AX = v .
Diremos que la dimensión de la variedad afín B es r
cuando r = dim(W).
Por ejemplo en el plano afín la variedad afín de dimensión 1 es la recta
X = A + v ⇔ OX = OA + λ ⋅ v .
4.- ECUACIONES DE LAS VARIEDADES AFINES.
Ecuaciones paramétricas:
Sea la variedad afín B=A+W, tal que dim W = r.
Si
r
r
i
i
X ∈ B → AX ∈ W → AX∑ λ i v como AX = AO + OX → OX = OA + AX → OX = OA + ∑ λ i vi
⎫
X = A + ∑ λi + v ⎪
⎪
1
⎬⇔
n
⎪
vi = ∑ vij e j
⎪⎭
j =1
r
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r
⎧
⎫
=
+
λ1 vi1 ⎪
X
a
∑
1
1
⎪
1
⎪⎪
⎪⎪
..........
..........
..... ⎬(1)
⎨
⎪
⎪
r
⎪X n = a n + ∑ λ1 vin ⎪
⎪⎩
⎪⎭
1
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Ecuaciones implícitas.
r
⎧
⎫
=
+
X
a
∑1 λ1 vi1 ⎪
1
⎪ 1
⎪⎪
⎪⎪
(1)⎨......................... ⎬ ⇒ (x1 − a1 ,..., x n − a n ) = λ1 (v11 ,..., v1n ) + ... + λ r (v r1 ,..., v rn ) ⇒
⎪
⎪
r
⎪X n = a n + ∑ λ1 vin ⎪
1
⎩⎪
⎭⎪
⎡ x1 − a 1
⇒ el vector (x1 − a1 ,..., x n − a n ) es c.l. de los vi ⇒ rng ⎢⎢ M
⎢⎣ x n − a n
v11 K v r1 ⎤
M K M ⎥⎥ = r
v1n K v rn ⎥⎦
Esto significa que todos los menores de orden r+1 son ceros y se obtienen (n-r) ecuaciones no
paramétricas de la forma:
⎫
⎧a11x1 + ... + a1n x n = b1
⎪
⎪
..............
⎬ Son las ecs. implícitas de la variedad afín B
⎨
⎪
⎪a x + ... + a
n −r,n x n = bn −r ⎭
⎩ n − r ,1 1
5.- INTERSECCIÓN, INCIDENCIA Y PARALELISMO.
Sean dos variedades afines B1=P+W,
⎧a11x1 + ... + a1n x n = h1 ⎫
⎪
⎪
B1 = ⎨
..............
⎬
⎪a x + ... + a x = h ⎪
s, n n
s⎭
⎩ s ,1 1
B2=Q+V con ecuaciones
⎧b11x1 + ... + b1n x n = k1 ⎫
⎪
⎪
B2 = ⎨
..............
⎬
⎪b x + ... + b x = k ⎪
t,n n
t⎭
⎩ t ,1 1
Para estudiar B1 ∩ B2 , hay que estudiar el sistema conjunto de de s+t ecuaciones:
⎧a11x1 + ... + a1n x n = h1 ⎫
⎪
⎪
..............
⎪
⎪
⎪⎪a s ,1x1 + ... + a s , n x n = h s ⎪⎪
(I )⎨
⎬
⎪b11x1 + ... + b1n x n = k1 ⎪
⎪
⎪
..............
⎪
⎪
⎪⎩b t ,1x1 + ... + b t , n x n = k t ⎪⎭
Si (I) es compatible se dice que B1 y B2
⎡a11
⎢M
⎢
⎢ a s1
rango ⎢
⎢ b11
⎢M
⎢
⎣⎢ bt1
K a1n
O M
K asn
K b1n
O M
K btn
Si además
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h1 ⎤
⎡a11
⎢M
M⎥
⎥
⎢
⎢ a s1
hs ⎥
⎥ = rango ⎢
k1 ⎥
⎢ b11
⎢M
M⎥
⎥
⎢
kt ⎦⎥
⎣⎢ bt1
W ⊂V
ó
se cortan:
K a1n ⎤
O M ⎥
⎥
K asn ⎥
⎥
K b1n ⎥
O M ⎥
⎥
K btn ⎦⎥
V⊂W
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⎡a11
⎢M
⎢
⎢ a s1
rango ⎢
⎢ b11
⎢M
⎢
⎢⎣ bt1
h1 ⎤
M⎥
⎥
⎡a11 K a1n
hs ⎥
⎢
⎥ = rango ⎢ M O M
k1 ⎥
⎢⎣as1 K asn
M⎥
⎥
kt ⎥⎦
K a1n
O M
K asn
K b1n
O M
K btn
h1 ⎤
⎡ b11 K b1n
⎥
M ⎥ ó rango ⎢⎢ M O M
⎢⎣ b t1 K btn
hs ⎥⎦
k1 ⎤
M ⎥⎥
kt ⎥⎦
es decir, que B1 ⊂ B2 o al contrario. Son entonces incidentes.
Si (I) es incompatible,
se dice que
no se cortan.
Cuando V ⊂ W ó W ⊂ V ⇒ B1 y B2 paralelas.
En caso contrario se cruzan.
Si son paralelas se cumple:
⎡a11
⎢M
⎢
⎢a
rng.⎢ s1
⎢b11
⎢M
⎢
⎢⎣ b t1
K a1n
O
M
K a sn
K b1n
O O
K b tn
h1 ⎤
⎡a11
⎥
⎢M
M⎥
⎢
⎢ a s1
hs ⎥
⎥ ≠ rng ⎢
k1 ⎥
⎢b11
⎢M
M⎥
⎥
⎢
k t ⎥⎦
⎢⎣ b t1
K a1n ⎤
O M ⎥⎥
⎡a11 K a1n
K a sn ⎥
⎢
⎥ = rng.⎢ M O M
K b1n ⎥
⎢⎣a s1 K a sn
O M ⎥
⎥
K b tn ⎥⎦
h1 ⎤
⎡b11 K b1n
⎥
M ⎥ ó = rng.⎢⎢ M O M
⎢⎣ b t1 K b tn
h s ⎥⎦
k1 ⎤
M ⎥⎥
k t ⎥⎦
Como ejercicio: Estudiar la posición relativa de las variedades afines:
a)
H1 ≡ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7
H 2 ≡ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0
H1 ≡ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0
b)
⎧ x1 + x 2 = 2
H2 ≡ ⎨
.
x
x
2
+
=
−
4
⎩ 3
c)
H1 ≡ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0
H 2 ≡ x1. = x 2 = x 3 = x 4
6.- BARICENTRO. COORDENADAS BARICÉNTRICAS. RAZÓN SIMPLE.
Definición: Sea A=(Π,V,φ), sean los ptos. P1 ,..., Pk ∈ Π , α1 ,..., α k / ∑ α i ≠ 0 , se llama baricentro
de esos k puntos al punto G definido por:
G = O+
k
α1 OP1 + ... + α k OPk
α
⇔ G = O + ∑ i OPi
α1 + ... + α k
i =1 ∑ α j
j
Se prueba que esta definición es independiente del punto O (J. de Burgos, pág. 201)
PROPIEDADES
1.- El baricentro no cambia si los “pesos” α i , se sustituyen por (λα i ) , con λ ≠ 0 .
2.- Si se sustituyen los ptos. P1 ,..., Ph h < k por su baricentro afectado del peso α1 + ... + α h , se
obtiene un conjunto de puntos con el mismo baricentro que P1 ,..., Pk . Bastaría hacer βi = αi
∑α
i
Definición: Dados dos puntos P y Q, se llama punto medio al baricentro de P,Q con pesos
1
1
G = mP + (1 − m )Q cuando m = 1 - m → m = ⇔ Medio = (P + Q )
iguales
2
2
COORDENADAS BARICÉNTRICAS.
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∀X ∈ Π y para el sist. de referencia {P0 , P1 ,..., Pn } existe (y se prueba que es única) una (n+1)n
upla de escalares (b 0 , b1 ,..., b n ) ∈ k n +1 / ∑ bi = 1 y tal que X resulta ser el baricentro del s.r. afectado
0
de los pesos bi. Esto es:
n
n
n
i =0
0
i =0
X = O + ∑ bi OPi / ∑ bi = 1 para cualquier O. O sea OX = ∑ bi OPi
ESPACIO AFÍN REAL. CONJUNTOS CONEXOS.
Cuando el espacio vectorial asociado es real (el cuerpo de escalares es R), se pueden definir los
conceptos de segmento y conjuntos conexos (debido a la relación de orden α , existente en ℜ , y
compatible con la estructura de cuerpo).
Definición: Dados P, Q ∈ Π , llamamos segmento y lo notamos por
[P, Q] = {X / X = p + λpq
λ ∈ [0,1]}
Como X = O + OP + λ(OQ − OP ) = O + (1 − λ )OP + λOQ
[PQ] = {x / OX = μOP + λOQ,
λ ∈ [0,1] , se puede expresar:
λ + μ = 1}
Definición: Sea C subconjunto del espacio afín, se lo llama convexo cuando
∀ P, Q ∈ C → [ P, Q ] ⊂ C .
Evidentemente, la intersección de conjuntos convexos es convexa.
El espacio afín es un conjunto convexo.
Llamaremos envolvente convexa de un conjunto X a la intersección de todos los conjuntos
convexos que contienen a X.
RAZÓN SIMPLE de tres puntos alineados.-
Dados tres puntos X1, X2, X3 alineados, llamamos razón simple al escalar: ( X1X 2 X 3 ) =
Siendo
λ 2 − λ1
,
λ3 − λ1
X1 = P + λ1 v, X 2 = P + λ 2 v, X 3 = P + λ 3 v .
7. - APLICACIONES AFINES
Dados dos espacios afines A1, A2 asociados a los espacios vectoriales V y W, ambos sobre k.
Diremos que f : A1 → A 2 aplicación afín cuando exista una aplicación lineal
f̂
V⎯
⎯→
W / f̂ (P, Q ) = f (P)f (Q) .
Evidentemente, la aplicación afín f quedará determinada si se conocen f̂ y la imagen del pto. P.
Esto es: f ( x ) = f (p) + f̂ (px ) ∀X ∈ A1 . El conjunto de las aplicaciones afines se notará Λ (A1 , A 2 ) .
ECUACIONES DE UNA APLICACIÓN AFÍN.
Sean En y Fm espacios afines de dim n y m con espacios vectoriales asociados Vn y Wm. Sean
R = {P, e1 ,..., e n } y S = {Q, u1 ,..., u n } sist. de referencia de En y Fm, respectivamente. Sea por tanto
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f : E n → Fm la aplicación afín, asociada a la aplicación lineal f̂ : Vn → Wm . Sabemos que la ecuación
de f̂ es de la forma Y = X ⋅ M y que y = f (X) = f (P) + f̂ (PX ) ∀X ∈ E n . Por tanto las ecuaciones
⎡
serán y i = bi + ∑ a ij x j i = 1,..., m : (y1 ,..., y m ) = (b1 ,..., b m ) + (x1 ,..., x n )⎢⎢
1424
3
j =1
f (P)
⎢⎣
n
a ij
⎤
⎥
⎥
⎥⎦ n × m
TRASLACIONES.
Una traslación en un espacio afín A es una transformación
ta : A → A
definida
∀x ∈ A t a ( x ) = x + a a ∈ V . Las traslaciones son transformaciones afines.
En efecto t a ( x ) = x + a = p + a + px con p ∈ A .
Y como t a (p) = p + a ⇒ t a ( x ) = t a (p) + i(px ) i ≡ identidad , es decir, tiene la forma de una
aplicación afín donde la aplicación vectorial asociada es la identidad.
PROPIEDADES.
1.
2.
3.
La composición de aplicaciones afines es otra aplicación afín.
Una aplicación afín es inyectiva (suprayectiva) ⇔ la aplicación lineal asociada lo es.
k
Si f : E → F es una aplicación afín, sea G el baricentro de {Pi }1 con pesos α i ⇒ f (G )
es el baricentro de {f (Pi )}1 con pesos α i . (se conservan los baricentros)
f : E → F es aplicación afín ⇔ la imagen de cualquier terna de puntos alineados se
4.
transforma en otra terna de puntos de F, también alineados y con la misma razón simple. (conserva
las razones simples)
k
HOMOTECIAS AFINES.
Dado un espacio afín A, se llama homotecia afín de centro P y razón λ a la transformación:
y = h p , λ (X) = P + λ PX . Véase que h(p) = p ∀λ
Esta transformación tiene asociada la aplicación lineal: h λ : V → V h λ ( v) = λ v
Si λ = 1 ⇒ es la identidad. Se prueba
1) h a , λ
−1
= ha, 1
2) h a ', λ ' o h a , λ
λ
1- λ
⎧
⎪si λλ ' ≠ 1. homotecia centro a + 1 - λλ ' aa ' y razón λλ '
⎪⎪
= ⎨si λλ ' = 1 y λ ' ≠ 1. traslación de vector (1 - λ ' )aa'
⎪si λ = λ ' = 1. es la identidad.
⎪
⎪⎩
Como ejercicio: Probar todas las propiedades den el plano afín.
PLANO AFÍN A2
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1.- Concepto de Plano Afín. Sistemas de Referencia. Cambio del S. R.
2.- Subespacios afines: puntos, rectas.
Ecuaciones de la recta:
• Paramétricas, continua, general.
• Ec. recta que pasa por 2 puntos.
• Ec. canónica o segmentaria.
3.-
Estudio de la posición relativa de 2 rectas. Condiciones de paralelismo e
incidencia. Estudio de la posición de 3 rectas. haz de rectas de vértice un punto P.
4.- Razón Simple de 3 puntos alineados. Punto medio de un segmento. Baricentro
de un triángulo.
5.- Coordenadas homogéneas planas.
ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL A3
1.- E. Afín tridimensional. Sistemas de Referencias.
Cambio del Sistema de Referencia.
2.- Variedades afines: punto, recta y plano. Ecuaciones.
3.- Paralelismo. Condiciones.
4.- Incidencia : - de dos rectas.
- recta y plano.
- de dos planos.
- de tres planos. Haz de planos.
5.- Razón Simple. Punto medio. Baricentro.
6.- Coordenadas homogéneas tridimensionales.
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Algebra Lineal EII
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