28. APLICACIONES AFINES Y MOVIMIENTOS 28.1

Aplicaciones afines y movimientos 28 28. APLICACIONES AFINES Y MOVIMIENTOS 28.1. APLICACIONES AFINES Una aplicación :
, definida en el espacio afín euclídeo , se dice que es una aplicación afín si es el resultado de trasladar una aplicación lineal en , por tanto tiene una expresión matricial, en base canónica, de la forma: cuyo transformado por Dada una aplicación afín , se llama punto fijo a todo punto de es el mismo punto. El conjunto de los puntos fijos de una aplicación afín se notará por : :
OBSERVACIÓN El conjunto de puntos fijos de la aplicación afín :
es: :
:
:
Y por tanto se puede calcular como el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes es y término independiente . 28.2. MOVIMIENTOS Se llama movimiento o isometría a toda aplicación afín :
que resulta de trasladar una aplicación ortogonal, es decir que su expresión en base canónica es de la forma: ,
con
OBSERVACIONES •
Las traslaciones no alteran las distancias y los ángulos por lo que los movimientos, al igual que las aplicaciones ortogonales, conservan distancias y ángulos. •
Un movimiento definido por con es una aplicación ortogonal. 1 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata EJEMPLO 10 Para cada una de las aplicaciones afines dadas :
estudiar si se trata de un movimiento y calcular el conjunto de puntos fijos. 1
2
2
a)
2
2
1
2
1
1
b)
4
2 2
2
0 1
2
1
2
1
2
2
1
1
0
Solución a)
1
2
2
, siendo 2
2
1
4
2 2
2
1 y 2
La aplicación afín es un movimiento si y sólo si 1
2
2
1
3
2
2
1
2 1
1
3
2
1
2
2
, y se tiene que: 2
2
1
2
1
2
1 9
0
9
0
0
9
0
0
0
9
De donde se deduce que es un movimiento. Su conjunto de puntos fijos es: :
:
4/3
2/3
2/3
|
2/3
1/3
1/3
2/3
1/3
1/3
4/3
2/3 ~ 0
2/3
0
1
0
0
12
00 00
Luego el conjunto de puntos fijos por constituye un plano: :2
b)
2
1
1
, siendo 1
2
2
2 1
1 y 0
2
0 1
La aplicación afín es un movimiento si y sólo si 2
1
1
1
2
1
1
2
0
2
1
1
1
2
2
, y se tiene que: 1
1
0
6
2
3
2
9
1
3
1
2
De donde se deduce que no es un movimiento. :
Su conjunto de puntos fijos es: |
Luego el único punto fijo por es 2 1
1
1
1
1
2
1 0
1 2
1 0 ~ 0 1
1 1
0 0
1
1 0
01
01 10