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FINANCIERO
Natividad Rodríguez Masero *
Modelos de valoración de
opciones sobre tipos de
interés: Una comparación
entre los campos continuo
y discreto
1. INTRODUCCIÓN
La importancia de los tipos de interés y la volatilidad que le
subyace hace que se incrementen los instrumentos de cobertura ante las variaciones de los tipos de interés. Existen
numerosos factores que afectan a dicha volatilidad, así por
ejemplo, la crisis actual que ha provocado un aumento de los
tipos de interés, hace que aumente el temor entre los inversores a una mayor inflación, causada por la crisis, lo que
repercute en un aumento de los tipos de interés fijados.
La elevada volatilidad de los últimos años ha provocado un
aumento del riesgo financiero, cuyas causas más directas se
encuentran tanto en los cambios políticos producidos en los
últimos tiempos, como en la internacionalización de los mercados financieros, lo que aumenta la volatilidad de los mismos. Esto hace que el comportamiento de la bolsa y la incertidumbre que plantea el futuro repercutan tanto sobre el precio de los activos como sobre los tipos de interés
Todo ello ha provocado un aumento considerable de las operaciones a plazo, las cuales no vienen exentas de limitacio-
*
nes, ya que necesitan encontrar una contrapartida, evaluar el
riesgo de insolvencia potencial, etc. Sin embargo, existen
instrumentos financieros destinados a la cobertura de los
tipos de interés, como es el caso de las opciones sobre tipos
de interés
De esta forma gana importancia la forma de valorar un activo de renta fija a largo plazo. Para ello, hay que actualizar
la corriente de flujos al tipo de interés vigente y, sin embargo, los tipos de interés no permanecen constantes en los distintos momentos de tiempo en los que se hacen efectivo
dichos flujos.
Por ello, sería necesario utilizar distintos tipos en función del
momento de tiempo en el que se van a hacer efectivos estos
flujos. Esta variación en los tipos de interés es lo que nos
lleva al estudio de la “estructura temporal de los tipos de
interés”, en adelante ETTI.
La ETTI es la función que relaciona los tipos de interés libre
de riesgo con el plazo de tiempo al que hacen referencia. En
primer lugar, sería necesario conocer los tipos de interés a
Departamento de Dirección de Empresas - Universidad Pablo de Olavide (Sevilla)
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largo plazo para proceder a la valoración del activo, sin
embargo, y dada la dificultad para conocer los tipos de interés futuros, tendremos que proceder a su análisis partiendo
de los tipos de interés observados mediante algún método de
estimación que nos acerque a nuestro objetivo.
Para ello utilizaremos los precios de la deuda pública, ya que
estos instrumentos carecen de riesgo de crédito, contando a
su vez, con amplios mercados secundarios.
La dinámica de la ETTI se ha llevado a cabo apoyándose en
ecuaciones diferenciales estocásticas, de ahí su denominación de modelos estocástico-dinámicos de la estructura temporal.
En una primera clasificación, estos modelos pueden agruparse en dos grandes grupos, los modelos consistentes y los
modelos no consistentes o factoriales. Los primeros describen la dinámica de la curva de los tipos de interés incorporando información de toda la curva. Los segundos, analizan
los movimientos de la curva partiendo de variables exógenas
o variables de estado.
Dentro de los modelos no consistentes o factoriales podemos
encontrar dos enfoques: el enfoque de equilibrio general y el
enfoque de no arbitraje o de equilibrio parcial.
El enfoque de equilibrio general parte de la actividad real de la
economía, así como de las preferencias que tengan los inversores más representativos, con el objeto de construir la estructura temporal de los tipos de interés. Este modelo considera las
variables del entorno que van a influir tanto en la determinación del precio de los bonos, como en las propiedades estocásticas de las variables endogenamente determinadas, así
como en la forma exacta que tomen las primas de riesgo.
Entre los autores que han estudiado este enfoque podemos
destacar los trabajos realizados por Cox, Ingersoll y Ross
(1985), Longstaff (1989), Longstaff y Schwartz (1992) y
Platten (1994).
El enfoque de equilibrio parcial o de no arbitraje comienza
estableciendo hipótesis sobre la evolución estocástica de una
o más variables de estado y sobre la forma del precio de los
activos libre de riesgo en el mercado, todo ello bajo la condición de la no existencia de arbitraje en la economía. Sin
embargo, la valoración de los bonos en este caso, puede llevarnos a oportunidades de arbitraje y a inconsistencias internas. Esto hace que podría ser más ventajoso el empleo del
enfoque del equilibrio general, debido a que las variables en
este caso son determinadas endogenamente, salvando dicho
inconveniente.
Bajo este enfoque podríamos resaltar los trabajos realizados
por Merton (1973), Vasicek (1977), Dothan (1978) y Brenan
y Schwartz (1979,1980).
En este trabajo comparamos y estudiamos los modelos de
valoración de opciones sobre tipo de interés debido a la
importancia adquirida en su negociación en los últimos años.
Así, analizando los mercados de opciones sobre tipos de
interés, podemos comprobar cómo el activo que subyace es
a su vez un contrato de futuros, y no un tipo de interés propiamente dicho; hace años, los mercados financieros modificaron este activo subyacente y pasaron a ofertar opciones
sobre futuros sobre tipos de interés, ya que esto supondría
una mayor aceptación de estos productos en el mercado. Este
hecho hace que a la hora de la valoración de este tipo de activos se tengan que introducir modificaciones técnicas en los
modelos de valoración convencionales. Por tanto, y debido a
que el activo subyacente no es el tipo de interés propiamente dicho sino un futuro sobre tipos de interés, tendremos que
considerar este aspecto a la hora de valorar este tipo de instrumentos financieros.
Entre los modelos de valoración generalmente aplicados
tenemos el modelo de Black (1976), que fue desarrollado
para valorar este tipo de opciones en el campo continuo. Por
otra parte, en el campo discreto tenemos una aplicación del
modelo Binomial para futuros.
Sin embargo, existen otros modelos de valoración que, aunque no son tan populares, también pueden emplearse en la
valoración de estos activos, aportando además una mayor
exactitud en los resultados obtenidos. Tal es el caso del
modelo Trinomial que, mediante el uso de árboles trinomiales, puede ser una alternativa a la valoración mediante el
modelo Binomial. La ventaja del modelo Trinomial sobre el
anterior estriba en que los árboles trinomiales son más flexibles que los binomiales ya que dan un grado más de libertad,
por tanto, los resultados obtenidos aplicando este modelo
han de ser también más exactos. Como generalización a
estos modelos, podríamos aplicar también el modelo
Multinomial, el cual, y debido a su propia naturaleza, debería aportar resultados más exactos, ya que, como extensión
de los modelos anteriores, en cada instante de tiempo el precio del activo subyacente puede evolucionar a un número
“m” de estados posibles, lo que aporta una mayor aproximación en los resultados obtenidos a la hora de valorar este tipo
de activos.
En este trabajo pretendemos aplicar el modelo Trinomial a la
opciones sobre futuros sobre instrumentos de renta fija y el
modelo Multinomial como generalización de los modelos de
valoración discreta. De esta forma compararemos los resul-
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tados obtenidos mediante estos modelos y los compararemos
con los obtenidos mediante los modelos tradicionales.
donde r = tanto anual instantáneo
La evolución del valor de la prima para una opción call será:
2. MODELO TRINOMIAL
La ventaja adicional que introduce el modelo Trinomial con
respecto al modelo Binomial, es que en cada instante de tiempo, el precio puede evolucionar a tres estados posibles, dando
por tanto un grado más de libertad, lo que les reporta una
mayor flexibilidad. En este caso se permite al precio del activo subyacente evolucionar de la siguiente forma:
Cu = Max [ 0, uF – E ] con probabilidad pu
C
Cm = Max [ 0, F – E ] con probabilidad pm
Cd = Max [ 0, dF – E ] con probabilidad pd
El valor de la opción call europea sobre un contrato de futuros podrá determinarse como:
uF con probabilidad pu
F
F con probabilidad pm
dF con probabilidad pd
donde
, λ∈ℜ/λ>1 para evitar que pi <o (i=u,m,d,)
C = e-rt [ pu Cu + pm Cm +pd Cm ]
Análogamente, para el caso de una opción put el precio vendrá dado por:
P = e-rt [ pu Pu + pm Pm +pd Pm ]
donde
Pu = Max [ 0, E - uF]
Pm = Max [ 0, E - F ]
Pd = Max [ 0, E - dF ]
t = tiempo hasta el vencimiento
n = número de nodos del árbol
Si lo extendemos a dos períodos el precio del futuro evolucionaría de la siguiente forma:
pu = probabilidad de subir de cada nodo
u 2F
pm = probabilidad de ir al centro de cada nodo
pd = Probabilidad de bajar de cada nodo
F
Sabiendo que: pu + pm + pd = 1
uF
uF
F
F
dF
dF
Si tomamos los valores de Boyle (1988) para el cálculo de
las probabilidades, tendremos que:
d2F
Por otra parte, la evolución del precio de la opción call será:
Cu2 = Max [ 0, u2F – E ]
C
Cu
Cu = Max [ 0, uF – E ]
C
C = Max [ 0, F – E ]
Cd
Cd = Max [ 0, dF – E ]
Cd2 = Max [ 0, d2F – E ]
siendo
Siendo el valor de la opción call sobre un contrato de futuros:
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C = e-rt [ pu2 Cu2 + 2 pu pm Cu + 2 pu pd C + pm2 C + 2 pm pd
Cd +pd2 Cd2]
En el cuadro 1, recogemos un resumen donde hemos calculado el valor tanto para la call como para la put y los comprobaremos con los modelos tradicionales.
Es decir:
C =e
rt
2
2
j= 0 k = 0
2 k+j
2!
pu 2
(2 j k)!
j k
pm j pd k Max [0,u 2
j k
dkF E]
Si lo generalizamos para “n” períodos el resultado para el
precio de la opción call sería de:
C =e
n
n
rt
j= 0 k = 0
n k+j
(n
n!
pu n
j k)!
j k
pm j pd k Max [0,u n
j k
dkF E]
Análogamente podríamos determinar el precio de la opción
put, donde para “n” períodos tomaría el siguiente valor:
P=e
n
n
rt
j= 0 k = 0
n k+j
n!
pu n
(n j k)!
j k
pm pd Max [0, E u
j
k
n j k
d F]
k
En el desarrollo de este modelo, hay que señalar que debido
a la dificultad derivada del cálculo de las probabilidades para
aplicarlo, hemos trabajado con un activo subyacente distinto
al futuro, como por ejemplo una acción que no reparte dividendos. Para aplicar el modelo a opciones sobre futuros
hemos de construir el árbol a partir del precio actualizado del
futuro, es decir, F0 = F e-rt .
El modelo Trinomial, aun siendo matemáticamente más
exacto que el modelo Binomial debido a su mayor flexibilidad, tiene el inconveniente de que sus resultados dependen del valor que demos al parámetro λ. Así, la exactitud
de los resultados derivados de la aplicación del modelo
dependerá tanto del número de nodos utilizado en la elaboración del árbol como del valor que le demos a dicho parámetro.
Ilustraremos lo expuesto anteriormente mediante un ejemplo, y lo compararemos con los resultados obtenidos aplicando otros modelos de valoración de opciones sobre futuros sobre instrumentos de renta fija.
Supongamos el caso de un contrato de opción sobre un futuro sobre un bono nocional, con las siguientes características:
F = 97
E = 95
t = 6 meses
i = 5%
r= ln (1+0,05) = 0,04879016
σ = 20%
Resultados de la valoración de opciones sobre futuros
sobre bonos aplicando distintos modelos
F=90
BLACK (1976)
3,015
BINOMIAL
n = 4 3,256
n= 10 3,12
n = 20 3,015
TRINOMIAL
n = 4 3,19
λ =2
n= 5 3,15
n = 4 3,09
λ =1,5
n= 5 3,02
CALL
F=95
5,22
4,91
5,09
5,2
5,04
5,13
5,18
5,22
F=97
6,315
6,305
6,31
6,32
5,8
6
6,3
6,31
F=90
7,89
8,135
8
7,89
8,07
8
7,97
7,9
PUT
F=95
5,22
4,91
5,09
5,2
5,04
5,13
5,18
5,22
F=97
4,363
4,35
4,353
5,368
3,84
4
4,34
4,363
cuadro 1
Tal y como se desprende de la observación del cuadro 1, a
medida que aumenta el número de nodos más nos aproximamos al resultado obtenido con el modelo de Black (1976). En
cuanto a los modelos de aproximación discreta, podemos
comprobar que, con el modelo trinomial se alcanza antes el
resultado que con el modelo Binomial, ya que con el primero los resultados son más próximos utilizando cinco nodos y
con el segundo es necesario llegar hasta veinte.
Aun así, hay que hacer una puntualización, y es que, cuando
aplicamos el modelo trinomial damos valores al parámetro
λ, del cual también dependen los resultados obtenidos. Así,
si modificamos el valor del parámetro, tal y como muestra el
cuadro 1, los resultados obtenidos son más exactos cuando
damos a λ un valor de 1,5. Por tanto, a través del ejemplo
podemos comprobar cómo además del número de nodos
empleados en el árbol trinomial hemos de tener en cuenta el
valor del parámetro λ que tomemos para el cálculo de las
probabilidades. Por tanto, nos aproximaremos más al modelo de Black (1976) teniendo en cuenta no sólo el número de
nodos sino también el valor que elijamos para el parámetro.
Si el activo subyacente es un tipo de interés interbancario, el
procedimiento sería el mismo, sin embargo, dado que los
precios se forman como (100-tipo de interés), tendríamos
que utilizar la volatilidad expresada en tipos de interés y no
en precios, ya que, si utilizamos los modelos de valoración
en base a precios, podemos encontrarnos con una situación
irreal pudiendo aparecer un tipo de interés negativo.
Veamos a través de un ejemplo los resultados obtenidos aplicando los modelos anteriores. En este caso partiremos de una
opción sobre un futuro sobre un interés interbancario a 360
días, con una cotización del futuro del 97% y un precio de
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u1 F con probabilidad p1
ejercicio del 95%. El tipo de interés es del 5% anual, la volatilidad estimada para el futuro del 30% anual.
F
u 2 F con probabilidad p2
El cuadro 2 recoge los resultados obtenidos aplicando modelos de aproximación discreta y continua.
Resultados de la valoración de opciones sobre futuros
sobre un tipo de interés interbancario aplicando distintos
modelos
F=90
BLACK (1976)
4,769
BINOMIAL
n = 4 4,723
n = 20 4,769
TRINOMIAL
n = 4 4,76
λ =2
n= 5 4,768
n = 4 4,769
λ =1,5
CALL
F=95
0,56
0,533
0,56
0,544
0,555
0,56
F=97
0,0199
0,02
0,0199
0,023
0,018
0,0199
F=90
0,007
0
0,007
0,006
0,008
0,007
PUT
F=95
0,56
0,533
0,56
0,554
0,553
0,56
F=97
1,924
1,925
1,924
1,927
1,93
1,924
u m F con probabilidad pm
donde:
wj
pj =
r
uj = e
1
2
2
t
t
+ x 2
j
n
n
j=1,2,...m
t = tiempo hasta el vencimiento
n = número de nodos del árbol
r = tanto anual instantáneo
cuadro 2
En este ejemplo hemos prescindido de los valores binomiales
para 10 nodos y trinomiales para cinco nodos cuando λ =1,5
ya que al trabajar con decimales tan próximos los ajustes se
han producido antes.
wj y xj representan respectivamente los pesos y los “m” ceros
del polinomio de aproximación Pm(x), del método de aproximación de Gauss-Hermite aplicado a la integral1 :
b
I=
w ( x ) f ( x ) dx
a
Con el cuadro 2 podemos comprobar nuestras hipótesis de
partida, de manera que para la valoración de opciones sobre
futuros sobre tipos de interés, los modelos discretos se aproximarán a los modelos continuos a medida que aumenta el
número de nodos del árbol y la libertad del árbol empleado.
Sin embargo, los resultados obtenidos también dependen de
los valores propios del activo así como de sus variables fundamentales, de manera que en cada ejemplo que utilicemos,
los resultados se aproximarán más o menos en función de los
datos tomados de partida.
3. MODELO MULTINOMIAL
Podemos aproximar esta integral a la media ponderada de la
función f(x) en “m” puntos {x1 , x2, . . . xm}, es decir,
m
I
j=1
siendo la regla exacta cuando f(x) sea un polinomio de orden
m o inferior y wj y xj se elijan de forma que maximicen el
grado de precisión de la aproximación por Pm(x). Si {Pj} es
el conjunto de polinomios ortogonales en [a,b] con respecto
a los pesos wj, es decir,
b
El modelo Multinomial es una extensión de los modelos
Binomial y Trinomial, de manera que, en cada instante de
tiempo, el precio del activo subyacente puede evolucionar a
“m” estados posibles.
w j f (x j )
w ( x ) Pi ( x ) Pj ( x ) dx = 0
para i ≠ j
w ( x ) Pj 2 ( x ) dx = rj
para i = j
a
b
a
El estudio de este modelo fue realizado por Omberg (1998), el
cual extiende el modelo binomial a un modelo Multinomial,
permitiendo un proceso de salto de orden “m” para el activo
subyacente con probabilidades {p1, p2, . . . pm}.
En este caso el precio del activo subyacente evolucionaría de
la siguiente manera.
entonces los puntos óptimos xj son los m ceros de Pm(x) y los
pesos vienen dados por
am +1, m +1
rm
am, m
wj =
Pm ?( x j ) Pm +1 ( x j )
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En este caso y mediante la fórmula de valoración recursiva
el valor de la call vendrá dado por:
Ck +1 (F) = e rt E [Ck (F )] = e rt
(z)Ck Fe
r
1
2
2
t
t
+z 2
n
n
n
dz e rt
j=1
p jCk (F u j )
φ = función de densidad de la distribución normal estándar.
En cuanto a la aplicación práctica de este modelo, habría que
decir que la complejidad matemática del mismo lo hace
menos efectivo, ya que los modelos de valoración sólo son
aproximaciones numéricas y la diferencia en los errores
cometidos cuando se utilizan uno u otro es casi despreciable.
4. CONCLUSIONES
En cuanto a los modelos de valoración, aunque los mercados
financieros utilizan en la práctica el modelo de Black (1976),
es necesario distinguir entre los desarrollados en el campo
continuo y los desarrollados en el campo discreto, y saber
que con el primero existe un sesgo en cuanto a la exactitud
del cálculo. Sin embargo, aunque los modelos desarrollados
en el campo continuo son matemáticamente exactos, las
hipótesis de partida son muy “fuertes” o rigurosas, por lo que
los resultados obtenidos no se ajustan a la realidad del mercado.
Por otra parte, hay que tener en cuenta que los modelos de
valoración son, en general, aproximaciones numéricas, y la
proximidad entre sus resultados dependerá en gran medida
de los valores tomados para el cálculo del precio de la opción
(precio de ejercicio, precio del futuro, volatilidad, tiempo
hasta el vencimiento,...) que en algunos casos difieren de la
realidad del mercado, ya que, en algunas ocasiones, los datos
tomados para la aplicación de los modelos pueden distar
mucho de los valores que en la práctica se dan en los mercados financieros.
que el número de iteraciones aumenta y se aproxima más a
infinito, el modelo binomial se acerca más al modelo de
Black (1976).
La ventaja que aporta el modelo de Black (1976) es la de no
complejidad en sus cálculos, así como su sencillez y exactitud. Sin embargo, el modelo Binomial aporta además de fiabilidad, la ventaja de poder incluir las alteraciones que se
puedan producir en el horizonte temporal del contrato, tal y
como ocurriría si las opciones fueran americanas, ya que
dada su peculiaridad de posibilidad de ejercicio anticipado,
el modelo binomial puede introducir en su desarrollo esa
característica, mientras que en el modelo de Black (1976) no
es posible. También hay que tener en cuenta que la mayoría
de las opciones negociadas en la actualidad son americanas.
Una vez estudiado el modelo Trinomial, podemos observar
que se aproximará antes que el modelo binomial, sin embargo, sus resultados quedan determinados por el valor del parámetro λ. La elección del parámetro es arbitraria y marcada
por la obtención de unas probabilidades positivas, por lo que
también influirán en los resultados obtenidos. Aun así, el
modelo Trinomial alcanzará antes los resultados obtenidos
mediante el modelo de Black (1976), por lo que con unas
cinco iteraciones podemos aproximarnos al valor de la
opción.
Por último, hemos estudiado el modelo Multinomial como
extensión de los modelos Binomial y Trinomial. El uso de
este modelo, y debido a las características propias del
mismo, implicaría que los resultados obtenidos con su aplicación han de ser más próximos a los resultados obtenidos
mediante el modelo de Black (1976). Sin embargo, su elevada sofisticación matemática y su complejidad no hacen más
efectivo su empleo. Esto es debido a que los modelos de
valoración son aproximaciones numéricas y la diferencia en
los resultados obtenidos aplicando estos modelos son casi
despreciables.
Si analizamos los modelos desarrollados en el campo continuo y comparamos los resultados obtenidos con los modelos
desarrollados en el campo discreto, veremos cómo, aunque
los resultados son muy similares, dependen del modelo utilizado, así como de los propios valores que tomen las variables fundamentales, tal y como hemos comprobado en los
ejemplos analizados anteriormente.
5. BIBLIOGRAFÍA
Tras la aplicación de los modelos a un ejemplo básico, podemos ver que en el modelo Binomial los resultados se aproximarán a los obtenidos mediante el modelo de Black (1976) a
medida que aumenta el número de nodos tomados en el
árbol. De esta forma, para un número de iteraciones inferior
a 20, los resultados son menos fiables, por lo que a medida
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