Cálculo Diferencial Más ejemplos resueltos de integrales

Universidad de los Andes
2015-II
Cálculo Diferencial
Más ejemplos resueltos de integrales - Hasta sección 5.4 (libro)
Material Elaborado por Sandor Ortegón
Esta colección de ejercicios incluye algunos de los ejercicios de los dos últimos talleres y unos
ejercicios nuevos. Se pretende que el estudiante estudie fuertemente para ponerse al dı́a en el tema,
además de terminar el taller 8 con los ejercicios sobre el método de sustitución.
1.
Definición de integral e interpretaciones de las integrales
1. Reconocer los siguientes lı́mites como integrales definidas. Una vez hecho esto, calcule su
valor.
n
n
X
X
5
5i 2
iπ
π
a) lı́m
c) lı́m
·3 1+
sen
·
n→∞
n→∞
n
n
n
n
i=1
i=1
!
r
r
r
n
X
n
1
2
n
1
.
d ) lı́m
+
+ ...
b) lı́m
2
n→∞
n→∞ n
n
+ i2
n
n
n
i=1
(La parte (d) es un ejercicio un poco más difı́cil). Como ayuda en este ejercicio,
necesita reescribir la expresión.
!
!
2
2
n 2
1
1
1
2
1
+1
e) lı́m
· 2014
+ 1 + · 2014
+ 1 + . . . + · 2014
n→∞ n
n
n
n
n
n
2. Sea
2
2
2 2 2
4 2 2
6 2
2n 2
Sn = · 1 +
+ · 1+
+ · 1+
+ ... + · 1 +
n
n
n
n
n
n
n
n
a) Explique por qué sin importar cuál es el valor de n, el valor de la suma Sn siempre es
26
. Como ayuda, reconozca qué integral se está aproximando con esa
mayor o igual que
3
sumatoria y calcule dicha área.
b) Determine el valor de lı́m Sn , usando fórmulas de sumatoria
n→∞
3. Sin hacer ningún cálculo de integrales decida si es cierto o falso que
Z6
1
1
1
1
dx ≤ 2 + 2 + 2
x2
4
5
6
3
Utilice una gráfica para justificar su respuesta.
4. Determine el valor exacto de la integral sin usar ningún método de integración:
Z2 x+
p
4 − x2 dx
0
5. Use un argumento de áreas o desigualdades para explicar por qué
√
que 3. Explique por qué esa integral es menor que 14.
1
R3 √
2
t2 + 5 es mayor que
Más ejemplos resueltos de integrales
2.
2
Teorema Fundamental del Cálculo
1. Explicar por qué si una antiderivada de una función es f (x) = sin2 x, entonces otra antiderivada de esa misma función es g(x) = − cos2 x
d
2. Halle una antiderivada de f (x) =
(sen4 x) y calcule
dx
Zπ/2
f (x) dx.
0

3. Calcule las siguientes derivada:
d 

dx
Zx3

2

et dt
0
4. Calcule los siguientes lı́mites:
Rx3
a) lı́m
x→1
x2

√ 1
1+t2
x2 − 1
dt


b)  lı́m
h→0
2+h
R √

1+
2
h
t2
dt 



Ayuda: Primero, no es necesario calcular la integral que aparece allı́, pues no lo podrá hacer.
La idea es reconocer que se tiene una forma indeterminada, aplicar Regla de L’Hospital y usar
Teorema Fundamental del Cálculo para hallar la derivada de la integral que aparece arriba.
p
3
5. Considere la gráfica de f (x) = 4x − x2 entre x = 0 y x = 4. Una recta vertical paralela al
eje y se mueve en la dirección positiva del eje x a razón de 2 unidades por minuto. A medida
que se mueve, se determina cierta región delimitada por dicha recta, el eje x y la curva antes
mencionada; desde luego, dicha región cambia a medida que el tiempo avanza y la recta se
mueve.
a) ¿En cuál instante es máxima la velocidad con que cambia el área de dicha región?
b) Halle la velocidad con que está cambiando el área de dicha región en el instante antes
mencionado.
3.
Cálculos de integrales y teorema de cambio total
1. Los intereses que gana una cuenta de ahorros capitalizada continuamente en un tiempo t
(dado en años) son iguales a i(t) = 3t2 . ¿Cuál será el aumento total en la cuenta de ahorros
entre t = 0 y t = 6?
Más ejemplos resueltos de integrales
3
2. Si f (t) representa la tasa de cambio (instantánea) de la poblacion Colombiana en un tiempo
Z2
t medido en años desde el año 2011, ¿qué representa f (t)dt ?
0
3. Sale agua del fondo de un tanque a una tasa de f (t) = 200−4t litros por minuto en un tiempo
t (dado en minutos). ¿Qué cantidad de agua ha salido del tanque en el tiempo transcurrido
desde t = 1 a t = 10?
4. Calcule las siguientes integrales, usando sustitución:
Z
Z31
x3
x
√
a)
dx
√
dx
b)
x2 − 16
x+5
4
5. Calcule las siguientes integrales, usando sustitución:
2013π
Z
a)
4π
1
· (sen x + cos x)2 dx
π
Zπ/3
b)
π/4
ln(tan x)
dx
sen x cos x
Universidad de los Andes
2015-II
Cálculo Diferencial
Soluciones ejemplos extra de integrales - Hasta sección 5.4 (libro)
Material Elaborado por Sandor Ortegón
En algunos de los ejercicios están escritas sólo las respuestas y en otros hay escritas justificaciones.
1.
Definición de integral e interpretaciones de las integrales
1. (Quiz) Se dan las respuestas, pero el estudiante debe saber explicar cómo halló el ∆x, x∗i , a, b, f (x)
en cada parte. Y claro, debe calcular las integrales resultantes.
Z6
a)
2
3x dx
Z1
c)
1
0
Zπ
Z1
b)
sen x dx
0
d)
√
Z1
x dx
e)
(2014 · x2 + 1) dx
0
1
dx
1 + x2
0
2. (Quiz)
a) Esta sumatoria se puede ver como una suma de Riemann de cierta función (la imagen
le ayuda a reconocer)
Esto permite explicar el por qué se cumple lo dicho en el ejercicio. Tenga en cuenta que
26
el área real es justamente
3
b) Primero, escriba la expresión anterior en notación de sumatoria. Luego, debe usar fórmulas de sumatorias para llegar a la misma respuesta del área real calculada antes.
1
3. La integral dada representa el área bajo la curva y = 2 entre 3 y 6. La suma a la derecha
x
representa la aproximación al área que resulta al tomar los rectángulos que muestra la figura.
Ası́ que la afirmación es falsa, el área real (la integral) es mayor que la suma.
1
Soluciones ejemplos extra de integrales
2
4. La integral dada se puede expresar de la siguiente manera:
Z2
0
Z2 p
x dx +
4 − x2 dx
0
La primera integral, si se interpreta como un área, representa (hacer el dibujo para verificar),
el área de un triángulo de base 2 y altura 2, mientras la otra parte representa el área de un
cuarto de cı́rculo de radio 2. Ası́ que el área es igual a 2 + 4π.
p
5. Sea f (t) = t2 + 5. Considere la integral dada como el área bajo la curva de la función f (t)
con t entre 2 y 3. Si no se se divide el intervalo de 2 a 3, sino se toma una sola √
parte, al tomar
solamente el rectángulo de base 1 (el intervalo [2, 3] mide 1) y altura f (2) = 22 + 5 = 3, se
obtiene un área menor que la integral. De manera análoga, si no se se divide el intervalo de
2 a 3, sino se toma una sola parte,
al tomar
√
√ solamente el rectángulo de base 1 (el intervalo
[2, 3] mide 1) y altura f (3) = 32 + 5 = 14, se obtiene un rectángulo de área menor a la
integral dada. Eso explica las desigualdades.
2.
Teorema Fundamental del Cálculo
1. Esencialmente la idea es derivar las dos funciones respecto de x. Si fueran antiderivadas de
una misma función es porque al derivar respecto de x se obtiene la misma respuesta. De otro
lado, también se puede observar que si la diferencia entre las dos funciones es una constante,
entonces en efecto son antiderivadas de una misma función. Esto sucede aqui, puesto que
sen2 x − (− cos2 x) = 1.
2. Si F (x) = sen4 x entonces
dF
d
=
(sen4 x) como querı́amos
dx
dx
Zπ/2
π π f (x) dx = F
− F (0) = sen4
− sen4 (0) = 1 − 0 = 1
2
2
0
3. Por el teorema fundamental del Calculo,
 3

Zx


t2
3
 e dt = F (x ) − F (0)
0
2
2
donde F es una antiderivada de et , es decir, para cualquier valor de t, F 0 (t) = et .
Derivemos lo anterior respecto de x (en el ultimo paso usamos la regla de la cadena)
 3

Zx
d
d 
3 2

t2
(F (x3 ) − F (0)) = F 0 (x3 ) · 3x2 − 0 = e(x ) · 3x2
 e dt =
dx
dx
0
4. (Quiz) Primero, no es necesario calcular las integrales que aparece allı́ (a lo mejor ni se
puede hacer). La idea es reconocer que se tiene una forma indeterminada, aplicar Regla de
L’Hospital y usar Teorema Fundamental del Cálculo para hallar la derivada de la integral que
aparece arriba (de una forma similar al ejemplo resuelto antes). El primer lı́mite es igual a
1
√ y el segundo lı́mite es igual a 3.
2
Soluciones ejemplos extra de integrales
3
5. (Quiz) La solución del ejercicio está completa, ası́ que se preguntará el estudiante ... ¿por qué
va para quiz, si ya está resuelto el problema? La razón es que hay detalles en la explicación
que el estudiante debe llenar y dado que el ejercicio no es fácil, tiene mucho mérito que el
estudiante comprenda muy bien el enunciado, comprenda la solución y pueda escribirla con
todo detalle (este documento se salta algunos pasos), llene los detalles que hagan falta y la
sepa exponer.
Solución: El área A bajo la curva de f es la integral
Zx
A(t) =
f (v) dv =
0
Zx p
3
4v − v 2 dv
0
dx
donde x es una variable que depende del tiempo t tal que
= 2 y x ∈ [0, 4]. Nótese que se
dt
coloca una variable v diferente de x, t en la expresión a integrar, dado que el área depende de
x (a medida que x cambia, el área barrida cambia) y a su vez x depende de cierto parámetro
t (tiempo).
dA
. Ası́ que primero derivamos esta expresión.
dt
Como A depende de x y x depende de t, se deriva usando regla de la cadena (como los
ejercicios de razones de cambio). Ası́ que
Ahora, el problema consiste en maximizar
dA
dA dx
=
·
dt
dx dt
Como consecuencia del teorema fundamental del cálculo,
dA p
3
= 4x − x2 , ası́ que
dx
p
dA
3
= 2 4x − x2
dt
Esta función, en términos de x, tiene como dominio al intervalo [0, 4]. Los puntos crı́ticos se
p
2 4 − 2x
3
dan en x = 0 y x = 2, puesto que la derivada de 2 4x − x2 es igual a
y sólo
3 (4x − x2 ) 23
vale 0 (o no está definida) en esos dos valores.
p
3
Al evaluar 2 √4x − x2 en los extremos del intervalo, la función a maximizar da 0, mientras
en x = 2 da 2 3 4. Ası́ que este el instante en que es máxima la velocidad con que cambia
el
√
3
área de la región es cuando la recta pasa por x = 2 y en ese instante, la velocidad es 2 4.
Eso resuelve el problema.
3.
Cálculos de integrales y teorema de cambio total
1. Sea C la cantidad en la cuenta de ahorros. Queremos encontrar el cambio neto entre los
tiempos t = 0 y t = 6, es decir C(6) − C(0). Como la tasa de interés corresponde a la derivada
de C(t), quiere decir que el cambio total se halla integrando.
Z6
C(6) − C(0) =
Z6
i(t) dt =
0
x=6
3t2 dt = t3 = 216
x=0
0
2. La integral representa el aumento de la población colombiana entre el 2011 y el 2013.
Soluciones ejemplos extra de integrales
4
3. Si A es la cantidad de agua que ha salido hasta un tiempo t entonces la tasa a la que sale
el agua es f (t) = dA
dt , es decir, A es una antiderivada de 200 − 4t. Queremos calcular la
cantidad de agua que ha salido entre t = 1 y t = 10, es decir A(10) − A(1) entonces utilizamos
nuevamente el teorema fundamental del cálculo y obtenemos:
Z10
x=10
A(10)−A(1) = (200−4t) dx = 200t−2t2 = (2000−200)−(200−2) = 1800−198 = 1602
x=1
1
4. (Quiz) Como parte del quiz √
debe resolver los dos ejercicios, pero se exige que en el segundo
punto use la sustitución u = x + 5
a) Mediante la sustitución u = x2 − 16 concluye que la respuesta es
√
p
( x2 − 16)3
+ 16( x2 − 16) + C
3
b) Mostramos una imagen de la solución √
usando la sustitución u = x + 5 como ejemplo
para que el estudiante lo haga con u = x + 5
5. (Quiz)
a) La respuesta será 2009. La idea es que expande binomio al cuadrado como un trinomio
cuadrado perfecto y usando identidad trigonométrica, puede simplificar la suma del
primero al cuadrado más el segundo al cuadrado. Le quedarán dos sumandos, ası́ que
separa la integral como suma de dos integrales. Aplica sustitución en una de las integrales
(puede ser u = sen x) y resuelve. Como comentario, un estudiante muy astuto puede
hacer esa integral sin usar sustitución, sino con identidades.
b) Como ayuda, se reconoce que lo más “complicado” para sustituir serı́a u = tan x. No
olvide como el ejemplo de arriba cambiar los lı́mites de integración despues de hacer la
sustitución. Tiene que dejar la nueva Z
integral en términos de u (haga las operaciones!) y
ln u
du. Aquı́ podrá hacer otra sustitución (con
si lo hace bien, le quedará algo como
u
una letra diferente a u, claro). Y de allı́ le saldrá la respuesta.