ecuacion de continuidad

Ecuación de continuidad
En un proceso físico es muy común que se encuentre presente un elemento que no se crea ni
se destruye.
La cantidad de este elemento en una región determinada varía únicamente cuando cierta
cantidad del mismo entra y/o sale de dicha región.
En tal caso la variación se puede calcular como la diferencia entre la cantidad que entra y la
cantidad que sale.
A esto se le denomina generalmente “ecuación de continuidad”. Si la cantidad que entra en
cierto instante es mayor que la cantidad que sale, entonces la variación será un número
positivo; en caso contrario, será negativo; y si son iguales la variación resultará nula.
Esta expresión escrita en forma “diferencial” da lugar a una ecuación por medio de la cual se
puede determinar la variación del elemento que se trata.
Cuando una sustancia se encuentra diluida en otra (por ejemplo, sal en agua, ácido en agua,
azúcar en leche, oxígeno en el aire, etcétera), la concentración ( c ) de la sustancia determinada
es la cantidad ( x ) de la misma que se encuentra diluida en la unidad de volumen ( v ).
concentración =
c=
cantidad
volumen
x
v
Si la concentración es uniforme, la cantidad de sustancia contenida en un volumen de
solución es cv .
x = cv
Ejemplo 5
En un tanque hay 500 litros de una solución de agua y sal en la que se disolvieron 35 kg de sal.
Se introduce agua en el tanque a razón de 12 litros por minuto. Un agitador mantiene uniforme
la concentración de sal. La mezcla de agua y sal es extraída del tanque a razón de 12 litros por
minuto.
¿Qué cantidad de sal queda en el tanque después de 2 horas?
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Representaremos con x a la cantidad de sal que hay en el tanque al cabo de t minutos
(aunque en la pregunta el tiempo se expresa horas, las razones de cambio están en litros por
minuto). Así pues, debemos expresar las razones y la concentración en términos del tiempo t y
la cantidad x .
Como la cantidad de agua que entra es igual a la cantidad de solución que es extraída, la
cantidad de solución dentro del tanque no cambia y por lo tanto podemos expresar la
concentración de sal como
c=
x
[ kg por litro ]
500
En un volumen v de solución habrá entonces una cantidad x = cv de sal.
El agua se introduce a una razón constante de 12 litros por minuto, es decir, el volumen de
agua ( va ) introducida después de t minutos está dado por
va = 12t [litros ]
Entonces en un intervalo de tiempo pequeño dt entra un volumen dva de agua dado por
dva = 12dt
Y de la misma manera en este intervalo de tiempo la cantidad de solución que sale es
dv = 12dt
Como la concentración es uniforme, en este volumen de solución hay una cantidad de sal
 x 
12
dx = cdv = c(12dt) = 
xdt
12dt =
 500 
500
Pero la sal está saliendo junto con la solución y al entrar el agua no se agrega solución al
sistema, por lo que la variación de la cantidad de sal dx está dada por
dx = 0dt −
12
xdt
500
2
O simplemente
dx = −
12
xdt
500
12
dx
=−
x
500
dt
Esta ecuación expresa la relación entre la razón de cambio de la sal y la cantidad presente.
Sin embargo para resolver el problema es más útil la expresión en forma diferencial
dx = −
12
xdt
500
En la cual debemos separar las variables cantidad y tiempo, lo que nos permite integrar
12
dx
=−
dt
500
x
Al integrar esta expresión obtendremos la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo,
pero recuerda que debes tomar en cuenta las condiciones del problema pues con ellos se
determina los límites que debemos usar en la integración.
En el momento inicial t = 0 la cantidad de sal presente en la solución corresponde a x = 35
donde x representa la cantidad presente después de t minutos.
La cantidad x de sal presente en la solución después de
ecuación
t minutos se determina por la
x
dx t 12
∫ x = ∫ − 500dt
35
0
x
12
dx
∫ x = − 500
35
t
∫ dt
0
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Al integrar obtenemos
x
[lnx ]35 = −
12
t
[t ] 0
500
lnx − ln35 = −
ln
12
(t − 0)
500
x
12t
=−
35
500
12
−
t
x
= e 500
35
x = 35e
−
12
t
500
La expresión que determina la cantidad de sal presente en la solución después de t minutos es
x(t) = 35e
−
12
t
500
Como nos piden la cantidad de sal después de 2 horas, basta con evaluar esta expresión en
t = 120 (pues t está dada en minutos). Así pues, obtendremos
x(t = 120) = 35e
−
12
×120
500
x(t = 120) = 1.96kg
La cantidad de sal que queda después de 2 horas es de 1.96 kg.
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