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20 septiembre 1965
12812
1.
~isposicione8
ORDEN de 18 de >epııembre de 1965 por la que se
1ıan de oonstar los
exıimenes de ingresD en la Academia General Mı­
Zitar, E,cuela Naval Milttar y Academia General
d.el Alrc y >e aprueban los prOgram(Ls correspan-
disPO'neıı las 'P71lebaıı de qııe
di~ıı tes
AıuiZi~1S Matem4tiro y
Geometria 'il Trigr:nwm.etria y
a las pruebas de
Aııalittca.
E.-Nıim.
225
generales
Movlmiento vibratorio nrm6nıco sımple.-Su representat:ı6n.
Velocidad v aceleraci6:ı eıı el m· v a,~GeneraJiıac16rı de Iu
fııncioııes armônicn.,.
Cohıposlc16n de movimıentos sırııultimeos.--Composıcı6n de
movimientos ~tilineos en la misrna direcci6n.-compos.ici6n de
rnovimienOOs recıilineos perpendlculare.s.--Composicı6n de m~
vimientas v!bratorios ar:ıı6nicos de la m1sma d.lrecc16n y de!
mi~mo peı:iodo.-Construcci6n de Fresl1el.-Compasici6n de m~
vıınientos vibratorios arm6nica., de la ınisma direccı6n y de
dL,tinto periodo.
S6lidas rigidos.-:NIovimıento de traslacıön.-Movimlenta de
PRESIDENCIA DEL GOBIERNO
Geometria
B. O. del
Fi.liclL,
rotacıön.-:Movlmlento beııcOJdaL.
Concepto <Le fuerza.-Medida estitica de fuerza.-Princlpios
estatıca.-Composicion de fuel'2a.s.-Composlci6n d<! fue..-zas
de ıa misma direı:ci6n.-Composlci6n de fuerzııs concurrentes.Como desarrollo !LI Decreto 3057/1004. dı.' 24 <le sept1elllbre.
cornposiciôıı de fuerza.o paralelas del m1smo sentJdo.-Composipara unificaci6ıı de criterıos sobre 1as condlciones d~ ingreöo
en la !l.cademla General Mi1it!Lr. Thcuela. Na.val Militar y Aca- eiôn de fUel'ı:;as pa:ralelas de sentido contrariO.--Oompos.ict6n de
fuerzas para:elas; <:oııstrucciôıı goometrica.-De-scompOS.ici6n de
demiR General del :\ıre,
fuerzas en dos 0 ma:; direccioııes,
Esta Presldeııcıa ha t~ııido a. Oleıı a,prolıar. a propuesta de!
Pa.r de fuerzM.-Caractcristicaş de un par de fuerza.,;.-MoAlt() Estado Mayur. las pruebas para el lngreso en la.s citada.s
mento de un par de fuerzıı~.-Composiciön de p:ı.res de fue=.
Academi:ıs ~. que son laş sıguieIlles:
Momento de ılna fuerza CüT] respecto a. un punto,-Teore:na de
Varignon,-Resultanıc de tOlio sistema de fuerzı.ı.s.-condiel~
Recon<Xlmıento facultaLlVo,
nes de equilibrio de un Bôlido,-Conwciones de equil1brlo de un
Prueba.s de aptitud ff.<;ica.
cuerpo con un punto fijo.-Equi:librio de un cuerpo con un eje
Exıtmcıı p.ıcoU:cnıco (de caricter informatlVo).
fijo.
An:Wsi.s Mateııı~ıico y Geometria Anallticıı.,
Principi() de inercia.-Priııcipıo de acclÔn de fuerzas.-Mwıa
~metria y '.('rigonametı:ia.
Fisica.
inerte. Ecuaci6n fundamental de la dinamlca.-U01dad tecnJca
Idiornruı.
de masa.-Principlo de aceiôıı y reacci6n: fuerza de lnm:lll.ProduCCı6n de 108 mov::mientos rectı1ineo.s unlfOl'Ine y Ulll1'orLos programas par los que se han de reg!r la.<! prueJ:ıas de
memente vaıia.Qos, -Dim'ımica del movimlento vlbratorio arAnfıl1.si.s Mateuıiıtıco y Geomerria Analitica. Geometria 'J Trlmônico.
gon.cımetria Y Fisica son los que a c:ıntlnuııdon se publ1caıı.
Impulso mecinlco.-Cantidad de mov1m1ento.-Teoreııııı. del
Por 10 que respccta a la prueba de i<liouıas se tendra en
momento c1netico.-Fuerzruı centrales: Teorema de las lı.reaıı.­
cöenta que todos IOt; aspırant€s a lngreso en ıa Aca.demla Ge- Fuerzil.S centıipeta. y centrifuga.-Tra.bajo de una fuerza c.:ıııs­
neral M!lltar y Academ:a General dei Aİre que la. tuvieran tante.-Unidades de trabajo.-Repr<?sentaci6n grat1ca. del trıı.IıııJo
ap~obada en examen de ıngreso ?.nteriores qUedaran exentos de
de una fuerza constante.-Trabajo de una fuerza variable.-P~
ser sometidos a la cit:ı.da prueba.
tencia mecanica.-Energia cinet1cR.-Teorema de las fuerzas
Lo Que comnn!co a VV. EE. para su conoclm1ento y demas vivas.
efectos.
Sistema de puntos ınateriales.-Traslaci6n de un slsterııa r!Dlos gı.:arde il. VV, EE.
gido.-Teorama de la conservaci6n de la cantfdad de movlı:ıJen·
Madrid.. 18 de septlembrl! de 1965,
to,-'I'rabajo <le un slstema de fuerzas,-Fuerza.s de 11gadura.CARRERO
Eııergia potenc1al.-Prlncip1o d~ c.:ınservaciôn de la energıa.­
Proporcio!l!\l1dad entre 108 momentos de 108 pares y las aceJeExcınos. Sres, Mİnistros ael Ejerclto, de Marina y del Aire.
ra.ciones que jJı'Oduce.-Va1or de1 momf>nto de inercia.':"Rad1o
<le glro,-Teorema Steıııer.-Equlvalencln entre rotnc1ôn y trasPROGRAlI1A UNIFICADO DE FISICA
laci6n.-Moınento clnet!co e impıılso angular,-Teorema del momento cinetlco.-Trabajo y energ!a. c1net!cıı. de un cuerpo en
Parte ıeôrica
rotaci6n,-Teorema de fuerzas vivil.S.
Leyes de Kep:er.-Ley de GrRviOac16n Universal de Newton.Magnltudes fisicas fundamentales y der!vadas.-EcuacI6n de
Ca.mpo gravlta.torio terrestr<;,-Peso de un cııerp.:ı.-vaıiaclones
d.iınensiones,-Homogeııeidad de 13." f6rmulas fislcas.-Unidades
del peM con la altura,-Vıı.riac1one8 del peso con la pro!undly Pa.trones de longftud. tiempo y ınasa,-Sistema de unid ad e-s.
Medidı.ı.s de longıtudes y nııgulos: Nonius.
dar!.-Centro dl' gravedad.-Determinac1ôn del centro de gra.vedad.-Coordenadas de: ~ntro de gra vedad.-Movlmiento de"i cenMQgnitudes escaJares y vectorjales.-Rl!pre~eııtacı6n graficıı
tro de gravedad de ıın ~uerpo.-Eneri(in potencial de gravitacl6n.
de un vector.-Clasıflcaciôn de vccLores.-conıponente.s de un
vector,-Sum.a de vectores,-Distintos casos l!n la suma de vec- Difer<::ncia de pot€nclaı entre dos puntos.-Superilcıes equ.!potencia!es,-TransformacionE's de h eııerına p.:ıtenclal de grav1tatores.-Difer'.'ncia de vectons,-Producto de un vector POl' un
escalM,-Vcctor unitario.-Producto cscalar de dos vectores.- ci6n,-Aceleraci6n de la gra.vedad.-Caida lıbre de los cuerpo.~.­
Trnyectorias planetar i aB.Producto v<?Ctorial de dOı; vectoreS,-Derıvada de un vector con
Rozamıe::ıw.-Resistencia. al de~,lizamiento.-Res!.stencia a la
resııecto a un escalar.-:'vIomento de un vector respecto a un
rodadura.-Rodadura y des!izaınıento.-Miquinrıs, ~ C<ındiciones
pu:ıto.-Teorema de Varignon.-Momento de un vector respet:tc
a un eJe.
c'(' eQuilibrio. Rendiıniento.-Palanca.-Ei pla.'1o !ncllnado como
Movimiento& ab.solutos y relativos.-Veloc1da<l medl!l..-Velo- mCQuina.-Desllzamiento de un cuerpo en un plano inclinado
cldad en un instante-Vector desplaza.miento.-Radlo vector.
con rozaıniento.-pendulo mat€matico, -Pendu10 reversibIe.Empleo del pendulo eIl la ınedida de g.
Vector velocidad.-Cıilculo dci espac1o.-Veloc1dact angula.r,-Ve.
locldıı.d areolar.--Acelf;,aci6n media.-Vector aceler!l.Ci6n.-Com_
Cuerpoo el:i..sticos e inelı\.st!ccs.-Limites de '!la.sticidad y roponentes del vector acelcrac16n: su cö.lculO.-Cıi.lculo de la vetura. Le)' de Hooke.-Choque perf<?ctnmente el:istico.-Choque
locldnd.-Acelerac16n a.n~lar.-Ace1eraci6n arEQlal'.
inelıi.sLico.-Choque no pel'fecramente elfısticQ.
Mov1ınlento rectllfneo y uni!orme.-Leyes.-Ecuaci6n generol
Fliı.ido perfecw,-Hic!rostıitica, Liquidos. - Masa especifica..del ooOVlmlento rectllineo y uniJorme,-Movimıento rectl1!neo y Deıı.sitla.d relativa,-Peso especiflco. Presıön.-I'res16n en eI inun1fornıemente acelerado.-l'.ioviıniento recti1ineo y uniformeterlor de un fluldo,-Superficie IIbre de ıın I!quido en equiJibrl0.
mente acelera.do partiendo del reposo.-Movimlento clrculıı.r uıı.i­ Teorema fundamental de hi.drostatica.-Col1secuencias del teoreforme.
I ma general.-Centro de eınpuje de una pııred.-Vasos comuniExcelentitinıos
setiores:
de
I
B. O. del E.-Num. 225
12813
20 septiembre 1965
ca.nteı5.-Te<ırema de ?e.sc~l.-Pren.sa hldr~ul!ca.-Teorema de
Arquiınedes.-Valor del empuje.-Equil!br!{) de i{)s cuer;ıos suınerg1doo.-EquDibri{) de los cuerpDS tlotames.-Estabilldad del
equi1ibrio de 103 cuerpos tl{)tantes.-Determinaci6n de dens!d:ı.des
de liquidos: are6metros y den.simetros.-Determinaciôn de densl.
dades de Jiquidos. Metodos de la balanza hidrost:ı.tica y del frasco.-Determinaci6n de densidades de sô1idos. Metôdoı: de la baı:mıa hidrost:1t!ca y de! frasco.-Cohesi6n. Adherencia de 106
!lquJdos.-Formaci6n de menl.\cos.-Angulo de canjunci6n.-Tension supertlcial.-Presi6n en le.s superficies curvas.-F6rmula
de Laplace.-Fen6menos capllares.-Tubos capilares.-Ley de Jurln.-Capılaridad en lı,minas paralelas y liminas en :i.ngulo.
Gases.-Aerostiı tica.-Densıdad relativa.-Presi6n il, tmosferica.
Valor de la preslcin atmosferica.-Experlencia de Torrlcclli.-Ba.römetros.-Variaciôn en la presi6n atm05ferica con la altura.!.<ıy de Boyle-Mariotte.-Variaci6n de la masa especifica con la
presI6n.-Man6metros.-Maquina neıı.mıı.tica.
Regimen estacionario.-Lineas y tubos dfl corrlente.-R.€'gimenes laminax y tul'bulento.-LeY de coııtinuidad.-Alturas gecıııetrica. piezome,rica y cinetlca.-Te<ırema de Bernouilll.-Enunciado eleıııental del teoreına. de Bernouilli.-Presi6n hidrodinim!ca en 105 puntos de una superftcie horizonıal.-Variaciones
de presi6n por cambios de velocldad.-Tubo de Pitot.-Teorema
de Torricelii.-G!isto de un orificio.-Frasco de Mariotte.-Vlscosldad.-Coefic:ente de viscosidad.-Efecto Magnu.:;.-Resi.stencia
al movimiento de !os CUel'pos en un fluido viscoso.-Potencia de
un sa!to de agua.
Movinılento ondulatorio !ongitu.;iinal ;; transversal.-Longitud
de onda.-Su l'elaciön con el periodo y la !recuencia.-Ecuacıon
del moviıniento ondu!atorio.-Superflcie de onda.-Energia del
movimienw vibratorio armônico.-Variaciones de la. amplitud
con la di'ltancia al foco emisor.-Iılleıı.sidad de un mo\imİento
ondulatorio.-Interferenclas.-Ondru; estacionarlas.-Principio de
Huygens-Fresnel.-Dıfracci6n.-Re:fiexiÔn {Le ondas planas.-Refr:ı.cci6n de onda.s planas.
Natw-a1eza del sonido.-Producci6n y pr{)pagaci6n.-Velocidad
de propagaci6n del sonido en los tluidos.-Velociclad de propa.gaci6n de! sonid{) en los s61idOS.-Re:fiexi6n del sonido. Eco.Cualidades del sonido. Tono. Lim1te de 105 sonld05 audibles.Int<msidad de un sonido.-Timbre. Sonid05 compuestos.-Va.riaelon de! tono percibido: Efecto Doppler F!zeau.-UltT8s>nld05.
El calor.-T('mperntura.-Intervalo fundamenta.l 00 temper~
tw-a.-Terın6metros.-Ttrm6metro de mercurio.-Es<:alas t.ermQ..
metric3S.-Term6metro de mixima y m!nima.
Dilataci6n.-Coeficientes de dilataciôn linesl. superficial ;;
rubica.-Relacl6n entre laB coeficientes.-Variaciön de la masa
espccmca con La temperatura....:.Dilataciôn de los IiquldQS.-DiI~
taciôıı. real y aparente de un liquido.-ReduccI6n de las Iecturas
barometricas il, ce:-o grados.
Variables que determinan el estado de un gas.-La. mo!ecula.
Masa molecular.-Moltl<:uIa gramo.-Numero de Avogadro.-Hip6tesis de Avogadro. Volumen molar -T!a:ısformaclones \satermas.-Transformacioıı.es a prcşi6n constante.-TransformaciQıı.es
a volumen constante.-Cero absoluto de temperatura.-Tempera.turas absolutas.-Ecuaci6n de los gases perfectos.-Reducci6n
de un gas a condlciones normales.-Paso de un ge.s de unas
condiclones a otl'as.-Variaci6n de la masa· espec[flca con la
presi6n y la tempera.tura..-Dcterminaciôn de La masa molecular
de un gas.-Mezcla de gases. Ley de Dalton.
Teorta cinetlco-molecular.--Caos molecular.-Velocida.d ouadritica media-C::i.lculo de La presi6n de un gas-Relaci6n entre
la temperatura y la energia cinetica.-Leyes de los gase.s.-Principio de equipal'tici6n de la energia.
Calo:. - Caloria. - Calo;:: especifiı::o. - Capacidad calorifica 0
equivalente en agua de un cuerpo.-Principio de la.s mezclas.Deterıniruc16n de c:ıJores especificos: Metodo de las mezclas.Merodo de fu.si6n del hielo.-Calores especificos de un ga.s.
Propagac!ön del c:ı.!or.-D!ferentes formas de propago.rse ci
calor. Propagaciôn de! calor por conducciôn. Conductibllidad
calorffica.-PropagaCiôn deı calor jl<Jr convecci6n.-PropagacI6n
del calor por radiac!ön.-Ley de! enfriaıııiento de Newton.
Cambio de estado. - Calor latente de cambio de ..... 'ad{).Ecuacl6n de Clapeyron.-Fu.:;ion y solidi1i.caci6n.--Calor de fu.
si6n.-Variaci6n de la temperatura de fusi6n con la presi6n.Sob:efusi6n.-Rehielc.
Va)X)ri2aci6n: sus clases.-Vapores saturantes.-Tensi6n maxima de vapor.-Evaporacion cn el va.cio.-CaIculo de la masa
de utı vapor .-Evaporacion en el seno de un gıı..~.-Princ!pio
de La pared fria 0 de Watt.-Estado higrometrico de La atm6sfera.-Mecanismo de la ebullici6n.--Leyes de la ebullici6n.-Calor de vaporiza,ciÔn.-Va."iaciôn de la. temperatura de ebullicl6n
con la. presi6n.-Curvas de estııdo. Punto triple.-Licua.c16n por
coınpresi6n.-l.sotermas de 105 gııseş reales.-Teınperatura crlti-
ca..-Curva l!mlte de saturaci6:c.: Difere!lcias entre gese.s y vapo.
res.-Licuefa.cc!6n de ga.ses.
Termod.inamica.-ıınposibilidl\d del m6vi! perpetuo de primera especie.-?ıincip!o de la equıvalcncıu..-Melodo de Joule.-C-enel'alizaci6n del principio de la equivalencia.-Traba)o rcali$a,do
en los cambias de voluı:ııen.-~pre~ntaci6n geometrica deI trabaJo.-Impo.;ibll!dtııd del m6vH perpetuo de seguuda espec!e.Mı'tquinas termicas. - Rendimlento de una maquina term1ca.Tra.nsformaciones reverzib!es.-eiclo ı;:e Carnot
Eleı:trizaci6n por frotamie:ıto.-Aisladores y c{)ı:.ductores.­
Electroscopio.-Carga e!&trica.~Ley de Coulomb.-Sistema ele<:trostaı;!co de unidades.-Carga deı eke,.on. Unid~des de c::ı=ı;a.
Si.stema Oiorgi de ur.id2.des e}ecıricas.-Dimen;;:cn~s de la carga
y de la perınitivıdad.-C~mpo eıectrico.-Lir.e~<; y tubos de fuerza.-Caınpo electrico en el lnterıor de un conductor.-Represen"
tac16n deı ca.ınpo eıectrico.-Flujo de un camp{) e!ectrico.-Teorema de Gil, USS.
Dlferencia de potenciaı €ntre dos pumos de un c:ımpo electrico.-Potencial en un pun:O.-Unidades de pot{;ocial.-Supe.fic!es equipotencialcS.-R,,:ucidn entre el campo r eı potencia.l.Sentido de las line:ı.s de l"uı;;rla.-.?oı.enc:al creado por una
carga puntunl--Di.stribucl6n de la eıec~!'iGıdad eu 10s conductores. Problema gencral.-Dist;-ibuciôn de La carga en un conductor elecl::'izado en equilibrio.-De:ı.s:d.ad ,;Clp€l'ficial de carga.?resi6n clectrost:itica.-Potenci:ıl de un conductor en equilib:rl0
electrico.-Teo1'ema de' Coulomb. - Campo y potencial creado
POl' una esfera unilormemente cargada en un punto exteri{)r.Potencial de un conductor esferico.
Fen6menos de influencia.-Toore= de Fanıday.~Cnpacidad.
Unidadcs de cap;:ıcidrıd.-Cap,ı.cidad de ıın canductor esiericoEnergia de un ca.'l'PO e!ec::ico.-Acci6n de un cam;ıo eiectl'lco
sobre un dlpolo.-Polarizaci6n de ıın did~c~rico.-Campo en el
interior de un diclectrico pO:J~i"ado.-C8nd€ıı..sado!'es.-CoI.\den·
sador plano ................ı..Sociaci6n de
co!ld";!l~~Hior.c:;_~Energi;ı
de un con..
densador cargado.-Capacidad de un conde:ı.sador con un dieıectrico entre sus armaduras.~?erm.:tividə.d de una sustanci:ı.
con relaciön al vacio.
Corriente eıectrica.-Int~I'~;idad.-Densidad de corrie::ıte.-Re­
sistividad.-Resistencia de un conductor.-Unidad de resistencia.--Ohmlo leg:ıl.-Variaci6n de La resistencia con J.u temperarura.-Ley de Ohm.~Energia de una corriente,-Potencia de un.a
corriente eıectrica.-Efecto Jcule.
Generador de corrient.e: Definici6n.-Fuerza ele.:tromol.riz.Le;; de Ohm ap!icada a UI' circuito CO!2 uno 0 \'ar:os generadores.-Diferencia de poı.enc!al emre los polos de ıın::ı. pi:~.-Calda
de potenciaL-Potene!a teörica y üti1. Rendiınien;:o ee un generador.-L-ey general de Ohm.-Receptores: Dcfinici6n.-Fılerza
contraelecıromotriz.-Signo de 1as FE:l.r y de la.oı in\ensidades.Lemas de Kirchiıoff.-Corrientes d.;rü"adas.-Shunt.-Resi'ltenc!a
equ!\'alente a otras en ser:es 0 der:vadas.-Pucnte de Wb€atstone.-.!\Bociaciones de gener3dore.s.
Electrolitos.-Electr6lisis.-Lcycs ı;:e F'('.l':ı.day.-Deft!'..!ci6n d~
amperio intel'nacional.-Potencıale.s de contacto.
Imanes naıurales ;; arttiicia!es.-Pokıs y line:ı. neut!'a-Magnet6metro. ?olo5 Norte y SUr.-Mas:ı. m::ıgnct1ca.-Ley de Cou·
10mb.-5isterna electromagnetico de unidades.-Gnid2.d electromagnetlca. de polo magnet:co.-Sistema. Giorgi de unlöades electromagneticas.-Unidad Giorgi de pola 0 ma.:;a magnet:ca.--C:ım­
po magnetlco.-Unidades de campo maı;netico-Li:ı.?as de fuerza.-Repre~ntaci6n del canıpo nıagnCtico.-F:ujo de un cə.mpo
magnetlco il, traves de una su:ıerficie.-Orientaciön de un dlııolo
en un campo magnetico.-Môme:ıı.o magnetico de un dlPOloCaracteristicas de un ım{m.-Magnetismo to€rrestrc.
E~riencia de Oersted.-Campo magnetico de una corrieo.te.
Caınp<, mııgnetico cre:ıdo por una CO:!Tienıe rectilinea indeftnida.-Cmnpo magnetico crcado por u:ı eleınento de corrienre:
primera Le;; de Lap!ace.-Cnmpo magnet.ico crea.do en el centro de un circuito circular.-Unidad electromagneric:ı. de intensida.d de corriente. Segunda L-ey de Laplace. - Acci6n de UIL
campo magnetico sobre una corriente.-AcCıôn de un ~ampo
magnctico sobre u:ı CiI'Cuito.-Momento magnl!tico de una espira.-Acciones enıre <::orrienı.es.-Amperio a.b.ıol:.ıto.-Solenolde.­
Momento ınagnetico de un SO!ctlV2d".-Orientacl6n de un solenolde en un campo magnetico.-ExciLaciön (,'ecwr Hl-Campo
ınagnetico en e! exrerior de un solenoicle inde1i.nido 0 cerracto.
Cam~ en el interior de un s-:ılenoide recto e ınctefinido.-Ce.mpo
magnetico en el int.e!'ior de un wl€l1o:de cerrudo.-Eelac16o. entre la excitacl6n y La intcn.sidad dd ca.mpo magnetico.
Acci6n ee ur. campo magnetir.o 110 ur:ifornıe sobre un dlpolo.
Cuerpo.s ferromagnetic{)s. p~.:·am:'gne;:icos y diamıı.gneticos.­
Cam;xı magnetico en 105 cuerpC's t'el':o. pn2'a y diamag;netlco.s.rmlınacl6n; 5usceptibi1idad; permeəbEidad relativa al vacio.Hi.steresis magıı.etica.-Imanaci6ıı !emaneme.-ExcltacıOn ooer-
ı28ı~4
____ ____ ____ ____ __
20 septİembre 1965
~-~~~~
cICiva.-C1rcuita magneıico.-EI~troimanes. - Galvan6metros.~
Am]l<:rlmetros.-Valıimetros.-Determinaci6n de la FEM
de uruı
~~
I
____ ____ ____
____
____
1:1. O. de!
__
E.-Num
. 225
dlactivida d artitlclal. -Elemen tos ,trasurıi.n1oos.:-:-De!ecto de
masa..-En ergla de las rea.cc!anes nucleaı-es.-FLsıon nuclear y
plla oon un voıümetro.
reacci611 en cadena.- Pila 0 re:ı.cwr i1L6mico.-La bomba atom1.
Corrientes inducidas .-Leyes de Neuınan y Lenz.-Dıvemı.s ca.-Reac clones nucleare$ de fusi6n.
La bomba H.
tormıı.s de producciôn de corrientes ınducidas.-InduccI
6n entre
carricnıe.s. - Auwindııcci6n - Fundame nta de los
Parte
practicil
generadores
electromag:ıetico..~ de corriente .-Alterna dor simplc.-F
EM e ın·
Los ejercicios y prob!eııı::ıs que se pongan en el exa.men priıc­
tensidad de la c()rrien~ alterııa consider:ı.ndo ünicumcnte la inıico sel'im 60bre temas coherente s con las que tlguran
tlııenchı de ıJ. re.~i~~tencia.-Circuitil.' de corriente aiterna
en LA
con parte teörica
de este progra.:na.
a.uwirıctucci6n y capaeidad . Resuınen.-Di:tgramCl
.S vectorlales en
ias corrientes alternas: Ler de Ohm. Resumen .-Fen6me nos de
B IJl~lOGRAFİA
resonancia.-Iıwımidad y Juerz:ı. electromotriz eficaz.-L
ey de
Ohm apl!cada a las nıagnıtudes eficaces.- Potencia de una coFisica General: Burbaııo y Ercilb..
rriente alterna.-Anıperimetros r voltimet,os para corrlentes
Fi.sic:ı. General: J. CMal".
a1ternıı.s.-Alı;ernadores.-Dinama.1 de eorriente
continua. -EleeFisica. Gi'ııeral: Se:ı.rs.
tromotare.s.-Moıares de corr:eme contiııua.-Central
es eMetricas.-Tra!l.5porte de hı. enemia n dist.anciu.-Traıısformadores.
PRÜGRA~ı.-\ UNIFICADO DE GEOMET Rl4.
Iones ga.seasos y corrientes electric:lS de conv€cci6n.-Agente.s
Y TRIGOXOI\lETRIA
de ionızacj6n.-Propiec~des de los ioncs ga.seasas.-Canıura y
corrientes de ionizaci6 n.-Descar gas eıectrıca.s: Dlversos t1posP:ırte teörica
Descarga aut6nonıa II pl'esiones nOl'nı,,1~ô: ~hispa e1ectrica .Descurga aut6nama fıı forıııa de arco.-De scarga aut6ııoma en·
Los MOVIMU::. -ros EN EL PLANO
gases enraıecidil.'.-Rayos c~ıt6dico.'-Medida de La carga e.spec!Axiomaş de enlace y ordenaeiC nI.-Edillca ci6n rncional
fic:ı (eiml de la.; co:piısculas cat6dieos .-Velocid ad
de la
de los corpüsculo$ cat6dicos. Vurlaci6n de la relaci6n e/nı.-Lııs rayos Geometri a.-Axiom a-, de existencia y enlace.-Consecuenciıı.s de
positivoS 0 canales.- Or:g,m. propiedudes )' natura!ez a de los ra- las axioma.s anteriare.'.·-Posıciones de dos rectas.-A xioma de
ordenaciön de 10.5 pııntos ctıc La recta.-Se mirrecta y segmenta.
yos X.
Efecta Edl.son 0 lermai6nico.-Ecuaci6n de Richaı~an.-Vilr AXioma de la divisiôn del pl:ına.-Semip!ano y angulo.-Tr!ıln­
riaci6n dı'l campo y pot€ncial entre filarnento y piaca.-Di odo. gulos y po!igonos conve;.;os.
Axiomas de continuid ad 11 de m.oı.ıimiento.-Los sentidos en
Triodo.-Par:ımetro-, de un trioclo.-Osci!oscopio de
el
rayas cat&dicos (tubo de Bro\\,n).- Efecto fotoelectrico: Ecuaci6n de Eins- "Iano.-Rect:ı. y h;ız.-Axlama de continuid ad.-Conc epto de
tein.-Cel ula fot{}{;;ıectrica.-Teoriu electl'onica de los canduc- rnovinıiento: Axiom:ı.s sobre LOS movirnlentos en el plano.-E l
grupo de los movimientos del plano.-A xioma .de la determ~.a­
tores. aislantes y scmiconductm·cs.
c!on del movlmlento.-J10ci6n de congruencıa.-Canservo.cıon
Co;rrierıte.~ altern~ de alta frecuencia lA. F').-Prod ucci6n
de
corrientes de altu f]'(-'cuencLı: Desca:ga oscilante de un canden- de la congruencirı en el ıııovimlP.!lto.
sndor.-PropieclQcles de la" corri€rıte.~ de alta frecuencla.--QsciSimetrias en cı plano.-L a simetria centraJ.- La simetria aıdaJ.
laciones eıectl'icas.-Campo eleclromagne:ico creado POl' una Movimiento inverso de! plana con ıın punto fijo.-Sim etr1as condescarga oscilante.-PrQpacıaci6:ı ee las ondas elect.roma.,0'Iıt~t!­ juga.da.<;.-Ap1icuci6n de la simetria en el p!ano a los trliı.ı:ıgulos
.
C:lS: Aplicaclones
L:ı.s tr:lSla.ciones y e! paralelisnıo en el plano y
producta de siCuerpos lurnino.-;os. ılumiııudos, cranspaı-entes. tr:lS!Ucido.~ y metri:lS de ejes paralelos .-Concep w de! lugar geametrlco.
opacos.-PropagaCi6n rectilinea de la luz.-Con cepta de raya y
ıaş tras/adan es y el paraleli.mıo.-Definici6n de la
traslaci6n.
de haz.-Velocidad de propa~(lçjön de la luz.-Med ida de la ve- Recti1S hom6log:ı.s en La traslaci6n.-Axioına del
paral'-!lismo.locidad de la luz.-Indi ce de refı-acci6n ubsaluto y relatlvo.
Angulos de la.dos paralelos .-Trayect orias en las Cr:lSlaciones.Reflexl6n de la luz.--Lcyes fundanıcntaJes.-Refracci6n de Grupa de !as tr:lSlaciones de! plano.-Pe rpendlcu laridad
y paraLa luz.-Leye s !undnnıeııt:ıles.-Refiexion total.-All~la
lelLımo.
linıi­
te.- C:ımıno 6pt!co.-Form:ı.ci6n de Ullagene s.-Estigm attsmo._
Los giros.-Gi Ias.-Ang ulo de giIo.-Pro picdad de 108 punt.08
Dioptrio plana.-Imiıgene~ producidas POl' un dioptrfo p!ano.- hanı61ogos y de la.<; reetCl.S lıoııı6Jogas.-Construcci6n
de! cenMaı-cha de l:ı. luz :ı. trave.' de un" l<imina de caras plana-par
a- tro.-Redu cci6n de un moviıııienw plano cuaJqulera..-ReducJel:lS e lmagenes producid as.-Prlsm a aptico.-M archa de la luz eian a simetrf:ı.5.-Grupo de los glros concentrl
cos.-Grup o del
:l traves de un prısma.-F6rıııula del prisma.-E
studio de la puntO.-Di,·ergenCii1 de prapied:ı.des entre 10.5 giros Y trasls.desvluci6n.-Mirıiıııa de~viaci6ıı.-Prism:ı de retleııi6n
totaJ.- ciones.-L a circunferenciə..-Determinaciön de l:ı. circun!erenela..
Dispersl6n de La luz.-Diop trio e.ıferico.-Definiciones y r.onvePRIMERAS RELACWI<ES METRICAS BN ~AS FIGURAS PL,\N.ı.s
nlo de signos.-F 6rmubs de diprı-io para rayos paraxla!e s.F6rmul:ı de Ncwtan.~Imugenes en ei dıoptrio esferico.AumenSumi1 y desigualdad de segmentos y de (ı.ngulo.'.-Forma eutos.-Invaı-iunte de Helmhalt z.-Espejo s planos y esferieos.
clidea de! pastul:ıdo de! paralel1smo.-Suına de angulos de un
Sistemıı.s 6prieos c~ntr:ıdos. - Elementas cardlnale s. -Constı:-liı,ngulo y de un poligona. -Desigua ldad de
trucci6n de La.; iıııugenes.-Fol'l1luI:ı.s fıındaınentales Para io.~
ladas y (mgulos
de un tri:i.ngula.-Dist:ınci:ı.s en el plano.-A ngulos y poligonas
sistemııs centrados .-Lentes esfericas de!gadas .-Potencl a
de una
cn la circunfeı'cncia.-Concepto. construcciôn y aplicac!ones
lentc.-Asaclacicin de lemes dclg:ıd:ıs centradas sobre el mt.smo
del aı-co cap~.-Cuadr!l:itero ıl1Scriptib!e y cİ!'cuııscript1ble.­
eje.
Angulo s61ido.-Flujo c iıılensldad de un foeo puntuaL. -Fo- Puntas y rectas natables en eı triangulo : Feuerbac h, Eu!er 7
COS extensos.-Luminanci::ı.-I1ur.ıin:ıci6n de una 5uperfici e.- SIm.san.
Fundanıentos de l:ı fotumetriD.
PROPORCI ON ALUlAI) DE SECMENTOS
Twrlıı.s sabre la mıturale7.::ı de la luz.-Teo rla de
MaxweL
Caı-acteri.'ltlcM de las and:ı.s luminos:ı.<;.-Colore.s.-Radiac
!l:/'cdida y propDTci onalidad. -Magnitud es esca!areS.-Pı:opledı
iones
.­
in!rl\lToj:ı., y u!travioletas.~Dispe~si6n de la luz.-Arco
de.s de las mə.gni tudes esc:ılares con tinuas.-Medid:ı. de lıı.s caniris.
Produccl6n de eSgectro~.-Espectro.,copia.-Clases de espectros.
t!dades de una magnitud esca!ar contlnua. -MedicI6 n 1ndlrectl
Aniı.lists espectral.-E.<;pectroö de absorciöıı.-Esj)ectr
de can tidadcs. - Praporclôn e:ı trc cantidades. - Caınbio de
o solar.Poder dispersivo.-Radiaci6n puraıııente termica.- Poder emiunld::ıd.
sivo.-Pod er absarben te.-Ley de Kirchhof f.--Cuerp o negro.ProparcionaZidad de segınentos. Cı:aterna arın6nica.-Teore
ma
Poder absorbente y cmisıva del cuerpa negro.-L ey de Stefan.
de Thales.-P royecci6n central de los segnıentas de 1ul3.
Densidad cübica de energia.- L::y de Wien.-Co lores PQr etnisi6n sobre Ul1il paralela.-Can:ıtrucci6n de segmentos proporclo recta
nales.
re.flexl611 y transparencia.
Deterıninaci6n de punıos de Wla rect:ı. por
su raz6n de <llsTeoria de los cuantos. -El lot6n.-P:ı.rticulas subat6ınicas.­
tancias a dos de ellas.-Sig no de I:ı. raı:ôn.-Vaı-Iacıôn de la raMasa y carga de l:ı.s particula s.-El niıcleo.-Elemcntos iı;ôto­ . zon simple de unn. terna.-Cu:ı.terna aı-m6nica.-Cons1l"uc
cl6ıı
pOS.-Lıı.s 6rblta.<; electr6ni cas.-EI :itomo de Bolır.-E.del cuarto armônico.
-pectros
de enıisi6n.-Mecanismo de la emisi6n de la luz.-Los nı1me­
HOMOTl:!CIA, SEMEJANZA Y f(El.\CIONE S ""ETıırCAS D!:Rı:vAIl~S
ras cuantlcos.~Ianlzaci611 y valencia.
Cuerpos r:ı.diactlvos.-Clases de rayo.'.-Le yes de Soddy.La hamotecia y la semejanz a.-Conce pto de homotecla. Pı:o­
S&ı:les rııdiactivas. -Ley de las transmuta ciones radlaC'tiv
as
piedades de !a hoınotecia.-Grupa de la.~ homotecias con el ıniS­
(RUt.lıerford). - Vid:ı nıedia. - Periodo de scrnidesi
ntegraci6 n.ma centro.-C oncepw y prcpi{!dades de La semejaııza..-Tl'iiı.ngu­
El cur!e.-Reacciones nuelearc s.-Cimar a de nieb!a de Wllson.
los homoteti cos.-Ham atecia de da5 circun!er enclas.-D etermlProyecttles util!zados en el bombaı-deo del niıcleo :ı.t6nıico.--Ranadan de 1:ı seınejanz::ı.-Descoınpo.'ici6n de una semeJıı.nza. en
B. O. de! E.
Num. 225
produet.o de una homotecia. pOr un ll1ovılııienıo.-c.;~lllrU
de las hoınowcias de! plana.
'll'
ı;enıejanza dırecta.-Grupo
Relaciones mclricas derivadas de la semeiunzu.-Rectas anti·
p:ır~lel:ı.>.-Generalizaci6n
del tearem~ de Pit..~goras.-Lug:ıres
aeometricos de puntas euya suma 0 diferencıa de cuadrados de
dis:anciıı. II. dos puntos fijos del plıı.na e~ cons~ante.-Po~enciıı. de
un punto con respecto a una. circunfereı:cia.-Expresıon ~c la
potencia.-Eje radical de das cırcunfcrencıas.-Centros radica1es
.; de Ins circunf erencias.-Secci6n aurea de Ull segmento, constr.ucırucci6n.-Teorema de Ptolomeo.-Propiedad ıııcLrıca de las bıse­
ı!iees.-ısogonales.-C:ilculo de ~aş bisetrices en funcion de los
lados.-Cüıculo de los medianos.-Segmentos determinados en los
t lıdos de un Lriiıngulo porlos punto~ /le contacto de las circuı:Ie­
reııcias inscritas y exınscrıtas.~Radıos de las cırcunfcrcncıas 1115cr:tas y ex1nscritas.-Expresion d~ las alturas en funcıon de lOS
lados.-Radio de La Cırcunferencia circuıı.scrita.
LA
INVER:;ı6N
La inversion Ci! e! p!aııo.--CircunferencırtS orUlgonales.-Defi!!ici6n <le La inver:;ion.-Fi[:uras hom61ogas de :;İ mismas cn.la
VOlll7liC1teS de tas poliedToS. 'i' olı,inıenes del ortoedro, ps.ra.Jelepipedo y de un prismo, cualquiera,-Volumen de. un t~trae­
dro y de una pir:imide cua.lquiera.-Voluınen del prısmatoıde.­
Volumen del tronco de pir:imide de bases para1elııs.
Volıimenes de C'!lerpOs redondos. Cilindro. - Cono. - Trcw:ıco
de cona circular.- Volumen del cuerpo engendrado por le. ro'aci6n de un sector pollgonal regulaI'.-$ector esfeı1co.-Esfera.
Cuıia esferica.-Pıramides esfericas.-Segmentos esferiCos.
LAS CONıÇAS. ESTUDIO ı.I:tl1UCO
Definıcion y claoi1icaci6n de las ~6nicas.-Focos. directrices,
eje ıocaL.-Raz6n de d!stancias de un, punto de la c6ııicə; LƏ; un
foco y a su directriı.-Nueva d~finıcıon ır.etrıea de las. c~mcas.
Tcorenn de Dandehn. TCl'cera definici6n de elipse e hıperbola.
Excentri..:idad.-Traza<lo de las conica.s. -' Eje5 d~ simeuia.--Ci=·
cunfe-rencias ıocale, en La elipse e hiperbola.-Propiedades d.e
las tangenres.-5ecantes excepci.ınales y asintotas de la lıiper­
bola.-Eje traIlSverso de la hiperbola.-Trazado de tangentes por
un punto.-Normal a una c6nica en un punto.-Su'btangente y
sııiınormal pn la par:.i~la.
inrcrsıön.-Propiedades de las f!guras inversas.-CircuDiereıı.cıas
inver;;as.-Propiecmdes de la.~ circunferencias inversns.--Conserl'ıci6n de :'mgulos en la inversi6n.
ARE.~S
Cıilcıılo
DE roı.icoNOS '{ MEDlDA DE FICURAS CIRCULr.RE:;
de po!igonos
TcgulaT('s.-Deciıgono.-Pent:'ıgono.-Apo­
t~nıu y radio de un poligono, regular, isoperimetro de otro y de
noble numero de lados,-Areas de 10s pO]jgonos regulares.
Lon;:~udes y lİrerıs de las jiguras circıılares.-Longitud de la
ncunferencia.-Rectificaci6n gr:ifica de la circunfel'encio..-Are:ı
del circulo. Longitud de un ul'co.-Area de un sector.-El radiiın.
EI eSpaciu
espacio.-Dıeciro. triedro. üngulo poJıedrü.-Poliedros comeı:os.
Los movimie7ltQ~ y la congruencia en el espacio.-Concepto de
mOl·imiento.-Axiomas del movımiento.-Congruencia de figuras
!'.xioma de divisi6n del
en el espaeio.
Perpcndiculaririad ei! cı espacio.-Criterios de perpendicularidad derect:ı,<; y planos en el espacio.-APlicaciıjn a La mectida
de
di~dro.s.
Las simetrias cu el esptıdo.-.La simctria axinl.-La simetria
ci'ntra.l.-La simetria especular.-ComparacI6n entre las sime;riaö antcriores.
Traslacicin. y paralelis7Iıo en el eşpcıczo.-Defiııiçiön y propiedades de la tras1aciol1.-Criterio.s de pa~alelL,mo de rectas y pluııo,:;
en el espacio.-Zona de ef;jlacio.-Producto de simetrias e.'pecu:ares respecto de planos paralelo.~.-Producto de sımeLria.s cen·
;ralt;;.-Defınieiones de sup.erficles y espacios prism:i ücos y ciliı-;dricos.
Proyecc;ones.-Proyecci6n paralela y ortogonal sobre un plano.
ParaleÜsmo y perpcndicularidad entre proyecciones.-ProyeccI6n
Qr:ogonal de un segmento y de un poli;;ono sobre un plano.Di.,tancla entre da" rectils que .<;e cruzan.-Angulo de recta. y
plano.
Trig'onometriıı
TRıcoNmıETRi.~ GE:NtlıAL
Funcıones lineales, triı:ıonometricas y relaci611 entre ambas.
Funciones trıgonometricə.s de un :ingulo: clasi!icacıiın, relaciones y signos de las mismas.
Reducci6n aı pri'!ler cusdrante de las line ..~ trigorıometricas
de cualquier angulo. Angulos que tienen las miSmas linea.s trı­
gOIlometricas. angulos negativos, complcmentar!os y sup1ernentarios.
Valores de lmea~ trıgonometricas correspondlentes a angulo3
particularmente notables. Arco y tiempo: manejo de ambas
uııidades y paso de unas a otras-Cegesur.ales y sexagesiınales.
Operaciones con 105 ınismos.
Lineas de suma y di1erencia d€ angu1os, y combinaci6n de
eS'i:as lineas.-Lineas trigonometricas de angulos mıiltiplos y sub:niıl:iplos.
Procediınientos mM usuales en la preparacion de f6rmulas
y e:qıreıüones para el ciılculo logaritmico. Ecuaciones e identida·
des ırigonometricas.
Tablas. Teorio, y manejo de las tablas de los logaritmos
de los niııneros. logaritmos de las funcion~s circulares, logaritmos de las funciones circulares de los angUıos menores de 3' y
mayores de 87'. y tablas de funciones circulares.-Iİıterpolacio­
nes.-Caracteristicas aumentadas.
TRli:lONOME1:RİA l\EC~A
F6rmulas generales que ligan 105 elememos principales y secundıırios de un tritingulo. Paso de unas f6rınulas a. otras y
relaciones entre ellas.-Area del triıi.ngu1o. Resoluci6n del trl.ing;ulo rectingulo en sus cuatro casos pasıoles.-Reooluci6n de
triiıngulos ob1icuılngulos en sus cinco casos posibles.-Diı;cUSi6n.
Apl.ıcaciones.-PrQyecciones y coorderı.adas polares.-Resoluci6n
trigonometrica del ııroblema de la carta.
TRIGONOL!ETRİA ESFtRıcA
PROPIEDAD~S ~ıETlUC.\S DE LO, ANGUI.OIDES ~ POLIEDROS
Los rıngulos poliedros. Medida de diedros.-Angulo plano y
diedro sup1emellt8.Jio.-Anguloides pOl8.res.-Propiedades metricas de las caras y dıedros de un triedro.-PrQpicdades mctricas
,de las caras y diedros de- un anguloide,-Igualdad de triedros.Criterio de igualdad de triedros-Propieda<les m,.tricas de prism3.S y
piramiae~.
Los
Propıedades
12815
20 septiembre 1965
C1lı>RPOS REDONOOS
del cilindro, cona y esfera.
Ge(mıetria en la superjicie esjerica. Distancia esferica.-Angulu eSl'erico.-Triııngulo:; esf~riC()s.-propiedades de los triallgulos psfericos. - Poligonos e&fericos. - TrhıııguloE y poligonos
;ıcl:ı.rcs.-lgualdad d~ triing"~lcs ~cferi~os.-Mediatriı y bisetriz
Wericas.--Cil'curıferenelas menol'cs.-Co!1Stl'ucciones en la su-
?erÜcie esferica
AREnS W EL ESP.~ClO. VOLUMENES
C(i!c'lLlo de ureas. Area.s de la, superfici~s poliedrıeas. AI'ca
d.l cllirıdro de revoluci6n, del cono de revoluci6n y del tronco
de Cono de revoluci6n.-Areas de1 casquete esferlco, 10, zona esfenca y la supeı1kie esferica.-Area de l!n IıU!iO esf~rico.­
Area de un triangulo esfıir[co.-A.-ea de ur. polig·or.o e-sferico.:';o('<in de ~ıngul0 s61ido,
Triüngulo ~sferico: sus eleınentos. F6rmulas genera.les Q.ue
ligan 10,:; diı;tirıtos eleınentos princiııalcs .. secundarios de un
tri,ingulo esferico.-Analogias de Gauss-Delambrr y Neper.
Resoluci6n de triingıılos rec,angulOs en sus seis casos pos!bles.-Pentiıgono de Nepcr.-Tri::ingulos rectil:iteros.-Triıi.ngu1o
polar.
Resolucion de triiı.nguıos oblicuang;,ılos: aı Por medio del
perpendiculo; b) Resolucion directa en Sus oeis casos pQSib1es.
Discusl6n.
Apl!caciones de la trigoııoır.<tria eSferica.-Ha1Jar la dista.nela entre dos puntos de la Tierra a par1:ir de la situ~lon de
los ıni:;mos.-Al'co del paralelo.-Medida de la mi1la ma.rim.
Exceso esferico. Tl!{lrema de Legendre: trigonometria planıı.
C0l110 primera nproximaci6n a la esferica.
1 dcrıs de _4.stro7!om iu. Coordenadas ge<ıgrificas. - Coordena.das agtran6micas.-Transformacl6n de coordenadas.-Mov1m1entos de la '!'ierra.-Tiempo Siderio, solar y solar medio.-E1 calendario.
Notrı.-L'tJs problemas ser,'m coherente~ con lııs ma.terias teörlcas ameriormente reseiiru:las.
Ser::i exigidə. una absoluta sol tura en todo el cıllculo 0Pilra.tivo, taııto 1ogaritmico como trigonometl'ico, ırumejo de dili:intas u:ıidades angul:ı.res. de tiempo, etc.
12816
B. O. del E.-Num. 225
20 septiembre 1965
Tablas.-Sciıron,
:abb: ııaulıcas [G:aıiıo [
Ma.rina,-Tabla; dı' S"ncj'ıe~ Ramos.
regl:unemarıaş
en la
.ııc:ogruıas: coııdıc:on nece,arıa Y .5ulıcıcnıe pııra ~a eX1Sıencıa
de solucıones,-ResoluciöD de la ecuaciöıı dıofiuıtica Jiııeaı con
dos inc6gnitas.
Bibliografia
EL N(rM<:IW ı>AcrONAL
Geol11etna Metrıcu de Puıg' Ad,ını
Geometr:a y Trıgoııometria de 01avarrif:tə.
Trigonometrıa de l. Fossi
Trigono:l1etrıu dc Octııyio d~ To!f'{)o
Trigonometriu de
raeıon.aı. Concepto de !lumero racl<ılıal.-Mu1t!pli­
,aclO!l de ııUıneros racıorıales. Propıedades, Divisi6n. EI grupo
ıııuıtıp2ıcatıvo de 106 Ilumeros racionales.-Adlci6n. Propiedades.
El
SuSlraccıon.-E cuerpo de loş niını~ros racionales, lsomorfisıııo
G{)nz~lle7. I\~::1!'iiıo
PROGRA)IAS DE lI.'C\',lLISi::; l\UTE!IIATICO Y
:1211"1L1TlCA
1.
7lumero
GEOllrETR1ıl.
de) anillo de los cnteros con una parte del cuerpo de 10s ra.ciorıale;;,-Valor :ıbwlu\O -Ordenacı6n de los niuneros racionaJes,
--':aru.cter
arquuned.ıano
ı...os POll\'10MlO~
AIg~br:ı ıııoderna
EI anilla ac pOlino1l!tos,-pollnomlo., con una indet€rıniIıada
Conjuntos. Corres)lOudel1l:>!llS ConJun,o~, R~lacıon dc inclusio!l.-(;{)njunto suplenıeııtar:o Conjuııto \'ucio,-Uniön e interseccioD de conjuntO,~.-Prcducto cUl'(e"iatlü de conjuuLos,-Çorreşpondencias emr~ C0l1jlU1:0S ..'- Re:l\c!Oııı:~ biııarias,-Rc;:ıcjo­
ne.<l de equi\'alencıa,-Ciases cle cqu:nılcncia,,..Conjunto cQcientc,-Relacjol1es df orden
Leyes de com.posici6n, N<ıcion de apcıcııeıuıı. Aplıcaçiones
bi'univocas,-Prodllcıo de aplitac;ones. Ley€ö inıernas de composidön, C()l1muı.aıh1dad Mociatin"lud, Disttibutidd.ıu de una
ley respecıo R otra.-Eleınento neutl'O: ~u uııicıdad. Elcmento
s.:metrico de mro. Eı~m,'nto re~·ul:ır.-Le]'es exterııııs de composidön, Djstribmırıd~,d. Asocıatividucl.
El niJ.mero natural, Ln suces:6" ııp.:ural: co,ıslrucciol\, Princip: de buena ordemıcioıı .... El pl'incipİu de ıııducci6ıı comple·
t3..-Conjunto.~ finiro.~ Niıınero ordınul y llUl11Cro cardjnal.Coordin:ıci6n de conjumos fi11::05. lnm,';nôo!l dci ııumcro cardinaL.-Adici6n. Propiedades--El cero.---scınigrupo adltıvo de los
niuneros naturales
Su.~traccıön d~ niııııpros natu~nıes,--Ol'dcnaClOn de ,os niuneros rıaturale,~. Proıı:edades. - La mlllLiplıC8.cion. Propıedades.­
El cero y La mu!ıijll!c~ci6n,-Sonı'~!1il!o de ic.>' ııUnıeros ııatu­
rales-La dirısi6n, Mıll,iplos.-L~ divisi61! cnlerıı,-Propıedades.
Potenciaci6n. ProjlıedədFs -La radicacı6n.
Sislı:mas de numerari6n.-Objeto d~ La nuıııcrCLcıon. Siştemas
fundados en ei \'a101' r~laı;\·o.--Expı·csion polinoııılca de un nü·
ıııero,-Expresi6n de ıın l1:ill1er{) en un sıS!eıııu cunlquiera.-Paso
de un sistemə de numemci6n a otro,-PrüctiC>t de la.s operaciones en un s!sıeıııa cllaJquiera.--Observaciorı ~obre eı sistema bi·
nario,
EL NUvlERO
~NTERO
El nıimero c;ıtero,
Concei)to de l'_uııı€ro entcro.-NÜmeros
neı;ativos.-Valof a':ıf;Q1Uıo.-Adıcıon de enleros, PropıeJades,-Sustracr.ıon.-Col1c,pto de gnıpü_-EI gl'UPO aditivo
de los enteros,-Cancepto de isonıol'fisl1lo, Isomorfismo entre, el
po;;itivos y
seı:nigrupo adlUvo de los llÜnıCl'OS l1lıtum!es y el de lCls el1teros
pOSitivos.-La,multiplicaci611, Propicdadcs,-ü,ıııcepto de anil!o. El
anillo Z de los enteros.-Carencia de (cdivisorcs de ccro», Concepto
de donıirıio de ilıtegridad,-lsomOl'fisnıo uC los llıı\l.U'ales y los enl.eros posıtivos l'especta ~ la 11l1l1tiplicarion,-Lu d:vısion.-Ord~.
naci6n de
:08 frnı.eros.
Dıvısibilidnd en el ani//;; de i.os eıııeros, Definiciones. Mıllti­
plos y diviwres. Klınıerr..' :ı.mcirı.dos. Nı'ımero~ unita,io~, NUıııe­
ro ımrno,-Lô dil'is:biııc:əd co;.'o :'eı"d6n d~ o,dcn -Cc·ncepto
de i.~al de lll' anillo ),d~nles d.l anillo de los cnter05.-Miı,.,irno
comun divisor de d<ıs enırrns. Propiedndes ..... AI:;oritmo de F.uclides.-Numeros prımo, er.tr~ si Teorcmn de Buclides.-Ma:;imo
comun div:sor d~ 1'3.1'\05 n(ıml'!O.'. Pı'opıec1:.ıde~ y c:ılculo,"":'Mi­
niıno comun l1lultlpLo de dos nı'ımrros, Ob:cı:cıôıı y propi~dadeş,
Mıru.mo comun mulıiplo de val'ios nı'ınıerOS, Oblencion Y prvp!edades,
Fa<:lorı:a.cicir. de l.Qs entero"
Des<~oıı;')Osiciöı: de un entero
en producto dE facıores prilııos. Unıcidud.-Çriterio de divisibilldad,-Aplicaci6n :ıl c:iJclll0 del müximo camuıı divisor y del
mlnllno comun nıult:plo-C!ılcul<ı de LQl!o:; los dıvis<ıres de Uil
nurn~ro,-Suma de laR dlvisores y ]lroducıo,-Obt<Onci6n de nilmero~ primos POl' eı merodo (le E:·ntostene~.-Criterio para reconocr,r si un nıinıe;'o e> 0 no primo.-Cl1nıcter ındefinido de
La sucesı6n de nıiıneros primos
CO'llgruencias, Definicioııcs, - Teo!'cına !'urıdamentaJ.-Cla­
ses de :estas,-Anillo de las cJases de reslos.-Caı;o en qııe el
aııillo es un grujlo nıultiplıcativo. Concepto de cuerpo,-Sistemas compleıos de nümeros inconc-rııcıltes."eo:ema fundamenta:
Restas potenciales, ~fil1ici6n.-Prımer caso.-Segundo CJ,SO
Tercer c:J.so,-Cr:terio general de divıs:biliclad en el sistema de·
Ciınal.-Comprobaci6n de las operadones cu·itnıetlc:ı.,.
Ecuaciones diottı.nticas, Defirucıôn,-Ecuaci6n ]ineaJ con dos
sobl'e el cuerrıo de 10s nilnıerus reales,-Igualdad,-Adici6n,Pl'opiedades.-BuSLracci6n.-Producto por un niunero real.-Pro]liedades,-Concepto de espacıo vectorlal: espacio vectori:ıJ de
los po!inomios con un:'! il1determin:ıda,-:llultlplicaci6n ee poJinonıiDS--Propied:ıde;; -EI anillo de tas po1inomios con uııa indetel'nımada.
LJivısion a~ PUl!IiOIlLW,.-LJ1Vısi6ıı d" poliııomios,-Regla de
RuHÜıi.-FunciÖıı pOlll1ônıica.-Ccl'os de una f\ll1ci6n polin6mlC'<ı,-Re:;to de La dins!on IJ!)r x· 8..-Desc(;ll1posiciôıı facwrial de
pO:iIıOlll!Oö: PrLncipıo de ldenticlad.
LJivisibilidud 'k polinolnıo$.-Dcfiııicıone:;; Eleıııcnto:; unıta­
rios,-Propicd~de:; de los ~leınento:; uııitnriOS,-Po!inoıllios
ciııdoş,-Propiedades.-Divısore~ improplcx;,-poliIıomio iITeduciblC,-La divi:;ibi:ldad de poliııoı!lio:; coıııo l'elaci6ıı de orden,Iueıı!eô de! anillQ de 10:; pO!inomıos en x: Maximo comun d!visor dc d05 polınoııııos.-Obtcndoıı del m:i.ximo cornun divisor
POl' el algoritmo de Eucllde~,-De:;coıııposicion de un po!inomio eH producıo de f(ıctores irrcducibl~~.-Unicidad,-Mirıimo
cornun miılLiplo de dCR poliııomios: obt€nci6n,
a.so-
il.
!!.n:ı.lisis algebl'aıco
A.nali~i~ ('ombinalQT!o.-Vari~cioııes,-For=ci6n Y nümero,Variaciol1e.<l con rcpetıci6n,-PerınUlacioneş,-Inversi6n de una
ııerınıı\aci6u,-Permutacione;; con repetici6n,-Permutaclanes circularcs.-Çombinaciones - Forıııacion de las combinactonesN(ıl11eros combinatorios.-Combinacioııe. con repetici6n.-Fornıa­
don y ııümero,-Produclos de binom!os,-Potencla de un binaınıo.-Pol.eucıa de uıı polinomio.-Sııma de potencias de nümeros
naturales.
A,iCtoritmos de
ıtcTacion,-Pro:;reslon~~ aritnıeticas
v
~eome­
tricas - Propicdades. - Pl'oırresione.;; hipergeometricas:- Su.ına.s
altenıudas.-_'ı.lgoritmo ee las sıımas,-AI~o:ritnıo de lru; dife~Il­
Cıas,--Algoritnıo de las cumulant~s,-Defil1ici6n y ;mıpiedades.­
AlgoriLmo de las lracciones continuas.-DefiniCiones,-DesarroUo de un nı:unero racıonal en fmccl6n contiııua.-Reducidas.­
Prcıpkdades de la.<; l'educldas.
Doterminantes.-M:ıtrices cuadrac1as,-Determinarıtes.-Traru>­
rorıııaciones de un determinante, - Adjııntos. - Desarrol!o por
las elementos de UM linea,-DescomjJOSıci6n de wl detenninante
en suma de varlos,-Ç,l1cıılo de matrices. definicianes.-Dependel1cia linpal de filas y coJumnas Caracteristicas,-Ca!cıılo de
la caracteristica-8istenıas de ecuaciones lineııles. deflnlclones,
teol'ema fıındn.ını;ntal de equlvaicııcia y metodo de reducc16n,Rrgb de Cmnıel'.-Sistemu general de ecuaclones line:ıJes.­
TOl'em:ı r1e Rouche-.f'robnhıs. -Sis~ema de ecuaciones lıne:ıJes
honıogeneas,
El nılmero real.-Çortaduras en el caııı.po de los numcros
raciol1aJe,.-Nı.imeras reales.-lgua.ldad y desiguaJdad. - Representaci611 geoın~trica,-Sucesiones rnoDotonas convergentes,
finici6n y teorema fundamental,-Determinaci6n de los nıl.."Ile1'0,; rcaleö por ,ucesione:l coııverg~nl.eş,-Postulado de Cantor.-\dici6ıı y sutruccion,-Valores absolutos,-MuJ.tlpllcaci6n y dlvisilın,-Raiccs en ıncnos de l/n.-Ra'ices exactas de 10s nı'ımeros
rcaJes.-Cüıcu:lo de radicales,-Raciona!izac16n de d~nomiMda­
res.-Poten(!la~ de exponcnl.e racional.-C:ilcıılo de potenc1aS.Variudörı de las povencias,-Lİmltes de s1ıcffiİo~s de rıılmeros
l'eales. defiııicioues.-Limil.es infinilos,-Propiedades de los !imltes fimt..os,-Limiteş de sucesion€s man6tonas de ııumeros reıv
:es-Potcncias de exponente real.-V::ırlaci6n de las potencias,
Lo~llritmos -Variacion del logarltmo.-{;:Ucu]o con ıogaıitmos.­
Opcl'fici6ıı de! pa:;o al limite,-Limit~s de La suına, difeı'\':ncia.
prodııcto y cocieııte.-Limltf'" de IO!iaritmo y potencia.-L!miteı;
indel,Tmin~dos,-Limiti' de eXDresiones rıwionaJes.--E1 nılmero
ee-
f.-Liıııites ındeterminados de potencias.
Nıimcro.. ııpTGximados, - Nürneros aproXimƏdos, operaclones
con nı:ımero~ apro:-:irnados, suma, resta, produclo, di'.rlsi6n, potC!icia y raices.-Problem:ı.s clireclo e iııverso.-Operaclones combinada~,
Rcg!a cte cıi.lc:ULU.--J<'lııınarnentos.-E.'lCalıı:; de t-ua&1ı.do:; y
cubos. - :VlulCiplicaciones y divislones sucesıva.~. - Potenciıı:; y
I""iees.-Lineas trigonomeCl'jca~.
A.lgoritlIl0:; il1de.tinickıs.-Seıies !ltunericaô, definlciones.--serle geometrica.-Condici6n nec~ana de COııvergeııciıı,.-Propie­
dades Ilsociativa y dlstrlbutiva.--5eries altel'llad~.--Seri€5 hı­
pergcoınctricas.-Limite dCL CO~lente de factol'iales.--COnstante
de Euler.-Series de terrninos posltivos, propiedades fundnD1enLules. - Comparaci6n de series.-Criterios de convergen.cia de
c:ı.uchy, D'Alem~rt y Raabe.-Series de termınos cualesqu1era.
generalidades.-Teoreınas de Riemann y Dirichlet.-Suma y producto de serlffi.--Adir.icin de s€l'ies convergentes.-MulLiplıcaCicin
de series.
El np.mero comple]o.-Dellnlclon de numero compleJo.-Representaciôn geometrica.-:\Iooulo y argurnento.-Numeros igua.les,
co:ıjug-ados y opııestos.-.'l.diciÔn y sustr(l.(;{;iÔn.-ForllJ.U.:; bin6mica y tıigonometnca.-.:v1ultiplicaciön y divisi61l.-lnterpretadon geometrica. de las operaclon€s.-;Fôrmula de ;vıoivre -RaIc€'S.-Representaci6n g7itfica.-Raiz cuadl'ada eıı l"ol'l!1a biııomi­
ca.-Raiccs de los llUnıcros .reales.-Ecuacioııc~ de ~egwıdo gradO.-Resolucicin y di.~cmicin ........sıuna. y producto de Iu raic-l'S.Regla de Descartes.-Var!acion del Ll'inomio real d~ :;egundo
gTado.-ıU«!uaciones de segundo grado.-Resolucı6n trigDnomeLrica de la ecuaci6n de segundo grado.-Descomposic!6n factorial de los pollnomlos.
Ccometrıa
III
12817
20 septi<!mbre 1965
B. O. del E.-Num. 225
analitica plana
de ıa f'.lnclôn de funcicin.-Derivadas de las funciones elemeutMes.-Deı·ivadas de la.s funciones cireıılares dil'ecta.s e !nversa.s.
Vaıiaci6n de /um::iones.-;Jaıi.:ı:-imos 'il minimos.-Cr«!imiento
y decrecimlenıo de las funciones.-:ı.{:i.ximos y minimos relativos.-Metodo de las derivadas sucesivas.-:\!a~cha a segııir para
el trazado de la cu!"Va de una ıwıc16n eXpJicıta.
J'
La d.ijerenciaı y öu.s
derivable.-Sign!fice.do
ciaci6n.
Sl.ŞıCll1.{ı~
de (;oorae71ad.as y cambio~ de e1es COOTdfnadoS.-Slstemas de coordenadas.-Cambios de ejes.-Rotac.icin
de los ejes.-Tl'ansforı:naci6n de coordenadas polal'es en coorde·
nadas cartesianas.
EstuCiio Cic la lınca Teda
t:1l
cartc,ıana;; rectulIgulW'c5.-
Ecua.ci6n de la linea recta.-AnguJo de d()s recta.s.-Ecua.ciôn de
la recta que pasa por un punto.-Idem de La que pasa POl' das
pwıtos.--Condici6n para que t.res pUlltos esten PoTI linea recta.Distanc1a de un punto a una recta.-Hac~s d~ rectas.-Bisetrices del angulo de dos rectas.
Estud!o de la circIl1!jereııcia. - Ecuaci6n.-Inıerseccıon con
ıma recta.-Intersecciôn <le d~ ciTcunferencio.s.-Potencia de
\LU punt-o respecw a unıı. cireıınJerencia. -PolQ y [JOlar.-Eje
radical de dos circunf€rimcia.q.
Estud.io de las c6ııtcas.-Ecuaciön general de las c6rucasResoluci6n y trazado.-Di.sclıSiôıı.-:-Centro, ejcs y 8..'iintotas.
Redııcci6ıı de La ecıuu:i6n general de las c6nicas.-Ecuadone."
redu("jdas ee La elipse y de la hıperbola.---ca.so de la pm-abola.
Diaıne/:roS.-Eies..-Focos y directrices.-La parabola romo
limlte de La elipse " de La hiperbola.-Dcfuıicioıı y e(.'Uacion~
de los di:imetros.-Polo y polar en las c6nicaıı.-Dl:\.metros CODjugados.-Angulos de dos dl:\.metros conjugados.-Ejes de !as
c6nicas. Definici6n y obtenci6n.-FocQS y dircctriccs.-Ecuaciôn
general de La tangellte a una conlca.
iV.
C:oııı:epto
de
depe:ıdientes 0
Funciones de
varİable
Error de uııa funci6n.-Inte.polaci6n lineal.-Su enol'.-C:i!eıılo
aproximado de logaritmos.-Derivacicin gr:i.lica de funcione.>.Teorema del valor medio de Cauchy.-Calcul0 de l!mites indetenninados.
Derivad.as 'il d.i!erenci.a/.es suce~ivas.-Derivadas .,ucesivas.Caso de la funciôl1 entera.---Ordenes de las raices y de los lminite.sım<JS.-Dıferencia.les sucesivas y del'ivadas sı.ıcesivas.-DİS­
cus!ön generaJ de maximos y minimos.
F"iırmulOJi de Taylor 11 de Mac-Laurin.--Obtenci6n y aplieacio!ıeS a la tangente. con~\idad. coııvexidad y pwıtos de infieı.iôn
de curvas.-A plicaci6n al desaITollo de una funci6n en seri".
V
ınleı;ral
tc-gr9.ciön por
sustıtuciön.-!ntegraciô.ı per partes.
de iunciO'nes raCiOrnıles.-Descomposici6n
de ıına
funci6n racional en fracciones simples.--ca.sos diversos.-Integraci6n.
Integraci6n de irracionales cııadraticos y de funciones trıı:;.
cendentes.
~nte(/rales defi.nida.s.~El problema del arca y el concepto
de integnıl.-Teol'ema de la media,-E1 :i.rea como funcicin orimitiv:ı..-Pa.~o de la integral indefinida il. La definida.
Aplica.ciJmes del calculD integral.-Areas de figul'aS planas
eo coordenadas cartesianas.-Rectıneacıcin de curvas planas .encill8..'i.-Volumen de un cuerpo cuando su secci6n POl' un plana
perpendicular al eje QX es wıa fUlıci6n cooocida de x.-PI'iDcipio de Cavalieıi.-Deınostrac.i6n.-Volu.'Ilen de los cuerpos de
revoluci6n.-Areas de las sU;H!rftcles de revoluciÔn.
Textos recom.en.da.dos:
Preunivel'sital'ioı). F. Marcos de La.nuza.
«:\fatemiıticas. CUI'SO PreUIliversltaI'İo». rTomo I.L A. Gironza.
«AnaliSis algebr:ı.ico». de J. Rey Pastor.
«And,!!sis algebmico». de Fz.-Troconiı.
(Cours Elementaire de Mathematiques Superieuresıı. Tomo VI.
«Geometrie ana!ytique plane». de J. Qulnet \Dunod-Paıis).
KCurso de Mat.eıru\ticas.» lfuguez. Zal'agoza.
«CUrso de Cülculo Infi:ütesimal.» J. Rey Pastor (Bu~<lS
«.\1atem:i.ticas. Ct;rso
Ain'S).
«Teoria de errore.s.» J. L. Mataix PI"(U1as.
!ımcio71.-Variab!es independientes.-Variables
funciones.-Representae!ôn gTafica de la.; fun-
CIaı,~fica(.'i.6n
de La.s !u1lCiones.-Funciones algebı-.l.icas, rac:ioalgebraicas y curvas algebral·
cas.-Fıınciones pal'es " ımpal'es.-Funciones c1ementale.>.-FUndon üıvel'sa.-FUnci6n de funci6n.
Liınite juncio71c<I.-Defin!ciones.-Propledades de 105 limites.
Paso Ilıl liınite.
FlInC"ioncs continuas.-Defin!ci6n de comlnuidad-Propledades funda.mt"ntales de las funclones continııo.s.-Verdadero valor
de expresiones indetermi!'ıadas.-Coneepto de funclones d!sconirraclonales.-Fıınciones
tiııuas.
!ıı!init€simos,-Propledades fundamentalCS.--Colııparacioıı
de
e infuliresimos equivalel1tes.-Equivalencias t:rigoııametricas de uso frecucnte.
Cıilculo de Zimites.-Limites de la suma y pl'oducto de un
numrTC finit<ı de variables.-Limites del cociente de logarit.mos
y de €ı,.-ponenciales.--SusLltuciôn de v31'iables equivalentes.
Variables in!17lita.~ y liınites injlnitos.-Genera,lizaci6n del CQil"
cepto de ıımite.-Limit~s indetel'minıı.dos y eXponencia!es.
Los iıı,tiııitos.--Comparaci6n de infinitos.-Pıincipio general
de sustituci6n.
COncepto de derivada.~Tangente u una curva p1ana.-Defiıııci6n geneml de derivııda.-PI'opiedades de la.<; derlvadas.Dı:r!vada de! logaritrno natural.-Existencla de derivada de las
funciol1es cOl1tinuas.
Cdlcıtlo de deriva.d.as.-Derivadns de las fundones ınversa.~
iııfıniıesimos
Calcula
Integraı ındeJinıda.-Defınicıô:ı. Teoreına :; propiedades funda.menta.les.-Funclone.<5 ;ırimlt!va.s inmedlatas.-:vı:etodos de In-
real
ciones.
nales e
~eomM;rico.-Regla
TeoTemas d.el va/or rnedia y aplicacione~.-Teoremu de Rolle
y del valor medio.-Teorema fundamental del cilculo integrol.
Jrıtegra.ci6n
Di!crentes
de una funclcin
general de düeren-
uıılicacioııes.-Difer~nclaı
NlINISTERIO DE COMERCIO
DECRETO 270711965, de 11 de septiem.'are, por el
General Ter:nica
qııe se reorganiza La Secreta.ria
del Miııisterio de Comercio.
Creada la Secretaria General Tecnlca de! MinlsLerio de
Comercio POl' Dccreto-Iey de ve!nt!siete de julio de mil novedentos cincu€ntB. r uno, como 6rgano de inforınacion y aseso"
ramiento que permitiera iOgl'ar, con criterio de ıınldad, el adeeuado desarrollo dı' la politica econ6ınico-coınercia! propia de
la competencia del Deparıamento. su~ funö):ıes se determin.a·
ron por la Orden c!e ııno de septiembre de mil nm·ecientos cincuenta y uno. Con posterioridad. la Uy de Rcgimcn Juridico
de la Administracl6n de! Estado, Lexto re!undido aprobado POl'
Decreto de veintiseis de julio de mil novedentos cincuenta y
~iete. est9.bleci6, en su articulo diecinueve. la misi6n de las Secretarias Generales Tecnlcas: eL Decreto de dieciocho de octubre de mil Iloveeientos clncuenta y siete, POl' el que se reorga·
!ili:ci la Subsecretaria de Qomerc!o. asigno a la Direcdcin General
de Comercic !nte=!c!" f'ı1rlcicnes anteriOr!lı€nte atribuidas a La
Secl'etaria Generaı Tecnica de Comercio, y la Ley de Pr~­
dim!ento Admin.lstrıı.tıı;o de dıccisiete de julio de mil novecien·
tas cincuenta y ocho asign6 a las Secretarı:ı.s Generales Tec-