PARTE 2

MÓDULO DE
ÁLGEBRA
SESIONES DE CLASES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
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INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIDAD II: ÁLGEBRA
SESIÓN 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: CLASIFICACIÓN, GRADOS,
REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES Y NOTACIÓN
FUNCIONAL.
LOGRO DEL APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno, haciendo
uso de las herramientas básicas del álgebra como las expresiones algebraicas y notación
funcional; permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis, para
aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal.
INTRODUCCIÓN
Un comerciante necesita representar sus ingresos de tal manera que no sea necesario
nombrar cada una de las frutas que vende, si no identificarlas de una forma más simple y
poder así representar sus ingresos según los siguientes precios de venta: S/ 2.50, S/ 3.00,
S/ 4.00, S/ 3.50 S/ 3.00 y S/ 2.00 por cada kilo de plátano, uva, fresa, manzana, mango y
naranja respectivamente. ¿Cómo quedaría representado el ingreso?
Entendemos que, Álgebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su
forma más general posible, para lo cual hace uso de letras y números (variables y
constantes) o algún otro símbolo en especial.
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1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS (E. A.)
Es el conjunto de números y letras unidas entre sí por las operaciones fundamentales
(Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Radicación y Potenciación) o alguna
combinación de éstas en un número limitado de veces y sin variables como
exponentes.
Nota: Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina
expresión no algebraica o trascendente.
Ejemplos: Dadas las siguientes expresiones identifique si es o no una expresión
algebraica.
1.
7xy2 ; - xy2 ;
2.
1+x+x2+x3+…
2
2 xy
------- Es Expresión Algebraica
------- No es Expresión Algebraica por tener infinitos
términos
3.
Sen (x) - xx
------- No es Expresión Algebraica por contener una función
trigonométrica y una función exponencial.
1.1 CONSTANTES: Son símbolos que representan a una cantidad definida, es decir,
su valor es fijo.
1.2 VARIABLES: Son símbolos utilizados para representar a un elemento
cualquiera de algún conjunto, es decir, su valor no es fijo, puede tomar cualquier
valor que se le asigne.
1.3 TÉRMINO ALGEBRAICO
Es la mínima expresión algebraica, cuyos números y letras, no están separados
por los signos (+) y (-).
Ejemplos: 2x2 y3,
6zy1/2
En un término algebraico se distinguen las siguientes partes:
Exponentes
Signo
– 3 x2y1/2
Variables
Coeficientes
Parte Literal
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1.4 TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen la misma parte literal, afectados de iguales exponentes.
Ejemplos: Las siguientes expresiones:
5 x3 y z5;
-2 x3 y z5;
1
5
7 x3 y z5;  x 3 yz 5 ; son términos semejantes.
Observación: Solo se pueden sumar o restar términos semejantes.
2. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se clasifican según la naturaleza de los exponentes de sus
variables y según su número de términos, en el siguiente esquema se presenta la
clasificación:
Según la
naturaleza del
exponente
Racional
entera
fraccionaria
Irracional
Monomios
Según el
número de
términos
Polinomios
Binomios
Trinomios
Cuatrinomios
1 término
2 términos
3 términos
4 términos
2.1 POR LA NATURALEZA DE LOS EXPONENTES: Una expresión algebraica
puede ser:
1) Expresión Algebraica Racional (EAR): Son aquellas cuyas variables están
afectadas por exponentes enteros. A su vez pueden ser:
1.1. Expresión Algebraica Racional Entera (EARE): Los exponentes de sus
variables son enteros positivos (no tienen variables en el denominador),
incluyendo el cero.
Ejemplos:


3xy2 + 7xy5 + x5 - 3
2x+ y+3
5
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1.2. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria (EARF): Los exponentes
de sus variables son enteros negativos o al menos tiene una variable en el
denominador.
Ejemplos:


3x2 y-5 + 7xy +
4
5 xy
-
3
x2
1
x
+3
7 1
 
y xy
2) Expresión Algebraica Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables están
afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.
Ejemplos:
1
 x 2  5 xy 2  3 2 x

5 4  23 x
7
3) Expresión trascendente.
Son todas aquellas expresiones no algebraicas.
Ejemplos:

5
2
xy4 + xy + 4.
(expresión exponencial)
 3log x + log2x2 + xy.
(expresión logarítmica)
 1 + x + x2 + x3 + …
(expresión ilimitada)
2.2 POR EL NÚMERO DE TÉRMINOS: Una expresión algebraica puede ser:
1) Monomio: Expresión algebraica de un término.
Ejemplos: 7x2yz3 , 4x1/2yz-1
2) Multinomio: Expresión algebraica de dos o más términos:
Ejemplos:
 3x + y-2 + 5
 x + y1/2 - 8x2 + 7
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3. POLINOMIO
Un polinomio es una expresión algebraica racional entera. Cuando los coeficientes
son reales, se dice que es un polinomio en R.
Notación:
P(x)
: Es un polinomio que tiene una sola variable x.
P(x,y) : Es un polinomio que tiene dos variables x,y.
 Monomio: Expresión algebraica racional entera de un solo término.
Ejemplos:
1) M(x,y,z) = 3xy2z2
2) M(x,y,z,) = 5x12yz4
 Binomio: Es el polinomio de dos términos.
Ejemplos:
1) P(x,y) = 4x7y2 – x5 y3
2) P(x,y,z) = xy2z +3 x4 y2 z3
 Trinomio: Es el polinomio de tres términos.
Ejemplos:
1) P(x,y) = x 2 y  7 x 2 y 2  2 xy 3
2) R(x) = a0 + a1 x + a2 x2
En general tenemos:
P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an
Polinomio en x de grado “n”
donde:a0 es el coeficiente principal y an es el término independiente.
4. OPERACIONES ENTRE MONOMIOS y POLINOMIOS
4.1 SUMA Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS
Para sumar o restar monomios, se suman o se restan los coeficientes de términos
semejantes.
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Ejemplos: Efectuar las operaciones indicadas.
+
1) 3 x2 y + 5 x2 y = 8 x2 y
2) 7 x3 y3 - 2 x3 y3 = 5 x3 y3
4.2 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Cuando se multiplican monomios, se multiplican los coeficientes numéricos para
obtener el coeficiente numérico del producto. Luego se multiplican los factores
restantes usando las reglas de los exponentes:
Ejemplos: Efectuar la multiplicación de monomios.
3+4
1) (3 x3 ) ( - 7 b x4) = -21 b x7
3(-7b)
2)

2 x3 y


3 x y4 
6 x4 y5
4.3 ADICIÓN DE POLINOMIOS: Para sumar polinomios, identificamos
términos semejantes y los ordenamos para poder alinearlos verticalmente de tal
manera que se pueda operar.
Ejemplo: Dado los siguientes polinomios: 3x2  x3  7 x y  x2  4 x3  x  1 ,
efectuar la suma.
4.4 SUTRACCIÓN DE POLINOMIOS: Para restar polinomios, identificamos
términos semejantes de cada uno para ordenarlos y cambiar de signo de cada
coeficiente del segundo polinomio y así poder operar.
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Ejemplo: Dado los siguientes polinomios: 3x2  x3  7 x y  x2  4 x3  x  1 ,
efectuar la resta.
4.5 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS: Para multiplicar polinomios,
multiplicamos los factores numéricos y los factores variables aplicando la
propiedad distributiva.
Ejemplo: Dado los siguientes polinomios:
P( x)  2 x3  5x2  6 x  3 y
Q( x)  3x2  x  4 , efectuar la multiplicación.
P( x).Q( x)  (2 x3  5 x 2  6 x  3)(3x 2  x  4)
 6 x5  13x 4  31x3  23x 2  27 x  12
5 VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le asigna determinados valores a
sus variables.
Ejemplo: Dado el polinomio P(x) = x3 – 5x2 + 7, hallar P(0), P(1) y P(-2)
Solución:
P(0) = (0)3 – 5(0)2 + 7 = 7
P(1) = (1)3 – 5(1)2 + 7 = 3
P(-2) = (-2)3 – 5(-2)2 + 7 = -21
Ejemplo: Dado el polinomio P(x, y) =3x - 2y + 1, hallar: P(0, -1).
Solución: Haciendo x = 0  y = -1, se tiene que:
P(0, -1) = 3(0) - 2(-1) + 1 = 3
Ejemplo: Sea el polinomio P(x) = 3x2 + 2x + 1. Calcular P(a + 1)
Solución:
Para: x = a + 1, se tendrá
P(a + 1) = 3(a + 1)2 + 2(a + 1) + 1
P(a + 1) = 3(a2 + 2a + 1) + 2a + 2 + 1
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P(a + 1) = 3a2 + 6a + 3 + 2a + 3
P(a + 1) = 3a2 + 8a + 6
Observación
a) Suma de coeficientes de un polinomio P(x).
Variable = 1  Suma de Coeficientes = P(1)
b) Término independiente de un polinomio P(x).
Variable = 0 Término independiente = P(0)
6 GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se denomina grado a la característica relacionada con los exponentes de las
variables de una expresión algebraica racional entera. Se distinguen dos tipos de
grados: el absoluto y el relativo, empleándose para ello las siguientes notaciones:
G.R. = Grado Relativo
6.1
y
G.A. = Grado Absoluto
GRADO RELATIVO
Cuando nos referimos al grado relativo, éste debe asociarse a una sola variable y a
un término de la expresión o a toda la expresión. El grado relativo de un término,
es el exponente de la variable seleccionada. El grado relativo de una expresión, es
el mayor exponente que afecta a la variable seleccionada en toda la expresión.
6.2
GRADO ABSOLUTO
Cuando nos referimos al grado absoluto, éste depende de todas las variables y
puede asignarse a un término o a toda la expresión. El grado absoluto de un
término, es la suma de los exponentes que afectan a todas las variables. El grado
absoluto de una expresión, es el grado absoluto o simplemente grado, del término
de mayor grado en la expresión.
Ejemplo: En el siguiente término: 5
2
3x
El grado relativo a x es:
El grado relativo a y es:
G.Rx = 2
G.Ry= 7
El grado relativo a z es:
El grado absoluto es:
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y7 z
G.Rz = 1
G.A. = 2 + 7 + 1 = 10
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Ejemplo: En la expresión: P(x,y) = 5x12y7 + 3x5 y13 + 9
G.Rx = 12, G.A. t1 = 12 + 7 = 19,
G.Ry = 13, G.A. t2 = 5 + 13 = 18,
G.A. t3 = 0, G.A. = 19
Nota: El grado de una constante numérica no nula, es cero.
6.3 REPRESENTACIÓN GENERAL DE POLINOMIOS DE ACUERDO AL
GRADO
Considerando la variable "x" y las constantes a,b,c y d tal que a  0, tenemos :
Polinomio de grado cero : P(x) = a
Polinomio de grado uno : P(x) = ax + b
Polinomio de grado dos : P(x) = ax2 + bx + c
Polinomio de grado tres : P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
6.4
GRADOS EN OPERACIONES CON POLINOMIOS
Sean los polinomios P(x) de grado m, y Q (x) de grado n (con m> n), entonces:
 G.A. [P(x)  Q (x) ] = m
 G.A. [P(x) . Q(x) ] = m + n
 P( x ) 
 G.A. 
= m – n
 Q( x ) 
 G.A. [P(x) ]r = r m
 G.A. r P( x ) 
m
r
7 ALGUNOS POLINOMIOS ESPECIALES
7.1 POLINOMIO ORDENADO
Con respecto a una variable, un polinomio está ordenado, si los exponentes de
esta variable lo están (ya sea en forma ascendente o descendente).
Ejemplo: Dado la siguiente expresión P(x,y) = x5y - x3y2 + xy3
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Es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a "x" y en forma
ascendente respecto a "y".
7.2 POLINOMIO ENTERO EN “x”
Es aquel que depende únicamente de la variable "x", siendo sus coeficientes
números enteros.
Ejemplo: Dado la siguiente expresión P(x) = 3x3 + 2x2 - 1
Es un polinomio entero en "x" de tercer grado.
7.3 POLINOMIO MÓNICO
Es aquel polinomio entero en "x" que se caracteriza por que su coeficiente
principal es igual a la unidad.
Ejemplo: la expresión P(x) = x5 – 5x + 8
Es un polinomio mónico de quinto grado.
7.4 POLINOMIO COMPLETO
Con respecto a una variable un polinomio es completo, si dicha variable presenta
todos los exponentes desde 0 hasta el grado del polinomio.
Nota: Si un polinomio es completo, entonces N° de términos = G.A. + 1
Ejemplos:
P(x) = 2x +3x2 + x3 - 5 Es un polinomio completo de tercer grado con cuatro
términos.
P(x) = 4x4 + 5x3 + x2 – 55x + 3 Es un polinomio completo de cuarto grado con
cinco términos.
7.5 POLINOMIO HOMOGÉNEO
Un polinomio es homogéneo si cada término del polinomio tiene el mismo grado
absoluto.
Ejemplos:
P(x,y) = 4x2 y5+ 3x4y3 – 8xy6 Es un polinomio cuyo grado absoluto es 7
P(x,y,z)= 7yz3 + 5x2yz + xyz2 Es un polinomio cuyo grado absoluto es 4.
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EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si el polinomio: P(x; y)=(a + 2) x2a + 1 yb + 2 + (a - b) x2a + 3 y3 + (3b - 1) xa + 1 yb
+1
es de grado absoluto 10, mientras que el grado relativo de “x” es 7. Calcular la
suma de los coeficientes de “P”.
Solución:
1° Se recomienda elaborar el siguiente esquema:
P(x; y)=(a+2) x2a + 1 yb + 2 + (a - b) x2a + 3 yb - 3+ (3b - 1) xa + 1 yb + 1
Exponentes de x: 2a+1
2a+3
a+1
Exponentes de y: b+2
b-3
b+1
Grado de cada término:
2a+b+3 2a+b
a+b+2
2° Nos piden la suma de los coeficientes, es decir:
(a+2) + (a - b) + (3b - 1)
a+2 + a - b + 3b - 1 = 2a + 2b +1 .......... (1)
3° Calculamos “a” y “b” haciendo uso de los datos, así:
GR(x) =
 2a + 3 = 7
7
 2a = 4  a = 2
GA
=
 2a + b + 3 = 10
10
 2(2) + b + 3 = 10
4 + b + 3 = 10
b=3
4° Los valores de “a” y “b” lo reemplazamos en (1), para obtener la suma de
coeficientes.
2a + 2b + 1 = 2(2) + 2 (3) + 1
= 4 + 6 + 1 = 11
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2. Sabiendo que: P(x + 1) = (x + 1)2 + 3x – 1 y además: P[F(x)] = F2(x) + 12x + 2
Determinar: F(6)
Solución:Sabemos que: P(x + 1) = (x + 1)2 + 3x – 1.
Transformando la expresión:P(x + 1) =(x + 1)2 + 3(x + 1) - 4
Haciendo que: x + 1 = n.
Luego: P(n) = n2 + 3n - 4
Haciendo que: n = F(x)
Trabajando en la condición anterior:P[F(x)] = F2(x) + 3F(x) - 4 -------- (I)
Pero: P[F(x)] = F2(x) + 12 x + 2 ---- (II)
Igualando la condición (I) y (II)
F2(x) + 3F(x) - 4 = F2(x) + 12x + 2
Efectuando:3F(x) = 12x + 6
3F(x) = 3(4x + 2)
F(x) = 4x + 2
Cálculo de F(6):
F(6) = 4(6) + 2 = 24 + 2 = 26
F(6) = 26
3. Dados los polinomios:
P(x)= ax2 + 3x + bx + 5x2 + c - 2
Q(x) = 7x2 + 5x - 1
Calcular los valores de a, b y c, si los polinomios son idénticos.
Solución:
Por dato:ax2 + 3x + bx +5x2 + c - 2  7x2 + 5x - 1
Reduciendo términos semejantes en el primer miembro:
(a+5) x2 + (b + 3) x + (c - 2)  7x2 + 5x - 1
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Entonces se cumple:
Coef. de x 2 :
a=2
a+5=7
Coef. de x : b + 3 = 5  b =2
Coef. de x 0 :
c=1
c - 2 = -1
4. Determinar el valor de “a” sabiendo que el polinomio:
P( x, y)  3xn
3
4 9
y  7 x3 a  7 y 2  5 x n
3
11 4 n
y es homogéneo.
Solución:
Para que el polinomio sea homogéneo el grado de todos los términos debe ser el
mismo.
n
3
+ 5 = 3a + 9 = n
3
+ 4 n - 11
(II)
(I)
De la igualdad (I), podemos determinar el valor de “n”.
n3 + 5=n3+ 4n - 11  4n = 16

n=4
Reemplazando el valor de “n” en la igualdad (II).
n3 + 5 = 3a + 9
(4)3 + 5 = 3a + 9
3a + 9 = 69
3a = 60 
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a = 20
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HOJA DE TRABAJO
SESIÓN 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: CLASIFICACIÓN, GRADOS,
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Y NOTACIÓN
FUNCIONAL.
NIVEL 1
1) Clasifique las siguientes expresiones.
EAR
EARE
EARF
EAI
NO ES EA
24 x2y
1 3 2
xy
3
1
x 5  x2
xx+2x
2x 3 y
2) Identifique los términos semejantes:
a) 3 x2y ; 17 x2 y ;
12 x y2
b) 3 x2y ; 9 x y2 ; 5 (x y2) ; 6 ( x2 + y )
3) Reducirlas siguientes expresiones:
a) 2 x2 y  x3 y 2  x 2 y  3x3 y 2
b) 2 xy3  x 2 y 2  2 x 2 y 2  3xy 3
4) Dados los polinomios P(x) = 2x3 – 6x + 5
y Q(x) = 12x2 – 6x.
Calcular P(– 2) + 3Q( 1)
5) Con respecto al monomio: M  x; y, z   6 x3 y 6 z 7 .Halle el GR x  , GR y  , GR z  y
GA(M).
6) En el siguiente polinomio: P  x; y, z   7 x3 y 5 z 7  2 x 4 y 2 z 5  x11 yz 2 .
Halle el GR x  , GR y  , GR z  y GA(P).
7) Dados los polinomios P(x) = 2x2 – 3x + 5
y Q(x) = 5x3 – 4x, halle
P(x)+Q(x), P(x)-3Q(x), P(x).Q(x),5P(x)-3Q(x).
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NIVEL 2
8) Dados los polinomios: P(x) = x2 – x + 1, Q(x) = x2 – 2x y R(x) = x3 – 5x.Calcule:
a) - 2[P(x) - Q(x)] b) [– R(x)] . [P(x) - Q(x)]
9) Dados los polinomios:P(x) = 2x2 – x + 5
c) - 3[Q(x) - 2R(x)]
y Q(x) = x2 – 6x.
Calcule: P(x – 1) + 3Q(x + 1)
10) Determine el valor de m + n, si P(x)  3x 2mn y 3n2 tiene GR(x)=9 y GR(y)=7.
11) Dado el polinomio P( x, y)  4 xm1 y n2  6 x m y n1  7 x m3 y n2 es de grado 20 y de
grado relativo a “y” igual a 8. Calcular mn.
12) Halle n, si el grado de E es 3. E 
n
x19 x 4
6
x2

 x
13) Halle el grado del producto: P  x   6 x 2  1
3
3
 1  x3  8
2
NIVEL 3
14) Roberto tiene un Recreo Campestre, dicho terreno tiene un
área de
x4  6 x3  2 x2  3x  4 , se sabe que el área del lugar de Seguro en Caso de sismo
es de x2  x  2 y el área de diversiones es de 2 x3  5x2  4 x  5 . ¿Qué parte del
terreno utiliza en el negocio?
15) Una compañía contrata a un grupo de x4  9 x2  18 Ingenieros de tal manera que
puedan cubrir todas las plazas de trabajo. Si contrató
x3  x  10
civiles, x2  3x  5 Ingenieros Mecánicos, x2  9 x  18 Ingenieros
Ingenieros
Ambientales
¿Cuántos Ingenieros de Sistemas contrato?
16) La empresa Olivos, encargada de la venta de autos. Vende a un precio de
x2  4 x  8 soles cada uno, los costos de producción son de x2  2 x  20 soles por
unidad, representa el ingreso total y el costo total,
mediante una expresión
polinomial en forma ascendente con respecto al grado de la variable “x”, si vende
( x  3) autos.
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17) Dado el polinomio P(x) y Q(x), se sabe que los polinomios: P3(x).Q(x)
y P3(x)
Q2(x), son de grado 17 y 2 respectivamente. Halle el grado de P(x).Q(x).
18) Si el polinomio P  x, y   5x m3 y2n1 - 4x m1y3n1 es homogéneo y la relación de los
exponentes de x en sus dos términos es como 3 es a 1.Halle ( m + n ).
19) Calcular el perímetro de la siguiente figura:
x2 +x
2x2 +x
x
x
2
3x +x –3
BIBLIOGRÁFICA:
 Sullivan, Michael. (2006). Álgebra y trigonometría.
 Salvador Timoteo V. Álgebra, Editorial San Marcos (2010)
 Peterson, Jhn C. (2005). Matemática Básica: Álgebra, trigonometría y geometría
analítica.
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UNIDAD II: ALGEBRA
SESIÓN 2: DIVISIÓN POR RUFFINI y HORNER, TEOREMA DEL RESTO.
LOGRO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión el estudiante identifica operaciones con polinomios, haciendo uso de
los métodos básicas de la adición, sustracción, multiplicación y división algebraica;
permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en
situaciones diversas en forma individual y grupal.
INTRODUCCIÓN
Una empresa que se dedica a la distribución de diferentes marcas de autos tiene como
costos de adquisición por unidad de $10 000 por la marca Toyota, $13 000 por la marca
Mitsubishi y $9 000 por la marca Spark. La empresa vende cada auto al precio de $ 14
000, $15 000 y $12 000 de las marcas Toyota, Mitsubishi y Spark respectivamente. ¿Si
“x” es la cantidad de automóviles de la marca Toyota, “y” la cantidad de automóviles de
la marca Mitsubishi y “z” cantidad de automóviles de la marca Spark, cómo
representaría la utilidad de la empresa?
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1.1 DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Los polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus
potencias de mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios
pasos, parecidos a la división numérica.
Dados los polinomios dividendo D(x) y divisor d(x), se trata de hallar otros dos
polinomios, cociente C(x), y resto R(x), de acuerdo con el siguiente esquema:
D(x)
R(x)
d(x)
C(x)
Equivalentemente: D(x) = d(x)C(x) + R(x)
Si el resto R(x) = 0., la división se llama exacta, y se dice que:
* El polinomio D(x) es divisible por d(x), o que D(x) es múltiplo de d(x)
* d(x) es un factor de D(x), o d(x) es un divisor de D(x)
Ejemplo: Dividir (6x4 + 5x3 -7x2 + 3x + 2)/(2x2 + 3x – 1)
Solución:Reescribiendo en el esquema de división
6 x 4  5 x 3  7 x 2  3x  2 2 x 2  3x  1
 6 x 4  9 x 3  3x 2
3x 2  2 x  1
 4 x 3  4 x 2  3x  2
 4x 3  6x 2  2x
 2 x 2  1x  2
 2 x 2  3x  1
 2x  3
Por tanto: C(x) = 3x 2  2 x  1 y R(x) =  2 x  3
Ejemplo: Divida (8 x5 – 2 x2 + x3 – 3) entre (-2 x2+ 4 x3 + x –1)
Solución: Reescribiendo en el esquema de división
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8 x5 + 0 x4 + x3 – 2 x2 + 0 x – 34x3 - 2x2 + x -1
-8 x5 + 4 x4 -2 x3 +2 x2_____ 2 x2 + x +
1
4
4 x4 - x3 + 0 x2 + 0 x –3
-4 x4 + 2x3 - x2 + x____
x3 - x2 +
x
- 3
1 2 1
1
x - x +
2
4
4
____________________
3
11
1
- x2 + x 2
4
4
-x3 +
1.2 REGLA DE RUFFINI
Cuando el divisor es un polinomio de la forma x  a , se puede aplicar el
método ya aprendido o aplicarse la regla de Ruffini, que prescinde de las
variables.
Ejemplo: Dividir (3 y4 + y2 - 5y + 4) : (y +1), aplicando la regla de Ruffini.
Solución:
3
0
1
-1
×
-5
4
+
-3
3
3
-3
-4
4
3 y3 - 3y2+ 4y - 9
9
-9
13
R
El polinomio cociente es 3 y3 - 3y2 + 4y - 9 y el polinomio resto es 13.
Ejemplo: Dividir (2x4 + x3 – 3x – 3) : (x – 3), aplicando la regla de Ruffini.
Solución:
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2
1
0
-3
-3
+
3
×2
6
7
21
21
63
180
60 177
2 x3 + 7x2 +21x + 60
R
El polinomio cociente es 2 x3 + 7x2 +21x + 60 y el polinomio resto es 177.
1.3
TEOREMA DEL RESTO
El resto de dividir un polinomio P(x) de grado mayor o igual a uno, por otro de
la forma x + a, es el valor numérico del polinomio P(x) para x = a cambiado de
signo.
Observa el siguiente esquema de la división de un polinomio P(x) ente el
binomio x  a :
Esta expresión resultará muy útil para calcular el resto de la división de un
polinomio p(x) entre x  a , sin efectuar la división, algo que será muy útil en


situaciones como esta: x 99  1 : x  1
R  P(1)  199  1  1  1  2  El resto de esta división vale 2
Ejemplo:Sin
5x
4
hacer
la
división,
¿cuál
es
el
resto
de
la
división

 3x 2  6 x  1 : x  1 ?
Solución: Aplicando el teorema del resto se tiene: R = P(1) = 5(1)4 – 3(1)2 +
6(1) – 1 = 7, entonces el resto es 7


Ejemplo:El resto de la división 3x 6  ax  2 : x  2 es 184. Hallar el valor que
debe tener a.

Solución: P(-2) = 3(-2)6 + a(-2) – 2
192 - 2a – 2 =184
a = 3
OBSERVACIÓN: Siel divisor es de la forma (ax n  b) , se despejar el valor de
la potencia.
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MÉTODO DE HORNER
Consiste en dividir sólo los coeficientes de los polinomios, previamente ordenados y
completando con CEROS los términos que faltan, luego siguen los siguientes pasos:
Se escriben los coeficientes del dividendo en una fila, con sus propios signos.
Se escriben
los coeficientes del divisor en una columna lateral izquierda, el
primero con su propio signo y los demás con signos cambiados.
Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor
y se baja.
Este resultado se multiplica por cada coeficiente del divisor que se ha cambiado de
signo, y se pasa a sumar con los coeficientes del dividendo.
Luego, se suman los coeficientes de la siguiente columna y este resultado se divide
entre el primer coeficiente del dividendo.
Este procedimiento se repite hasta llegar a la altura del último coeficiente del
dividendo.
Ejemplo:Efectuar la siguiente división.
 (10x6 + 11x5 - 11x4 + 8x3 + x2 - 10x + 8)  (2x2+3x-1)

+2
+10
-3
+11
-11
-15
+5
+1
0
+6
+8
+1
-10
+8
-2
0
-9
+3
+12
-4
+5
-2
0
+3
-4
+5
+4
Cociente (Q)Resto(R)
Q(x) = 5x4 - 2x3 + 3x - 4 , R(x) = 5x + 4
Suma de coeficientes del cociente =Q(1) =5-2+0+3-4=2
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HOJA DE TRABAJO
SESIÓN 2: DIVISIÓN POR RUFFINI, HORNER Y TEOREMA DEL RESTO.
NIVEL 1
1) Dividir los siguiente Polinomios:
a) x3  5x2  x  2 entre x - 3
b) 8x4  2 x3  3x2 13x  8 entre x –1
2) Indique el resto en: 4 x4  4 x2  8  x  2 usando el Método Clásico.
3) En la división exacta:
3x 4  5 x3  x  b
, Calcular (a.b) e indicar la suma de
3x  2
coeficientes del cociente.
4) Calcula el valor de m en los polinomios siguientes sabiendo que:
a) El resto de dividir 5x 4  mx3  2 x  3 entre x  1 , es cero
b) 3x 2  mx  10 es divisible entre x  5
5) Halla a y b al dividir
6 x 4  5 x3  4 x 2  ax  b
se obtiene como resto 4x+10.
2 x2  x  3
6) Sin hacer la división, decir si la siguiente división es o no, exacta
x
6

 64   x  2 
7) Factorice la siguiente expresión:
6 x5  4 x 4  9 x3  1
2 x3  x  1
NIVEL 2
8) Utilizando el teorema del resto, halla el valor de “m” para que el polinomio
p( x)  5x 4  7 x 3  2 x 2  4 x  m ,tenga por resto 130 al dividirlo por x  2
9) Determinar el residuo de la división:
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2 x 4  3 2 x3  12 x 2  3 2 x  2
x 2
[22]
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10) Aplique el método de Horner para encontrar el cociente
de.
4 x 4  16 x 3  11x  3x  33
2 x 2  5x  7
11) Calcula el valor de “m” en los polinomios siguientes sabiendo que:
a) 3x 3  7 x 2  9 x  m es múltiplo de x  3
1
3
55
1
b) p( x)  x 3  x 2  2mx 
es divisible entre x 
3
4
48
2
12) Mario es un empleado eventual gana por día de trabajo, si recibe
2 x4  5x2  12 soles ¿Cuántos días trabajó si por día gana x  2 soles?
NIVEL 3
13) Juan vende pantalones en 2 x2  3x  2 soles cada uno, ¿Cuántos pantalones
vendió en un mes si obtuvo un ingreso de 8x5  2 x4 17 x3  13x2 15x  6
14) Efectúa la siguiente división: ( x4  6 x3  2 x2  3x  4 ) entre x2  x  2 ,e indique
la suma del cociente y el residuo.
15) En la siguiente expresión
6 x6  x5  3x 4  18 x3  2 x 2  3x  7
, halle el término
2 x3  3x 2  x  2
independiente del residuo.
16) Hallar todos los coeficientes de un polinomio de tercer grado divisible entre
( x2  x  2) ; tal que al dividirlo entre ( x  2) y entre ( x  3) el residuo resulte 8
y 20 respectivamente.
17) La fórmula para calcular el área de un cuadrado es A  8x4  2 x2  3 , además la
2
longitud de un lado es l  (2 x  1) . Calcule la suma de coeficientes del cociente
al dividir el área con el lado.
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18) Un comerciante obtiene por la venta de
pantalones un Ingreso
de
8x5  2 x4 17 x3  13x2 15x  6 soles, se sabe que el precio de cada pantalón
2
es de (2 x  3x  2) soles. Diga Cuántos pantalones vendió.
BIBLIOGRÁFICA
 Sullivan, Michael. (2006). Álgebra y trigonometría.
 Salvador Timoteo V. (2010) Álgebra
 Peterson, Jhn C. (2005). Matemática Básica: Álgebra, trigonometría y geometría
analítica.
REFERENCIA ELECTRONICA
 http://www.2pi.com.ar/polinomios.html.
 http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Ruffini
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SESIÓN 3: PRODUCTOS NOTABLES
LOGRO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión el estudiante identificará y resolverá problemas vinculados a su
entorno, haciendo uso de las productos notables como binómio al cuadrado, producto de
suma por diferencia de binomios, binómio al cubo y multiplicación de dos factores
lineales con un término en común; permitiendo al estudiante incrementar su nivel de
análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal.
INTRODUCCIÓN
El Producto Notable el cuál es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con
expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección que
cumplan ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de
muchas multiplicaciones, de manera habitual lo usamos en la vida diaria en diferentes
aplicaciones, como en juegos de ajedrez, medir las dimensiones de terrenos u objetos
cuadrados o rectángulos como la figura.
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PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones que por la forma que presentan se pueden
obtener directamente. Los principales productos notables son:
Binomio al Cuadrado:  a  b   a 2  2ab  b2
2
1.1.
Ejemplo:
 x  32  x2  2( x)(3)  32  x2  6x  9
Ejemplo:
 x  32  x2  2( x)(3)  32  x2  6x  9
1.2.
Multiplicación de binomio suma por binomio diferencia:
(a+b)(a-b)= a2 – b2
Ejemplo:
x  3   x  3 x  3
2
1.3.
2
Binomio al Cubo:
  a  b 3  a3  b3  3ab  a  b  ;  a  b 3  a3  b3  3ab  a  b 
Ejemplo:
 x  23  x3  23  3( x)(2)  x  2  x3  6x2  12x  8
Ejemplo:
 x  33  x3  33  3( x)(3)  x  3  x3  9x2  27 x  27
1.4.
Multiplicación de dos factores lineales con un término en
común: 
x  a  x  b   x   a  b  x  ab
2
Ejemplo:
 x  4 x  5  x2   4  5 x   45  x2  9x  20
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1.5.
Identidades de Legendre:

 a  b   a  b
2
2
 2  a 2  b2  ;  a  b    a  b   4ab
2
2
Ejemplo:
 x  2   x  2
2
2
 2  x 2  22 
Ejemplo:
 x  5   x  5
2
1.6.
2
 4( x)(5)  20 x
Suma y diferencia de cubos:
 a3  b3   a  b   a 2  ab  b2  ; a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 
Ejemplo:
x3  33   x  3  x2  ( x)(3)  32   ( x  3)( x 2  3x  9)
Ejemplo:
x3  33   x  3  x2  ( x)(3)  32   ( x  3)( x 2  3x  9)
1.7.
Trinomio al Cuadrado:  a  b  c   a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ac
2
Ejemplo:
 x  y  3
2
 x 2  y 2  32  2 xy  2 y(3)  2 x(3)  x 2  y 2  2 xy  6 x  6 y  9
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HOJA DE TRABAJO
SESIÓN 3: PRODUCTOS NOTABLES
NIVEL 1
1) Efectué las siguientes expresiones:
a)  a  b    a  b  
2

b) x  5
2

2

c)  5  2b  5  2b  

d) 2 2  8

2

e)  x  15 x  4  
f)


a  b  a 2  2ab  b2 


a b 
2
2
g)  a 2  b2   a  b    a  b   


2) Reducir las siguientes expresiones.



a) R   a  1 a  1 a 2  1 a 4  1  a8









b) E  2x  1 2x  1 22 x  1 24 x  1  1
c) F  a x  1 a x  1 a 2 x  1  1
3) Efectúe: ( x  2)( x  3)  ( x  1)( x  4)
4) Si:
1 1
4
 
x y x y
5) Si: x 
Hallar
R
1
1
 3 , halle a) x 2  2
x
x
6) Reduzca: P 
3x 2  y 2
x2  y 2
b) x3 
1
x3
a3  1
a3  1

a2  a  1 a2  a  1
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3
7) Simplifique:
 1 5   1 5 

 

 2   2 
5
3
NIVEL 2

8) Simplificar: E   x  2  x  4  x  5 x  7   x 2  9 x  17
9) Reducir la siguiente expresión:

2
( x  2)2  ( x  4)2  ( x  2)( x  2)  13
( x  3)( x  3)  8
10) Si la suma de dos números es 5 y su producto es 3. Calcule:
a) La suma de sus cuadrados.
b) La suma de sus cubos.
11) Hallar el resultado de dividir el área de un triángulo equilátero de (x+y) de lado
entre su perímetro.
2
 e x  e x 
12) Hallar el valor de: E  
 1
2


Sabiendo que e x  e x  4
2
13) Si x  3x  5  0 , entonces halle: P  x( x  1)( x  2)( x  3)  2 5
14) Expresar como un polinomio ordenado en “x”, el área de la región sombreada,
Sabiendo que R=x+2 y r=x-2.
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[29]
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NIVEL 3
15) Halle el área de la región sombreada limitada por dos cuadrados. Sabiendo que el
lado del cuadrado mayor es: x+3 y el lado del cuadrado menor es x-3.
16) Al desarrollar la siguiente expresión
 x  2
2
42
 y  5

2
32
 1 se obtiene un resultado
equivalente a Ax2  Bx2  Cx  Dy  E  0 de modo que tengan coeficientes
enteros. Hallar los valores de A, B, C, D y E.
17) Si
cierta
1  x  (1  x) (1 
2
empresa
x ) (1  x )
vende
Casacas
deportivas
e (1  x 2 ) días, Cuántas Casacas vende cada día?
18) Un Cilindro tiene una altura de (x+5) unidades, y su radio de
la base de x-1 unidades. Calcula en términos de x, el volumen
de este Cilindro.
19) Un cono circular recto tiene una altura de (x+2)2 unidades, y un radio en la base de
x-2 unidades. Calcula en términos de x, el volumen de este cono.
20) La UPN quiere implementar un curso de natación, para ello necesita construir una
piscina de 30 metros de largo y 40 metros
de ancho. También desean que tenga una
franja de césped con ancho uniforme
alrededor de la piscina. Además el área de
dicha franja de césped debe medir 296 m
2
¿Cuánto debe medir el ancho uniforme?
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SESIÓN4: FACTORIZACIÓN
LOGRO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión el estudiante expresará polinomios como un producto de factores,
haciendo uso de las identidades y/o método de factorización; permitiendo al estudiante
incrementar su nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas alrededor
de su entorno en forma individual y grupal.
INTRODUCCIÓN
Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático estuvo presente siempre la
teoría de los números, los cuales se apoyan en la parte algebraica. Como una necesidad
para facilitar la resolución de las ecuaciones polinómicas, surgen diversos
procedimientos de transformación de polinomios a los cuales se les denomina
factorización, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicación
indicada de otros polinomios de menor grado.
El término factorización proviene de la palabra factor. Es decir, en factorización vamos
a expresar un polinomio como una multiplicación indicada de factores primos.
En la multiplicación algebraica se tiene: ( x  2)( x 2  2 x  4)  x3  8
producto
fractores
1. FACTORIZACIÓN
Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como una multiplicación indicada
de sus factores primos (o potencias de sus factores primos) sobre un determinado
campo numérico.
1.1 Factorización: Factor Común Monomio (FCM)
Es igual al M C D de los coeficientes seguido de las variables comunes con sus
menores exponentes.
Ejemplo:
¿Cuál es el factor común monomio en 12 x 18 y  24 z ?
Solución:
6(2 x  3 y  4 z) , entonces el FCM es 6
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Ejemplo:
¿Cuál es el factor común en 6 x2 y  30 xy 2  12 x2 y 2 ?
Solución 6 xy( x  5 y  2 xy) , entonces el FCM es 6xy
1.2 Factorización: Factor Común Polinomio (FCP)
En el caso que el polinomio tenga a un factor común polinomio de dos o más
términos, para factorizarlo se procede de la misma forma como en el caso
anterior.
Ejemplo: Factorice la siguiente expresión: xa  xb  ya  yb
Solución
xa  xb  ya  yb  x(a  b)  y(a  b)  ( x  y)(a  b)
Ejemplo: Factorice la siguiente expresión 2a(m  2n)  b(m  2m)
Solución
2a(m  2n)  b(m  2n)  (2a  b)(m  2n)
1.3
Factorización: Aspa simple
Consiste en descomponer los términos de los extremos de un trinomio, y
verificar que la suma algebraica de los productos en aspa sea igual al término
central.
P(x,y) = Ax 2m + Bx my
n
+ Cy
2n
A xm
1
C 1y n
A xm
C 2y n
2
Debe cumplirse
m
A1x . A2 x
m
 Ax
2m
n
n
2n
C1 y . C2 y  Cy
m
n
m
n
m n
A1x C2 y  A2 x C1 y  Bx y
Luego los factores se toman en forma horizontal
m
n
m
n
P(x; y )  (A1x  C1 y )( A2 x  C2 y )
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[32]
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Ejemplos: Factorice los siguientes ejercicios.
1)
P(x,y) = 3x 2 - 4x - 15
 3x 2 - 4x - 15
5  5x
3x
x
-3  -9x
-4x
(+)
Luego P( x; y)  (3x  5)( x  3)
2) Q(x,y) = 8x 2 - 215xy - 27y 2
 8x 2 - 215xy - 27y2
-y 
8x
x
-xy
27y  216x
215xy
(+)
Luego Q( x; y)  (8x  y)( x  27 y)
1.4 FACTORIZACIÓN POR MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS
Primero enunciamos el Trinomio Cuadrado Perfecto.
Un Trinomio ordenado con respecto a una literal es cuadrado perfecto si el
primero y tercer término son cuadrados perfectos y positivos, y el término
central es el doble producto de sus raíces cuadradas de los términos que están
elevados al cuadrado.
Para completar cuadrado sacamos el coeficiente del término lineal y lo
dividimos entre dos y lo elevamos al cuadrado, así este valor lo sumamos y
restamos a la expresión dada de tal manera que pueda formar un trinomio
cuadrado perfecto y obtener un binomio al cuadrado.
Ejemplo: Factorice la siguiente expresíon: x2  6 x  7
Solución: Al coeficiente del término central “6” lo dividimos entre “2” y lo
elevamos al cuadrado el
resultando será
restamos en la expresión.
“9” este valor, lo sumamos y
x2  6 x  9  9  7 .
Entonces formamos una
expresión d la forma ( x  3)2  16 Entonces resultaría la factorización de la
siguiente manera ( x  1)  x  7 
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[33]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
Ejemplo: Factorice la siguiente expresión x2  10 x  24
Solución: Se sigue el mismo procedimiento del ejercicio anterior
x2  10 x  24  x2  10 x  25  25  24  ( x  5)2  49  ( x  12)( x  2)
1.5 FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
Consiste en factorizar polinomios aplicando productos notables estudiados en
el tema anterior. Como Binomio al Cuadrado, Diferencia de Cuadrados,
Diferencia y Suma de Cubos, etc
Ejemplo:Factorice la siguiente expresión x 2  2 xy  y 2
Solución: x2  2 xy  y 2  ( x  y)2
Se verifica que el término central sea igual al doble producto de las raíces cuadradas
de los extremos.
Ejemplo: Factorice la siguiente expresión x 2  y 2
Solución: x2  y 2  ( x  y)( x  y)
Obtener la raíz cuadrada del primer y segundo término y escribir el producto de
binomios conjugados.
1.6 FACTORIZACION POR ARTIFICIOS
Consiste en sumar y restar términos de tal manera que se complete el número
de términos necesarios para agrupar.
Ejemplo: Factorice la siguiente expresión. x4  x2  1
Solución: x4  x2  1  x4  x2  1  x3  x3  x2  x2  x  x
 ( x 4  x3  x 2 )  ( x3  x 2  x)  ( x 2  x  1)
 x 2 ( x 2  x  1)  x( x 2  x  1)  ( x 2  x  1)
 ( x 2  x  1)( x 2  x  1)
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[34]
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1.7 FACTORIZACION POR EL MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS
(MÉTODO RUFFINI)
Se aplica si el divisor es un Polinomio de primer grado de la forma (ax  b)
o transformable a él
Esquema Básico
Ejemplo:
Factorice la siguiente expresión. x3  6 x2  11x  6
Buscamos divisores de la forma
( x  a)
Donde: a = divisor de 6:
a =  1,  2,  3,  6
RUFFINI:
+1
-1
+1
-2
+1
Luego.
+6
+11
+6
-1
-5
-6
+5
+6
0
-2
-6
+3
0
x3  6 x2  11x  6   x  1 x  2  x  3
Factorice la siguiente expresión: x4  2 x3  13x2  14 x  24
+1
+1
-2
+2
-13
-14
+24

+1
+3
-10
-24
+1
+3
-10
-24
0

-2
-2
+24
+1
+1
-12
0
Entonces:
x4  2 x3  13x2  14 x  24   x  1 x  2   x 2  x  12    x  1 x  2  x  3 x  4 
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[35]
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HOJA DE TRABAJO
SESION 4 FACTORIZACIÓN
NIVEL 1
1)
2)
Factorice los siguientes polinomios usando el método del Aspa Simple:
a)
x2  9 x  18
b)
4 x2  2 x  6
c)
x2  19 x  20
d)
x2  4 5 x  25
e)
x2  3 3 x  12
Factorice completando cuadrados:
2
a) x  x  1
2
b) x  x  1
c) x2  3x  4
2
d) x  6 x  1
3)
Factorice aplicando Productos Notables
a) x2  6 x  9
b) x2  81
3
c) x  27
d) x3  8
4)
Factorice aplicando artificio
a) x5  x  1
b) x7  x2  1
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[36]
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5)
Factorizar usando el método de Ruffini
3
2
a) x  2 x  x  2
3
2
b) x  3x  4 x  12
3
2
c) x  4 x  x  6
6)
Factorice 12 x2  7 xy  10 y 2
7)
Factorice 9 x  x2  20 e indicar la suma de los términos independientes de
dichos factores.
NIVEL 2
8)
Determinar el número de factores primos al factorizar la siguiente expresión:
( x  1)( x  2)( x  2)( x  5) 13
9)
En un partido de fútbol, Junior anotó la mayor cantidad de goles. Juan anotó
“x” goles. El producto de goles que anotó Junior por los que anotó Elías es:
x2  5x  6
¿Cuántos goles más que Juan anotó Junior?
¿Cuántos goles más que Juan anotó Elías?
 a  b  b  c   c  a 
2
2
10)
Encontrar el coeficiente que aparece al factorizar:
11)
Factorice: P( x)  x3  2 x 2  6 x  3 e indicar la suma de sus factores primos.
12)
Factorice: P( x)  ( x  3)2  10  x  3  24
13)
Factorice: P( x)  4 x 2a  20 x a  25
14)
Factorice:  2 x  1  3  2 x  1  28 e indicar uno de los factores.
2
2
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[37]
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NIVEL 3
15) El cubo de un número es igual a 9 veces el mismo número, Expresar como producto
de factores de dicha información
16) Manuel desea saber cuánto de área tiene para la construcción de su casa, sabiendo
que el terreno tiene
x2  11x  28 de largo y de ancho x  7 .Hallar el área y
expresar como el producto de los factores primos, y dar como respuesta el factor
que más se repite.
17) Factorice: P( x)  15  x  2  13( x  2)  2 e indicar el término independiente de
2
uno de sus factores.
18) El área de una hoja de un papel triangular mide
x2  4 x  12 .-Un lado del
triángulo mide x  6 y la altura x  2 . ¿Diga si el producto de la altura y dicho lado
resulta igual al área mencionada.
19) Encontrar “a+b” en la siguiente factorización efectuada.
2
20) El área de un cuadrado tiene de lado x  8x  7 .Expresar su perímetro como
producto de factores.
BIBLIOGRAFÍA

Jerome E. Kaufmann , (2010) Octava Edición Álgebra

Salvador Timoteo V (2010) Álgebra
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[38]
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SESIONES 5: ECUACIONES LINEALES
LOGRO DE LA SESIÓN.
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno, haciendo
uso de las ecuaciones lineales de una variable; permitiendo al estudiante incrementar su
nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y
grupal.
INTRODUCCIÓN.
Muchos problemas que se plantean en la vida real consisten en hallar el número que
cumple ciertas condiciones. Las matemáticas nos ofrecen un arma muy útil para
enfrentarnos con este tipo de situaciones: las ecuaciones.
En los primeros tiempos, que comprende el período de 1700 a.C. a 1700 d.C. se
caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de estas. Dentro de esta
etapa encontramos un álgebra desarrollada por los griegos, 300 a.C. llamada álgebra
geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación
han pasado más
de 3000 años.
Los egipcios dejaron en sus papiros multitud de problemas matemáticos resueltos; una
ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:”un
montón y un séptimo del mismo es igual a 24”. En notación moderna, la ecuación sería
.
ECUACIONES LINEALES.
Una ecuación en la variable
donde
y
es lineal si puede escribirse en la forma
son números reales, con
.
Una ecuación lineal en una variable también se llama ecuación de primer grado, ya
que la potencia más grande de la variable es uno.
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[39]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
Si en una ecuación se reemplaza la variable por un número real que haga que el
enunciado sea verdadero, entonces dicho número es una solución de la ecuación.
Una ecuación se resuelve si se encuentre su conjunto solución, que es el conjunto de
todas las soluciones.
Por ejemplo: 3 es una solución de la ecuación
, ya que al sustituir la
el enunciado es verdadero. Es decir el conjunto solución de la ecuación
con 3
es
.
Las ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo conjunto solución. Por lo
general, las ecuaciones se resuelven comenzando con una ecuación inicial dada y
generando una serie de ecuaciones más sencillas equivalentes.
Por ejemplo: las ecuaciones
,
y
son ecuaciones
equivalentes, ya que tienen el mismo conjunto solución.
Para producir ecuaciones equivalentes, se usan las propiedades de adición y
multiplicación de igualdad y la propiedad distributiva, que las mencionamos a
continuación:
PROPIEDADES DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE LA IGUALDAD:
 Puede sumarse el mismo número en ambos lados de una ecuación y la igualdad
se mantiene.
 Puede multiplicarse ambos lados de una ecuación por el mismo número, no nulo,
y la igualdad se mantiene.
 Puede restar el mismo número en ambos lados de una ecuación y la igualdad se
mantiene.
 Puede dividir el mismo número, diferente de cero, en ambos lados de una
ecuación la igualdad se mantiene.
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
Sea los números reales
y
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se cumple que:
[40]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
Ejemplo: Resuelva la ecuación
En primer lugar hay que combinar los términos semejantes, por separado, en ambos
lados de la ecuación, con lo que se obtiene lo siguiente:
.
A continuación, se usa la propiedad de la adición para colocar los términos que
contienen
en un lado de la ecuación y los restantes(números) en el otro lado. Una
forma de hacerlo es sumar primero 5 en ambos lados, así:
sumar 5
Ahora se resta
en ambos lados:
restar6x
Por último, se divide ambos lados entre -4 para obtener el término
en el lado
izquierdo:
dividir entre -4
Para asegurar de que la solución es -3, se comprueba sustituyendo este valor en la
ecuación original:
Como se obtuvo un enunciado verdadero, la solución si es -3. El conjunto solución es
.
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[41]
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PASOS QUE SE USAN PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN LINEAL DE UNA
VARIABLE:(algunas ecuaciones no requieren todos los pasos)
PASO1. Eliminar todas las fracciones (decimales). Eliminar cualquier fracción
multiplicando ambos lados de la ecuación por un denominador común.
PASO 2. Simplificar cada lado por separado. Simplifique cada lado de la ecuación
tanto como sea posible, por medio de la propiedad distributiva, para eliminar los
paréntesis y agrupar términos semejantes, según se requiera.
PASO 3. Colocar en un solo lado los términos que contengan la variable. Utilice la
propiedad de la adición de la igualdad para hacer que todos los términos en los que
haya una variable queden en un lado de la ecuación y en el otro lado todos los números.
PASO 4. Transforme de tal manera que el coeficiente de la variable sea 1. Utilice
la propiedad de la multiplicación de la igualdad para obtener una ecuación que sólo
contenga la variable (con coeficiente 1) en un lado.
PASO 5. Comprobar. Compruebe sustituyendo e la ecuación original, obteniendo una
proposición verdadera.
Ejemplo: Resuelva la ecuación
Como en esta ecuación no existen fracciones, no se aplica el PASO 1. Comience
utilizando la propiedad distributiva para simplificar y combinar los términos semejantes
del lado izquierdo de la ecuación:
A continuación, se suma 10 a ambos lados:
Ahora se resta
de ambos lados:
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[42]
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Dividir ambos lados entre 4:
Compruebe que el conjunto solución es
sustituyendo 4 por
en la ecuación
original.
Ejemplo: Resuelva
Comience eliminando las fracciones. Multiplique ambos lados por 6.
Compruebe que
es el conjunto solución.
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[43]
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Ejemplo: Resuelva
Como todos los números decimales están en centésimos, hay que multiplicar ambos
lados de la ecuación por 100:
Compruebe que el conjunto solución es
.
Una ecuación con un número finito (distinto de cero) de elementos en el conjunto
solución, es una ecuación condicional. A veces una ecuación no tiene solución, en este
caso se trata de una contradicción y su conjunto solución es el . También es posible
que una ecuación tenga un número infinito de soluciones, se le denomina identidad.
En los ejemplos anteriores las ecuaciones tenían un conjunto solución constituido por un
elemento, es decir son ecuaciones condicionales.
Ejemplo: Resuelva
Por la propiedad distributiva se obtiene
. Ambos lados de la
ecuación son exactamente lo mismo, por lo que cualquier número real haría que la
ecuación sea verdadera. Por esta razón, el conjunto solución es el de todos los números
reales y la ecuación
es una identidad.
Ejemplo: Resuelva
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[44]
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Por la propiedad distributiva se obtiene
Luego restamos 5x a ambos lados
Como el resultado
.
es falso, la ecuación no tiene solución.
El conjunto solución es el . La ecuación
es una contradicción.
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE
A veces las ecuaciones se utilizan para pronosticar datos futuros que se basan en datos
pasados. Ecuaciones como éstas se llaman modelos. Por supuesto, deben usarse, con
cuidado, porque es frecuente que no haya ninguna garantía de que las tendencias
pasadas continúen futuro.
Por ejemplo al estudiar los tiempos de los ganadores de la competencia de 500 metros
de patinaje de velocidad en los Juegos Olímpicos de 1900, se encontró que los tiempos
ganadores que habían hecho los hombres podían representarse, aproximadamente, con
la ecuación:
Donde
es el tiempo, en segundos, necesario para ganar en la categoría masculina y
es el año de la Olimpiada, con
para 1900. La ecuación que corresponde a las
mujeres es la siguiente:
a) Encuentre el año para el que
Al valor de
corresponde el año 1940.
b) Pronostique el tiempo ganador para las mujeres, en el año 2013.
El año 2013 corresponde a un valor de
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[45]
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Este modelo pronostica que el tiempo ganador para el año 2013 estaría un alrededor de
35 segundos aproximadamente.
Cuando se usa álgebra para resolver aplicaciones prácticas, se deben traducir las
descripciones verbales del problema a enunciados matemáticos.
En la descripción verbal de un problema, por lo general, existen palabras y frases que
son clave para traducirlo a expresiones matemáticas que involucran suma, resta,
multiplicación y división. Algunas de las expresiones más comunes que se usan son las
siguientes:
EXPRESIÓN VERBAL EXPRESIÓN MATEMÁTICA
La suma de un número con 5
4 más que un número
24 sumando a un número
4 menos que un número
10 menos un número
Un número disminuido en 12
15 veces un número
Dos tercios de un número
El doble de un número
El cociente de 8 y un número
Un número dividió entre 13
La razón de dos números cualquiera
Es
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[46]
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Por ejemplo: Si el producto de un número y 12 se disminuye en 7, el resultado es 105;
se traduce a la ecuación matemática siguiente:
, donde
representa el
número desconocido.
PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER PROBLEMAS. Si bien no existe un método
que permita resolver todos los tipos de problemas, son útiles los seis pasos siguientes:
PASO 1. Leer el problema con cuidado hasta comprender qué información tenemos y
qué información habrá que encontrar.
PASO 2. Asignar una variable que represente el valor desconocido utilizando
diagramas o tablas según sea necesario. Escribir lo que dicha variable representa. Si
fuera necesario, expresar cualesquiera otros valores desconocidos en términos de la
variable.
PASO 3. Escribir una ecuación por medio de las expresiones variables.
PASO 4. Resolver la ecuación, con los pasos sugeridos.
Ejemplo:Las instrucciones para un trabajo de madera especifican que se requieren tres
piezas de dicho material. La más larga de ellas debe tener el doble de longitud que la de
tamaño medio y la más corta debe ser 10 cm más corta que la mediana. El asistente de
diseño tiene una pieza de 70 cm que quiere utilizar. ¿De qué longitud debe ser cada
pieza?
Lee el problema. Habrá tres respuestas.
Asignar una variable. Como la pieza de tamaño medio aparece en los dos pares de
comparaciones, se hará que
represente la longitud, en centímetros, de dicha pieza. Se
tiene:
longitud de la pieza de tamaño medio
longitud de la pieza más larga y
longitud de la pieza más corta
En este caso nos ayudaremos de un dibujo:
2x
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x
[47]
x-10
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Escribir una ecuación:
Resolver
Enunciar la respuesta. La pieza de tamaño medio mide 20 cm de largo, la más larga
tiene
cm de longitud y la más corta mide
cm.
Comprobar. La suma de las longitudes es 70 cm. Se cumplen todas las condiciones del
problema.
Ejemplo: Un químico necesita mezclar 20 litros de una solución ácida al 40% con otra
al 70%, al fin de obtener una mezcla también ácida al 50%. ¿Cuántos litros debe usar de
la solución ácida al 70%?
Leer el problema. Observe el porcentaje de cada solución y el de la mezcla.
Asignar una variable. Sea:
número de litros que se necesita de la solución ácida al 70%
Litros de ácido puro en
litros de solución al 70%:
.
La cantidad de ácido puro en los 20 litros de solución a 40% es:
La solución nueva contendrá
litros de solución al 50%. La cantidad de ácido
puro en esta solución es:
Usemos una tabla para agrupar esta información:
Litros de solución
Tasa %
Litros de ácido puro
0.7
Son iguales!
0.4
0.5
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[48]
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Escribir una ecuación. El número de litros de ácido puro es la solución al 70%
sumando al número de litros de ácido puro en la que está al 40% será igual al número
de litros de ácido puro e la mezcla resultante, por lo que la ecuación es la siguiente:
Resolver la ecuación. Eliminar el paréntesis y después multiplicar por 100 para eliminar
los decimales
Enunciar la respuesta. El químico necesita usar 10 litros de solución al 70%.
Comprobar. Como
y las respuestas concuerdan.
Ejemplo: Al mismo tiempo salen dos automóviles del estacionamiento de UPN y viajan
hacia el norte por la carretera Panamericana. Uno viaja a velocidad constante de 55 km
por hora y el otro a una velocidad, también constante, de 63 km por hora. ¿En cuántas
horas la distancia entre ellos será de 24 km?
Lee el problema. Se trata de calcular el tiempo en el que la distancia entre los
automóviles será de 24 km.
Asignar una variable. Como se busca el tiempo, se hará que
número de horas que
transcurre hasta que la distancia entre los autos sea de 24 km
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[49]
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El dibujo ilustra lo que ocurre en el problema
UPN
24 km
Ordenemos los datos en una tabla de información:
Auto
más
velocidad
tiempo
distancia
63
t
63t
55
t
55t
Diferencia es 24 km.
rápido
Auto más lento
Las cantidades 63t y 55t representan las dos distancias.
Escriba la ecuación
Resolver
Enunciar la respuesta. A los automóviles le tomará 3 horas llegar a una separación de
24 km.
Comprobar. Después de 3 horas, el carro más rápido habrá viajado
el más lento lo habrá hecho
km. Como
km y
, se satisface las
condiciones del problema.
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[50]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
HOJA DE TRABAJO
NIVEL I.
1.
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales en la variable ?
a)
b)
c)
d)
e)
2.
Diga si 6 es una solución de
3.
Traduzca cada frase verbal en una expresión matemática.
a)
. Explique ¿por qué?
Un número disminuido en 18
b) 12 más que un número
c)
El producto de 9 menos que un número y 6 más que dicho número
d) El cociente de un número y 6
e)
4.
El treinta por ciento de un número
Escriba una ecuación para cada oración, sin resolver
a)
Si el cociente de un número y 6 se suma al doble del número, el resultado es 8
menos que el número.
b) Si el producto de un número y -4 se resta del número, el resultado es 9 más
que el número.
c)
Cuando de un número se resta de 12, el resultado es 10.
d) Si el 75% de un número se suma a 6, el resultado es 3 más que el número.
e)
5.
La mitad del triple de un número es 18
Resuelva las siguientes ecuaciones
a)
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[51]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
b)
c)
d)
e)
6.
Resuelva las siguientes ecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
7.
Resuelva las siguientes ecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
NIVEL II
8.
Diga si cada una de las siguientes ecuaciones es condicional, identidad o
contradicción. Encuentre el conjunto solución:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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[52]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
9.
El modelo matemático
permite obtener el número de boletos que
se vendieron en Broadway de 1990 a 1999. En el modelo, el valor de
corresponde a la temporada 1990-1991, el de
1992, etc.,
a)
es el de la temporada 1991-
es el número de boletos vendidos, en millones.
Basado en dicho modelo, ¿cuántos boletos se vendieron en 1995-1996?
b) ¿En qué temporada, el número de boletos vendidos fue de 7.9 millones?
10. El modelo
proporciona el número (en millones) de aficionados
menores de 18 años, que acudieron al teatro; donde
corresponde a la
temporada 1990-1991, y así sucesivamente
a)
Use el modelo para calcular el número de jóvenes que asistió en 1993-1994
b) ¿En qué temporada la venta de boletos fue de 0.75 millones?
11. En las Olimpiadas del año 2000, los competidores de Estados Unidos ganaron 14
medallas de oro más que medallas de plata. En total, ganaron 64 medallas de oro y
plata. ¿Cuántas medallas de cada tipo obtuvieron?
12. Resolver:
a)
Si un químico tiene 40 litros de una solución ácida al 35%, entonces la
cantidad de ácido puro presente en la solución es:
b) Si se invierte $ 1300 durante un año, al 7% de interés simple, la cantidad de
interés que se gana durante el año es:
c)
Una urna contiene 37 monedas de 25 centavos de dólar, la cantidad de dinero
que hay es:
d) A nivel del mar y a una temperatura de 32° F, la velocidad del sonido es de
1088 pies por segundo. En estas condiciones, en 5 segundos el sonido viaja:
(pies)
e)
El ganador de la primera carrera de las 500 millas de Indianápolis en 1911
fue RayHarroun, al volante de un Marmom, con una velocidad promedio de
74.59 millas por hora. Completar las 500 millas le tomó: (horas)
f)
En los Juegos Olímpicos del 2000 en Sydney, Australia, la nadadora
holandesa Inge de Bruijn ganó la competencia de 50 metros en estilo libre
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
[53]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
femenino con un tiempo de 24.32 segundos. Su velocidad promedio fue:
(metros por segundo)
13. Gustavo recibe una herencia. Planea invertir una parte de ésta al 9% y $ 2000 más
que la cantidad anterior en una inversión menos segura que da el 10%. ¿Cuánto
debe invertir en cada tasa para ganar $ 1150 al año, por concepto de interés?
14. Un empleado bancario tiene 25 billetes más de 5 dólares que billetes de 10 dólares.
El total de dinero es de $ 200. ¿Cuánto dinero tiene en billetes de cada
denominación?
NIVEL III
15. En el último año, los dos lugares más populares donde los lectores adquirieron sus
libros fueron las grandes cadenas de librerías y las librerías independientes. En una
muestra de compradores, los que acudieron a una cadena grande fueron 70 más que
los que compraron en una librería independiente. Un total de 442 lectores los
obtuvieron en estos dos tipos de tiendas. ¿Cuántas personas compraron en cada tipo
de librería?
16. La banda de rock U2 generó los ingresos máximos en la temporada de 2001. U2 y
el segundo lugar *NSYNC, juntos vendieron boletos por $ 196.5 millones. Si
*NSYNC vendió $ 22.9 millones menos que U2. ¿Cuánto generó cada grupo?
17. El Toyota Camry fue el auto de pasajeros más vendido en cierta ciudad en el año
2000, seguido por el Honda Accord. Las ventas de este último fueron por 15000
menos que las del Toyota Camry y se vendió un total de 828000 unidades de ambos
modelos. ¿Qué cantidad se vendió de cada vehículo?
18. La noche del jueves es la noche en que se ve más televisión a través de las cadenas
más importantes (ABC, CBS, NBC y FOX) hay 3 millones más de televidentes que
el sábado en la noche, momento en que menos personas la ven. El total de ambas
noches es de 20 millones de televidentes. ¿Cuántos de ellos hay en cada noche?
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[54]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
19. En una clase de química deben mezclarse 12 litros de una solución de alcohol al
12% con otra al 20% a fin de obtener una solución al 14%. ¿Cuántos litros se
necesita de la solución al 20%?
20. ¿Cuánta agua debe agregarse a 3 galones de una solución de insecticida al 4% a fin
de reducir ésta al 3%?
21. Es necesario que en el radiador de cierto automóvil haya una solución
anticongelante al 40%. Ahora, el radiador contiene 20 litros de solución al 20%.
¿Cuántos litros de ésta deben drenarse y reemplazarse con anticongelante al 100%
para obtener a concentración que se desea?
BIBLIOGRAFÍA.
 Matemática Básica con Aplicaciones, Murillo M.,Soto A. y Amaya J..Editorial
EUNED, 2006, tercera edición.
 Matemática: razonamiento y aplicaciones, Miller, Heeren y Hornsby. Editorial
Pearson, 2006, décima edición.
 Matemática para administración y economía, Ernerst H., Richard P.. Editorial
Pearson, 2003.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
[55]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
SESIONES 6: ECUACIONES CUADRÁTICAS
LOGROS DE LA SESIÓN.
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno, haciendo
uso de las ecuaciones cuadráticas de una variable; permitiendo al estudiante incrementar
su nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual
y grupal.
INTRODUCCIÓN.
El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En
Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. El resultado también fue encontrado
independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de
Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, aunque su
método sólo proporcionaba una de las soluciones, aun en el caso de que las dos
soluciones sean positivas. También el matemático judeo-español Abraham bar Hiyya,
en su LiberEmbadorum, discute la solución de estas ecuaciones.
Otro importante descubrimiento del mundo antiguo, que se puede encontrar en los
escritos del matemático y científico griego Herón de Alejandría en el siglo I, es un
método de aproximaciones de la raíz positiva de ecuaciones como
.
ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Recuerda que una ecuación lineal es aquella que puede escribirse en la forma
, donde
son números reales con
.
Una ecuación cuadrática es la que puede escribirse en la forma
donde
son números reales con
.
Una ecuación cuadrática escrita como
está en forma estándar. El
método más simple de resolver una ecuación cuadrática, pero que no siempre se aplica
con facilidad, es por factorización. Este método depende de la siguiente propiedad:
PROPIEDAD DE FACTOR CERO. Si
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entonces
[56]
ó
, ó ambos.
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Ejemplo: Resuelva
De acuerdo con la propiedad del factor cero, el producto
sólo si
Luego:
ó
ó
es igual a 0
.
.
Se comprueba con la sustitución de
y después de
en la ecuación original. El
conjunto solución es
PROPIEDAD DE LA RAIZ CUADRADA.
Una ecuación cuadrática de la forma
,
puede resolverse por la diferencia
de cuadrados, mediante:
Ejemplo: Resuelva:
Como
, el conjunto solución es
, que se abrevia como
FÓRMULA CUADRÁTICA.
Con el uso de un procedimiento denominado completar cuadrados, es posible obtener
una de las fórmulas más importantes del álgebra, la fórmula cuadrática.
Las soluciones de
, con
, son
Ejemplo: Resuelva:
Aquí
. Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática para
obtener
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
Considerar los pasos que se siguieron para resolver una ecuación lineal.
Ejemplo: Al mismo tiempo, dos automóviles abandonan una intersección, uno hacia el
norte y el otro al oeste. Poco tiempo después, están separados exactamente por 100
millas. El que iba hacia el norte ha avanzado 20 millas más que el que se dirigía al
oeste. ¿Cuánto ha viajado cada vehículo?
Lee el problema con cuidado.
Asigne una variable. Sea
Entonces
la distancia recorrida por el auto que iba hacia el oeste.
es la distancia que ha viajado el que se dirigía al norte. Los carros
está separados por una distancia de 100 millas, por lo que la hipotenusa del triángulo
rectángulo mide 100.
Graficando:
100
x
Escribir una ecuación. Se usa el Teorema de Pitágoras
.
Resolver
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Se usa la fórmula cuadrática para obtener :
ó
Enunciar la respuesta. Como la distancia no puede ser negativa, se descarta la solución
negativa. Las distancias que se requieren son 60 millas y
Comprobar. Como
millas.
, la respuesta es correcta
.
Ejemplo: Si en la Tierra se lanza una roca hacia arriba desde un edificio de 144 pies,
con velocidad inicial de 112 pies por segundo; su posición, en pies sobre el terreno, está
dado por
, donde es el tiempo en segundos después de que se
lanzó. ¿En qué momento golpeó suelo?
Cuando la roca llega al piso, su distancia sobre éste es de 0. Encuentre cuando
es 0
con la solución de la ecuación:
ó
Como el tiempo no puede ser negativo, se descarta la solución negativa. La roca
golpeará el suelo 8.1 segundos después de haberla lanzado.
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HOJA DE EJERCICIOS
NIVEL 1.
1.
Para la ecuación cuadrática
2.
Para resolver la ecuación
, los valores de
son:
con la fórmula cuadrática, el primer paso
es:
3.
Cuando se usa la fórmula cuadrática, si
es positivo, la ecuación tiene:
(soluciones reales)
4.
Si
son enteros en
y
, entonces la ecuación
tiene: (soluciones irracionales)
5.
Resuelva,
usando el factor 0
a)
b)
c)
d)
e)
6.
Resuelva,
usando diferencia de cuadrados
a)
b)
c)
d)
e)
7.
Resuelva,
usando fórmula cuadrática
a)
b)
c)
d)
e)
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INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
NIVEL 2.
8.
¿Puede usarse la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
?
Explique.
9.
¿Es posible utilizar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
?
Explique.
10. Un estudiante de ingeniería dio la fórmula cuadrática incorrectamente como sigue
. ¿Qué es lo que está equivocado?
11. Sin encontrar, diga ¿Cuántas soluciones tiene las siguientes ecuaciones cuadráticas?
a)
b)
c)
d)
e)
12. El Hotel Mart en Dallas, Texas, tiene 400 pies de alto. Suponga que se lanza una
pelota hacia arriba desde la azotea, y su posición
respecto al suelo está dada por
la ecuación
es el número de segundos
, donde
transcurridos. ¿Cuánto tiempo tomará a la pelota alcanzar una altura de 200 pies
sobre el piso?
13. El Centro Comercial Toronto tiene 407 pies de altura. Suponga que se lanza una
pelota hacia arriba desde la azotea del CC, y que su posición por arriba del piso está
dado por la ecuación
, donde
es el número de segundos
transcurridos. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la pelota llegue a una altura de
450 pies sobre el terreno?
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[61]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
14. Un rayo de luz se mueve en forma horizontal hacia delante y atrás sobre una pared,
con la distancia de la luz desde un punto inicial a
minutos representado por
. ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que la luz regrese el
punto de regreso?
NIVEL 3.
15. Se proyecta un objeto directamente hacia arriba desde el piso. Después de
segundos, su distancia en pies sobre el terreno es
.
a) ¿Después de cuántos segundos estará el objeto a 128 pies por arriba del piso?
b) ¿En qué momento golpea el objeto el piso?
16. La fórmula
representa la distancia en pies que se desplaza un
automóvil que va a 68 millas por hora, aproximadamente, en
segundos. Calcule
el tiempo que le tomará desplazarse 190 pies.
17. Dos navíos zarpan de un puerto al mismo tiempo, uno rumbo al sur y el otro hacia el
este. Siete horas más tarde, se encuentran separados por una distancia de 170
millas. Si el barco que va al sur viaja a 70 millas más que el otro, ¿cuántas millas
viaja cada embarcación?
18. Roberto eleva una cometa que está por arriba de su mano 30 pies más que la
distancia horizontal entre ellas y el juguete. La cuerda entre su mano y la cometa
mide 150 pies de largo. ¿Qué tan lejos está la cometa por arriba de su mano?
19. Un fabricante de juguetes necesita una pieza de plástico en forma de triángulo
rectángulo, el lado más largo debe medir 2 cm más que el doble del lado más corto
y la hipotenusa debe ser 1 cm más larga que el lado más largo. ¿Qué longitud
deben tener los tres lados de la pieza triangular?
20. El ingeniero dispone de un terreno limitado por calles en tres de sus lados, lo que le
da la forma de un triángulo rectángulo. La hipotenusa es 8 m más larga que el
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costado más largo, y el costado más corto tiene 9 m menos que la hipotenusa.
Calcule las longitudes de los tres lados del terreno.
21. Un gran rompecabezas de madera tiene 2 piezas que se ajustan y tienen formade
triángulos rectángulos cuya altura es 1 cm menos que el doble de la base. La
diagonal, donde se encuentran las dos piezas, mide 2.5 cm de longitud. Calcule la
altura y la base del rectángulo.
BIBLIOGRAFÍA.
 Matemática Básica con Aplicaciones, Murillo M.,Soto A. y Amaya J..Editorial
EUNED, 2006, tercera edición.
 Matemática: razonamiento y aplicaciones, Miller, Heeren y Hornsby. Editorial
Pearson, 2006, décima edición.
 Matemática para administración y economía, Ernerst H., Richard P.. Editorial
Pearson, 2003.
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[63]
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SESIONES 7: ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
LOGROS DE LA SESIÓN.
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno, haciendo
uso de las ecuaciones de grado superior de una variable; permitiendo al estudiante
incrementar su nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en
forma individual y grupal.
INTRODUCCIÓN.
En la vida cotidiana las ecuaciones de grado superior son de mucha utilidad, ya sea en
la especialidades de negocios como en la parte de ingeniería. Dichas ecuaciones puede
permitir modelar el comportamiento de una partícula, el comportamiento del ingreso
y utilidades de una empresa, el caudal de un fluido etc. Por ejemplo si hablamos de
ecuaciones que tienen una utilidad
para hacer luces de emergencia, faros de
automóviles; algunos tipos de telescopios emplean espejos cónicos, los platos de
antenas receptoras de señales de satélite, etc. En análisis numérico el método de la
secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.
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[64]
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1. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
La forma general de una ecuación polinomial de grado superior está dada por la
siguiente expresión:
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + … + an – 1 x + an = 0
Donde: a0 ≠ 0 y n ≥ 3
Toda ecuación polinomial de grado “n” con coeficientes complejos, tiene exactamente
“n” raíces contadas cada una de ellas según indique su multiplicidad.
Ejemplos:
a) x4 – 13x2 + 36 = 0 ………… tiene exactamente 4 raíces.
b) x5 – 13x3 + 36x = 0 ………… tiene exactamente 5 raíces.
c) x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0 ………… tiene exactamente 4 raíces.
d) x3 – 18x2 + 81 = 0 ………… tiene exactamente 3 raíces.
Si la ecuación polinomial: P(x) = 0, tiene raíces: x1 ; x2 ; x3 ; …. ; xn ; entonces, la
ecuación se puede expresar como:
P(x) = a.(x – x1).( x – x2).( x – x3)…( x – xn) = 0
Para resolver estas ecuaciones generalmente se utiliza las técnicas de factorización.
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2. SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR
Veamos dos métodos de solución para ecuaciones polinómicas de grado superior.
2.1. MÉTODO POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Ejemplo 1.
Resuelva la ecuación polinomial: x3 – x2 – 4x + 4 = 0
x2(x – 1) – 4(x – 1) = 0
(x – 1) (x2 – 4) = 0
(x – 1) (x – 2) (x + 2) = 0
x=1 ; x=2 ; x=-2
c.s. = { 1 ; 2 ; - 2}
Ejemplo 2.
Resuelva la ecuación polinomial: x3 – 3x2 – 16x + 48 = 0
x2(x – 3) – 16(x – 3) = 0
(x – 3) (x2 – 16) = 0
(x – 3) (x – 4) (x + 4) = 0
x=3 ; x=4 ; x=-4
c.s. = { 3 ; 4 ; - 4}
2.2. MÉTODO POR DIVISORES BINOMIOS (MÉTODO RUFFINI)
Para este método se aplica la factorización por el método de divisores binomios (Ruffini),
luego cada factor se iguala a cero y de esta forma obtenemos las soluciones para la
ecuación polinómica de grado superior.
Coeficientes del polinomio
Esquema Básico
X = Div: { ti }
Coeficientes reducidos
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[66]
0
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Ejemplo 1.
Resuelva la ecuación polinomial: x3  6 x2  11x  6 = 0
Solución:
Factorizamos el polinomio dado.
Buscamos divisores de la forma: ( x  a)
Donde: a = divisor de 6:
a =  1,  2,  3,  6
APLICANDO RUFFINI:
+1
Factor (x + 1)
-1
+1
Factor (x + 2)
Factor (x + 3)
-2
+1
+6
+11
+6
-1
-5
-6
+5
+6
-2
-6
+3
0
Luego x3  6 x 2  11x  6   x  1 x  2  x  3
Por lo tanto tenemos:
=0
x+1=0 ; x+2=0 ; x+3=0
x = -1 ;
x = -2 ; x = -3
c.s. { -1 ; -2 ; -3 }
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HOJA DE EJERCICIOS
NIVEL I
1) Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior.
e) x3 – x2 – 4x + 4 = 0
j) x4 – 13x2 + 36 = 0
f) x3 – 7x2 + 14x + 8 = 0
k) x5 – 13x3 + 36x = 0
g) x3 – x2 – 16x – 20 = 0
l) x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0
h) x3 + 3x2 – 4x – 12 = 0
m) x4 – 18x2 + 81 = 0
i) x4 + 12x3 – 64x2 = 0
2) Hallar las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 13m, donde se cumple
que el área de dicho rectángulo es de 60m2.
3) El lado de un rombo mide 5cm y su área es 24cm2. ¿Calcular la longitud de sus
diagonales?
4) Hallar el radio y la generatriz de un cono que tiene 15 cm de altura y cuya área
lateral es de 136 cm2.
NIVEL II
5) Se tiene un prisma rectangular cuyo volumen está dado por el polinomio:
(x3 + 7x2 + 14x + 8), hallar las dimensiones del prisma si se cumple: longitud >
altura > profundidad.
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[68]
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6) Factorice los siguientes polinomios:
a) P(x) = x3 – 7x2 + 7x + 15
b) P(x) = x4 + x3 – 16x2 – 4x + 48
c) P(x) = x4 – 11x3 + 41x2 – 61x + 30
d) P(x) = 2x5 – x4 – 22x3 – 25x2 + 2x + 8
e) P(x) = 2x5 – x4 – 22x3 + 25x2 + 2x – 8
7) Encuentre las raíces de las siguientes funciones polinómicas de grado superior,
aplicando Ruffini.
a) 2x5 – 7x4 – 10x3 + 25x2 – 2x – 8 = 0
b) 4x5 + 12x4 – 5x3 – 15x2 + x + 3 = 0
c) 2x5 – x4 – 10x3 + 5x2 + 8x – 4 = 0
d) 3x5 – 16x4 + 20x3 + 10x2 – 23x + 6 = 0
e) 2x5 – 9x4 – 2x3 + 31X2 – 30X + 8 = 0
NIVEL III
8) Un edificio tiene la forma de un pentágono irregular, si se sabe que el producto de
sus lados es el polimónio: (x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36), calcular el perímetro
de la azotea del edificio, si se sabe que el menor lado mide 5m.
9) Una empresa importa laptop Toshiba Satellite U4003, si el costo fijo mensual es 4
miles de dólares) y el costo variable es: (2x5 + x4 – 22x3 + 25x2 + 2x – 12) donde x
es la cantidad de laptop. Hallar el costo total mínimo.
10) Una empresa produce en un mes: x2 – 7x + 14 artículos, siendo x el precio de cada
artículo. Si en dicho mes la empresa registra 8 mil dólares. Determine el menor
precio de venta para la empresa.
11) Muchos de los limeños del cono norte se ven afectados por la congestión vehicular
entre las 7 am. y las 3pm. Según unos estudios realizados se estimó que el número
de vehículos en función del tiempo (t=0 representa las 7a.m.). El siguiente
polinomio
reprenda
la
ecuación
del
tránsito
según
la
hora
4
3 2
T (t )  (t  8) (t  2) (t  6t  9) . Considerando T (t )  0 las horas de mayor
congestión. Analizar el problema y determinar en qué horas hay mayor congestión
vehicular.
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[69]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
12) Una empresa dedicada a la venta de automóviles, ofrece dos opciones de pago a
sus trabajadores según las ventas del mes. Las opciones están expresadas por los
siguientes polinomios S1 ( x)  10 x 4  1500 y S2 ( x)  270 x 2  140 x  300 , donde x
representa las ventas mensuales. Juan un estudiante de la UPN, al analizar el
problema estima que obtendrá el mismo sueldo en las dos opciones cuándo venda
3 y 4 vehículos al mes. Cuestione la opinión de Juan, justificando su respuesta.
13) La Municipalidad de los Olivos convocó a estudiantes de arquitectura e ingeniería
civil de las diferentes universidades del cono norte a un concurso de diseño de un
proyecto de remodelación del Palacio Municipal. Los resultados de la convocatoria
fueron enviados a cada universidad, en el caso de UPN se les indicó a los
estudiantes que el puesto que ocupan sus propuestas está dado por la solución de
la ecuación de la ecuación
ocuparon.
x2  7 x2  14 x  8  0 .Determine los puestos en que
#
CÓDIGO-L
AUTOR
TÍTULO
1]
512.9
GUST
GUSTAFSON, DAVID
ÁLGEBRA INTERMEDIA
[2]
512.13 SULL
Sullivan, Michael
“Algebra Y Trigonometría”
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
[70]
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA